![Page 1: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/1.jpg)
FUNCIONS, CÀLCUL DE
LÍMITS I LA SEVA APLICACIÓ
A LA CONTINUÏTAT DE
FUNCIONS
Autora: Mònica Orpí i Mañé
MATEMÀTIQUES
![Page 2: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/2.jpg)
![Page 3: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/3.jpg)
Què entem per funció ? Definició : Definim funció o aplicació qualsevol terna (A,B, f ) formada per dos conjunts no buits A i B i una correspondència f entre ells que assigna a cada element x ∈ A un únic element y = f (x) ∈ B.
A f B
El conjunt A s’anomena domini de la funció i s’escriu A=Domf . B és el conjunt d’arribada de la funció.
Si (A,B, f ) és una funció, direm que f és una funció de A en B i s’escriu
f
f : A →B o bé A → B.
a
b
c
c
d g
e f
![Page 4: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/4.jpg)
Una aplicació curiosa de les funcions
Civilització India: (300 a.C)Apareix ja un ús que encara és molt actual de les funcions :
L’Encriptació de codis o del llenguatge
Apareix en el llibre del Kama Sutra. En aquest llibre es recomana a les dones que han d'aprendre 64 arts com el de cuinar, saber vestir-se, etc.
"mlecchitavikalpa“ o l'art de l'escriptura secreta, era en definitiva una funció.
Aquesta funció ajudava a les dones a ocultar els detalls de les seves relacions amoroses. Tot i que era una senzilla substitució, que consistia en intercanviar
l'abecedari, va ser la base per a consolidar altres mètodes posteriors d’encriptacions més sofisticats, que van ser molt útils posteriorment per a la correspondència en temps
de guerres,
amb l’objectiu de despistar l’enemic
![Page 5: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/5.jpg)
![Page 6: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/6.jpg)
Una manera d’encriptar que practicarem
després …
![Page 7: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/7.jpg)
Per tant....
Per això i per milions de raons més..
És terriblement útil “MATEMATITZAR” el
llenguatge de les funcions
![Page 8: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/8.jpg)
Domini i recorregut d’una funció
El conjunt dels valors reals de la variable independent que tenen per imatge un
nombre real constitueixen el domini de la funció (Df ).
El conjunt de totes les imatges reals de la funció és el recorregut o rang de la
funció.
Exemples:
o
![Page 9: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/9.jpg)
Exemple pràctic de funcions
29'46'19 th
29'46'19)( ttf
09'46'19 2 t
![Page 10: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/10.jpg)
Gràfica de h(t) :
2,020 tRtDf
6'19,0)( ff DtRtfR
![Page 11: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/11.jpg)
Repàs de les sessions anteriors
Tipus de funcions i les seves corresponents gràfiques :
1. Les funcions polinòmiques
- La funció constant f(x)=k ( Gràfica b)
- La funció lineal f(x)=ax
- La funció afí f(x)=ax+b (Gràfica a)
- La funció quadràtica f(x)=a𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 (Gràfica c)
- Les funcions polinòmiques en general (Gràfica d)
- d)
![Page 12: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/12.jpg)
Tipus de funcions :
Funcions polinòmiques
Les funcions polinòmiques són del tipus f(x) = P(x), on P(x) és un polinomi.
En són exemples la funció lineal, la funció afí i la funció quadràtica.
cbxaxxf 2)(
),( RD f
![Page 13: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/13.jpg)
Gràfica general d’una funció polinòmica
![Page 14: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/18.jpg)
En aquesta sessió, aprofundirem en
l’estudi d’aquestes funcions utilitzant el
concepte del límit :
- Les funcions racionals
- Les funcions irracionals
- Les funcions exponencials
- Les funcions logarítmiques
- Les funcions trigonomètriques
- Les funcions definides a trossos
![Page 19: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/19.jpg)
La paradoxa de Zenó
Aquil·les i la tortugaSegons la llegenda, Aquil·les, heroi de la Guerra de Troia, era invencible, degut a que la seva mare, per fer-lo així, el va portar a la llacuna Estigia, morada de
Medusa, i el va submergir en les seves aigües subjectat pel taló. Com que aquest va ser l’únic que no es va mullar, aquest era el seu únic punt dèbil, el
Taló de Aquil·les.Famós per les seves grans qualitats físiques, Aquil·les fou escollit per Zenó de
Elea (490 a.C. - 430 a.C.) com a protagonista de la famosa Paradoxa :
Brat Pitt va ser Aquil·les en la pel·lícula Troia
![Page 20: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/20.jpg)
Aquil·les, l’atleta més ràpid, capaç de córrer els 100 metres en 10 segons, no podrà agafar a una lenta tortuga, deu cops menys ràpida
que ell. Ambdós disputen una carrera, concedint Aquil·les una avantatge de 100 metres a la tortuga. Quan Aquil·les ha cobert
aquests 100 metres, la tortuga s’ha desplaçat 10 metres. Al cobrir Aquil·les aquests 10 m., la tortuga s’ha desplaçat 1 m. Mentre cobreix aquest metre que el separa de la tortuga, aquesta ha recorregut 0'1
m. I així indefinidament.
