Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
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Formación Complementaria en Ingeniería Mecánica
Resistencia de Materiales
Índice
1. - Introducción a la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras............................. 3
1.1.- Objetivos de la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras........................... 3 1.1.1.- Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras. .......................................... 5
1.2.- Concepto de sólido elástico.......................................................................................... 6 1.2.1.- Modelos de sólidos............................................................................................... 6 1.2.2.- Propiedades del sólido deformable. ..................................................................... 6 1.2.3.- Tipos de cargas. ................................................................................................... 8 1.2.4.- Tipos de vínculos................................................................................................ 10 1.2.5.- Tipos de equilibrios............................................................................................. 12 1.2.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos. ................................................................ 16
2. - Elasticidad....................................................................................................................... 18
2.1.- Tensiones en el entorno de un punto. Definición de tensión. ..................................... 18 2.1.1.- Componentes cartesianas de tensión. ............................................................... 19 2.1.2.- Equilibrio de tensiones. ...................................................................................... 20 2.1.3.- Tensor de tensiones ........................................................................................... 23 2.1.4.- Tensiones principales y direcciones principales de tensión. .............................. 24 2.1.5.- Elipsoide de tensiones de Lamé......................................................................... 28 2.1.6.- Círculos de Morh. ............................................................................................... 29 2.1.7.- Componentes de tensión octaédrica y desviadora. ............................................ 32
2.2.- Deformaciones en el entorno de un punto.................................................................. 35 2.2.1.- Definición de deformaciones. ............................................................................. 35 2.2.2.- Condiciones de compatibilidad. .......................................................................... 37 2.2.3.- Deformaciones principales y direcciones principales de deformación................ 38
2.3.- Relaciones entre tensiones y deformaciones. ............................................................ 39
2.4.- Planteamiento general del problema elástico............................................................. 44
2.5.- Energía potencial interna............................................................................................ 46 2.5.1.- Relaciones entre la fuerza exterior y el movimiento de un sólido elástico.......... 47 2.5.2.- Expresiones de la energía potencial interna....................................................... 50 2.5.3.- Teoremas de Castigliano.................................................................................... 52 2.5.4.- Teorema de Menabrea. ...................................................................................... 54 2.5.5.- Teorema de Maxwell-Betti.................................................................................. 57
2.6.- Criterios de plastificación............................................................................................ 60
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2.6.1.- Criterio de Tresca. .............................................................................................. 61 2.6.2.- Criterio de Von Mises. ........................................................................................ 63
3. - Resistencia de Materiales. .............................................................................................. 67
3.1.- Introducción................................................................................................................ 67 3.1.1.- Ejes de estudio del elemento barra. ................................................................... 69 3.1.2.- Esfuerzos sobre la sección................................................................................. 70 3.1.3.- Relación entre esfuerzos y tensiones................................................................. 71 3.1.4.- Criterio de la rebanada. ...................................................................................... 72
3.2.- Tracción o compresión. .............................................................................................. 73 3.2.1.- Introducción........................................................................................................ 73 3.2.2.- Sistema isostático............................................................................................... 74 3.2.3.- Tensiones........................................................................................................... 76 3.2.4.- Deformaciones. .................................................................................................. 77 3.2.5.- Energía de deformación. .................................................................................... 79 3.2.6.- Sistemas hiperestáticos...................................................................................... 80
3.3.- Torsión. ...................................................................................................................... 89 3.3.1.- Introducción........................................................................................................ 89 3.3.2.- Análisis de deformaciones.................................................................................. 90 3.3.3.- Deformación angular y tensión tangencial.......................................................... 91 3.3.4.- Relación tensión tangencial-momento torsor. .................................................... 92 3.3.5.- Ángulo de torsión................................................................................................ 93 3.3.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos. ................................................................ 94
3.4.- Flexión........................................................................................................................ 95 3.4.1.- Introducción........................................................................................................ 95 3.4.2.- Flexión pura........................................................................................................ 96 3.4.3.- Criterio de signos................................................................................................ 97 3.4.4.- Análisis de tensiones.......................................................................................... 97 3.4.5.- Relaciones entre esfuerzos y tensiones. ............................................................ 99 3.4.6.- Momento resistente. ......................................................................................... 100 3.4.7.- Flexión simple. ................................................................................................. 101 3.4.8.- Criterio de signos de flexión simple. ................................................................. 102 3.4.9.- Relaciones entre esfuerzo cortante, momento flector y carga repartida........... 103 3.4.10.- Expresiones para distintas cargas.................................................................... 105 3.4.11.- Estimación de tensiones tangenciales.............................................................. 108 3.4.12.- Combinación de tensiones. .............................................................................. 110 3.4.13.- Energía de deformación. .................................................................................. 112 3.4.14.- Deformaciones. ................................................................................................ 113 3.4.15.- Sistemas hiperestáticos.................................................................................... 120 3.4.16.- Flexión desviada. ............................................................................................. 123 3.4.17.- Flexión compuesta. .......................................................................................... 127
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1. - Introducción a la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras.
