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Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ingeniería Curso: Cálculo Avanzado
RESUMEN PEP1 CÁLCULO AVANZADO
1.- SERIE DE FOURIER
Se llama serie de Fourier de una función f(x) en el intervalo [-L,L] a:
]cos[)(1
0
xL
nsenBx
L
nAAxf n
n
n
Con:
L
l
dxxfL
A )(2
10
L
l
n dxxL
nxf
LA
cos)(
1
L
l
n dxxL
nsenxf
LB
)(
1
ATRIBUTOS DE LA FUNCIÓN
f seccionalmente continua en [a,b] si y sólo si:
(a) f es continua en [a,b] excepto en un número finito de puntos.
(b) )(lim xfax
y )(lim xfbx
existen y son finitos
(c) Si x0 e (a,b) y f no es continua en x0 entonces:
)(lim0
xfxx
y )(lim0
xfxx
existen y son finitos
f seccionalmente suave en [a,b] si f y f’ son seccionalmente continuas en [a,b].
CONVERGENCIA
f es seccionalmente suave en [-L,L] entonces la serie de Fourier de f(x) converge a:
(i)Extensión periódica de f(x) donde la función sea continua
(ii)
2
)()()(
xfxfxs
Donde la extensión periódica tenga una discontinuidad
IDENTIDAD DE PARSEVAL
f seccionalmente suave en [-L,L]
1
222
0
2 ][)(2)]([1
n
nn
L
L
BAAdxxfL
Profesor: Carlos Silva Cornejo Ayudante: Francisco Valenzuela Riquelme
DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN DE SERIES DE FOURIER
Diferenciación: Sea f(x) una función continua
xe seccionalmente suave de periodo 2L.
Entonces, la Serie de Fourier de f’(x) se puede obtener mediante diferenciación término a término. En particular si:
]cos[)(1
0
xL
nsenBx
L
nAAxf n
n
n
Entonces:
]cos[)´(1
xL
nBx
L
nsenA
L
nxf n
n
n
Integración: Sea f(x) seccionalmente continua en
[-L,L] con serie de Fourier
]cos[)(1
0
xL
nsenBx
L
nAAxf n
n
n
Entonces ],[ LLx se verifica:
1
0 cos)(n
x
Lnn
x
L
x
L
dttL
nsenBt
L
nAdtAdttf
DESARROLLO EN MEDIO RANGO
EXTENSIÓN IMPAR (SENO)
1
)(n
nsen xL
nsenBxs
Donde:
L
n dxxL
nsenxf
LB
0
)(2
EXTENSIÓN PAR (COSENO)
1
0cos cos)(n
n xL
nAAxs
Donde:
L
dxxfL
A0
0 )(1
L
n dxxL
nxf
LA
0
cos)(2
INTEGRAL DE FUNCIONES PARES E IMPARES
(a) Si f es par en [-L,L]
L
L
L
dxxfdxxf0
)(2)(
(b) Si f es impar en [-L,L]
L
L
dxxf 0)(
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS IMPORTANTES
)()()cos()cos()cos(
)cos()()cos()()(
sensen
sensensen
Entonces:
)]()([2
1)cos()( sensensen
)]cos()[cos(2
1)()( sensen
)]cos()[cos(2
1)cos()cos(
Además:
2
2cos1)(2 x
xsen
2
2cos1)(cos 2 x
x
2.- INTEGRAL DE FOURIER
Surgen del análisis de señales o funciones no periódicas. Si f(x) definida está definida en los reales
seccionalmente continua tal que
dttf )( converge.
Entonces la integral de Fourier de f se define como:
0
)]()()cos()([)( dwwxsenwBwxwAxI
Donde:
dxwxxfwA )cos()(1
)(
dxwxsenxfwB )()(1
)(
Nota: Para la estimación de la suma de una serie, surge la pregunta sobre ¿cómo sumamos y qué tan buena es esa aproximación? El matemático Suizo Leonhard Euler(1707-1783) calculó la suma de una famosa serie infinita de los números enteros positivos (1/12 + 1/22 + 1/32 ...), también conocida como Problema de Basilea. Aunque tiene infinitos términos, el resultado no es infinito sino un número exacto. Muchos matemáticos intentaron hallar la solución sin éxito (sólo se conocía el valor aproximado) y fue Euler quien lo consiguió: 1/12 + 1/22 + 1/32 + 1/42 ... = 1/1 + 1/4 + 1/9 + 1/16 ... = π2/6=Φ El resultado equivale a 1,644934... y la aparicion de PHI en el resultado es una de las curiosades de la serie. Euler realizó este descubrimiento en 1735, cuando tenía solo 28 años, aunque hasta 1741 no lo perfeccionó de forma «rigurosa».
DESARROLLO EN MEDIO RANGO
Si f(x) definida está definida en los reales positivos
seccionalmente continua tal que
0
)( dttf converge.
Entonces la integral de Fourier en cosenos de f se define como:
0
)cos()()( dwwxwAxIC ;
0
)cos()(2
)( dxwxxfwA
la integral de Fourier en senos de f se define como:
0
)()()( dwwxsenwBxI S ;
dxwxxfwB )cos()(2
)(
Para el estudio de sistemas y señales, una señal x(t) es de energía finita, o simplemente de energía si cumple
con:
dttxE2
)( . Si E la señal es de
potencia. En la Ingeniería Eléctrica, las series, integrales y transformada de Fourier son los conceptos y herramientas básicas para tener una concepción de las distintas señales que requieren ser estudiadas. La voz humana es un ejemplo de una señal que requiere ser transmitida, filtrada y correctamente decodificada.