![Page 21: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/21.jpg)
D’aquesta manera, Aquil·les ha de recórrer infinits trajectes per aconseguir atrapar a la tortuga. Per tant, haurà de recórrer una distància infinita, i per tant, necessitarà un temps infinit. De tal manera que el “desgraciat”
d’ Aquil·les mai podrà atrapar a la tortuga !!!
![Page 22: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/22.jpg)
La paradoxa d’Aquil·les i la tortuga
Posició d’Aquil·les (m)
Posició de la tortuga(metres)
Avantatgede la
tortuga
Temps fet servir
Sortida
1ª. Etapa
2ª. Etapa
3ª. Etapa
4ª Etapa
Límits
![Page 23: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/23.jpg)
Un altre exemple :
Si encara us costa admetre que la suma d’infinits números pot ser unnúmero finit, pensa en una fulla de paper (1). Li prenem la meitat(1/2). A la vegada, a la meitat restant li prenem la seva meitat (1/4).Al tros que queda (1/4), també li prenem la seva meitat (1/8). I aixísuccessivament, de forma indefinida. Com sempre queda una mica depaper, sempre es pot continuar tallant.Pensa ara en la suma dels infinits trossos de paper que anem traient:
1 / 2 , 1 / 4 , 1/8 , 1/16 , 1/ 32 ...
Quina és la seva suma? Evidentment tota la fulla, és a dir 1!
1 / 2 + 1 / 4 +1 / 8 + 1 / 16 + 1 / 32 ... = 1
![Page 24: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/24.jpg)
Ambdós casos són exemples concrets de la Suma de tots els termes d’ una progressió geomètrica de raó r ( | r | < 1).
Donada una progressió geomètrica: a , a·r , a·r2 , a·r3 , a·r4 ... a·rn-1
La suma dels n primers termes :
𝑆𝑛+1 = a + a·r + a·r2 + a·r3 + a·r4 + ...+ a·rn-1
S’expressa mitjançant la fórmula: 𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛
1−𝑟
Quan | r | < 1 , la potència rn resulta ser un infinitèsim; és dir, molt molt petit, tant que el seu límit val 0 quan n és molt gran .
lim rn=0 quan n va cap a ∞
En conseqüència, es pot calcular la suma infinita
Conclusió :
![Page 25: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/25.jpg)
• En la paradoxa de Zenó a = 100 , r = 1/10
Si comptabilitzem l’avantatge de la tortuga en l temps, obtenim una progressió geomètrica següent :
𝒂𝟏 = 𝟏𝟎𝟎 , 𝒂𝟐 = 𝟏𝟎 , 𝒂𝟑 = 𝟏 , 𝒂𝟒 = 𝟎′𝟏,… ,
El que ha fer Aquil.les per tal d’atrapar la tortuga és recórrer totes d’aquestes distàncies, és a dir, ha de recórrer: 𝑆∞ = 100 / (1 – 1/10) = 111,111... m
• En la fulla de paper: a = ½ , r = ½,
𝒂𝟏 = 𝟏 𝟐, 𝒂𝟐 = 1 4 , 𝒂𝟑 = 𝟏 𝟖 , 𝒂𝟒 = 1 16… ,
Tots els trossos sumen: 𝑺∞ = ½ / (1 – ½ ) = 1
𝑆𝑛 =𝑎−𝑎·𝑟𝑛
1−𝑟si 𝑟 < 1 𝑡𝑒𝑛𝑖𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑟𝑛 → 0 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞
𝑆∞ =𝑎
1−𝑟𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑛 → ∞:
![Page 26: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/26.jpg)
Un altre exemple de límits
I ara…una successió màgica …!!!
