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MATEMATICA I
DOCENTE:
LIC. OSCAR ANTONIO CAMPOS
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•Concepto de función
•Análisis de funciones I II III IV
•Reconocimiento de funciones -En diagrama Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 – 5 – 6 -En tabla de valores Ejemplos 1 – 2 – 3 – 4 -En gráfico cartesiano Ejemplos 1 – 2 – 3
•Clasificación de funciones -función sobreyectiva o subyectiva -función inyectiva -función biyectiva
•Elementos característicos de una función
TEMARIO
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FUNCIÓN
Una relación definida entre dos conjuntos es función si y sólo si a cada elemento del conjunto de partida le hace corresponder uno y sólo uno del conjunto de llegada.Conjunto de partida: Dominio
Conjunto de llegada: Rango
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Las condiciones que debe reunir una relación para ser función, pueden
resumirse en estas dos:
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El DOMINIO o conjunto de partida son los valores que toma la variable independiente (x).
El Rango son los valores que puede tomar la variable dependiente (y).
La IMAGEN es el subconjunto del Rango que se relaciona con el DOMINIO. Puede coincidir con este.
A
B
C
D
E
1
2
3
4
5
7
Dominio(x)
ImagenImagen
Dominio(x)
Dominio(x)
Rango
(y)
Dominio(x)
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a.
b.
c.
•m
•n
•p
•q
ffunción
A Bf
A= Dom f
Esta relación es función porque cada elemento de A está relacionado conuno y sólo uno de B. Al correspondiente de un elemento del dominio se lo llama imagen de ese elemento.
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Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R1= {(x,y) Є AxB / y = x+1}
I R1 = {(0,1),(1,2),(2,3)}
A B
0.
3.•2
Para cada elemento x Є A, excepto 3,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R1
Para el elemento 3ЄA, no existe imagen Є B tal que el par (3,y) Є R1
•-1
•2
•3
•0
•1
1.Por lo tanto podemos afirmar
que NO ES FUNCIÓN, ya que no cumple con la
condición de existencia.
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Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R2= {(x,y) Є A x B / y2 = x2}
II R2 = {(0,0)(1,1)(1,-1)(2,2)(3,3)}
BA
•0
•1
•-1
•2
•3
Para cada elemento x Є A, excepto 1,existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R2
Para el elemento 1 Є A, existen dos elementos 1 y -1 Є B tal (1,1) Є R2 y (1,-1) Є R2.
0.
1.
2.
3.
Por lo tanto se puede afirmar que la relación NO ES
FUNCIÓN, ya que no cumple la condición de unicidad para un
elemento del dominio.
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Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R3= {(x,y) Є A x B / y = x}
A
III R3 = {(0,0) (1,1) (2,2) (3,3)}
B
Para todo elemento x Є A, en este caso sin excepción, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y)Є R3.
•0
•1
•2
•3
•-1
0.
1.
2.
3.
Por lo que puede asegurarse que la relación cumple con las condiciones de FUNCIÓN.
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Sean los conjuntos
A={0,1,2,3} y B={-1,0,1,2,3}
y las siguientes relaciones definidas de A en B
R4= {(x,y) Є A x B / y = 3}
IV R4 = {(0,3) (1,3) (2,3) (3,30)}
A B
Para todo elemento x Є A, sin excepción también, existe un solo elemento y Є B tal que el par (x,y) Є R4.
•3
•0
•1
•-1
•2
0.
1.
2.
3.
Podemos afirmar que es FUNCION, ya que cumple con las condiciones de unicidad y
existencia.
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Ejemplos de Funciones y No Funciones
a. {(2,4), (3,1), (5,2), (-1,-2)}
Es función. Dado que para cada valor de x hay un único valor de y. O sea, los valores de x NO se repiten.
0-323
42-4
b.Es función. Dado que para cada valor de x hay un único valor de y. O sea, los valores de x NO se repiten. No importa que dos elementos del dominio estén relacionados con un mismo elemento del co-dominio.
c. 2
2-33
242-4
x y
yxNO es función. Dado que en esta relación para el elemento 2 del dominio existen dos elementos en el Rango. O sea, los valores de x SI se repiten.
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Ejemplos de Funciones y No Funciones
• Si una función es representada en una gráfica se hace la prueba de la recta vertical para saber si es o no función. O sea, se traza una recta vertical sobre la gráfica y si esta no corta más de una vez la gráfica es función.
• Por ejemplo:
x
x x
x
x
NO es función, la recta vertical cruza en dos ocasiones la
gráfica.
NO es función, la recta vertical cruza
en dos ocasiones la gráfica.
