8/18/2019 Formulario Analisis de Señales

1/5

SERIE DE FOURIER CON PERIODO ENINTERVALO SIMETRICO

f  ( t )=1

2a0+∑

n=1

∞

an cos( nπt  L )+∑n=1∞

bn sen( nπt  L )

a0=

1

 L∫− L

 L

f  ( t ) dt  

an=1

 L∫− L

 L

f  ( t ) cos( nπt  L )dt    (n=1,2,3,…)

bn=1

 L∫− L

 L

f  ( t ) sin( nπt  L )dt    (n=1,2,3,…)SERIE DE FOURIER CON PERIODO ARBITRARIO

f  ( t )=12

a0+∑

n=1

∞

an cos (nωt )+∑n=1

∞

bn sen (nωt )

a0=

2

T  ∫

d

d+T 

f  ( t )dt   

an=2

T  ∫

d

d+T 

f  ( t )cosnωtdt    (n=1,2,3,…)

bn=2

T  ∫d

d+T 

f  ( t )sinnωt dt    (n=1,2,3,…)

SERIE DE FOURIER COMPLEJA

f  ( t )=c0+∑−∞

∞

cn einωt 

 

c0=

1

T  ∫

d

d+T 

f  (t ) dt   

cn=1

T  ∫

d

d+T 

f  (t ) e−inωt  dt    (n=±1, ±2, ±3,…)

ESPECTRO DE AMPLITUD|Cn|

ESPECTRO DE FASEnω

CONVERSIÓN DE COEFICIENTES COMPLEJOS ATRIGONOMETRICOS (SERIE DE FOURIER)

an=2ℜ

bn=2iIm

CONVERSIÓN DE COEFICIENTESTRIGONOMETRICOS A COMPLEJOS (SERIE DEFOURIER)

c0=

1

2a

0

cn=an−i bn

2

 

TRANSFORMADA DE FOURIERf(t) F(ω)

e−at 

u (t )   1a+iω

−a∨t ∨¿e¿

2a

a2+ω2

e−at 2

√ π a e−ω2

4a

t e−at 

u(t )   1

( a+iω )2

t n−1

( n−1 ) ! e−at 

u(t )

  1

( a+iω )n

−a∨t ∨¿te

¿−4 aiω

( a2+ω2)2

−a∨t ∨¿¿ t ∨e¿

  2(a2−ω2)

( a2+ω2 )2

1

a2+t 2

−a∨ω∨¿π 

a e

¿

t 

a2+t 2

−a∨ω∨¿−iπ 2a

  ωe¿

cosbt 

a2+t 2

−a∨ω+b∨¿−a∨ω−b∨¿+e¿

e¿

π 

2a¿

sinbt 

a2+t 2

−a∨ω+b∨¿−a∨ω−b∨¿−e¿

e¿

−iπ 2a

  ¿

 A [u ( t +T )−u (t    2 AT Sa(ωT )

8/18/2019 Formulario Analisis de Señales

2/5

Ga(t )T ={ A (¿ t 0 (¿ t 2 AT Sa(ωT )

δ (t ) 1

δ (t −t 0)   e−iωt 

0

δ ' (t )  iω

δ n(t )   (iω )n

u(t )πδ  (ω )+

  1

iω

u(t −t 0) πδ  ( ω)+  1

iω e−iω t 

0

1 2πδ (ω )

t    i2πδ ' (ω )

t n

in2π δ 

n (ω )

eiω

0t 

2πδ ( ω−ω0 )

cosω0

t    π [δ (ω−ω0 )+δ ( ω+ω0 )]

sinω0

t    −iπ [δ ( ω−ω0 )−δ (ω+ω0

u(t )cosω0 t    iω

ω02

−ω2+

 π 

2

 [δ (ω−ω0 )+δ (ω+

u (t ) sinω0

t    ω0

ω0

2−ω2−

iπ 

2  [δ (ω−ω0 )−δ  (ω

1

t n

−iω ¿n−1

¿¿¿

sgn (t )   −i2ω

¿ t ∨¿   −2

ω2

TRANSFORMADA DE FOURIERf(t) F(ω)

t u(t )iπδ' ( ω)−

  1

ω2

e−at 

sin(bt )u(t )   b

( a+iω )2+b2

e−at 

cos (bt )u(t )   a+iω

( a+iω )2+b2

sinat πt 

Ga(ω)T 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DEFOURIER

f(t) F(ω)

af  ( t )+bf (f )   aF ( ω)+b F (ω )

f  ( ct )¿c∨¿ F ( ωc )