La successió de les àrees dels polígons regulars inscrits en una circumferència de radi 1 unitat, on an és l’àrea del polígon de n costats, en el límit tendeix a l’àrea de la circumferència de radi
1, i per tant, tendeix al nombre 𝜋
![Page 27: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/27.jpg)
= 1+ 5
2= 1’618...
El número més bell,
el nombre d’or
![Page 28: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/28.jpg)
LA PROPORCIÓ ÀURIA AL COS HUMÀ
ALÇADA (cm) ALÇADA MELIC (cm) PROPORCIÓ
1 163 102 1’6
2 166 103 1’612
3 169 108 1’565
4 175 105 1’67
LE CORBUSIER
STEPHEN MARQUARDT
![Page 29: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/29.jpg)
SUCCESSIÓ
1123581321345589144233377610987
PROPORCIONS ENTRENOMBRES CONSECUTIUS
121’5
1’66...1’6
1’6251’615384...1’619047...1’617647...1’6188...
1’617977...1’618055...1’618025...1’618037...1’618032...
n
n
f
flím 1
RELACIÓ ENTRE EL NOMBRE D’OR I LA SUCCESSIÓ DE FIBONACCI
![Page 30: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/30.jpg)
𝑓 𝑥 =1
𝑥2−1
𝐷𝑓 = −∞,−1 ∪ −1,1 ∪ 1,+∞ =ℝ- −1,1
![Page 31: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/31.jpg)
Funcions irracionals
Exemples:
![Page 32: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/32.jpg)
Nota : Fixa’t que quan x es fa gran, la funció creix, però ho
fa més lentament 𝐥𝐢𝐦𝒙→∞
𝒙 − 𝟏 = +∞
𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1
![Page 33: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/33.jpg)
La funció exponencial f(x)=𝑎𝑥
a>0
x molt gran +∞ 𝟐+∞ = +∞ 𝟏
𝟐
+∞
=𝟏
+∞= 𝟎+
x molt petita -∞2−∞ =
1
2
+∞
=1
+∞= 0+
𝟏
𝟐
−∞
= 𝟐+∞ = +∞
![Page 34: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/34.jpg)
Les dues gràfiques de l’exponencial i els seus límits
lim𝑥→−∞
𝑎𝑥 =0+ lim𝑥→+∞
𝑎𝑥 = +∞
lim𝑥→−∞
𝑎𝑥 = +∞
lim𝑥→+∞
𝑎𝑥 = 0+
![Page 35: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/35.jpg)
La típica exponencial, la que té per base el nombre e
e≈ 2’71828… 𝑒−1 =1
𝑒≈ 0′3678…
𝑓 𝑥 = 𝑒−𝑥 =1
𝑒𝑥=
1
𝑒
𝑥
El nombre e anomenat de vegades constant d'Euler, en
honor del matemàtic suís Leonhard Euler o constant de
Napier, en honor del matemàtic escocès John Napier que
va introduir els logaritmes
![Page 36: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/36.jpg)
Aplicacions pràctiques de l’exponencial
La funció exponencial apareix en aquells fenòmens en les que hi ha
una tassa de creixement o de decreixement constant, com ara :
- La desintegració radioactiva : N(t)=𝑁0 · 𝑒−λ𝑡
Essent N0 la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instant
inicial, N(t) és la quantitat d′àtoms radioactius existents en l′instantt, λ és la constant de desintegració (és sempre positiu i depènde cada element radioactiu ) i t és el temps transcorregut
- Evolució d’una població : P(t)=P0 · (1 ± c)t
Essent P0 és la població inicial la població en un instant determinat
i c és la tassa de creixement en tant
per 1 i i t el temps, normalment en anys
![Page 37: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/37.jpg)
![Page 38: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/38.jpg)
El cas de la funció f(x)=log𝑎 𝑥 𝑎𝑚𝑏 𝑎 > 1
Si la base és e, log𝑒 𝑥 = 𝑙𝑛𝑥, es llegeix logaritme neperià en honor al matemàtic escocès
John Napier
![Page 39: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/39.jpg)
John Napier (1550 - 1617) L’Escocès Napier es va dedicar a les matemàtiques per afecció, de fet, era teòleg.