La Mecánica Racional es la parte del conocimiento que se ocupa del estudio del
comportamiento del punto material y del sólido rígido, sin embargo en la naturaleza los
sólidos bajo la acción de las cargas aplicadas se deforman e incluso llegan a la rotura,
efectos que no pueden ser analizados con las hipótesis de sólido rígido, por lo que para
su consideración se requiere de distintas herramientas de análisis. La aplicación de esas
herramientas da lugar a los estudios de elasticidad, resistencia de materiales y
estructuras.
La elasticidad se ocupa del estudio de los sólidos deformables en el entorno del punto
bajo hipótesis estrictas de comportamiento, la resistencia de materiales del estudio de
los sólidos deformables que presentan ciertas particularidades geométricas (como tener
forma de barras o láminas), que permiten aplicar hipótesis simplificativas, y las
estructuras tratan de la aplicación práctica de elementos resistentes interconectados
entre sí, con las simplificaciones de la resistencia de materiales.
La frontera entre la elasticidad, la resistencia de materiales y las estructuras es por tanto
imprecisa, y el estudio de ciertos problemas en uno u otro contexto es en muchos casos
una cuestión de tradición histórica.
1.1.- Objetivos de la Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras.
El objetivo final de las materias elasticidad, resistencia de materiales y estructuras es
establecer los criterios base a conocimientos teóricos y experimentales que permitan
seleccionar el material, la forma y las dimensiones más adecuadas de los elementos de
un sistema estructural, teniendo en cuenta las condiciones de contorno (tanto fuerzas
exteriores como impedimentos al movimiento) para que cumpa con los criterios de
resistencia (de forma que se asegure su funcionalidad) y rigidez (sin que aparezcan
deformaciones excesivas) de la forma más económica posible, lo que da lugar a
sistemas resistentes complejos (Fig.1.1).
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Fig.1.1 - Aplicación práctica de elasticidad, resistencia y estructuras.
Los parámetros fundamentales que se utilizan para el estudio de estas materias son:
1- Tensiones que aparecen en cada uno de los puntos del material.
2- Deformaciones que se originan.
3- Fuerzas que aparecen en el interior del material (denominados esfuerzos).
4- Movimientos que se generan sobre el sistema.
5- Energía de deformación.
Con el análisis que se va a realizar de estos parámetros se puede comprobar que las
magnitudes máximas previstas, tanto de las tensiones como de los movimientos, son
inferiores a ciertos valores fijados de antemano por las normas.
Las propiedades del material estudiadas en estas materias son las siguientes:
Resistencia. Oposición a producirse la rotura al ser sometido a una fuerza
exterior.
Rigidez. Oposición a la aparición de deformaciones al ser sometido a una fuerza
exterior.
Estabilidad. Oposición a la aparición de grandes desplazamientos como
consecuencia de pequeñas variaciones de la carga exterior. Permite conocer la
capacidad del sistema para conservar la configuración inicial de equilibrio.
En general, los problemas que se van a resolver son de dos tipos:
Dimensionamiento. A partir de conocer el sistema de cargas que ha de actuar,
determinar para los elementos resistentes su material y geometría (tanto
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estructural, como dimensiones de barras –longitudes, secciones-), de forma que
las tensiones (o esfuerzos) y los movimientos que adquiera no sobrepasen los
valores límites prefijados de antemano.
Comprobación. A partir de conocer las fuerzas exteriores que actúan, el material
y las dimensiones y geometría de los elementos resistentes, comprobar que las
tensiones (o esfuerzos) y los movimientos no sobrepasan los valores prefijados.
1.1.1.- Elasticidad, Resistencia de Materiales y Estructuras.
Las definiciones de cada uno de estos campos del conocimiento son:
Elasticidad. Es el estudio de las tensiones y deformaciones que aparecen en el
entorno de los puntos de un sólido deformable utilizando la formulación sin
simplificaciones. Debido a su complejidad y a que el número de puntos de un
sólido es infinito, su aplicación se desarrolla únicamente en casos sencillos.
Resistencia de Materiales. Es el estudio de esfuerzos y movimientos en el
entorno de las secciones, y tensiones y deformaciones que aparecen en el
entrono de los puntos de un sólido deformable mediante la introducción de
hipótesis simplificativas respecto de las existentes en la elasticidad.
