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1. Sean iz 21, iz 542 , iz 233 y iz 314 . Realice las siguientes operaciones
empleando la representación cartesiana.
a) 321 zzz b) ))(( 4321 zzzz c)
32
41Rezz
zz d)
1
41
32
zz
zz
e)
13
2
2
)31(Im
ziz
zi f) 21
3
4 ImRe zziz
z
h) 4321 zzzz
2. Calcule las siguientes operaciones.
a) 𝑖2015 b) 𝑖1000000 c) (𝑖85 + 𝑖−28)(𝑖64 + 𝑖−37) d) 𝑖117+𝑖−73
𝑖60−𝑖−129
3. a) Si 𝑧 = −1
2+
√5
2𝑖, pruebe que se cumple: 1 + 𝑧 + 𝑧2 = 0 y
1
𝑧= 𝑧2.
b) Para 𝑧 = −1
2+
√3
2𝑖 pruebe que: |𝑧| = 1, 𝑧2 = 𝑧̅, 𝑧3 = 1 𝑦 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑒 𝑧3002.
4. Calcule el valor de 𝑦 para que el producto de (3 − 6𝑖)(4 + 𝑦𝑖) sea:
a) un imaginario puro b) un real
5. Determine el valor de 𝑥:
a) para que el número 𝑥 + 3𝑖 tenga el mismo módulo que 2√5 + √5𝑖.
b) para que 𝑥+2+𝑥𝑖
𝑥+𝑖 sea imaginario puro.
6. Si 𝑧 =1+𝑥𝑖
𝑥+𝑖 pruebe que |𝑧| = 1, usando dos procedimientos distintos.
7. Pruebe que si la suma de dos números complejos dividido por su diferencia es un número
imaginario puro, entonces tienen el mismo módulo.
8. Pruebe que para todo número complejo 𝑧 se cumple. a) 𝑅𝑒(𝑖𝑧) = −𝐼𝑚(𝑧) b) 𝐼𝑚(𝑖𝑧) = −𝑅𝑒(𝑧)
9. Sean 𝑧, 𝑤 dos números complejos cualesquiera. Pruebe que se cumple:
a) |1 − 𝑧�̅�|2 − |𝑧 − 𝑤|2 = (1 − |𝑧|2)(1 − |𝑤|2) b) |𝑧 + 𝑤|2 + |𝑧 − 𝑤|2 = 2(|𝑧|2 + |𝑤|2) 10. Halle la solución de las siguientes ecuaciones de primer grado.
a) iizi 4)2()23( b) ziiizi )2()56()3()21(
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c) 0)6()21()52()34( iziizi d) iizi
izi21
)38()4(
)52()37(
11. Use la representación polar para realizar las siguientes operaciones y exprese el resultado en
la forma cartesiana.
Sean iwizibia 7 ,56 ,31 ,23 .
a) 45ba b) bw
az c)
1
4
3
z
w d)
45
34
ba
zw e)
43
24
zb
wa
12. Halle dos números complejos cuyo cociente sea 3, la suma de sus argumentos 𝜋
3 y la suma de
sus módulos sea 8.
13. El producto de dos números complejos es 2𝑖 y el cubo de uno de ellos dividido por el otro es 1
2,
encuentre dichos números. 14. Emplee el teorema de De Moivre para deducir las siguientes identidades.
a) cossen3cos3cos 23 b) 4224 sensen cos6cos4cos
32 sensen cos33sen cossen4sen cos44sen 33
15. Si sen 𝜃 =1
2, 0 < 𝜃 <
𝜋
2, aplique los resultados del ejercicio 14 para hallar los valores de:
a) cos 3𝜃 𝑦 sen 3𝜃 b) cos 4𝜃 𝑦 sen 4𝜃
16. Si 𝑧 ∈ ℂ, 𝑧 ≠ 1, deduzca la fórmula z
zzzzz
nn
1
11
132 .
17. Aplique la fórmula del ejercicio 16 y el teorema de De Moivre para probar que:
21
21
21
2
)sen(cos3cos2coscos1
sen
nsenn
21
21
21
sen2
)cos(cossen 3sen2sensen
nn
Suponga que sen 1
2𝜃 ≠ 0. Sugerencia: haga iez .