Es función, la recta vertical cruza
en una ocasión la gráfica.
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Práctica #4
• Determina cuál de las siguientes relaciones es una función.
-323
42-4
a. b. xx y
y
1
2
3
-1
-2
-3
c.
d.{(1,2),(2,1),(3,1),(4,1)}
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Contestación Práctica #4
• Determina cuál de las siguientes relaciones es una función.
-323
42-4
a. b. xx y
y
1
2
3
-1
-2
-3
c.
d.{(1,2),(2,1),(3,1),(4,1)}
Si, es función Si, es funciónNo es función
Si, es función
x
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1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
1A B
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR CONTINUAR
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CORRECTO
La relación del diagrama 1 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
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INCORRECTO
La relación del diagrama 1 es función
ANTERIOR
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1
2
a
b
c
Reconocimiento de funciones
2C D
SI NO
Es función?
•En diagrama
CONTINUARANTERIOR
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INCORRECTO
La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.
ANTERIOR
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CORRECTO
La relación del diagrama 2 no es función porque a un elemento de C le correspondendos elementos de D.
ANTERIOR
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1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
3E F
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIORCONTINUAR
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INCORRECTO
La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.
ANTERIOR
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CORRECTO
La relación del diagrama 3 no es función porque un elemento de E no tiene correspondiente en F.
ANTERIOR
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1
2
3
abcd
Reconocimiento de funciones
4G H
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIORCONTINUAR
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CORRECTO
La relación del diagrama 4 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
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INCORRECTO
La relación del diagrama 4 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.
ANTERIOR
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1
2
3
a
b
Reconocimiento de funciones
5I J
SI NO
Es función?
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR
![Page 28: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/28.jpg)
CORRECTO
La relación del diagrama 5 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
![Page 29: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/29.jpg)
INCORRECTO
La relación del diagrama 5 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.
ANTERIOR
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1234
abcd
Reconocimiento de funciones
6K L
Es función?
SI NO
•En diagrama
ANTERIOR
CONTINUAR
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CORRECTO
La relación del diagrama 6 es función porque cumple con las condiciones de existencia y unicidad.
ANTERIOR
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INCORRECTO
La relación del diagrama 6 es funciónporque cumple con las condiciones deexistencia y unicidad.
ANTERIOR
![Page 33: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/33.jpg)
•En tabla de valores
1
x y
-3
4
0
4
-6
8
0
0Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
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INCORRECTO
La relación 1 no es función porque 4tiene dos imágenes.
ANTERIOR
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CORRECTO
La relación 1 no es función porque 4está relacionado dos veces.
ANTERIOR
![Page 36: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/36.jpg)
•En tabla de valores
2
x y
-3
4
0
8
8
8
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
![Page 37: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/37.jpg)
CORRECTO
La relación 2 es función.
ANTERIOR
![Page 38: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/38.jpg)
INCORRECTO
La relación 2 es función.
ANTERIOR
![Page 39: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/39.jpg)
•En tabla de valores
3
x y
-3
4
0
6
0
8
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
![Page 40: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/40.jpg)
CORRECTO
La relación 3 es función.
ANTERIOR
![Page 41: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/41.jpg)
INCORRECTO
La relación 3 es función.
ANTERIOR
![Page 42: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/42.jpg)
•En tabla de valores
4
x y
-3
4
0
0
-6
Es función?
SI NO
ANTERIOR
CONTINUAR
![Page 43: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/43.jpg)
INCORRECTO
La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.
ANTERIOR
![Page 44: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/44.jpg)
CORRECTO
La relación 4 no es función porque 0no tiene imagen.
ANTERIOR
![Page 45: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/45.jpg)
•En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O a b c
1
Es función?
SI NOANTERIOR CONTINUAR
![Page 46: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/46.jpg)
CORRECTO
La relación del gráfico 1 es función.
ANTERIOR
![Page 47: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/47.jpg)
INCORRECTO
La relación del gráfico 1 es función.
ANTERIOR
![Page 48: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/48.jpg)
•En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O a b c
2
Es función?
SI NOANTERIOR
CONTINUAR
![Page 49: funciones Introduccion](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022052304/5571f26f49795947648c8f68/html5/thumbnails/49.jpg)
INCORRECTO
La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen. (No cumple la condición de existencia.)
ANTERIOR
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CORRECTO
La relación del gráfico 2 no es funciónporque c no tiene imagen.
ANTERIOR
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•En gráfico cartesiano
y
x
p
n
m
O a b c
3
Es función?
SI NOANTERIOR
CONTINUAR
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CORRECTO
La relación del gráfico 3 es función.