1

¿

f  ( at −t 0 )¿a∨¿e

−iωt 0

a  F ( ωa )1

¿

f  (−t )   F (−ω)

f  (t −t 0 )   F (ω )e−iωt 

0

f  (t )e−iω 0 t   F (ω−ω0 )

f  ( t )cosω0

t    1

2 F  (ω−ω0 )+

1

2 F  (ω+ω0 )

f  (t )sinω0 t    −i2

  F ( ω−ω0 )+ i

2 F (ω+ω

 F ( t )   2πf (−ω)

f ' (t )   iωF (ω)

f  n( t )   (iω )n F ( ω)

t n

f (t )(i )n

dn F  (ω )

d ωn

(−it )n f ( t )   dn F (ω )

d ω

n

∫−∞

t 

f  ( x ) dx−iω

  F (ω )+πF (0)δ (ω)

INTEGRAL TRIGONOMÉTRICA DE FOURIER

f  ( t )=1

π ∫0

∞

( A ωcosωt +Bω sinωt ) dω

 A ω=∫−∞

∞

f  ( t )cosωtdt   

B ω=∫−∞

∞

f  ( t ) sinωt dt   

INTEGRAL COMPLEJA DE FOURIER

8/18/2019 Formulario Analisis de Señales

3/5

f  ( t )=∫−∞

∞1

2π  e

−iωt ∫−∞

∞

f (τ )e−iωτ dτdω

TRANSFORMADA ZXk  X() ROCδ k   1 Todo z

δ k!k "   z− 

0  Todo z,0 si k0>0

exp∝ si k01

-u[-k-1]  z

 z−1

|z||a|

!#k  $%!k!&'  z

 z−a|z||a|

k#k  az

( z−a )2|z|>|a|

!k#k %!k!&' az

( z−a )2

|z||a|

(k&)(k)#k 

*  z

3

( z−a )3|z|>|a|

(k&)(k)+(kn)#k 

n*

 zn

( z−a )n|z|>|a|

k  z

( z−1 )2|z|>1

k 

 z ( z+1

)( z−1)3

|z|>1

(,&)#k!&  z

( z−a )2|z|>a

-!kT  z

 z−e−T |z|>e-T

./0 k ωT  z ( z−cosωT )

 z2−2 z cosωT +

|z|>1

01n k ωT   zsinωT 

 z2−2 z cosωT +

|z|>1

2k  ./0 k ωT  z ( z−!c"s ωT 

 z2−2 !z cosωT +

|z|>1

2k  01n k ωT   !z sinωT 

 z2−2 !z cosωT +

|z|>1

-!kT ./0 k ωT

 z ( z−e−T 

cos

 z2−2e−T  zcosω

|z|>1

-!kT 01n k ωT  z e−T 

sinω

 z2−2e−T  zcosω

|z|>1

{a 

0

0≤ ≤

"t"s $a%

 z & −a & 

 z & −a z & −1

|z|>0

TRANSFORMADA Z UNILATERAL

   ( z )=∑ =0

∞  x 

 z 

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA ZI3 LINEALIDAD

Z   {( x  + ) * }=( ( z)+ )+ ( z)

II3 TRASLACIÓN#3 R-t2#0/

Z   { x − 0}=  1

 z 0

 ' ( z)