18. Calcule las raíces mostradas a continuación.
a) 6 1 b) 4 i c) √3+3𝑖
−3+3𝑖
3 d) √
𝑖35−𝑖18
1+𝑖
4
19. Resuelva las siguientes ecuaciones.
a) 𝑧5 + 32 = 0 b) 𝑧4 + 16𝑖 = 0 c) 𝑧6 −1+𝑖
√3+𝑖= 0
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20. Si kz es una raíz enésima de la unidad, diferente a la unidad misma, es decir, 1kz , probar
que se cumple 01 132 n
kkkk zzzz . Sugerencia: use la fórmula del ejercicio 16.
21. Aplique la fórmula del ejercicio 16 para determinar el valor de la expresión mostrada abajo.
1 + (1 + 𝑖) + (1 + 𝑖)2 + (1 + 𝑖)3 + ⋯ + (1 + 𝑖)9 22. Pruebe que:
a) (1+cos 𝜃+𝑖 sen 𝜃
1+cos 𝜃−𝑖 sen 𝜃)
𝑛
= 𝑒𝑖𝑛𝜃 , 𝑛 ∈ ℕ
b) Si 𝑧 +1
𝑧= 2 cos 𝑡 , 𝑡 ∈ ℝ 𝑦 𝑧 ∈ ℂ, entonces 𝑧𝑛 +
1
𝑧𝑛 = 2 cos 𝑛𝑡 , 𝑛 ∈ ℕ.
23. Si 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ son raíces sextas de 1, pruebe que también son raíces sextas de 1:
a) 𝑧𝑤 b) 𝑧
𝑤 c) 𝑧2 d)
𝑧3
𝑤3
24. a) ¿Pueden ser 𝑧1 = 2 + 𝑖, 𝑧2 = −2 + 𝑖, 𝑧3 = −1 − 2𝑖, 𝑧4 = 1 − 2𝑖 las raíces de un número complejo? Justifique su respuesta.
b) Si la ecuación 2𝑧3 − 5𝑧2 + 16𝑧 − 1 = 0 tiene tres raíces distintas entre sí, ¿pueden ser imaginarias las tres? Justifique su respuesta.
25. Halle las raíces de las siguientes ecuaciones de segundo grado.
a) 0232 zz b) 01032 izz
c) 0)1(22 iziz d) 0)1(2 2 iziiz
26. Considere la ecuación 𝑧4 − 4𝑧3 + 7𝑧2 − 8𝑧 + 10 = 0. Se sabe que √2𝑖 𝑦 2 − 𝑖 son dos raíces de ella, halle las otras dos.
27. Sea 𝑧 ∈ ℂ. Si 𝑧3 = 𝑖𝑧, calcule el valor de 𝑧. 28. Determine las raíces de:
a) 𝑧4 + 𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0 b) 𝑧6 + 𝑧5 + 𝑧4 + 𝑧3 + 𝑧2 + 𝑧 + 1 = 0 Sugerencia: Aplique la fórmula del ejercicio 16.
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29. Sea 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑤2 + 𝑤 + 1 = 0. Encuentre dos números reales 𝑎, 𝑏 para los cuales se cumple la relación:
7 + 5𝑤 + 3𝑤2
1 − 2𝑤= 𝑎 + 𝑏𝑤
30. Si 𝑤 ∈ ℂ tal que 𝑤5 = 1 pruebe que:
a) 𝑤
1+𝑤2 +𝑤2
1+𝑤4 +𝑤3
1+𝑤+
𝑤4
1+𝑤3 = 2 b) 𝑤
1−𝑤2 +𝑤2
1−𝑤4 +𝑤3
1−𝑤+
𝑤4
1−𝑤3 = 0, 𝑤 ≠ 1
31. Sean 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ tales que |𝑧| = |𝑤|. Muestre que si 𝛼 ∈ ℂ se cumple la siguiente igualdad.
|𝑧 + 𝛼|2 + |𝑧 − 𝛼|2 = |𝑤 + 𝛼|2 + |𝑤 − 𝑎|2
Proporcione una interpretación geométrica de este resultado.
