Medidas en el espacio
Introducción:• En el tema anterior vimos:
– Las ecuaciones de la recta y el plano– Las propiedades afines de la recta y el plano
– Paralelísmo– Incidendia– Intersección
• En el presenta tema veremos:• Las propiedades métricas de los elementos geométricos:
•Ángulos•Distancias•Áreas•Volúmenes
Problemas métricos
Hacen referencia a la medida de:• Distancias, ángulos, áreas y volúmenes
Para resolver los problemas métricos:
‐ Nos apoyamos en la representación gráfica
‐ Nos apoyamos en el razonamiento geométrico
‐ Nos servimos de las operaciones vectoriales
Medida de ángulos
• 1.‐Ángulo entre dos rectas:Dos rectas forman el mismo ángulo que el que forman sus vectores directores:
u·Recuerda que el ángulo que forman dos vectores u y v es : cos | u |·| |
vv
α α⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎣ ⎦
rs
u
v
Ángulo que forman las rectas "r" y "s" =
u∙ =arcos(r,s)=arcos(u, ) cos
|u|∙| |
vv ar
v
⎛ ⎞= ⎜ ⎟
⎝ ⎠
Ejemplo
Qué ángulo forman las rectas
Si llamamos al ángulo que forman las rectas:α
1 2 3
: 2 y : 1
1
x x
r y s y
z z
λ μλ μ
λ μ
= − = −⎧ ⎧⎪ ⎪= + = +⎨ ⎨⎪ ⎪= = − −⎩ ⎩
Comprobamos primero que se cortan:
‐2 ‐1 2
1 1 ‐1 0
1 ‐1 ‐1
=
( )
[ ] [ ]
1
2 1 1 1
1 2 3cos =
| 2,1,1 |∙| 1,1, 1 | 26 3α
−⎛ ⎞⎜ ⎟− ⎜ ⎟⎜ ⎟−⎝ ⎠ = =
− − −
3=arcos 1,079 radianes
2α ≅
Ángulo de dos planosLos planos forman el mismo ángulo que el que forman sus vectores normales
P
Q
P
Q
¿Qué ángulo forma el plano P:2x+3y‐z=3 con el plano Q:3x‐2y+2z=5 ?
Se llamamos al ángulo que Forman los planos:
α
( )
( ) ( )
32 3 1 2
2 2cos 0.13| 2 3 1 |·| 3 2 2 14 · 17
α
⎛ ⎞⎜ ⎟− −⎜ ⎟⎜ ⎟ −⎝ ⎠= = ≈ −
− −
Ángulo entre plano y recta• El ángulo que forma la recta y el plano es complementario del ángulo que forma
la recta y la normal de plano:
r
P
N
rP
Ángulo( , ) Ángulo(r r, )N2
P radπ+ =
¿Qué ángulo forma la recta con el plano
Si llamamos al ángulo que forma la recta con el plano:α
luego , de donde:
( )
( ) ( )α
⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟ − −⎝ ⎠= = = ≈ −
− −
1
1 2 1 1
1 2 2( ) 0.47
| 1 2 1 |∙| 1 1 1 36∙ 3sen
α = − =( 0,47) 5,79 rad.arsen
2
: 1 2
x
r y
z
λλ
λ
= +⎧⎪ = − −⎨⎪ = −⎩
p: 3 0x y z+ + − =
( )ángulo 1,1,1, , 1, 2, 12πα ⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ − − =⎣ ⎦ ⎣ ⎦
( )( ) 1,1,1, , 1, 2, 1Sen Cosα ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= − −⎣ ⎦ ⎣ ⎦
Distancia entre dos puntos
• La distancia entre dos puntos A y B es igual al módulo del vector AB
Calcula la distancia del punto A(1,2,‐3) al punto B(‐1,3,4)
El vector AB ( 1,3, 4) (1,2, 3) ( 2,1,7) ,= − − − = −
2 2 2luego la distancia de A a B es AB ( 2) 1 7 3 6 unidades de longitud= − + + =
Distancia de un punto a una recta
a) Método geométrico: ‐ Se traza una perpendicular a la recta desde el punto P para encontrar el punto P’‐ Se calcula la distancia entre los puntos P y P’
P
r90ºP’
Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta 2
1
x
y
z
λλ
λ
= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩
Cualquier punto de recta tiene la forma ; cualquier vector con origen en P y final en la recta tiene la forma