Teoría de Estructuras. Es el estudio de esfuerzos, tensiones, movimientos y
deformaciones que aparecen un conjunto de sólidos deformables interconectados
entre sí, introduciendo hipótesis simplificativas y teniendo en cuenta su
interrelación dentro del sistema estructural.
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1.2.- Concepto de sólido elástico.
Existen distintas clasificaciones de los sólidos mecánicos en función de la característica
específica que se estudia, dando lugar a distintos modelos mecánico-matemáticos de
comportamiento.
1.2.1.- Modelos de sólidos.
En función de las características que se tienen en cuenta en el sólido en estudio, se le
asigna un modelo que facilita el análisis de su comportamiento. Los modelos más
característicos son:
Sólido rígido. Es aquél que, independientemente de las cargas que lo solicitan, la
distancia entre dos puntos arbitrarios no varía (no se considera su deformabilidad)
y nunca llega a la rotura. Se aplica en estudios mecánicos.
Sólido deformable. Aquél que, debido a las cargas que lo solicitan, la distancia
entre dos puntos arbitrarios varía en función de la magnitud de dicha carga. Se
utiliza en estudios de elasticidad, resistencia de materiales y estructuras.
Sólido verdadero. Es aquel que es deformable frente a estados de carga, pero
que no cumple con las simplificaciones básicas del sólido deformable.
1.2.2.- Propiedades del sólido deformable.
Asociado al modelo de sólido deformable se tiene en cuenta una serie de características
que simplifican el modelo mecánico-matemático a utilizar como son:
Continuidad. No se consideran la existencia de huecos sin materia entre las
partículas del sólido.
Homogeneidad. Todas las partículas poseen las mismas características
mecánicas.
Isotropía. Las propiedades físicas de las partículas son las mismas en cualquier
dirección en la que se realice el análisis (no se tienen en cuenta cambios de
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propiedades del material debidos a tratamientos como laminados).
Proceso de carga. Las cargas son aplicadas de forma lenta y progresiva con
ausencia de efectos dinámicos (en contraposición a procesos de carga rápidos o
de impacto). Esto produce movimientos lentos y permite despreciar los efectos
inerciales sin gran error. Como consecuencia, el equilibrio estático se debe
satisfacer en cualquier instante del proceso de carga.
Comportamiento elástico. El sólido recupera su geometría inicial cuando cesa la
aplicación de las cargas.
Material dúctil. Es aquel que superado el límite elástico adquiere
deformaciones plásticas (Fig. 1.2).
Material frágil. Es aquel que superado el límite elástico se rompe sin
deformación plástica (Fig. 1.2).
σ
ε
σe
εe
σ
ε
σe
εe εp
σR
Fig. 1.2 – Comportamiento de material dúctil y frágil.
Comportamiento lineal. Existe proporcionalidad lineal entre las fuerzas que
actúan en el sólido y las deformaciones que éstas producen.
Rigidez relativa. Aunque el sistema resistente adquiere desplazamientos, estos
son tan pequeños respecto de las dimensiones del sistema que para el estudio del
equilibrio estático se desprecian, de forma que dicho estudio se realiza
directamente sobre la configuración indeformada del sistema resistente.
Superposición de efectos. Si el comportamiento del material es lineal, el orden
en el que se apliquen las cargas es indiferente.
Principio de Saint-Venant. A partir de una pequeña distancia del punto de
actuación de una fuerza, las tensiones y deformaciones son prácticamente
iguales para todos los sistemas de fuerzas estáticamente equivalentes a ella.
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1.2.3.- Tipos de cargas.
Las fuerzas y momentos que actúan en los sólidos mecánicos se pueden clasificar según
distintos criterios.
a) En función a su capacidad para generar u oponerse al movimiento pueden ser:
1- Activas. Las que tienden a generar movimiento.
1.1- Fuerzas. Son las que generan traslaciones sobre el sólido.
1.1.1- Fuerzas de volumen. Actúan en los puntos del dominio
sólido y son debidas a campos de fuerza como el gravitatorio.
1.1.2- Fuerzas de superficie. Actúan en el contorno exterior del
sólido.
En función del punto en el que actúan se clasifican en:
1.1.2.1- Concentradas. Las que actúan en un punto (Fig.
1.3).
Fig. 1.3 - Fuerza concentrada.
1.1.2.2- Repartidas. Las que actúan sobre un dominio que
puede ser una longitud o superficie (Fig. 1.4).
Fig. 1.4 - Fuerza repartida sobre una longitud.
1.2- Momentos. Son las que generan giros sobre el sólido. Igual que las
fuerzas pueden hallarse concentradas en un punto o repartidas sobre una
longitud (Fig. 1.5).