32. Considere la ecuación cuadrática 𝑎2𝑧2 + 𝑎𝑏𝑧 + 𝑐2 = 0 donde 𝑎, 𝑏, 𝑐 ∈ ℂ y represente por 𝑧1, 𝑧2
sus raíces. Pruebe que si 𝑏
𝑐 es un número real, entonces |𝑧1| = |𝑧2| o
𝑧1
𝑧2∈ ℝ.
33. Para las siguientes funciones determine u(x,y), v(x,y), sus partes real e imaginaria,
respectivamente.
a) )47()2()( izizf b) )23()( izzzf
c) zzzzf 23)( d) zizizf )2()1()( 2
e) iz
zzf
)( f)
4)(
2
z
zzf
g) iz
izzf
2
2
)( h) iz
izzzf
2
)3)(2()(
34. Halle ),(),,( rvru para las funciones mostradas a continuación.
a) 23)( zzzf b) 2
2 1)(
z
zzf
c) iz
izzf
3
2)(
d) )()( izzzf
35. Exprese las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.
a) )()()( yxiyxzf b) ixyyxzf 22)(
c) )2()2()( 22 yxyixyxzf d) )1()1()( 2222 yxiyxzf
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e) iyx
yxzf
22
)( f) x
yi
y
xzf )(
36. Exprese las siguientes funciones en términos de la variable compleja z.
a) 𝑓(𝑧) =sen 𝜃
𝑟+ 𝑖
cos 𝜃
𝑟 b) 𝑓(𝑧) = (𝑟2 cos 2𝜃 − 2𝑟 sen 𝜃) + 𝑖(𝑟2 sen 2𝜃 + 2𝑟 cos 𝜃)
c) 𝑔(𝑧) =𝑟2+1
𝑟cos 𝜃 + 𝑖
𝑟2−1
𝑟sen 𝜃 d) 𝑔(𝑧) =
𝑟 cos 2𝜃+cos 3𝜃
𝑟3 − 𝑖𝑟 sen 2𝜃+sen 3𝜃
𝑟3
37. Describe geométricamente los siguientes conjuntos.
a) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝑧 ∈ ℂ} b) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 𝐼𝑚(𝑧), 𝑧 ∈ ℂ}
c) {𝑧: |𝑧 − (1 − 𝑖)| ≤ 2, 𝑧 ∈ ℂ} d) {𝑧: |𝑧 + 𝑖| > 3, 𝑧 ∈ ℂ} e) {𝑧: 𝑅𝑒(𝑧) ≥ 0, 𝑧 ∈ ℂ} f) {𝑧: |𝑧 − 2 + 𝑖| = 2, 𝑧 ∈ ℂ}
38. Sea 𝑆 = {𝑧: |2𝑧 − 3 − 𝑖| = 4, 𝑧 ∈ ℂ}. ¿Cuáles de los siguientes puntos son puntos interiores, exteriores y frontera de dicho con junto?
a) 𝑧 = 1 + 3𝑖 b) 𝑧 = 2 + 𝑖 c) 𝑧 =7
2+
1
2𝑖
d) 𝑧 = 4 − 3𝑖 e) 𝑧 = −1
2+
1
2𝑖 f) 𝑧 =
3
2−
1
2𝑖
39. Clasifique los conjuntos mostrados a continuación en: a) abiertos o cerrados, b) conexos o no
conexos, c) acotados o no acotados. a) 𝐴 = {𝑧: |𝑧 − 𝑖| < 2, 𝑧 ∈ ℂ} b) 𝐵 = {𝑧: |𝑖𝑧 + 3 − 2𝑖| ≤ 4, 𝑧 ∈ ℂ}
c) 𝐶 = {𝑧: |2𝑧 − 3𝑖| < 2 𝑜 |2𝑧 − 3𝑖 > 4, 𝑧 ∈ ℂ|}
d) 𝐷 = {𝑧: |2𝑖𝑧 + 3| ≤ 3 𝑜 |3𝑧 − 4 − 2𝑖| ≤ 2, 𝑧 ∈ ℂ}
40. Determine el mapeo de las rectas 𝑥 = 2, 𝑦 = −1 bajo la función 𝑓(𝑧) = 𝑖𝑧 + 2.
41. Considere la función 𝑓(𝑧) = (1 + 𝑖)𝑧 + 2 − 𝑖. Halle el mapeo de la región delimitada por las
rectas 𝑥 = 1, 𝑥 = −2, 𝑦 = 2, 𝑦 = −1 bajo la función señalada.
