Download - funciones_2

Copyright © 18 de abr de 2023 por TECSUP

Sesión 10: Sesión 10: FUNCIONES

LUIS EVERT MEDINA MATEU

CALCULO DIFERENCIAL E CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALINTEGRAL

Copyright © 18 de abr de 2023 por TECSUP

OBJETIVOS:OBJETIVOS:

* * Identifica elementos de una Identifica elementos de una relación binaria.relación binaria.** Calcula el dominio y rango de Calcula el dominio y rango de una relación.una relación.** Diferencia función de relación Diferencia función de relación binariabinaria LUIS EVERT MEDINA MATEU

CALCULO DIFERENCIAL E CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRALINTEGRAL

OBJETIVO DE LA SESIÓN

• Al término de la sesión, el estudiante logrará determinar el dominio, rango y gráfica de una función en cualquier situación que se le presente, aplicando sus capacidades y conocimiento en problemáticas de su formación profesional

Saberes Previos

1. Que es una Relación:

2. Que es Conjunto de Partida:

5. Que es Rango:

6. Como graficar una relación:

7. Que es una función:

3. Que es Dominio:

4. Que es Conjunto de llegada:

Función• Definición:

• Sean A y B conjuntos no vacíos. Una función de A en B es una relación que asigna a cada elemento x del conjunto A uno y solo un elemento y del conjunto B.

Se expresa como: f: A B

x f(x) = y

Se dice que y (variable dependiente) es la imagen de x (variable independiente)mediante f, y que x es la pre-imagen de f(x) = y

Función• Conceptos:

• Dominio: es el conjunto de todos los valores para los cuales está definida la función y se denota Dom f.

• Rango: es el conjunto de todos los valores que toma la variable independiente (Y), y se denota Rec f.

• Función Creciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, también aumenta la variable dependiente.

• Función Decreciente: es aquella que al aumentar la variable independiente, la variable dependiente disminuye.

• Función Constante: es aquella que para todos los valores de la variable independiente, la variable dependiente toma un único valor

Función

• Función Continua:

Es aquella en la que su gráfica se puede recorrer en forma ininterrumpida en toda su extensión.

Función

• Función Discontinua:

Es aquella que no es continua, es decir, presenta separaciones y/o saltos en su gráfica.

Función

• Función Periódica:

Es aquella en la que su gráfica se repite cada cierto intervalo, llamado período.

Función

• Conceptos Fundamentales:

• Si tenemos una relación f entre dos conjuntos A y B, f se dirá función si a cada valor del conjunto de partida A le corresponde uno y sólo un valor en el conjunto de llegada B.

f(x)

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

• Conceptos Fundamentales:• La variable x corresponde a la variable independiente y la variable

cuyo valor viene determinado por el que toma x, se llama variable dependiente. Se designa generalmente por y o f(x) [se lee “f de x”]. Decir que “y” es función de “x” equivale a decir que “y” depende de “x”.

A Bf

a

x

b = f(a)

f(x)

Función

o Conceptos Fundamentales

Se dirá:• f : A B• b € B es la imagen de a € A bajo la función f y se denota por

b= f(a)

• Dom f =A• Si (x, y) € f ^ (x, z) € f y = z (Unívoca)

Toda función es relación, pero no toda relación es función.

Función

• Rango o Recorrido de f:

Es aquel subconjunto del codominio en el cual todos sus elementos son imagen de alguna preimagen del dominio o conjunto de partida. Se denota por Ran f.

1234567

Se puede ver que para todo elemento de A, existe sólo una imagen en B.

abcde

1234567

A Bf

Función

• Luego para la función f denotada:

• Dominio de f = Dom f = A = {a, b, c, d, e}• Codominio = B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}• Rango o Recorrido de f = Ran f = {1, 2, 3, 4, 7}

abcde

1234567

A Bf

Los elementos {5, 6} no son imagen de ninguna preimagen en A, luego no pertenecen al rango de f .

Clasificación

• a) Función Inyectiva: Una inyección de A en B es toda f de A en B, de modo que a elementos distintos del dominio A le corresponden imágenes distintas en el codominio B.