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Fig. 1.5 - Momento concentrado.
2- Reactivas. Son las que se oponen al movimiento. Las fuerzas reactivas se
consideran de forma puntual.
3- Interiores. Son las que aparecen en los puntos de las secciones imaginarias
realizadas al material.
b) En función del tiempo de actuación en el sistema:
1- Cargas permanentes. Son las que existen de forma invariable manteniendo su
magnitud y posición en el tiempo.
2- Cargas accidentales o sobrecargas. Son las que, independientemente de la
probabilidad con la que puedan afectar a la estructura, hay que tener en cuenta en
el cálculo. Su aplicación aparece indicada en la normativa.
c) En función de que exista o no movimiento:
1- Cargas estáticas. Aquellas en las que el punto de aplicación, la magnitud y
posición varían tan lentamente que se puede despreciar el efecto de las fuerzas
de inercia.
2- Cargas dinámicas. Aquellas en las que sus características varían de forma
sensible con el tiempo.
Dentro de las cargas dinámicas se pueden dividir en:
2.1- Cargas cíclicas. Cuando el módulo de la carga varía con el tiempo de
forma periódica.
2.2- Cargas de choque o impacto. Cuando actúan en un intervalo de
tiempo muy breve.
Se denomina campo de carga cada uno de los dominios en los que se puede definir el
estado de carga mediante una única expresión matemática.
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1.2.4.- Tipos de vínculos.
Los vínculos son condiciones de contorno que impiden el movimiento y generan fuerzas
reactivas incógnitas. El efecto de estas fuerzas depende de las cargas exteriores y del
tipo de vínculo. Para su clasificación se va a definir una serie de conceptos, como son:
Grados de libertad de un sistema. Es el número de posibles movimientos
(desplazamientos y giros) que puede tener un sistema vinculado. Depende del número
de dimensiones del dominio de estudio (3D-2D-1D), del modelo de estudio (punto, sólido
rígido) y de la vinculación del sistema.
Teniendo en cuenta el número de grados de libertad, los sólidos se pueden clasificar en:
1- Sólido libre. Es aquel que no está vinculado. El número de grados de libertad
depende del modelo y dimensión de estudio. Los casos más característicos son:
1.1- Punto en el espacio. (3D). Tiene tres grados de libertad (ux, vy, wz)
asociados a tres componentes de desplazamiento cartesianas (xyz).
1.2- Punto en un plano (2D). Tiene dos grados de libertad (ux, vy)
asociados a dos componentes de desplazamiento cartesianas (xy).
1.3- Punto en una línea (1D). Tiene un grado de libertad (ux) asociado a
una componente de desplazamiento cartesiana (x).
1.4- Sólido en el espacio (3D). Tiene seis grados de libertad (ux, vy, wz, θx,
θy, θz) asociados a tres desplazamientos y tres de giro cartesianas (xyz).
1.5- Sólido en un plano (2D). Tiene tres grados de libertad (ux, vy, θx)
asociado a dos desplazamientos y un giro cartesianas (xy).
1.6- Sólido en una línea (1D). Tiene dos grados de libertad (ux, θx)
asociado a un desplazamiento y un giro cartesiano (x).
2- Sólido vinculado. Es aquel que no tiene movimiento. A cada grado de libertad
impedido por el efecto de un vínculo corresponde una componente de reacción,
de forma que si se impide un desplazamiento aparece una fuerza vincular y si se
impide un giro aparece un momento vincular.
Tipos de vínculos.
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Según el dominio en que se estudie el sólido, el número de componentes de los vínculos
varía. Los casos más característicos son:
1- Sólido en el espacio (3D).
1.1- Apoyo empotrado. Impide tres componentes de desplazamiento y
tres de giro, produciendo seis incógnitas vinculares (Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz)
en coordenadas cartesianas (xyz) (Fig. 1.6).
Fig. 1.6 - Empotramiento tridimensional.
1.2- Apoyo articulado. Impide tres componentes de desplazamiento,
produciendo tres incógnitas vinculares (Rx, Ry, Rz) en coordenadas
cartesianas (xyz) (Fig. 1.7).
Fig. 1.7 - Articulación tridimensional.
2- Sólido en el plano (2D).
2.1- Apoyo empotrado. Impide dos componentes de desplazamiento y un
giro, produciendo tres incógnitas vinculares (Rx, Ry, Mx) en coordenadas
cartesianas (xy) (Fig. 1.8).
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Fig. 1.8 - Empotramiento bidimensional.
2.2- Apoyo articulado.