42. Obtenga el mapeo de la región definida por las rectas 𝑦 = −𝑥 + 1, 𝑦 = 𝑥 + 1, 𝑦 = 0 bajo la función 𝑓(𝑧) = (2 − 𝑖)𝑧 + 1 − 3𝑖.
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43. Calcule el valor de los siguientes límites, si es que existen.
a) izziiz
3)23( 2
3lim b)
iizz
iziiz
iz
1
4)2(2
2
23lim
c) izz
iizz
iz
3
3
2
1lim d)
16
324
5
2lim
z
iz
iz
e) izziz
iizziz
iz 23)23(
642)23(23
23
23lim
f) izizizz
iziziziiz
iz 33)21(33
1)1()32()2(234
234
1lim
g) )23(2)2(
4)23(2
2
limizzi
ziiz
z
h) izizz
izizzi
z
3)1(2
212)31(234
23
lim
44. Determine si las siguientes funciones son continuas en el punto señalado.
a)
ii
iziziz
iziz
zf
z , 22
3
, )1(
2)2(
)(
2
2
en 𝑧 = −𝑖
b)
i1z para i-3z
2i-2z
1z para 22)22()1(
)1(3)4(
)(
2
2
iizizi
iziiz
zf en 𝑧 = 1 + 𝑖
45. Aplique la definición de derivada para hallar la derivada de las siguientes funciones:
a) 𝐹(𝑧) = (2 + 𝑖)𝑧2 + 𝑖𝑧 + 4 − 3𝑖 b) 𝑓(𝑧) =𝑖𝑧+1
𝑖𝑧−1
c) 𝐺(𝑧) =𝑧2
𝑧+1 d) 𝑤 = 𝑖𝑧3
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46. Determine cuáles de las funciones mostradas a continuación satisfacen las ecuaciones de Cauchy-Riemann y para éstas, halle su derivada.
a) zzzf 2)( b) 22)( ixyxzf c) z
zzf )(
d) senhyisenxyxzf coshcos)( e) 0,,)(2222
yxyx
yi
yx
xzf
f) 0,),arctan()ln()( 22
21 yx
x
yiyxzf g) xyisenxy
yxzf e 22cos)(22
h) xysenhyxixyyxsenzf 2cos2cosh)( 2222
i) )2(ln2cos)( 22 senrirrzf j) 0,cos
)( rr
seni
rzf
47. Pruebe que la función u(x,y) es armónica en algún dominio y encuentre una armónica
conjugada v(x,y).
a) )1(2),( yxyxu b) 23 32),( xyxxyxu c) senxsenhyyxu ),(
d) yxyxu e cos),( e) xyyxu 2),( f) senyxyxyxu e 22),(
g) 22
),(yx
yyxu
h) )ln(),( 22
21 yxyxu i) xy
yxyxu e 2cos),(22
48. En coordenadas polares la función 𝑢(𝑟, 𝜃) es armónica si cumple la siguiente ecuación:
𝑟2 𝜕2𝑢
𝜕𝑟2 + 𝑟𝜕𝑢
𝜕𝑟+
𝜕2𝑢
𝜕𝜃2 = 0. Determine si las funciones mostradas abajo son armónicas en algún
dominio.
a) 𝑢(𝑟, 𝜃) = 𝑟3 cos(3𝜃) b) 𝑢(𝑟, 𝜃) =sen 𝜃
𝑟 c) 𝑢(𝑟, 𝜃) =
10𝑟2−sen(2𝜃)
𝑟2
49. Para las funciones del ejercicio anterior, halle una armónica conjugada. 50. Calcule el valor de las siguientes expresiones.
