![Page 1: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/1.jpg)
![Page 2: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/2.jpg)
FUNCION CUADRATICA
![Page 3: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/3.jpg)
-2 -1.5 -1 -0.5 0.5 1 1.5 x
-3.5
-3
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
y
O
![Page 4: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/4.jpg)
![Page 5: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/5.jpg)
DE LAS PARABOLAS…
Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura, o en el diario vivir etc.
![Page 6: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/6.jpg)
![Page 7: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/7.jpg)
![Page 8: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/8.jpg)
![Page 9: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/9.jpg)
![Page 10: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/10.jpg)
![Page 11: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/11.jpg)
![Page 12: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/12.jpg)
![Page 13: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/13.jpg)
![Page 14: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/14.jpg)
![Page 15: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/15.jpg)
![Page 16: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/16.jpg)
![Page 17: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/17.jpg)
![Page 18: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/18.jpg)
![Page 19: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/19.jpg)
FUNCION CUADRATICA
Definición. Se llama función cuadrática a una función polinómica de variable real, que tiene grado
dos. La función cuadrática tiene la forma:
El dominio de toda función cuadrática es el conjunto de los números reales,
es decir que Df = IR
IRa, b y c
![Page 20: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/20.jpg)
Representación gráfica
La gráfica de una función cuadrática, representa una parábola cuyo eje es paralelo al eje y.
Esta parábola se abre hacia arriba si a> 0, y se dice que es cóncava hacia arriba.
Ejemplo: La gráfica que corresponde a f(x) = 2x2 + 3x – 1 es:
![Page 21: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/21.jpg)
Los coeficientes a y c
“a” indica la Concavidad (abertura de la parábola), siendo mas angosta en la gráfica cuando “a” es paulatinamente mayor.
La concavidad de la parábola es hacia arriba cuando “a” es positivo, y hacia abajo cuando “a” es negativo.
“c” indica la intersección de la parábola con el eje Y.
![Page 22: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/22.jpg)
Eje de simetría La curva llamada parábola, que
corresponde a la gráfica de una función cuadrática, es simétrica con respecto a una recta que es paralela al eje y, esta recta recibe el nombre de Eje de Simetría y para determinar su valor reemplazamos las variables en la expresión…
![Page 23: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/23.jpg)
Y
0
![Page 24: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/24.jpg)
Vértice
Es el punto más alto o más bajo de la parábola. Si es cóncava hacia arriba (a >0) tendremos un punto mínimo llamado vértice.
Si es cóncava hacia abajo (a<0) el vértice será el punto máximo de la gráfica.
El vértice es un par ordenado (x,y) en donde x es el eje de simetría, e y se obtiene evaluando la función con el eje de simetría.
![Page 25: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/25.jpg)
●V
![Page 26: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/26.jpg)
●V
![Page 27: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/27.jpg)
Discriminante El estudio de discriminante Δ =b2-4ac cuyos factores
son de la Ec.Cuadrática nos señalará que: Si Δ>0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene dos
soluciones reales: la gráfica interseca en dos puntos al eje x.
Si Δ=0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 tiene una única solución real: la gráfica interseca en un punto al eje x.
Si Δ<0 entonces la ec. ax2 +bx + c = 0 no tiene soluciones reales: la gráfica no interseca el eje x
![Page 28: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/28.jpg)
Raíces de la función cuadrática
Para determinar los puntos de intersección de la función cuadrática (parábola) con el eje X se usa la siguiente fórmula:
O También
2 4
2
b b acx
a
En donde a, b y c son las variables de la función cuadrática.
![Page 29: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/29.jpg)
● ●
X1X2
![Page 30: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/30.jpg)
Estudio de la función
Corte con el eje y La función corta el eje y en el punto y
= f(0), es decir, la parábola corta el eje y cuando x vale cero (0):
lo que resulta: la función corta el eje y en el punto (0,
c), siendo c el termino independiente de la función.
![Page 31: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/31.jpg)
Corte con el eje x La función corta al eje x cuando y vale 0, dada
la función:
tendremos que:
las distintas soluciones de esta ecuación de segundo grado, son los casos de corte con el eje x, que se obtienen como es sabido por la expresión:
![Page 32: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/32.jpg)
CORTE EJE Y (X=0)
(0,C)
●
● ●
X1X2
![Page 33: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/33.jpg)
Veamos por ejemplo la función:
que cortara el eje x cuando:
a = -1; b= 4 y c = 5
![Page 34: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/34.jpg)
que tendrá por solución general:
que resulta:
![Page 35: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/35.jpg)
operando:
Los puntos: (-1,0), (5,0) son los de corte con el eje x, como se puede ver en la
figura.
![Page 36: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/36.jpg)
Ejemplo: Función cuadrática: y = 2x2 – 5 x + 1
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
6
8
10
![Page 37: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/37.jpg)
F(0)=
¿Nº de soluciones o cortes en eje X? b2 4 a c = 0 1 intersección
¿En dónde corta la curva al eje X?
22 0 5 0 1
1
Corte en eje Y, en (0,1)
Δ=
![Page 38: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/38.jpg)
a=2 b= -5 c= 1 reemplazando
Apliquemos…
2
1
2
2 ( 5) 4 2 1
2 2
2 17
4
2 17
4
2 17
4
x
x
x
x
Estos son los puntos de intersección de la curva con el eje X
![Page 39: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/39.jpg)
Eje de Simetría:
Reemplazando…( 5)
2 25
4
x
x
![Page 40: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/40.jpg)
Vértice: Valorizamos la función para x= 5/4
F(5/4)= 2
5 52 5 14 4
25 252 116 417
8
Luego V(5/4,-17/8)
![Page 41: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/41.jpg)
Por lo tanto en la función y = 2x2 – 5 x + 1
Intersecciones a. eje Y: A(0,1)
b. eje X:
2 17( ,0)
4
2 17( ,0)
4
A
B
c. Vértice de la parábola: V(5/4,-17/8)
x
y
-12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12
-4
-2
0
2
4
6
8
10
![Page 42: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/42.jpg)
Intenta analizar las siguientes funciones y grafica cada una de ellas.
1. f(x) = x2- 6x + 9
2. f(x) = x2+6x+8
3. f(x) = -x2+2x+8
4. f(x) = 2x2+x-6
![Page 43: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/43.jpg)
Mientras tanto en el 4º …
¡… ESTOS ALUMNOS SI QUE PIENSAN…!
![Page 44: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/44.jpg)
“Lento pero
seguro…”¿o NO?
![Page 45: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/45.jpg)
Veamos las respuestas…
Función1. a) Intersección eje Y: A(0,9) b) Intersección eje X: B(3,0), B(3,0) c) Eje de simetría: x=3 d) Vértice: V(3,0)
![Page 46: FUNCION CUADRATICA DE LAS PARABOLAS… Algunos alcances acerca de las parábolas tanto en la naturaleza como en el aspecto geométrico, la arquitectura,](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022100223/54bede5649795958418b7183/html5/thumbnails/46.jpg)
GRACIAS POR TU ATENCION
Lic. Pérez Melo 2010