2.2.1- Fijo. Impide dos componentes de desplazamiento,
produciendo dos incógnitas vinculares (Rx, Ry) en coordenadas
cartesianas (xy) (Fig. 1.9).
Fig. 1.9 - Apoyo articula fijo bidimensional.
2.2.2- Móvil. Impide una componente de desplazamiento, produce
una incógnita vincular (Ry) en coordenadas cartesianas (xy) (Fig.
1.10).
Fig. 1.10 - Apoyo articula móvil bidimensional.
1.2.5.- Tipos de equilibrios.
Se van a considerar los distintos tipos de equilibrios de fuerzas que aparecen en el
estudio estático respecto de un sistema de referencia cartesiano de ejes xyz.
1- Equilibrio estático. Para que un sólido se encuentre en equilibrio estático son
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condiciones necesarias y suficientes las siguientes:
Sumatorio de fuerzas exteriores igual a cero. La suma de todas las fuerzas que
actúan en el sólido ha de ser nula. Con esto se asegura que el elemento no tiene
movimientos de traslación como sólido rígido.
0F0F0F zyx === ∑∑∑
Sumatorio de momentos igual a cero. La suma de los momentos de todas las
fuerzas que actúan en el sólido respecto de un punto arbitrario ha de ser nula. Con
esto se asegura que el elemento no tiene movimientos de rotación como sólido
rígido (fig. 1.11).
0M0M0M AzAyAx === ∑∑∑
1Fr
2Fr
3Fr
4Fri
Fig. 1.11 - Sólido en equilibrio estático.
2- Equilibrio elástico. Como se verá a continuación, a los sólidos se les puede
seccionar de forma ideal. El equilibrio elástico parece cuando en el sólido se ha
seccionado mediante un plano imaginario en dos elementos. Para que uno de los
elementos esté en equilibrio elástico vuelven a ser condiciones necesarias y
suficientes las de equilibrio estático, pero en este caso las fuerzas que se tienen
en cuenta no son solo las que actúan en el elemento seccionado, sino que a éstas
se añaden las de los puntos de la sección de corte.
3- Equilibrio dinámico. Para que un sólido se encuentre en equilibrio dinámico
son condiciones necesarias y suficientes las siguientes:
GzzGyyGxx maFmaFmaF === ∑∑∑
GzGzGyGyGxGx HMHMHM &&& === ∑∑∑
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A los modelos mecánico-matemáticos de sólido rígido y deformable se les puede aplicar
un procedimiento denominado método de las secciones:
Método de las secciones. Todo sólido sometido a un sistema de fuerzas
exteriores en equilibrio se puede seccionar de forma imaginaria mediante un
plano, de forma que queda dividido en dos elementos. Al aislar cada uno de los
elementos se generan dos superficies de corte, una en cada elemento, tal como
muestra la Fig. 1.12.
1Fr
2Fr
3Fr
4Fr
3Fr
4Fr
1Fr
2Fr
Elemento 1 Elemento 2
1,i'Fr
2,i'Fr
i i i
Fig. 1.12 – Sólido antes y después de seccionar y aislar cada elemento.
Al considerar la sección imaginaria, en cada punto de la superficie del elemento 1
aparece una fuerza interior 1,i'Fr
. Esta fuerza es la misma magnitud y sentido
contrario que la que aparece en el mismo punto (i) pero de la superficie
correspondiente al otro elemento 2,i'Fr
(Fig. 1.12), con lo que la resultante de
fuerzas de dicho punto es
2,i1,i 'F'Frr
−=
de forma que, si el sólido no se secciona, dichas fuerzas se equilibran entre sí y no
se consideran en el equilibrio estático del sólido sin seccionar.