L’obra de la que estava més orgullós era un llibre teològic amb un títol ben llarg: "Un descobriment pla de la Revelació completa de Sant Joan. Aquest llibre contenia un
important error que li va fer perdre fama: predeia el final del món pels volts del 1700.
Les taules logarítmiques, van ajudar a simplificar els càlculs dels navegants i els astrònoms del seu temps.
Té en el seu honor, a banda del nom dels logaritmes, un cràter a la Lluna que porta el seu nom, de més de 140km d’amplada !!
![Page 40: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/40.jpg)
Les dues gràfiques de la logarítmica
lim𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = +∞
lim𝑥→+∞
log𝑎 𝑥 = −∞
lim𝑥→0+
log𝑎 𝑥 = −∞
lim𝑥→+∞
log𝑎 𝑥 = +∞
![Page 41: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/41.jpg)
Les funcions trigonomètriques :Són les funcions obtingudes a partir de les raons trigonomètriques d’un angle. En
general, l’angle s’expressa en radians
Un radiant és l'angle que comprèn un arc de circumferència amb una longitud igual al
radi de la circumferència, així 180º = π radiants i 1 rad= 57’295..º
Les tres funcions trigonomètriques més importants són f(x)= sin(x), f(x)=cos(x) i f(x)=tg(x)
![Page 42: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/42.jpg)
La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu sinus és la funció sinus: f(x) = sin x.
La funció sinus
∄ lim𝑥→+∞
𝑠𝑖𝑛 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
![Page 43: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/43.jpg)
La funció de variable real que a cada angle,
expressat en radiants, li fa correspondre el valor del
seu cosinus és la funció cosinus: f(x) = cos x.
La funció cosinus
∄ lim𝑥→+∞
𝑐𝑜𝑠 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
![Page 44: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/44.jpg)
La funció de variable real que a cada angle, expressat en radiants, li fa correspondre el
valor de la seva tangent és la funció tangent: f(x) = tg x.
La funció tangent
∄ lim𝑥→+∞
𝑡𝑔 𝑥 no existeix
Tampoc existeix quan x→ −∞
![Page 45: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/45.jpg)
Funcions definides a trossos
Quan una funció es defineix utilitzant més d’una expressió algèbrica, es diu
que és una funció definida a trossos.
Aquest tipus de funció, per poder-les dibuixar, hem de tenir molt clar quin és el domini de
definició de cadascuna de les funcions que la componen.
Dibuixem per separat cada funció i després esborrem la part que no ens interesa
![Page 46: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/46.jpg)
𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐−
𝒇 𝒙 = −𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→−𝟐+
𝒇 𝒙 = −𝟏
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐−
𝒇 𝒙 = 𝟑 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = 𝟏
Els límits són especialment pràctics per les funcions definides a trossos per saber com es comporta la funció en cadascun dels extrems de trencament
+-
![Page 47: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/47.jpg)
S’enganxaran en x=1??
lim𝑥→1−
𝑓(𝑥)= −12 + 4 = 3
lim𝑥→1+
𝑓(𝑥)= 12 + 2 = 3
Gràfic INCORRECTE !!!
La Funció serà contínua !!!
![Page 48: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/48.jpg)
Un exemple clàssic de funció a
trossos: La funció valor absolut
La funció valor absolut es defineix com la funció :
![Page 49: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/49.jpg)
Operacions amb funcions
Funció suma
(f + g) (x) = f(x) + g(x)
Funció producte
(f · g) (x) = f(x) · g(x)
Funció quocient
f
g
æ
èç
ö
ø÷(x) =
f (x)
g(x)
Propietats de la suma de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Propietats del producte de funcions
Commutativa:
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
Distributiva de la multiplicació respecte de
la suma:
![Page 50: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/50.jpg)
Funció composta
Donades les funcions f i g, es defineix la funció composta:
g f (f composta amb g) com (g f) (x) = g [f(x)].
f g (g composta amb f) com (f g) (x) = f [g(x)].
Propietats
Associativa:
Existència d’element neutre:
Existència d’element simètric:
No compleix la commutativa !!!!