Es por esto que el dominio ω de la frecuencia resulta fundamental
CONVERGENCIA
Si f(x) es seccionalmente continua en [-L,L] y
dttf )( convergente, entonces:
2
)()()(
xfxfxI
Para todo x donde )(' xf L y )(' xf R existan.
FUNCIONES VECTORIALES DE UNA VARIABLE REAL
CURVAS DE REFERENCIA
Hélice: Sea ),,(cos)( tsentttf
Doble hélice Hélice Turbinas
Círculo : la trayectoria r(t)=(cost,sent) describe un
circulo unitario x2+y2=1 Ejemplo: Colocamos un disco en el plano xy con su centro inicialmente en (0,1), de manera que la posición del centro en el tiempo esté dada por la trayectoria c(t)=(vt,1)
La curva descrita por el movimiento de un punto que está en borde de un círculo que rueda, se llama cicloide. La ecuación paramétrica que describe dicha trayectoria
es: ))cos1(),(()( tasenttatr Siendo t un parámetro real. Nota Histórica: Desde los tiempos antiguos, el círculo y la esfera han sido considerados las formas perfectas de la geometría. Para los griegos eran los símbolos de la simetría suprema de lo divino. ¿Qué formas de movimiento podrían ser las más adecuadas para describir el movimiento innmutable y eterno de los planetas? El matemático francés Blaise Pascal estudió el cicloide en 1649 a manera de distracción mientras padecía un fuerte dolor de muelas. Cuando el dolor desapareció, lo interpretó como una señal de que Dios no estaba en desacuerdo con sus ideas. Los resultados de Pascal movieron a otros matemáticos a investigar esta curva, y posteriormente fueron halladas numerosas e importantes propiedades. Una de éstas fue descubierta por el holandés Christian Huygens, quien la usó para la construcción de un reloj de péndulo “perfecto”. Otras curvas pueden obtenerse mediante la intersección de superficies. Un ejemplo clásico es la intersección de un plano con un cilindro o un cono, conformando una elipse.
Otras cónicas son posibles de obtener de la siguiente forma:
ECUACIÓN DEL SEGMENTO
La ecuación vectorial que une la punta del vector r0 con la del vector r1 es:
10)1()( rtrttr
10; t
REGULARIDAD DE UNA CURVA
Camino Regular: Se dice que r(t) describe un
camino regular si r’(t)
0 It
LONGITUD DE ARCO
b
a
dttrl )('
PARAMETRIZACIÓN POR LONGITUD DE ARCO
t
a
urdt
dsduurts )(')(')(
Si ))(),(),(()(' szsysxsr describe una curva de 3 y s
es parámetro de longitud de arco, entonces:
ds
rdsT
)(
VECTORES UNITARIOS
)('
)(')(
tr
trtT
)('
)(')(
tT
tTtN
)()()( tNtTtB
El conjunto de vectores )()()( tBtNtT
cumple con:
BNT
TBN
NTB
Además: )('')('
)('')('
trtr
trtrB
CURVATURA
)('')(')( srsTsk ;donde s es parámetro
longitud de arco
)('
)(')(
sr
sTtk
3
)('
)('')('
tr
trtr
PLANOS POR UN PUNTO DE LA CURVA
PLANO OSCULADOR
0),,( 000 Bzzyyxx
PLANO NORMAL
0),,( 000 Tzzyyxx
PLANO RECTIFICANTE
0),,( 000 Nzzyyxx
RECTAS POR UN PUNTO DE LA CURVA
RECTA TANGENTE
0),,(),,(),,( 321000 TTTtzyxzyx
RECTA NORMAL
0),,(),,(),,( 321000 NNNtzyxzyx
RECTA BINORMAL
0),,(),,(),,( 321000 BBBtzyxzyx
TORSIÓN
)()( sds
Bds N
Si 0ds
Bd entonces la torsión es cero y la curva es
denominada “plana” (contenida en el plano osculador) Además:
2
)('')('
)(''')('')(')(
trtr
trtrtrt
FÓRMULAS DE FRENET
(1)
Nkds
Td
(2)
BTkds
Nd
(3)
Nds
Bd
APLICACIÓN: MOVIMIENTO EN EL ESPACIO, VELOCIDAD Y ACELERACIÓN
Consideremos la trayectoria de la curva dada por:
Si ))(),(),(()( tztytxtr
Si x,y y z son funciones derivables 2 veces respecto al parámetro t, el vector velocidad , aceleración y el escalar rapidez se definen como:
Velocidad ))('),('),('()(')( tztytxtrtv
Aceleración ))(''),(''),(''()('')( tztytxtrta
Rapidez= 222 )(')(')(')(')( tztytxtrtv
COMPONENTES NORMAL Y TANGENCIAL DE LA ACELERACIÓN
El siguiente teorema establece que el vector aceleración está en el plano determinado por T(t) y N(t).
Teorema: Si r(t) es el vector posición de una curva suave C y N(t) existe, el vector aceleración lo podemos expresar por:
)()()( tNatTata NT
Donde:
2
2
dt
sd
v
avTav
dt
daT
2
22
'
dt
dsKaaa
v
avNaTva
TN
N
Nótese que la componente normal 0Na .La
componente normal de la aceleración también se llama componente centrípeta de la aceleración.
K es la curvatura y ds/dt es su rapidez.