0F0'F'F
0'F'FFi
2,i1,i
2,i1,ii rrrrr
rrrr
=⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=+
=++∑
∑∑
∑∑∑
Para el elemento aislado 1 el sistema formado por las fuerzas interiores en los
puntos de la sección ( ∑ 1,i'Fr
) y las fuerzas exteriores que existen sobre ese
elemento ( ∑ iFr
) lo mantienen en equilibrio, luego las fuerzas interiores que
aparecen en la sección son equilibrantes de las fuerzas exteriores del elemento
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aislado. Por ejemplo para el elemento 1 de la Fig. 1.12 sería
0'FFF 1,i21
rrrr=++ ∑ 0MMM 1,i21 'F
AFA
FA
rrrr rrr
=++ ∑
mientras que para elemento 2
0'FFF 2,i43
rrrr=++ ∑ 0MMM 2,i43 'F
AFA
FA
rrrr rrr
=++ ∑
Al mismo tiempo, para que se mantenga el equilibrio que existía en el sólido antes
de seccionarlo y aislarlo, el sistema de fuerzas interiores en los puntos de cada
sección ha de ser equivalente a las fuerzas exteriores que actúan en el otro
elemento del sólido. Por ejemplo para la sección 1
∑∑∑∑∑
∑=+⇒=−=+⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=++2,i212,i1,i21
2,i1,i
1,i21 'FFF'F'FFF'F'F
0'FFF rrrrrrrrr
rrrr
∑∑∑∑∑
∑=+⇒=−=+⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=++212,i1,i21
2,i1,i
1,i21FA
FA
FA
'FA
'FA
FA
FA'F
A'F
A
'FA
FA
FA MMMMMMM
MM
0MMM rrrrrrr
rr
rrr
rrrrrrr
rr
rrrr
mientras que para la sección 2
∑∑∑∑∑
∑=+⇒=−=+⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=++1,i431,i2,i43
2,i1,i
2,i43 'FFF'F'FFF'F'F
0'FFF rrrrrrrrr
rrrr
∑∑∑∑∑
∑=+⇒=−=+⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
−=
=++1,i431,i2,i43
2,i1,i
2,i43'F
AFA
FA
'FA
'FA
FA
FA'F
A'F
A
'FA
FA
FA MMMMMMM
MM
0MMM rrrrrrr
rr
rrr
rrrrrrr
rr
rrrr
La descomposición de la resultante de fuerzas interiores ( Rr
) sobre unos ejes
cartesianos que pasan por el centro de gravedad de la sección da lugar al
esfuerzo axil ( xN ) y a los esfuerzos cortantes ( zy T,T ), mientras que la
descomposición de el momento resultante de las fuerzas interiores respecto del
centro de gravedad ( GMr
) en los mismos ejes da lugar al momento torsor ( xM ) y a
los momentos flectores ( zy M,M ) (Fig. 1.13).
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x
y z
F1
F2
F3
G
My
Mz
MT
MR
x
yz
F1
F2
F3
G
Ty
Tz
Nx
R
Fig. 1.13 – Esfuerzos y momentos sobre la sección.
Como ya se ha indicado, los sólidos deformables tiene la propiedad de que la distancia
entre dos puntos varía debido al estado de cargas. Teniendo en cuenta el tipo de
deformación, los sólidos se pueden clasificar en:
1- Elásticos. Cuando al desaparecer las fuerzas que lo solicitan recuperan la
forma inicial sin ninguna deformación residual.
2- No elásticos. Cuando al desaparecer las fuerzas que lo solicitan no recuperan
su forma inicial, sino que mantienen una deformación residual permanente.
En función de la relación que existe entre las fuerzas aplicadas y los movimientos que
adquiere el sólido (o las tensiones y deformaciones en el entorno del punto) su
comportamiento se clasifica en:
1- Lineal. Cuando la relación se puede expresar mediante funciones matemáticas
de primer grado.
2- No lineal. Cuando la relación se puede expresar con funciones de grado
superior al primero.
1.2.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos.
Antes de poder utilizar el método de las secciones en un sistema y obtener los esfuerzos
que aparecen en dicha sección, en general es necesario determinar las magnitudes de
sus vínculos, incógnitas desconocidas a priori.
Para su determinación se han de utilizar las ecuaciones de equilibrio estático, que en el
caso general de sólido rígido tridimensional permiten plantear un máximo de seis
ecuaciones linealmente independientes (tres de fuerzas y tres de momentos), con las
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que se pueden obtener seis incógnitas. Por ello, el número máximo de vínculos de un
sistema que se pueden obtener utilizando únicamente las ecuaciones de la estática no
puede ser superior a seis.
En casos bidimensionales el número máximo de ecuaciones estáticas es tres, y por ello
ese es el número de vínculos que se pueden obtener utilizando dichas ecuaciones. En
función de que los vínculos puedan ser resueltos por las ecuaciones de equilibrio los
sistemas se dividen en:
Sistemas isostáticos. Son aquellos cuyos vínculos se pueden obtener únicamente con
las ecuaciones de la estática (Fig. 1.14).
Fig. 1.14 - Sistemas isostáticos.
Sistemas hiperestáticos. Son aquellos cuyos vínculos son sobreabundantes y no se
pueden obtener únicamente con las ecuaciones de la estática. Para su determinación
hay que hacer intervenir también las ecuaciones de energía o compatibilidad y
comportamiento.
Se denomina grado de hiperestaticidad al exceso de incógnitas respecto del número de
ecuaciones de equilibrio. Ejemplos de sistemas hiperestáticos (Fig. 1.15)
Fig. 1.15 - Viga con extremos articulado fijo-articulado fijo y empotrado-articulado móvil.
