EC. DIFERENCIALES EXACTAS
2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 55
EJEMPLO 1. Resolver(2.32)
Solución. Verifiquemos, primero, que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Aquítenemos que
y como
afirmamos que (2.32) es una ecuación diferencial exacta. Luego, existe una función /(#, y)tal que la ecuación (2.32) se puede escribir en la forma df(x,y) = 0. Es decir, que
Para determinar / integramos (2.33) con respecto de x, resulta
o bien(2.35)
donde <j)(y) es una función de y, ya que integramos con respecto de x.Derivando (2.35) parcialmente con respecto a y se obtiene
pero como deseamos que también se satisfaga (2.34), igualando (2.36) con (2.34), se sigueque
Luego
Integrando ahora ambos lados respecto a y obtenemos
con C\ una constante arbitraria.
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56 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Sustituimos <f>(y) en (2.35) y se tiene que
Finalmente, igualamos f(x,y) con una constante k para obtener la siguiente solución de(2.32), definida implícitamente
Renombrando c = k — c\, resulta la solución
EJEMPLO 2. Resolver(2.37)
Solución. Escribamos la ecuación en su forma diferencial,
Esta ecuación diferencial es exacta ya que
luego, existe una función / tal que
Integrando respecto a x
es decir
donde (f>(y) es una función que depende únicamente de y.Derivamos parcialmente a (2.38) respecto a y
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2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 57
pero sabemos que por lo que
De esta ecuación resulta
con c\ una constante.Luego, sustituimos cf>{y) en (2.38) y se tiene que
Finalmente, tomando en cuenta que f(x,y) = k da la solución implícita, obtenemos
EJEMPLO 3. Resolver
Solución. Esta ecuación en su forma diferencial nos queda de la siguiente forma
(2.39)
en donde
y como
Se tiene que nuestra ecuación a resolver es una ecuación diferencial exacta, por lo queexiste una función / tal que
Luego
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58 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Pero entonces
Sustituyendo (/>(y) se tiene que
La solución está dada por
de donde
Nota: Para resolver las ecuaciones exactas anteriores primero integramos con respecto
a x en la igualdad pero se puede proceder en forma análoga si en lugar
de esto integramos con respecto a y enen los tres ejemplos siguientes.
Ilustraremos dicho procedimiento
EJEMPLO 4. Resuelva
Solución. Escribamos (2.40) en su forma diferencial
En este caso
y dado que
tenemos que (2.40) es una ecuación diferencial exacta, por lo que existe / tal que
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2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 59
Integrando esta ecuación respecto a y obtenemos
Derivando parcialmente con respecto a x resulta
Recordando que e igualando con la expresión anterior, tenemos que
Sustituyendo (f>(x) tenemos
La solución está dada por
o bien
EJEMPLO 5. Resolver
Solución. Tenemos que
y como
se trata de una ecuación diferencial exacta. Buscamos una función / tal que
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60 Capítulo 2. Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
Por otro lado, se requiere que
Igualando las dos expresiones anteriores se tiene que
Sustituyendo </>(#) obtenemos
Luego, la solución viene dada por
Aplicando la condición y(0) = 6 en la última ecuación tenemos que
Así, concluimos que nuestra solución particular está definida implícitamente mediante laecuación
EJEMPLO 6. Resolver
Solución. Como
tenemos que (2.42) es una ecuación diferencial exacta y por lo tanto existe una función/ tal que
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2.3. Ecuaciones Diferenciales Exactas 61
de donde
Entonces
Pero de donde
Luego
o bien, la solución y está definida implícitamente en la ecuación
Como y está sujeta a la condición y(0) — e, se tiene que
Así, y está definida implícitamente en la ecuación
EJEMPLO 7. Resolver
Solución. Se tiene que
por lo cual (2.43) no es una ecuación diferencial exacta.
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62 Capítulo 2, Ecuaciones Diferenciales de Primer Orden
EJERCICIOS 2.3
De las siguientes ecuaciones resuelva aquéllas que sean exactas.
2.4 Factores IntegrantesDefinición 2.4.1 Si la ecuación diferencial
no es exacta, pero existe una función n{x,y), tal que al multiplicar (2.44) Por Mx>í/)> l>a
ecuación resultante
es exacta, entonces se dice que /i(x, y) es un factor integrante de la ecuación diferencial(2.44)-
(2.44)
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220 Respuestas a los problemas
8. x =
9. r = 4
1-t2
1 + t2
10. \{y - I)3 + -Vx2 + 4 + 21n(> + Vx2 + 4) = có Z
Ejercicios 2.2, Página 53
1. y ~ x ln
2. y\2x2 -
3. sen - =X
A . »>ü J.XX 0«>0
5. x3 + y3
6. xy + y2
7. y - 2z H
8. ln(2x +
a;
- y2) = ex2
ex
— (x2 -4- v2)3/2
= cxy
= 2x3
h7 = c(x + y 4
3y + 2) = 2y -
9. y = x arctaníln x + 1)
- I ) 4
- x + c
x x10. sen — + tan — = cy 2
y y
Ejercicios 2.3, Página 62
1. xAy2 — x3y = c
2. y =
3. j / = (x-l)
4. No es exacta.
5. x sen y — y eos x + ln xy = c
6. ysent + t2ey + 2y = c
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Respuestas a los problemas 221
7. ln xy + exy = e
Q-x2
9. xy + ey/x = c
10. No es exacta.
Ejercicios 2.4, Página 70
1. /J,(X) — x~~2, 4x2 — 2y + xy2 — ex = 0
2 c 4 ^ 5/ \ 2 c 4 ^2. /i(x) = x , y = arceos —
oxó
3. /j,(y) — e~y, xe~y + \nx — 3y = c
4. /i(y) - y2, 2:rV + x2 + c = 0
5. fJ>(y) = y~1, x\nxy + x2 -y2 = c
6. /i(x) = x3, x6y2 - x4j/4 = c
7. ^{x)—x2, xsenxy + x3y3 = c
8. /x(i/) = y2, xlnxy -y3 = c
9. //(z) = x~3, 2y = x2(c + eos 2y)
10. /i(y) = eos"3 y, x = (y + c) eos2 y
Ejercicios 2.5, Página 73
_ x3 - 3x + c' y ~ 3 ( 2 )
3. y = _ I ( i + x2) + c ( 1
4. ?/ = x3senx
5. x = ^y"2e2/(2y2 - 2y
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