Cada elemento de A tiene una única imagen en B (y sólo una), de tal forma que se verifica que # A ≤ # B.

Como se ve, 4 € B y no es imagen de ningún elemento de A

abcd

12345

A Bf

• b) Función Epiyectiva o Sobreyectiva: Una epiyección o sobreyección de A en B, de modo que todo elemento del codominio B es imagen de, al menos, un elemento del dominio A. Cada elemento de B es imagen de por lo menos un elemento de A. Se verifica que # A ≥ # B. Es decir, que en este caso el codominio es igual al recorrido.

abcd

1

2

A Bf

• c) Función Biyectiva: una función f es biyectiva de A en B si y sólo si la función f es tanto Inyectiva como Epiyectiva a la vez, por lo que se verifica que #A = #B y que a cada elemento de A le corresponde una única imagen en B y que cada imagen de B le corresponde una preimagen en A. Es decir :el rango es igual a B

abc

123

A Bf

Función

La Respuesta correcta es B

Función

La Respuesta correcta es D

Función

La Respuesta correcta es E

I. Función Lineal

• Es de la forma f(x) = mx + n Llamada función lineal afín

con m : Pendiente

n : Ordenada del punto de intersección entre la recta y el eje Y (coeficiente de posición).

• Y la de la forma: f(x) = mx Llamada función lineal

Ejemplo:

La función f(x) = 5x – 3, tiene pendiente 5 e intersecta al eje Y en la ordenada -3.

I. Función Lineal

• Análisis de la Pendiente

Para saber con qué tipo de función se está trabajando, se debe analizar el signo de la pendiente.

• Si m < 0, entonces la función es decreciente.• Si m = 0, entonces la función es constante.• Si m > 0, entonces la función es creciente.

I. Función Lineal

I) II)

X

Y

n

m > 0n > 0

X

Y

n m < 0n > 0

X

Y

n

m > 0n < 0

X

Y

n

m < 0n < 0

III) IV)

I. Función Lineal

• Tipos de funciones especiales:

• a) La función de forma f(x) = x, se reconoce como función identidad y su gráfica es:

1

2

f(x)

x1 2-1

-1

I. Función Lineal

Tipos de funciones especiales:

b) La función de la forma f(x) = c, con c: Constante Real, se conoce como función constante y su gráfica es:

f(x)

x

●c

con c > 0

f(x)

x

●c

con c < 0

I. Función lineal

• Propiedades:

• El dominio de la función lineal son todos los números IR.

• Las rectas que tienen la misma m serán paralelas.

• Las rectas que al multiplicar sus pendientes el producto es -1 serán perpendiculares.

I. Función Lineal

• Evaluación de una función lineal:

Dada la función f(x) = mx + n, si se busca el valor de la función para un valor cualquiera de x, basta reemplazar dicho valor, así como también si se busca el valor de x conociendo el valor de la función.

Ejemplo

La función que representa el valor a pagar en un taxi, después de recorridos 200m es:

f(x) = 0.008x + 25 con x: cantidad de metros recorridos

f(x): costo en soles

3 km = 3000 m

Entonces, el valor a pagar por un recorrido de 3 kilómetros es:

f(3000) = 0.008 · 3000 + 25 = 49

Por 3 kilómetros se pagan S/49.

I. Función Lineal

Si queremos saber cuántos metros recorrió una persona si pagó $250, se debe resolver la siguiente ecuación:

250 = 0.008x + 25 / -25

225 = 0.008x / :0.8

28125 = x

Una persona que paga $250. recorrió 28125 metros o 28.125 kilómetros.

operaciones

I. Función Lineal

• Construcción de una Función Lineal conocidos valores de ella:

• Para construir una función lineal se deben conocer dos relaciones distintas entre el valor de la variable y el valor de la función, es decir:

(x , f(x )) y (x , f(x ))

O bien si a f(x) le llamamos y, entonces los pares quedan:

(x , y ) y (x , y )

Donde la función buscada será:

1 1 2 2

1 1 2 2

1121 x - x2 1

y – y = y - y (x – x )

I. Función Lineal

• Ejemplo

Si se sabe que el agua se congela a 32º F ó 0º C y hierve a 212º F ó 100º C, ¿cómo se puede expresar los ºF como función lineal de los ºC?