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2. - Elasticidad.
2.1.- Tensiones en el entorno de un punto. Definición de tensión.
Si se considera un prisma mecánico sometido a una solicitación exterior en equilibrio
estático y se secciona de forma imaginaria en dos elementos mediante un plano, al aislar
uno de ellos también se encuentra en equilibrio. Para ello se ha de tener en cuenta la
distribución continua de fuerzas interiores que actúa en cada uno de los puntos de la
sección imaginaria realizada (Fig. 2.1 a).
P P
Δs
a) b)
Fr
ΔTr
Fig. 2.1 – a) Esfuerzos en la sección y b) Tensiones en el entrono de un punto.
Si se aísla uno de los puntos de la sección (P, Fig. 2.1 b), a la resultante de la fuerza que
actúa sobre él ( Fr
Δ ) por unidad de área de su entorno infinitesimal ( sΔ ) contenido en el
plano de corte se le denomina tensión (Tr
), vector que viene definido por la expresión:
dsFd
sFlimT
0s
rrr
==→ Δ
ΔΔ
Si el plano de corte varía de orientación pasando por el mismo punto, el vector tensión
varía de magnitud y dirección. A partir de este concepto se puede obtener una conclusión
importante, la tensión de un punto depende de la orientación del plano que pasa por él,
por lo que existen tantas tensiones como planos pasan por un punto. Como por un punto
pueden pasar infinitos planos, existen infinitos vectores tensión actuando en un punto.
Las tensiones se miden en unidades de fuerza partido por unidad de superficie.
En el sistema internacional de medidas se denomina Pascal a la unidad de fuerza en
Newtons dividido entre el área en metros cuadrados
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19/129
2mNPa =
Son de uso muy común sus múltiplos kilopascal ( KPa ), megapascal ( MPa ) y gigapascal
(GPa )
Pa10KPa 3= Pa10MPa 6= Pa10GPa 9=
Otras unidades utilizadas son las del sistema terrestre en las que la fuerza se define en
kilogramosfuerza ( kgf ) o kilopondios ( kp ), siendo las tensiones definidas en
kilogramosfuerza o kilopondios partido por centímetro cuadrado
22 cmkp
cmkgf
=
La relación que existe entre la tensión en sistema internacional y en sistema terrestres es
( )
MPa1mN10
mN108,9
mN108,910
cm100m1kgf8,9N1
cmkgf10
cmkgf10 2
62
52
4
2
222 =≈=⋅==
2.1.1.- Componentes cartesianas de tensión.
A la componente de la tensión en la dirección normal al plano de estudio se la denomina
tensión normal (σ), mientas que a la proyección de la tensión sobre el plano se la
denomina tensión tangencial (τ), siendo ambas denominadas componentes intrínsecas
de la tensión.
Si se considera el entorno infinitesimal cúbico de un punto (P) cuyas aristas son paralelas
a los ejes de un sistema cartesiano de referencia, para cada uno de los planos de las
caras del cubo existe un vector tensión. Este vector se puede descomponer en
componentes intrínsecas normales y tangenciales tal como se indica en la Fig. 2.2.
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20/129
σy
σz
σx
τxy
τxz
τyx
τ'yz
τzy
τzx
Τ1
Τ2
Τ3
x
y
z
Τ1
Τ2
Τ3
Fig. 2.2 – Tensiones en las caras de un entorno cúbico y descomposición en
componentes intrínsecas según un sistema cartesiano
La notación que se va a utilizar para la denominación de las tensiones se denomina
ingenieril, y se basa en denominar las componentes intrínsecas de las tensiones (normal
y tangencial) mediante las letras griegas sigma y tau (σ,τ), respectivamente, utilizando un
subíndice en las tensiones normales (σ), correspondiente al eje al que es paralelo, y dos
subíndices en las tensiones tangenciales (τ), correspondientes a los ejes a los que es
perpendicular y paralelo, respectivamente.
Existe otro tipo de notación, denominada científica, basada en denominar tanto las
componentes normal y tangencial con la letra sigma (σ) poniendo el mismo subíndice
repetido en las tensiones normales y dos subíndices en las tensiones tangenciales,
correspondientes a los ejes a los que es perpendicular y paralelo, respectivamente.
El criterio de signos que se va a utilizar considera las tensiones positivas en las caras
vistas del cubo cuando tienen el sentido de los ejes cartesianos, y en las caras ocultas en
sentidos contrarios a los cartesianos (Fig. 2.2).
2.1.2.- Equilibrio de tensiones.