( )2 ,1 ,λ λ λ+ −[ ]2 2,1 1, 3 , , 3λ λ λ λ λ λ⎡ ⎤+ − − − − = − −⎣ ⎦
'PP
r
El vector y el vector son perpendiculares : 'PP r ( )1
3 1 0 1
1
λ λ λ λ⎛ ⎞⎜ ⎟− − − = ⇒ =⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 2, , ' (2,1,3),(3,0,1) (3 2) (0 1) (1 3) 6 uni. de long.P r P Pd d d= = = − + − + − =
O bien: Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta
2
1
x
y
z
λλ
λ
= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩
Pr
‐ por el punto “P” trazamos un plano perpendicular a “r”
4 0x y z− + − =
‐ Dicho plano corta a la recta en el punto “P1”
P1
1
4 0
2 2 1 4 0 1 P (3,0,1)
1
x y z
x
y
z
λλ λ λ λ
λλ
− + − =⎧⎪ = +⎪ ⇒ + − + + − = ⇒ = ⇒ =⎨ = −⎪⎪ =⎩
1P,Pd 6 unidades de longitud=
‐ Calculamos la distancia de P a P1
b) Método vectorialLa distancia de un punto a una recta es la altura de paralelogramo limitado por el
vector de la recta y por el vector que une el punto con cualquier punto de la recta
0Pv
h
∙Área
Área base altura alturabase
= ⇒ =
Luego:
0,
|PP |
| |p r
vd
v
×=
2
1
x
y
z
λλ
λ
= +⎧⎪ = −⎨⎪ =⎩
Calcular la distancia del punto (2,1,3) a la recta
[ ] [ ]0PP 2 2,1 1,0 3 0,0, 3= − − − = −
[ ]1, 1,1v = −
[ ][ ]
p,r
| 0 0 3 |
| 3 3 0 |1 1 1d 6 uni. de long.
| 1 1 1 | 3
i j k
−− −−
= = =−
Distancia de un punto a un plano
a) Método geométrico:‐ Se traza una perpendicular al plano desde el punto P para encontrar el punto P’
P’
‐ Se mide la distancia de P a P’
Calcular la distancia de punto (1,2,‐1) al plano x+y+z‐5=0La recta , perpendicular al plano , pasa por el punto dado ycorta al plano en el punto (2,3,0)
1 2 1x y z− = − = +
dP,P’ =|[1,1,1]|= unidades de longitud3
b) Método vectorial:
‐ En cualquier punto P’’ trazamos el vector normal del plano y el vector ‐ Se cumple:
n PP''
P’’
nP’
αα
P,
pero luego:
|PP'| |PP''|cos
|PP''|∙|n|∙cos PP'
'∙n
PP''∙n d = |PP'| =| |
|n
| π
α α= =
Calcular la distancia del punto (1,2,‐1) al plano x+y+z‐5=0
Buscamos un punto cualquiera del plano, por ejemplo:
X=1 Y=1 Z=5‐1‐1=3
p,
1
([1 1 3] [1 2 1])∙ 1
1 3d | | 3 unid. de long.
|[1,1,1]| 3π
⎛ ⎞⎜ ⎟− − ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠= = =
Y aplicamos la fórmula anterior:
Dado que el punto P’’ está en el plano, la fórmula anterior se puede escribir en la forma:
2 2 2d o o oAx By Cz D
A B C
+ + +=
+ +
Distancia entre dos rectas
s
r
Sean “r” y “s” dos rectas que se cruzan en el espacio
La distancia entre ambas rectas será la medida del segmento perpendicular a ambas
d
Calcular la distancia entre las rectas 1 1 1 2
r : y s : 12 3 2 3
x y y zz x
− + − −= = − = =
El segmento que une un punto de “r”, con un punto de “s” , es el módulo del vector:
(1 ,1 2 ,2 3 )μ μ μ+ + +
Como “d” debe ser perpendicular a “r” y a ”s”, debe cumplirse:
Luego el módulo de “d” es
(1 2 , 1 3 , )λ λ λ+ − +
[ ] [ ](1 2 , 1 3 , ) (1 ,1 2 ,2 3 ) 2 ,3 2 2, 3 2λ λ λ μ μ μ λ μ λ μ λ μ+ − + − + + + = − − − − −
[ ][ ]2 ,3 2 2, 3 2 ∙[2,3,1] 0 14 11 8 0 2 52
, 11 14 10 0 75 752 ,3 2 2, 3 2 ∙[1,2,3] 0
λ μ λ μ λ μ λ μλ μ
λ ηλ μ λ μ λ μ
− − − − − =⎧ − − =⎧⎪ ⇒ ⇒ = = −⎨ ⎨ − − =− − − − − =⎪ ⎩⎩
[ ] 2 52 ,
75 75
56 40 8 8 32 ,3 2 2, 3 2 | , , | unid. de long.