Solución:

Se tiene la siguiente información:

y

Cº : variable independiente (x)

ºF : variable dependiente (y)

(0, 32)

(100, 212)

x y1 1

x y

22

I. Función Lineal

Reemplazando en:

Se tiene:

Donde la función que representa los ºF respecto de ºC es.

1121

x - x2 1

y – y = y - y (x – x )

y – 32 = 212 – 32 (x – 0)100 – 0

y – 32 = 180 . x100

y = 1.8· x + 32

f(x) = 1.8· x + 32

II. Función Cuadrática

• Son de la forma:

• Gráfica:

Siempre es una parábola, dependiendo su forma y la ubicación de sus coeficientes a, b y c.

f(x) = ax² + bx + c


• Concavidad:

El coeficiente a de la función cuadrática indica si la parábola es abierta hacia arriba o hacia abajo.

x

y

0 x0

y

a > 0, Abierta hacia arriba

a < 0, Abierta hacia abajo


• Eje de simetría y vértice:

El eje de simetría es aquella recta paralela al eje Y y que pasa por el vértice de la parábola.

El vértice está dado por:

Vértice = -b , f -b = -b , 4ac – b²

2a 2a 2a 4a


Además, la recta x = , corresponde al Eje de simetría.-b 2a

_ b² - 4ac 4a

x

y

·

-b 2a

x0

y

·_ b² - 4ac 4a

-b 2a

a > 0 a < 0


• Intersección con los ejes• Intersección con el eje Y

El coeficiente c nos da el punto en el cual la parábola corta al eje Y.

Sus coordenadas son (0, c)

0

c·

y

x


• Intersección con el eje X

para determinar el o los puntos donde la parábola corta al eje X, es necesario conocer el valor del discriminante de la función cuadrática.

Se define el discriminante como:

D = b² - 4ac


• a) Si el D = 0, la parábola corta en un solo punto al eje X.

0 ·

Y

X

a > 0

(x = x , 0)

1 2


• b) Si el D > 0, la parábola corta en dos puntos al eje X

0 ·

Y

X

a > 0

·

(x ,0) y (x , 0)1 2


• c) Si el D < 0, la parábola no corta al eje X.

0

Y

X

a > 0

III. Función Parte Entera

Su valor, para cada número x € IR, es la parte entera de x y se designa por [x]. Ésta se escribe:

Dado un número real x, la función parte entera le asigna el mayor entero que es menor o igual a x, es decir:

Ejemplos:

[2,9] = 2 ;[-7/2] = -4 ;[5] = 5 ;[√2] = 1

f(x) = [x]

[x] ≤ x < [x+1]

Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

III. Función Parte Entera

Obsérvese que esta función es constante en los intervalos semiabiertos (semicerrados) de la forma [n, n + 1[ con n € Z. Por tanto, los segmentos horizontales contienen sus extremos izquierdos, pero no los derechos

IV. Función Valor Absoluto

• El valor absoluto de un número x € IR, denotado por |x|, es siempre un número real no negativo que se define:

Ejemplo:

|-3| = 3 |12| = 12 |-18| = 18 |-5,3| = 5,3

f(x) = |x| =

x si x ≥ 0

-x si x < 0

Si los números reales están representados geométricamente en el eje real, el número |x| se llama distancia de x al origen.


• a indica el punto de traslación en el eje de las coordenadas.


• b indica el punto de traslación en el eje de las abscisas.


• Propiedades:

• a. Si |x| ≤ a entonces -a ≤ x a; con a ≥ 0

• b. Si |x| ≥ a entonces x ≥ a ó -x ≥ a

• c. |xy| = |x| · |y|

• d. |x + y| ≤ |x| + |y| (Desigualdad Triangular)


• La última propiedad se llama desigualdad triangular, pues, cuando, se generaliza a vectores indica que la longitud de cada lado de un triangulo es menor o igual a la suma de las longitudes de los otros dos.