a) ei
3
1
b) ei 43 c) e
i
i 1
2
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51. Halle la solución de:
a) iez
43 b) 112
ez
c) iez
31 d) 1eiz
52. Pruebe que ee izzi sí y sólo si nnz para un número entero.
53. Pruebe las siguientes relaciones que involucran funciones trigonométricas complejas.
a) senhyxseniyxz coshcoscos b) isenhyiysen )(
c) yiy cosh)cos( d) ysenhxz 222coscos
e) 212121 coscos)cos( senzsenzzzzz f) zsenzz 22cos2cos
g) zz 22 csccot1 54. Determine la solución de las siguientes ecuaciones. a) 1senz b) iz 2cos c) 0cos z d) isenz 23
55. Pruebe las siguientes relaciones para funciones hiperbólicas complejas.
a) 212121 coshcosh)cosh( senhzsenhzzzzz b) ziz cos)cosh(
c) )cos(cosh izz d) isenhxsenyyxz coscoshcosh
e) yxsenhz 222coscosh f) zsenhzz 22cosh2cosh
56. Determine la solución de las ecuaciones mostradas a continuación. a) isenhz b) 1cosh z c) iz 1cosh d) isenhz 4
57. Calcule el valor de las expresiones siguientes.
a) )( eiLog b) )1( iLog c) ilog d) )1log( i e) )3log(e i
58. Pruebe que )1(2)1( 2 iLogiLog pero que )1(2)1( 2 iLogiLog .
59. Si 0)Re( 1 z y 0)Re( 2 z demuestre que )()()( 2121 zLogzLogzzLog .
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60. Halle el valor de las siguientes potencias.
a) ii)2( b) ii c) ii 4)1(
61. Deduzca las siguientes fórmulas.
a) 1logcos 21 zziz b) izzi
ziiz
,log
2tan 1
62. Calcule el valor de las expresiones siguientes.
a) )2(tan 1 i b) )1(cos 1 c) )1(cos 1 i d) )(1 isen
63. Pruebe que izz
zdz
d
,
1
1tan
2
1 .
64. Deduzca las siguientes fórmulas.
a) 1logcosh 21 zzz b) 1,1
1log
2
1tanh 1
z
z
zz
65. Halle el valor de las expresiones siguientes.
a) )21(tanh 1 i b) )1(cosh 1 i c) )3(cosh 1 i d) )2(1 isenh
66. Pruebe que 1,1
1tanh
2
1
zz
zdz
d.
67. Aplique la regla de L´Hopital para hallar el valor de los siguientes límites.
a) z
zsenzz
z
coslim
0
b)
z
z
z
2
coslim
2
c) 2
2
0lim
z
zsen
z
d) 2
4
0 2cos2lim
zz
z
z
68. Sea 𝐶1 la línea recta desde 𝑧 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑧 = 1 + 𝑖, 𝐶2 la línea quebrada desde 𝑧 = 0 𝑎 𝑧 =1 𝑦 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑎 𝑧 = 1 + 𝑖, 𝐶3 el arco desde 𝑧 = 0 ℎ𝑎𝑠𝑡𝑎 𝑧 = 1 + 𝑖 de la circunferencia de centro 1 + 0𝑖 y radio 1. Calcule:
a) ∫ 𝑥𝑑𝑧𝐶3
b) ∫ 𝑦𝑑𝑧𝐶1
c) ∫ 𝑧̅𝑑𝑧𝐶2
d) ∫ 𝑧𝑑𝑧𝐶3
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69. Calcule la integral de línea de la función z
zzf
2)(
donde C es el contorno: a) el semicírculo
,0,2)( tetz it , b) el círculo 2,0,2)( tetz it .
70. Sea C el círculo Rzz 0 , recorrido en el sentido positivo. Usar la representación
paramétrica ,,0 titRzz e para obtener los siguientes resultados
a) i
Czz
dz2
0
b)
C
ndzzz n ,3,2,1con 0)( 1
0
c) )(2
)( 1
0 a
C
sena
Ridzzz
aa
donde a es cualquier número real distinto de cero y donde
se toman la rama principal del integrando y el valor principal de aR .
71. Determine ∫ 𝑧𝑅𝑒(𝑧)𝑑𝑧𝐶
donde 𝐶 es la circunferencia |𝑧| = 1 recorrida en el sentido positivo.