43 A5#n.-

Z   { x + 0}= z 0   ( z )−∑

n=0

 0−1

 xn z 0−n

Z   x +1 = z   ( z )− z x0

Z   { x +2 }= z2 '  ( z )− z2 x0− z x 1

III3 INVERSIÓN EN EL TIEMPO

Z   { x− #  }=  ( 1, )IV3 MULTIPLICACIÓN #k 

Z   {a  x }=  

( z

a

)V3 MULTIPLICACIÓN k n (D1f-2-n.1#.16n 2-07-.t/ #

Z)

Z   { n x }=(− z   ddz )n

   ( z )

VI3 TEOREMA DEL VALOR INICIAL

lim z- ∞

 x = x0

8/18/2019 Formulario Analisis de Señales

4/5

VII3 TEOREMA DEL VALOR FINAL

lim -∞

 x =lim, -1

(1−, −1 )  ( z)

VIII3 CONVOLUCIÓN

Z   { x ∗. }=  ( z ) / ( z )=+ ( z)

 * =∑ 0=0

∞

. 0

0 x − 0

TRANSFORMADA DE FOURIER DISCRETA (TDF)

G =∑n=0

 & −1

gn e−i2 π 

 & n

gn= 1

 & ∑ =0

 & −1

G ei2 π 

 & n

TRANSFORMADA DE FOURIER R8PIDA (TRF) (9:$-0t2#0)

[G

0

G1

G2

G3

]=[1

1

1

1

1

−i−1

i

1

−11

−1

1

i−1−i

][g0

g1

g2

g3

]=[  g

0+g

1+g

2+g

3

g0−i g

1−g

2+i g

3

g0−g

1+g

2−g

3

g0+i g

1−g

2−i g

3

]TRANSFORMADA DE LAPLACE

f(t) F(0)

δ (t ) 1

u(t) 1

s

c

(c=constante)c

s

t  1

s2

t n 

(n=entero

 positivo)

n!

sn+1

t a 

(a=real) 1 (a+1)

sa+1

1

√ t    √ π 

seat 

(a=constante)1

s−a

t  eat  1

( s−a )2

t n eat  n!

( s−a )n+1

sen at  as2+a2

cos at  s

s2+a2

ebt  sen at  a

(s−b)2+a2

ebt  cos at  s−b

(s−b)2+a2

senh at  a

s2−a2

cosh at  s

s2−a2

ebt  senh at  a

(s−b)2−a2

ebt  cosh at  s−b

(s−b)2−a2

ln(t) − ln ( s)+2 s

n√ t 

s−n+1

n  1 

(1+

1

n

)TRANSFORMADA DE LAPLACE

!   [ f ( t )]=∫0

∞

e−st 

f  ( t ) dt = F (s)

PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA DELAPLACE

I3 LINEALIDAD

!   {(f (t )+ )g(t )}=(F (s)+ )G(s)

II3 TRASLACIÓN

!   {eat f  (t )}= F (s−a)

!   { f (t −a)u (t −a)}=e−as

 F (s−a)

III3 ESCALAR

!   { f (at )}=1

a F ( sa )

IV3 DERIVADA DE LA TRANSFORMADA

!   {t n

f (t ) }=(−1)n dn F (s)

d sn

8/18/2019 Formulario Analisis de Señales

5/5

V3 TRANSFORMADA DE LA DERIVADA

!   { f ' (t )}=sF ( s )− f (0)!

{f n(t )}=sn F  (s )−sn−1 f  (0 )−sn−2 f 1 (0 )−3−f  n−1

!   {f n(t )}=sn F (s )−∑

i=1

n

sn−i

f  i−1(0)

VI3 TRANSFORMADA DE INTEGRALES

! {∫4

t 

f  ( τ ) dτ }=1s F (s)VII3 TEOREMA DEL VALOR INICIAL

lims- ∞

 F (s)=0

VIII3 TEOREMA DEL VALOR FINAL

t -0+¿

f (t )lims- ∞

sF (s)=lim¿¿

lims- 0

sF (s)=limt - ∞

f (t )

IX3 FUNCIONES PERIODICAS

! { f (t )}=∫0

T 

e−st 

f  ( t ) dt 

1−e−sT 

X3 CONVOLUCIÓN

!   f  (t )∗g( t ) = F (s)0 G(s)