75 75 75 15λ μλ μ λ μ λ μ
= =−
⎡ ⎤− − − − − = − =⎢ ⎥⎣ ⎦
Método vectorial:
r
s
d
La distancia ,d ,entre las rectas “r” y “s” es igual a la altura del prisma limitado por los vectores de ambas rectas y por un vector que une ambas rectas
Calcular la distancia entre las rectas
o| PP , , |Volumenaltura= d
Área de la base | |
v w
v w
⎡ ⎤⎣ ⎦> =⎡ ⎤×⎣ ⎦
w
v
1 1 1 2: y : 1
2 3 2 3x y y z
r z s x− + − −
= = − = =
[ ] [ ] [ ].
0 2 2
| 2 3 1 |
1 2 3 8 8 8 3unid. de long.
| 2,3,1 1,2,3 | | 7, 5,1 | 155 3r sd = = = =
× −⎡ ⎤⎣ ⎦
Distancia de una recta a un planoUn plano y una recta pueden ser a) coincidentes, b) secantes o c) paralelos
r
r r
π π π
En los casos a) y b) la distancia es cero y en el caso c) la distancia de la recta al plano es la misma que la distancia de cualquier punto de la recta al plano
Calcular la distancia del la recta de l recta al plano 2x‐y+z‐5=01 2 23 2 4
x y z− + −= =
[ ] [ ]Los vectores 3,2, 4 y 2, 1,1 son perpendiculares, luego la recta y el plano son paralelos o coincidentes
− −
, 2 2 1
2(1) 1( 2) 1(1) 5 5 6 d unid. de long.662 ( 1) 1
r π− − +
= = =+ − +
Distancia entre dos planosDos planos pueden sea a) coincidentes, b)secantes o c)paralelos
P P
P
Q
En los casos a) y b) la distancia entre los planos es cero , y en el caso c) la distancia la podemos obtener trazando una perpendicular a ambos planos y midiendo la distancia de los puntos de corte de esa perpendicular con los planos
Calcular la distancia entre lo planos P:2x+y‐z+2=0 y Q:2x+y‐z‐6=0
Por el punto (0,0,2) del plano P trazamos una perpendicular , que
corta al plano Q en el punto ; de donde la distancia entre los planos es:
22 1x z
y−
= =−8 4 2
, ,3 3 3
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
2 2 2
P,Q
8 4 4 4 6d unid. de long.
3 3 3 3⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + + − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
También podemos calcular la distancia entre dos planos paralelos normalizando las ecuaciones de los planos y restando los términos normalizados DN
Calcular la distancia entre lo planos P:2x+y‐z+2=0 y Q:2x+y‐z‐6=0
La ecuación normalizada del plano P es N
2 1 1 2P : 0
6 6 6 6y z
x+ − + =
La ecuación normalizada del plano Q esN
2 1 1 6Q : 0
6 6 6 6y z
x+ − − =
Y la distancia entre ambos planos es:
P,Q
2 6 8 4 6d unid. de long.
36 6 6⎛ ⎞= − − = =⎜ ⎟⎝ ⎠
Áreas ‐Área del rectángulo de vértices A,B,C y D
A
B C
D
| |S AB BC= ×
‐ Área del triángulo de vértices A,B y C
A
B
C1| |
2S AB BC= ×
Volúmenes‐Volumen del paralelepípedo:
A
B
D
C
| , , |V AB AC AD⎡ ⎤= ⎣ ⎦
‐Volumen del tetraedro:
A
B
C
D
1| , , |
6V AB AC AD⎡ ⎤= ⎣ ⎦
Lugares geométricos en el espacio(1)Plano mediador de un segmento es el plano que es perpendicular a él en su punto medio
Encontrar el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los puntos A(1,2,3) y B(3,‐2,2)
4 8 2 3 0x y z− − − =
A(1,2,3) B(3,‐2,2)
4 8 2 3 0x y z− − − =
2 2 2 2 2 2( 1) ( 2) ( 3) ( 3) ( 2) ( 2)x y z x y z− + − + − = − + + + −
Lugares geométricos en el espacio(2)Plano bisector de un ángulo diedro es aquel que divide el ángulo en dos ángulos iguales
Encontrar los puntos del espacio que equidistan de los planos P:x‐z+2=0 y Q=x‐y+3=0
P
Q
2 3
2 2
x z x y− + − +=
± ∓de donde obtenemos los planos
1 0y z− − =y
2 5 0x y z− − + =
1 0y z− − =2 5 0x y z− − + =
FIN DE TEMA