72. Halle el valor de ∫ 𝑧2𝑑𝑧𝐶
donde 𝐶 es:
a) el arco de parábola 𝑦 = 𝑥2 que une los puntos 𝑧1 = 0 𝑦 𝑧2 = 1 + 𝑖. b) el segmento de recta que une los mismos puntos del inciso a). 73. Si C es el contorno del triángulo cuyos vértices son los puntos: 2+2i, -i y –2+2i, halle el valor
de la integral de línea de la función z
zf1
)( a lo largo de C, recorrido en el sentido positivo.
74. Calcule C
dzsenz , donde C es el contorno descrito por ,0, titz .
75. Halle el valor de las siguientes integrales definidas.
a)
i
i
dzsenz
2
1
b)
2
11
coshi
dzz c) 2
i
i
dzze d) dzz
i
2
02
cos
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76. Sabiendo que
bia
xbia
dxxbia e
e)(
)(,donde se ha omitido la constante de integración,
pruebe que:
a)
22
)cos(cos
ba
bsenbxbxaaxbxdxax e
e
b)
22
)cos(
ba
bxbasenbxaxsenbxdxax e
e
En los siguientes problemas aplique las fórmulas integrales de Cauchy o el teorema de Cauchy-Goursat para calcular el valor de las integrales de línea de las funciones indicadas con el contorno señalado. Considere que los contornos están recorridos en el sentido positivo.
77. 4
1)(
2
z
zzf , donde C es la circunferencia 5z .
78. 4
12)(
2
z
zzf , C es la semicircunferencia superior de radio 1 con centro en el origen y el
segmento de recta que une los puntos z = -1 y z = 1.
79. 𝑓(𝑧) =cos 𝑧
𝑧3 donde 𝐶 es el contorno |𝑧| = 1.
80. iz
zzf e
2
)(
, C es el cuadrado de lado dos con centro en el origen.
81. 2
2cos)(
z
zzf , C es cualquier contorno cerrado que contenga al origen.
82. 22 )1(
)(
z
ztzf e , C es la circunferencia 3z y 0t .
83. 𝑓(𝑧) =2𝑧+5
𝑧2−2𝑧 para la circunferencia |𝑧 − 3| = 2
84. 𝑓(𝑧) =1
𝑧3(𝑧−1)2 para 𝐶: |𝑧 − 2| = 5.
85. Investigue el radio de convergencia de las siguientes series.
a) ∑cos(𝑖𝑛)
2𝑛∞𝑛=1 b) ∑
𝑛 sen(in)
3𝑛∞𝑛=1 c) ∑
𝑒𝑖2𝑛
𝑛√𝑛∞𝑛=1 d) ∑
𝑛
tan(𝑖𝜋𝑛)∞𝑛=1
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86. Halle el radio de convergencia de las siguientes series de potencias.
a) ∑ 𝑒𝑖𝑛𝑧𝑛∞𝑛=1 b) ∑ (1 + 𝑖)𝑛𝑧𝑛∞
𝑛=0 c) ∑ (𝑧
1−𝑖)
𝑛∞𝑛=0 d) ∑ (1 + 3𝑖)𝑘(𝑧 − 𝑖)𝑘∞
𝑘=0
87. Para los siguientes ejercicios halle la serie de Laurent de la función en la región señalada.
a) z0 para cosh
)(2z
zzf b) z0 para
1 )( 3
zsenhzzf
c)
z1 ii) 10 i) :para )1(
1)(
2z
zzzf
d) 211 iii) 11-z0 ii) 10 i) :para 1
)(2
zzzz
zf
e) z0 para 1
)(z
senzsenzf f) 11-z0 para 1
1
1)(
zsen
zzf .
88. Halle el desarrollo en serie de Laurent para la función
1y real númeroun es donde , para 1
)(
aazaaz
zf . A continuación escriba
iez para obtener las siguientes fórmulas.