(f º g)(x) no és el mateix que (g º f )(x)
![Page 51: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/51.jpg)
Alguns exemples de composició de
funcions
f º g (x) g º f (x)
![Page 52: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/52.jpg)
La composició de funcions
![Page 53: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/53.jpg)
Podem imaginar-nos la composició de dues funcions com una cadena
de dues maquines diferents, on introduïm el mateix objecte i el resultat
final no és el mateix si modifiquem l’ordre de les funcions (màquines)
x
f(x)g(x)
g ° 𝑓 (𝑥)
𝑓°𝑔(x)
![Page 54: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/54.jpg)
Funció inversa
En la funció inversa la variable independent de f passa a ser la
variable dependent de f -1, i viceversa.
Càlcul de la funció inversa
① Expressar la variable y = f(x) en funció de la
variable x.
② Aïllar la variable x de la igualtat anterior per tal
de trobar l’expressió de x en funció de y.
③ Intercanviar les dues variables.
④ Fer-ne la comprovació.
![Page 55: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/55.jpg)
Característica essencial de les funcions inverses : Són
simètriques respecte la bisectriu del 1r i 3r quadrant ( la
recta y=x és un mirall)
![Page 56: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/56.jpg)
Més exemples de funcions
inverses
http://www.geogebratube.org/student/m6525
![Page 57: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/57.jpg)
I per desencriptar missatges secrets….
Si sabem la clau, és a dir, la funció que encripta el
missatge, calculant la seva inversa, …
I ….Desvetllarem el secret !!!!
Ho podem posar en pràctica !!
![Page 58: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/58.jpg)
Els límits com una eina per a fer un esboç de la gràfica d’una
funció
Eminent matemàtic francés (1789-
1857) que va escriure més de 700
artícles. Va ser escriptot, pintor i
escalador.
El concepte de límit és el fonament del càlcul. En el segle XIX, eminents matemàtics, Augustin-Louis Cauchy i Karl Weiertrass, entre d’altres, van tractar en precisió el
concepte de límit. Ells van fer la definició rigorosa de límit, la definició 𝛆 - 𝛅, tot i que la inclourem, no és fonamental per un primer apropament intuïtiu d’aquest
concepte
Karl Weiertrass, matemàtic alemany (1815-1897) que va precisar la definició de
continuïtat
La Lemniscata de Bernoulli- Símbol de l’Infinit
http://desafios-matematicos.blogspot.pt/2013/1
0/lemniscata-de-bernoulli.html?m=1
![Page 59: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/59.jpg)
Límit d’una funció en un punt
Exemple: f(x)= 4
𝑥𝐸𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑠′𝑎𝑛𝑢𝑙. 𝑙𝑎 𝑒𝑛 𝑥 = 0
Mirem que passa en punts a prop de x=0. Ens podem apropar per la dreta de 0
X 0’1 0’01 0’001 0’0001 0’00001
f(x) 4/0’1=40 4/0’01=400 4/0’001=4000 4/0’0001=40000 4/0’00001=400000
x -0’1 -0’001 -0’0001 -0’00001
f(x) 4/(-’01)=-40 4/(-0’001)=-4000 4/(-0’0001)=-40000 4/(-0’00001)=-400000
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙= −∞
Matemàticament, s’escriu 𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙= +∞
![Page 60: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/60.jpg)
Interpretació gràfica de límits amb la funció de proporcionalitat inversa
La Hipèrbola equilàtera
𝐥𝐢𝐦𝒙→𝟎−
𝟒
𝒙= −∞ 𝒊 𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟎+
𝟒
𝒙= +∞ ⇒ lim
𝑥→0
4
𝑥= ∞
Els valors que anul.len el denominador apareixen en la gràfica com
assímptotes verticals ( la funciós’apropa molt a l’assímptota però no
l’arriba a toca mai )
x=0 és una AV (Assímptota vertical)
![Page 61: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/61.jpg)
Els límits són una eina molt útil per fer gràfiques de funcions
racionals :
Veiem un altre exemple :
La funció s’anul.la en x=2 i en x=-2, per tant,
Apareixeran dues AV en x=2 i en x=-2 i per veure com s’apropa la funció,
calcularem els límits al voltant de x=2 i al voltant de x=-2
𝑓 𝑥 =3
𝑥2 − 4
2,2 RD f
![Page 62: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/62.jpg)
Calculem els límits de 𝑓 𝑥 =3