La Respuesta correcta es B


La Respuesta correcta es D

• Si tenemos una ecuación de la forma y = a.x3 + b.x2 + c.x + d , entonces podemos decir que es una función cúbica y la señalaremos así:

• f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d

• Al ir dando valores a x , obtenemos diferentes valores de y , que llevados a un sistema de coordenadas cartesianas nos resulta siempre una curva en forma de “S”.

• Para representarla de forma gráfica, por ahora, estudiaremos de ella principalmente los puntos de corte con los ejes y el signo de la función.

V. Función Cubica

• Sea y = x3

• Tabla de valores

• x y

• -3 -27• -2 -8• -1 -1• 0 0• 1 1• 2 8• 3 27

-3 -2 -1 0 1 2 3 x

y

Como se ve al unir los puntos que hemos llevado al gráfico, lo que se forma es una curva en forma de “S”.

27

-27

8

1

-8

• DOMINIO• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d • Todo valor de x tiene su correspondiente imagen. • El dominio de f(x) será: Dom f(x) = R

• RECORRIDO• La imagen de una función cúbica, al igual que el dominio es R• Se designa así: Img f(x) = R

• SIMETRÍA IMPAR• Sea la función f(x) = a.x3 + b.x2 + c.x + d• Veamos si hay simetría impar: • f(-x) = a.(-x)3 + b.(-x)2 + c.(-x) + d • f(-x) = - a.x3 + b.x2 – c.x + d • Luego - f(-x) = a.x3 - b.x2 + c.x - d

• En las funciones cúbicas habrá simetría IMPAR si b=d=0

Ecuación General:

hxaky

khxaxf )(

Expresando y = f(x):

(h, k) es el vértice o inicio de la gráfica. “a” indicará la extensión y dirección de la gráfica.

V. FUNCION RAIZ CUADRADA

Función Raíz CuadradaFunción Raíz CuadradaPor ejemplo:

11 xxf 11 xy

-1

1

x

f(x)

2

3

3

Dom (f) = [-1, ∞)

Ran (f) = [1, ∞)

1y01y

1x01x

Análisis:

Función Raíz CuadradaFunción Raíz Cuadrada

Por ejemplo: 23 xxf 32 xy

3

2

x

f(x)

Dom (f) = [3, ∞)

Ran (f) = (-∞, 2]

2y02y

3x03x

EjerciciosEjercicios

Grafique las siguientes funciones, determinando su dominio y rango:

5 )3

11 )2

21 )1

rrf

xxf

xxf

Otra forma de graficar: Traslaciones y Otra forma de graficar: Traslaciones y ReflexionesReflexiones

Conocemos la gráfica de Si queremos obtener la gráfica de

Desplazamos (trasladamos) 2 unidades hacia arriba (por el eje de f(x))

xxf 2 xxf

f(x)

x

2


Si queremos obtener la gráfica de

Desplazamos (trasladamos) 3 unidades hacia la derecha (por el eje de x)

23 xxf

f(x)

x

2

3


Si queremos obtener la gráfica de

Obtenemos el reflejo con relación al eje x.

23 xxf

f(x)

x

2

3

Función Valor AbsolutoFunción Valor Absoluto

xxf

x

f(x)

Dom (f) = RRan (f) = [0, ∞)

Función Valor AbsolutoFunción Valor Absoluto

khxaxf En términos generales:

x

f(x)

h

k

Dom (f) = RRan (f) = [k, ∞)

Es posible deducir la siguiente gráfica con la técnica de traslación:

Ejemplos:Ejemplos:

53 xxf 8

53303

2

53303

xxf

xxfxx

xxf

xxfxx

x

f(x)

Dom (f) = RRan (f) = [5, ∞)

2

5

Ejemplos: Ejemplos: 223 xxf

x3xf

22x3xfx02x3

4x3xf

22x3xfx02x3

32

32

x

f(x)

Dom (f) = RRan (f) = [2, ∞)

-2/3

2

Ejercicio:Ejercicio:

Grafique la siguiente función, determinando su dominio y rango.

2 si ,112

2 si , 23 .5

xx

xxxf

x

xxf

4x w(x).4

11xh(x) .3

24x-g(x) 2.