2
2
1 cos21
coscos
aa
aana
n
n
21 cos21
aa
asennsena
n
n
89. Para las siguientes funciones encuentre y clasifique sus singularidades.
a) zz
zzf
3)( b)
z
zzf
tan)( c)
zzzf
1cos)( 3 d)
3
1cos)(
z
zzf
90. Determine los residuos de las siguientes funciones en sus puntos singulares.
a) 𝑓(𝑧) =1
(𝑧−1)(𝑧−2) b) 𝐹(𝑧) =
𝑧
𝑧4+1 c) 𝑔(𝑧) =
𝑧𝑒𝑖𝑧
𝑧2+𝑘2 , 𝑘 ∈ ℝ
d) 𝐺(𝑧) = 𝑧3 sen1
𝑧 e) 𝑤 =
cos 𝑧
𝑧2(𝑧−𝜋)3 f) 𝑤 =5𝑧2−4𝑧+3
(𝑧+19(𝑧+2)(𝑧+3)
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91. Aplique el teorema del residuo para evaluar las siguientes integrales. Considere el contorno
orientado positivamente.
a) C
dzz
z
12
3
donde 2 : zC b) C
dzzz
senz23 )(
para 2 : zC
c) C
zz
dzm )1( 2
donde 2
1: izC y m un entero no negativo.
d) C
zdztan para 1: zC e)
C
dzzz
z
)9)(1(
232
3
donde 4: zC
f) C
dzzz
z
)1(
cos2
para 2: zC g)
Czzz
izz
65
32323
2
donde 4: zC
92. Si 8: zC , orientada en el sentido positivo y siendo t un número real, probar que
ttdz
Csenhz
zt
i
e 2cos2 cos21 2
1
En los siguientes problemas transforme las integrales de variable real a una integral de variable compleja y aplique el teorema del residuo para calcular su valor.
93.
0cos45
d 94.
2
0
21 sen
d 95. 1con
)cos(0
2
aa
d
96. 1con cos21
2
0
2
a
aa
d
97.
0
6 dsen 98.
2
0
6 cos d
En los siguientes ejercicios transforme las integrales impropias a una integral de variable compleja y use el teorema del residuo para hallar su valor.
99.
0
2 1x
dx 100.
32 )1(x
dx 101.
0
22
2
)4)(1( xx
dxx
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102.
0
222
2
0acon )( ax
dxx 103.
86
)2(24
2
xx
dxx
En los siguientes problemas aplique el teorema del residuo para determinar el valor de las integrales impropias que involucran funciones seno y coseno, transformándolas previamente a una integral de variable compleja.
104.
1
cos2x
xdx 105.
0
2 16
x
dxsenxx 106.
0
22 )4)(1(
cos
xx
dxx
107.
22
3
)1(
x
dxsenxx 108. 0ba,con
)(
cos
0
222
bx
axdx
Aplique el método apropiado para evaluar las siguientes integrales impropias cuyos polos están sobre el eje real.
109. dxx
x
14
cos2
110.
dxx
xsen2
2
111. 0ba,con coscos
0
2
dxx
bxax
112.
dxxx
senx
542 113. 0bcon
)(
cos22
dxbax
ax
114. Empleando la teoría de residuos, calcule la transformada inversa de Laplace para las
siguientes funciones.
a) 𝐹(𝑠) =1
𝑠6 b) 𝐹(𝑠) =1
𝑠2+4 c) 𝐹(𝑠) =
1
(𝑠−5)3 d)𝐹(𝑠) =1
𝑠4−1
e) 𝐹(𝑠) =𝑒𝑎𝑠
𝑠2−5𝑠+6, 𝑎 > 0 f) 𝐹(𝑠) =
𝑠
(𝑠−𝑎)(𝑠−𝑏), 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ g) 𝐹(𝑠) =
𝑠2−𝑘2
(𝑠2+𝑘2)2 , 𝑘 ∈ ℝ
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ANÁLISIS DE FOURIER
Halle la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo 2 que a continuación se indican.
115.
t0 si 2
0t- si 1)(tf 116. t- para )( senhttf
117. 𝑓(𝑡) =𝑒𝜋𝑡
𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝜋 ≤ 𝑡 < 𝜋 118.
t0 si 2
0- si 0)(
sent
ttf
119. La gráfica de la función periódica es:
120. La gráfica de la función periódica es:
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121. La gráfica de la función es:
122. a) tttf - para )( 2 , b) Con la serie de Fourier obtenida en el inciso a) y
aplicando el teorema de Parseval pruebe que
1
2
2 6
1
n n
.