ANTERIOR
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INCORRECTO
La relación del gráfico 3 es función.
ANTERIOR
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54
dominio: {x|x € R}, Se lee: para toda x tal quex sea elemento de losNúmeros reales.Cualquier número real puede ser evaluado en x y obtendremos un Rango real.
2) ( ) 3f x x 1) ( ) 3 4f x x dominio: {x|x≤3} Recuerda: En los
números reales no existen raícespares para númerosnegativos. Así que,
dentrodel radical no puede
haberun número negativo
Determinar dominio de una función
• Para determinar el dominio de una función se coteja cuáles serán todos los posibles valores que pueda tener x.
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dominio = {x|x ≠ 0} La división por cero no está definida, por lo
tanto, en el denominador no podemos tener 0. O sea,
no está definido.
1( )f x
x 2
2( )
4
xg x
x
dominio = {x|x >2} Dos condiciones sedeben cumplir: x-2≥0, x2-4 ≥0 x = 2 x ≠ ±2En el numerador nopodemos tener númerosnegativos dentro delradical. El denominador
no puede ser 0.
Determinar dominio de una función
0
1
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Determinar dominio de una función
Dado f(x)= 5x-7 con Dominio = {1,2,3), determina el Rango.
x f(x)= 5x-7 (x,y)
1
2
3
5 . 1 – 7=-2 (1,-2)
5 . 2 – 7=3
5 . 3 – 7=8
(2,3)
(3,8)
Rango= {-2, 3, 8}
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Práctica #5
3
12 x 52 xDado g(x) = con
Dominio= {0,1,2}, determina el Rango.
Dado h(x) =
determina el dominio.
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Contestación Práctica #5
3
12 x 52 xDado g(x) = con
Dominio= {0,1,2}, determina el co-dominio.
Dado h(x) =
determina el dominio.
x (x,y)
3
12 x
0
1
2
3
1
30
12
2
1
31
12
132
12
3
1,0
2
1,1
1,2
Dado que dentro del radical noodemos tener un negativo losvalores de x ≥ 3 y x ≤ -3
Dominio= {x| x ≥ 3 ó x ≤ -3 }
Rango = { , , 1}3
1
2
1
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Prueba de autoevaluación
Comienza la prueba
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1. ¿Qué es una relación?
Es el conjunto de las primeras coordenadas en un par ordenado
Es el conjunto de pares ordenados
Es el conjunto de las segundas coordenadas en un par ordenado
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2. Selecciona la aseveración correcta.
Toda función es una relación.
En ocasiones una función es una relación.
Toda relación es un función.
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3. Determina el Rango del siguiente conjunto de pares ordenados: {(1,8), (-
3,8), (2,8),(-6,8)}
Dominio: {1, -3, 2, 8}
Dominio: {(8,1), (8,-3), (8,2), (8,-6)}
Dominio: {8}
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4. Determina el Rango de la siguiente relación representada en
una aplicación.
Rango: {0, 1, 2, 3, 4}
Rango: {4, 5, 6}
Rango: {-4, -5, -6}
x y
01234
456
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5. ¿Cuál de las siguientes representaciones es una función?
Funciones: a y b
Funciones: a y c
Funciones: b y cx y
0123
5677
{(1,4), (2,4), (3,4)}
a.
b.
c.
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6. Determina cúal de las siguientes relaciones es una función?
Funciones: a, c y d
Funciones: b, c y d
Funciones: a, b y c
a. b.
c. d.
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7. Dado f(x)= 3x-x2 con Dominio = {1,2,3), determina el Rango.
Rango= {1, 2, 3}
Rango={ 2, 4, 6}
Rango= {0, 2}
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8. Determina el dominio de la siguiente función:
12
1 xy
Dominio = {todos los números reales)
Dominio = {todo número real excepto 0}
Dominio = {todo número real excepto 2}
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9. Determina el dominio de la siguiente función:
9
12
x
yDominio = {todos los números reales)
Dominio = {todo número real excepto x=-3}
Dominio = {todo número real excepto x=3}
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10. Determina el dominio de la siguiente función:
)9(
1
xxy
Dominio = {todos los números reales)
Dominio = {todo número real excepto x=0 y x=9}
Dominio = {todo número real excepto x=0 y x=-9}
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11. Determina el dominio de la siguiente función:
xy 3Dominio = {x: x= 3)
Dominio = {x: x 3}
Dominio = {x: x 3}
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12. Determina el dominio de la siguiente función:
)3)(2(
1
xxy
Dominio = {x|x € R}
Dominio = {x| x ≠ 2} y x ≠ -3}
Dominio = {x| x ≠ -2 y x ≠ 3}