32)( .1

2

OPERACIONES CON FUNCIONES

• FUNCIÓN SUMA (DIFERENCIA)• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función SUMA (DIFERENCIA) y la denotamos así: (f±g)(x) = f(x) ± g(x), Vxє[Dom f(x) ^Dom g(x)]

• FUNCIÓN PRODUCTO• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función PRODUCTO y la denotamos así:

(f.g)(x) = f(x) . g(x), Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)]

• FUNCIÓN DIVISIÓN• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función DIVISIÓN y la denotamos así: • (f/g)(x) = f(x) / g(x), Vx є [Dom f(x) ^Dom g(x)] , con g(x)=0

• EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN SUMA

• Sea f(x) = x+1 y g(x) = 1 / ( x – 1).• Dom f(x) = R , Dom g(x) = R – {1}

• Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = x+1 + 1 / ( x – 1) = (x2 – 1 +1) /(x-1) = x2 / (x-1)• Como se ve Dom (f+g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios.• La función suma es posible efectuarla en todo R excepto en x=1

• EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN SUMA

• Sea f(x) = √x y g(x) = √-x • Dom f(x) = R+ , pues x debe ser positivo para que exista una imagen o

valor de f(x)• Dom g(x) = R- , pues x debe ser negativo para que exista una imagen o

valor de f(x)

• Sea (f + g)(x) = f(x) + g(x) = √x +√-x • Como se ve Dom (f+g)(x) = 0, intersección de los dominios.• La función suma sólo existe cuando x=0

• EJEMPLO_1 DE FUNCIÓN PRODUCTO

• Sea f(x) = x -1 y g(x) = 1 / ( x – 1).• Dom f(x) = R , Dom g(x) = R – {1} .

• Sea (f . g)(x) = f(x) . g(x) = ( x – 1) . 1 / ( x – 1) = (x – 1) / (x - 1) = 1• A pesar de que el resultado, (f.g)(x) = 1) es una constante,

independiente de x , el Dom (f .g)(x) = R – {1} , intersección de los dominios.

• EJEMPLO_2 DE FUNCIÓN PRODUCTO

• Sea f(x) = √x - 1 y g(x) = √ 2 - x • Dom f(x) = V x є [1 , +∞) Dom g(x) = V x є (-∞ , 2]

• Sea (f .g)(x) = f(x) . g(x) = √x-1 .√2-x = √ - x2 + 3x - 2 • Como se ve Dom (f+g)(x) = [1, 2], intersección de los dominios.

COMPOSICIÓN DE FUNCIONES

• Sea f(x) y g(x) dos funciones reales de variable real.• Llamamos función COMPUESTA a alguna de las siguientes expresiones:

• (f o g)(x) = f [ g (x) ]

• (g o f)(x) = g [ f (x) ]

• Ejemplo_1

• Sea f(x) = 1 / x ,, g(x) = x2 - 1

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = 1 / (x2 – 1)

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (1 / x) 2 – 1 = (1 / x2) – 1 = ( 1 - x2) / x2

• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

• Ejemplo_2

• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = x2

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ x2 = x

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (√ x)2 = x

• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

• Ejemplo_3

• Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1

• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = sen (x2 – 1)

• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = (sen x) 2 – 1

• Como se ve es muy diferente (f o g)(x) que (g o f)(x)

• Ejemplo_4• 3• Sea f(x) = √ x ,, g(x) = √ x2 • 3 6 3• (f o g)(x) = f [ g (x) ] = √ (√ x2 ) = √ x2 = √ x• 3 3• (g o f)(x) = g [ f (x) ] = √ (√ x)2 = √ x

• Son muy pocas las funciones en que se cumpla (f o g)(x) = (g o f)(x)

• Ejemplo_5

• Sea f(x) = sen x ,, g(x) = x2 – 1 ,, h(x) = √x

• (f o g o h)(x) = f [ g (h(x)) ] = sen ((√ x)2 – 1) = sen (x – 1)

• (g o f o h)(x) = g [ f (h(x)) ] = (sen √ x) 2 – 1

• A veces entran en juego tres o más funciones para la composición de las mismas. Se han hecho dos de los seis ejemplos posibles.

Download - funciones_2

Top Related