Determine la serie de Fourier de las funciones periódicas de periodo T que a continuación se indican.
123. t0 1
0- 1)(
2
2T
T
ttf 124.
2T
2T
t0 4
1
- 4
1)(
T
t
otT
t
tf
125.
2T
0
2T
t0
0- 0)(
tsen
ttf
126.
22 1)( TT tttf
127. 1t1- 2)(21 e ttf 128. 3t3- cosh)( ttf
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129. La gráfica de la función periódica es
:
130. La gráfica de la función es:
131. Empleando el resultado del problema 119 y el teorema de Parseval pruebe que se cumple
0
2
2 8)12(
1
n n
.
Calcule la serie de Fourier compleja de las funciones proporcionadas a continuación.
132.
t0 si 1
0t- si 1)(tf 133. t- para )( senhttf
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134. t0 0
0- 1)(
2
2T
T
ttf 135.
t0 0
0- sen t )(
2
2T
T
ttf
Para las siguientes funciones aplique la definición y halle su transformada de Fourier.
136. 𝑓(𝑡) = {2 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 2 < 𝑡 < 20 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
137. 𝑓(𝑡) = 𝑢(𝑡)𝑒−𝑡 donde 𝑢(𝑡) es la función
escalón.
138. 𝑓(𝑡) = 𝐴𝑒−|𝑡|, 𝐴 𝑢𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑣𝑜. 139. 𝑓(𝑡) = cos 𝑡
140. 𝑓(𝑡) = 𝑒𝑎𝑡 sen 𝑏𝑡 ; 𝑎, 𝑏 ∈ ℝ+ 141. 𝑓(𝑡) = {1 𝑝𝑎𝑟𝑎 − 𝑎 < 𝑡 < 01 𝑝𝑎𝑟𝑎 0 < 𝑡 < 𝑎 0 𝑒𝑛 𝑜𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑎𝑠𝑜
𝑎 ∈ ℝ+
Aplique las propiedades para determinar la transformada de Fourier de las funciones que a continuación se señalan.
142. t0 0
0- )(
2
2T
T
tAtf 143. 𝑓(𝑡) = 2 cos 3𝑡 + 3 sen 2𝑡
144. 𝑓(𝑡) = 4𝑒−|3𝑡| 145. 𝑓(𝑡) = 𝑒−|𝑡|𝑒2𝑖𝑡
146. 𝑓(𝑡) = cos 2𝑡 [𝑢(𝑡 + 1) − 𝑢(𝑡 − 1)] 147. 𝑓(𝑡) = 𝑢(𝑡 − 3)𝑒−2(𝑡−3)
148. 𝑓(𝑡) = 𝛿(𝑡 − 2) + 𝛿(𝑡 + 2) 149. 𝑓(𝑡) =𝑑
𝑑𝑡[𝑒−𝑡 cos 2𝑡]
150. 𝑓(𝑡) = ∫ 5𝑒−|𝑢|𝑑𝑢𝑡
−∞ 151. 𝑓(𝑡) = ∫ 𝑒𝑎𝑢 sin 𝑏(𝑡 − 𝑢)𝑑𝑢
𝑡
−∞
Use las propiedades para hallar la transformada inversa de Fourier de las siguientes funciones.
152. 𝐹(𝜔) = 𝛿(𝜔) 153. 𝐹(𝜔) = 𝑒−𝑖𝑎𝜔, 𝑎 ∈ ℝ+ 154. 𝐹(𝜔) =2
3−𝑖𝜔
155. 𝐹(𝜔) = 𝐴, 𝐴 ∈ ℝ+ 156. 𝐹(𝜔) =sin 𝜔
𝑤 157. 𝐹(𝜔) =
𝑒−𝑖𝜔
2+𝑖𝜔
158. 𝐹(𝜔) =𝑒2𝑖(𝜔−3)
𝑖(𝜔−3)+5 159. 𝐹(𝜔 = −
2
𝜔2
.