PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DE CHILEFACULTAD DE MATEMATICASDEPARTAMENTO DE MATEMATICASegundo Semestre de 2010
MAT 1630 - Calculo IIIGuıa IV.
Ademas de los problemas de abajo considere los siguientes ejercicios deltexto de Stewart: Seccion 14.5 : ejercicios 19–32; 41–50; 54. Seccion deRepaso Capıtulo 14: ejercicios 33–40.
Del texto de Pita Ruiz, todos los ejercicios de las secciones 3.1 a la 3.6
1. Se define la funcion de R2 en R2 mediante ~r(s, t) = (s2 + t2, 2st). Hallarla imagen del cırculo de inecuacion s2 + t2 ≤ a2.
2. En cada uno de los siguientes casos, calcular la matriz jacobiana de lafuncion dada en el punto indicado:
i) f : R2 → R2; f(x, y) = x2y + xy3; P = (1, −2).
ii) ~f : R → R3; ~f(t) = (t cos t, t sen t, 2t); P = π/2.
iii) ~f : R2 → R5; ~f(x, y) = (xy, yx, exy, xey, yex); P = (1, 2).
3. Sea ~G : R2 → R3 una funcion diferenciable que en el punto P ∈ R2
tiene matriz derivada (jacobiana)
D ~G(P ) =
2 −13 21 7
y sea f : R3 → R una funcion diferenciable cuyo gradiente en ~G(P ) ∈R3 es ~∇f(P ) = (8, 0, −2). Demuestre que la funcion f ◦ ~G : R2 → Res diferenciable en P y encuentre su gradiente en dicho punto.
4. Hallar:∂~z
∂xy
∂~z
∂y
para la funcion:
~z =(arctan
v
u, u2vw, log(u2 + v2)
),
con u = cos xy , v = sen x2y , w = log(x + y).
1
5. Dado el sistema:
3x + y − u + 2v = 2x − 2y + u2 + 2v2 = 9
}
(i) Comprobar que existe una vecindad de (x0, y0) = (1,−1) y funcionesu = u(x, y) y v = v(x, y) tales que u(1,−1) = 2 y v(1,−1) = 1 queresuelven el sistema.
(ii) Para la funcion u, de la parte anterior, calcular∂2u
∂x∂y.
6. Dado el sistema:
xy + eux + 2v = 2x + uy − v = 0
}
(i) Comprobar que existe una vecindad de (x0, y0) = (0, 1) y funcionesu = u(x, y) y v = v(x, y) tales que u(0, 1) = 0 y v(0, 1) = 1 queresuelven el sistema.
(ii) Para la funcion u, de la parte anterior, calcular∂u
∂x(0, 1) y
∂2u
∂x∂y(0, 1).
7. Dado el sistema:
x31 + x3
2 − y51 − y5
3 = 0x1 + x2 − y1 − y2
3 = 0x2
1 + x22 + y3
1 − y22 − y3 = 0
(i) Comprobar que existe una vecindad de (1, 1) en el plano X1X2 demodo que en ella el sistema define a y1, y2 e y3 como funciones de(x1, x2) que cumplen con y1(1, 1) = 1, y2(1, 1) =
√2 e y3(1, 1) = 1
(ii) Calcular∂y1
∂x1
(1, 1) y∂2y2
∂x1∂x2
(1, 1).
8. Sean ~F (u, v, w) = (uvw, uw2, v3) y ~G(u, v, w) = (u3,−uvw, u2w), calcu-lar:
(i) ~Fuv en el origen.
(ii)∂2 ~F
∂v2× ∂2 ~G
∂u2en el punto (1, 1, 0).
9. Dada la superficie de ecuacion:
4 sen2 x + 2 cos(y + z) = 2 ,
(i) Demostrar que en una vecindad del punto P0
(π
6,π
3, 0
)se puede
despejar la funcion implıcita z = f(x, y), y encontrar la ecuaciondel plano tangente en el punto P0.
2
(ii) Calcular:∂2f
∂x∂y
(π
6,π
3
).
10. Demuestre que las siguientes funciones ~F : R2 → R2 tienen inversaen los alrededores del punto P dado y calcule, en cada caso, la matriz
jacobiana J ~F−1(
~F (P ))
:
i) ~F (x, y) = (x sen y, y cos x); P = (1, 1)
i) ~F (x, y) = (x + arctan y, y + arctan x); P = (1, 1)
11. Sea g : R → R una funcion continua tal que g(0) = 1. Considere la
funcion ~F : R2 → R2 dada por
~F (x, y) =
( ∫ y
x
g(t) dt,
∫ x2
y
g(t) dt
)
Demuestre que esta funcion tiene una inversa ~F−1 definida en una vecin-dad del origen. Determine J ~F−1 (0, 0) .
12. Expresar el operador laplaciano:
∆ =∂2
∂x2+
∂2
∂y2+
∂2
∂z2
primero en coordenadas cilındricas y luego en coordenadas esfericas.
13. Sabiendo que g(x, y) es diferenciable y que x = r cosh θ , y = r senh θ ,expresar u2
x − u2y en terminos de r, θ, ur y uθ.
14. Siendo r = r(u, v), s = s(u, v), t = t(u, v) y x = x(r, s, t), y = y(r, s, t),demostrar que:
∂(x, y)
∂(u, v)=
∂(x, y)
∂(r, s)· ∂(r, s)
∂(u, v)+
∂(x, y)
∂(s, t)· ∂(s, t)
∂(u, v)+
∂(x, y)
∂(t, r)· ∂(t, r)
∂(u, v).
15. Dada la transformacion (x, y) = (f(u, v), g(u, v)) con jacobiano J =∂(x, y)
∂(u, v)6= 0, demostrar que para la transformacion inversa se tiene:
∂u
∂x=
1
J
∂y
∂v,
∂u
∂y= − 1
J
∂x
∂v,
∂v
∂x= − 1
J
∂y
∂u,
∂v
∂y=
1
J
∂x
∂u.
3
16. Obtener formulas analogas a las del ejercicio anterior para la transfor-macion en R3 dada por (x, y, z) = (f(u, v, w), g(u, v, w), h(u, v, w)). Porejemplo:
∂u
∂x=
1
J
∂(y, z)
∂(v, w), · · · ,
∂w
∂y=
1
J
∂(z, x)
∂(u, v), · · ·
17. Dada la transformacion (x, y) = (f(u, v), g(u, v)), entonces:
(∂x
∂u
)
v
·(
∂u
∂x
)
y
=
(∂y
∂v
)
u
·(
∂v
∂y
)
x
.
18. Demostrar que si z = f(x, y) es la funcion implıcita definida por laecuacion:
3y − 3xz − z4 = 0 ,
entonces:
x∂2z
∂y2− ∂2z
∂x2= 0 .
19. Sea el cambio de variables x = u− v , y = u2 + v , y sea:
< = {(u, v) | 1 ≤ u ≤ 2 , 0 ≤ v ≤ 1} .
Determinar la region imagen D en el plano XY .
20. En el cambio continuo de coordenadas:
x = u− (u + v)2
4, y =
u + v
2,
calcular:∂(x, y)
∂(u, v).
4