𝑥2−4
𝐴𝑙 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑛𝑡 𝑑𝑒 𝑥 = 2 𝑎𝑝𝑟𝑜𝑥𝑖𝑚𝑎t − 𝑛𝑜𝑠 𝑝𝑒𝑟 𝑙′𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑟𝑎
Que matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−
𝒇(𝒙) = −∞
Al voltant de x=2 aproximant-nos per la dreta
x 1’9 1’99 1’999 1’9999
f(x) -7’69 -75’19 -750’19 -7500’19
x 2’1 2’01 2’001 2’0001
f(x) 7’32 74’81 749’81 7499’81
Matemàticament vol dir que 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞
Definició :Si lim
𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = ±∞, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴símptota vertical 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
O també ∶lim𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 − a = 0 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑓 𝑥 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑢𝑛𝑎 𝐴𝑉 𝑒𝑛 𝑥 = 𝑎
![Page 63: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/63.jpg)
Observeu al voltant del 2 com actua la funció :𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐−
𝒇 (𝒙) = −∞ i 𝒍𝒊𝒎𝒙→𝟐+
𝒇 𝒙 = +∞⇒ AV en x=2
Si haguéssim fet les aproximacions en x=-2 obtindríem 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟐−𝒇 𝒙 = +∞ i 𝒍𝒊𝒎
𝒙→−𝟐+𝒇 𝒙 = −∞⇒ AV en x=-2
![Page 64: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/64.jpg)
I si haguéssim fet el mateix per a x molt molt grans, que hauríem obtingut ??
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
Mirem que passa per valors molt petits de x
X 10 100 1000 10000
f(x)=3
𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003
X -10 -100 -1000 -10000
f(x)=3
𝑥2−40’031 0’0003 0’000003 0’00000003
Definició :
Si lim𝑥→±∞
𝑓 𝑥 = 𝑘 , 𝑜𝑛 𝑘 ∈ ℝ, 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑚 𝑞𝑢𝑒 𝑦 = 𝑘 é𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑠í𝑚𝑝𝑡𝑜𝑡𝑎 𝐻𝑜𝑟𝑖𝑡𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙,
O el que és el mateix lim𝑥→±∞
𝑓 𝑥 − 𝑘 = 0
En el nostre cas, y=0 és una AH
O el que és el mateix 𝑙𝑖𝑚𝑥→−∞
𝑓 𝑥 = 0 (0 𝑞𝑢𝑒 é𝑠 𝑝𝑜𝑠𝑖𝑡𝑖𝑢)
![Page 65: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/65.jpg)
Fixeu-vos com és la gràfica :
Té dues AV en x=2 i en x=-2 ja que la funció tendeix a infinit quant s’apropa a
aquests valors
Té una AH en y=0 ja que quan x és molt gran i molt petita s’apropa molt a
aquest valor 0
![Page 66: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/66.jpg)
Donada la funció f(x)=−𝟑
𝒙+𝟒-Quin és el domini ?- Què val el límit quan x s’apropa a 4 per l’esquerra ? I per la dreta ? -Té AV ? Quina és ?- Què val el límit quan x és molt gran ? I quan és molt petita ? - Té AH ? Quina és ?
![Page 67: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/67.jpg)
Fent tant sols els límits a l’±∞ i al voltant dels punts que no són del domini, podem
fer la gràfica
![Page 68: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/68.jpg)
Recordem que passava amb les branques de les funcions
polinòmiques: Calculant els límits en el infinit:
Si considerem la funció f(x)= 𝒙𝟑−𝟑𝒙 + 𝟏,
𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥 é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑔𝑟𝑎𝑛 +∞ 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑛 𝑙𝑎 𝑥é𝑠 𝑚𝑜𝑙𝑡 𝑝𝑒𝑡𝑖𝑡𝑎 −∞
𝑙𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó é𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚 𝑓 𝑥 = 𝑥3
lim𝑥→+∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1= lim𝑥→+∞
𝑥3 = +∞
Branca dreta amunt
lim𝑥→−∞
𝑥3 − 3𝑥 + 1 = lim𝑥→−∞
𝑥3 = −∞
Branca esquerra avall
![Page 69: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/69.jpg)
Si considerem la funció
f(x)= −𝑥4 + 3𝑥2 − 𝑥
lim𝑥→+∞
𝑓 𝑥 = lim𝑥→+∞
−𝑥4= −∞
Branca dreta avall
lim𝑥→−∞
𝑓(𝑥) = lim −𝑥→−∞
𝑥4 = −∞
Branca esquerra avall
![Page 70: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/70.jpg)
Límit duna funció a l’infinit
Exemples:
![Page 71: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/71.jpg)
Càlcul del límit d’una funció en un punt
El límit d’una funció en un punt es calcula substituint en l’expressió algèbrica de la funció la
variable x pel valor al qual tendeix.
Si el resultat d’aquesta substitució és una indeterminació, cal aplicar altres estratègies i arribar
al valor del límit.
Exemples:
Indeterminacions :
∞−∞ ;∞
∞;
0
0; 1∞; ∞0; 0 · ∞ ; 00
![Page 72: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/72.jpg)
![Page 73: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/73.jpg)
![Page 74: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/74.jpg)
Amb les regles que hem après, se’ns presenten situacions
més complicades, en les que no podem donar una solució,
sense fer un estudi detallat de la funció. Com per exemple :
![Page 75: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/75.jpg)
Les tècniques per resoldre
indeterminacions són
![Page 76: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemple :
![Page 77: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/77.jpg)
Calculem els límits amb la tècnica de descomposar els polinomis:
Observa que tots tenen la indeterminació
![Page 78: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemple :
𝐼𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó 𝑑𝑒𝑙 𝑡𝑖𝑝𝑢𝑠∞
∞
![Page 79: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/79.jpg)
Indeterminacions del tipus
• Tècnica del producte i divisió per la major potència de x
![Page 80: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/80.jpg)
La técnica de multiplicar pel conjugat :
![Page 81: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/81.jpg)
Tècnica de multiplicar pel conjugat
![Page 82: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/82.jpg)
Tenint en compte que : aleshores :
![Page 83: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/83.jpg)
![Page 84: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/84.jpg)
El límit correspon a un dels nombres més importants de la matemàtica.
Atès que el suís Leonard Euler(1707-1783) és un dels que va observar la
tendència d’aquest límit, va posar la seva inicial a aquest nombre, el
nombre e
![Page 85: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/85.jpg)
![Page 86: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/86.jpg)
![Page 87: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/87.jpg)
Un parell d’exemples :
![Page 88: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/88.jpg)
Límits laterals en un punt
Exemple:
x tendeix a a per
l’esquerra
x tendeix a a per la dreta
Límits laterals en x = a
![Page 89: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/89.jpg)
Funció contínua en un punt
Una funció f és contínua en x = a quan ;
en cas contrari, direm que és discontínua en x=a limx®a-
f (x) = limx®a+
f (x) = f (a)
Tipus de
discontinuïtats
Discontinuïtat evitable:
Discontinuïtat inevitable De salt:
Asimptòtica:
Per una primera aproximació, direm que una funció és contínua quan podem recórrer la gràfica de la
funció sense realitzar cap salt. Matemàticament això succeirà quant sigui contínua en tot el seu domini.
![Page 90: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/90.jpg)
Discontinuïtat evitable
En x=1 la funció presenta una discontinuïtat evitable
![Page 91: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/91.jpg)
Discontinuïtat de salt finit
En x=0 la funció presenta una discontinuïtat de salt de 2 unitats
El salt de la funció ve donat per :
![Page 92: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/92.jpg)
Discontinuïtat de salt infinit. discontinuïtat asimptòtica
En x=a la funció presenta una Asímptota Vertical, d’equació x=a
![Page 93: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/93.jpg)
La funció presenta dues discontinuïtats de salt infinit en x=1 i en x=-1
En aquests punts, hi ha també dues AV que són x=-1 i x=1
![Page 94: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/94.jpg)
Interpretació gràfica (I)
![Page 95: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/95.jpg)
![Page 96: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/96.jpg)
La funció presenta una discontinuïtat de salt en x=0, un salt
de dues unitats
![Page 97: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/97.jpg)
![Page 98: Funcions, límits i les seves aplicacions - Mònica Orpí i Mañé](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022042607/55aa59c91a28abca508b47a3/html5/thumbnails/98.jpg)
Quin tipus de discontinuïtats presenta aquesta funció ?