En este análisis se distinguirán con una tilde las tensiones de las caras vistas, de
coordenadas cartesianas x+dx, y+dy y z+dz, siendo las coordenadas x, y, z las de las
caras ocultas (Fig. 2.3). Las relaciones que existen entre las magnitudes de las tensiones
correspondientes a caras paralelas son:
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σx
σ'y σy
σ'z
σz
σ'x
τ'xy
τ'xz
τxy
τxz
τ'yx
τ'yzτyx
τyz
τ'zy
τ'zx
τzy
τzx
dx
dy
dz
x
y
z
Fig. 2.3 – Componentes cartesianas de tensión.
dzz
'dzz
'dxz
'
dyy
'dyy
'dyy
'
dxx
'dxx
'dxx
'
zyzyzy
zxzxzx
zzz
yzyzyz
yxyxyx
yyy
xzxzxz
xyxyxy
xxx
∂
∂+=
∂∂
+=∂
∂+=
∂
∂+=
∂
∂+=
∂
∂+=
∂∂
+=∂
∂+=
∂∂
+=
τττ
τττσσσ
τττ
τττ
σσσ
τττ
τττ
σσσ
El momento respecto del centro de masas del cubo en componente x debido a las
tensiones de su entrono es
0dydx2dzdydx
2dz'dzdx
2dydzdx
2dy'M zyzyyzyzGx =⋅⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅=∑ ττττ
0dydx2dzdydx
2dzdz
zdzdx
2dydzdx
2dydy
yM zy
zyzyyz
yzyzGx =⋅⋅⋅−⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+−⋅⋅⋅+⋅⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+=∑ τ
τττ
ττ
expresión en la que eliminando infinitésimos de orden superior al tercero se obtiene
0dzdydxdzdydxM zyyzGx =⋅⋅⋅−⋅⋅⋅=∑ ττ
con lo que se deduce el principio de reciprocidad de tensiones tangenciales aplicado a la
componente x del momento
zyyz ττ =
A partir de las demás componentes del momento, se generaliza el principio de
reciprocidad de tensiones tangenciales
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22/129
yxxy ττ = zxxz ττ = zyyz ττ =
con lo que las magnitudes de las componentes tangenciales con subíndices permutados
son iguales.
Si sobre el paralelepípedo actúan en su centro de gravedad la fuerza de masa por unidad
de volumen de componentes bX, by, bz, de la ecuación de equilibrio estático respecto del
eje x se obtiene
0dzdydxbdydxdydx'
dzdxdzdx'dzdydzdy'F
xxzxz
yxxyxxx
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅+
+⋅⋅−⋅+⋅⋅−⋅=∑ττ
ττσσ
0dzdydxbdydxdydxdzz
dzdxdzdxdyy
dzdydzdydxx
F
xxzxz
xz
yxxy
xyxx
xx
=⋅⋅⋅+⋅⋅−⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
++
+⋅⋅−⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂++⋅⋅−⋅⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+=∑
τττ
ττ
τσσ
σ
expresión en la que simplificando
0dzdydxbdydxdzz
dzdydxy
dzdydxx
F xzxxyx
x =⋅⋅⋅+⋅⋅∂
∂+⋅⋅
∂
∂+⋅⋅
∂∂
=∑ττσ
o bien
0bzyx
F xzxxyx
x =+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=∑ττσ
correspondiente a la ecuación de equilibrio interno o de Cauchy en componente x. A
partir de las demás componentes de fuerza se obtienen las otras ecuaciones, que en su
conjunto son
0bzyx
F
0bzyx
F
0bzyx
F
zzyzxz
z
zyzyxy
y
xzxxyx
x
=+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
=+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=
∑
∑
∑
σττ
τστ
ττσ
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23/129
2.1.3.- Tensor de tensiones
El conocimiento de las seis componentes independientes de tensión del entorno cúbico
de un punto (σx, σy, σz, τxy, τxz, τyz) permite determinar el vector tensión (Tr
) asociado a un
plano de orientación arbitraria (Fig. 2.4), definida por el vector unitario nr
de
componentes (l, m, n), que viene expresado mediante la relación matricial
σx
σy
Tr
σz
τxy
τxz
τyx
τyz
τzy
τzx
nr
σ
τ
Fig. 2.4 – Tensión en un plano.
nmlT
nmlT
nmlT
zyzxzz
yzyxyy
xzxyxx
σττ
τστ
ττσ
++=
++=
++=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nml
TTT
zyzxz
yzyxy
xzxyx
z
y
x
στττστττσ
{ } [ ]{ }nT τ=
donde la matriz [ ]τ se denomina tensor de tensiones o de Cauchy.
La componente normal de la tensión asociada al plano de estudio se puede obtener
fácilmente proyectando el vector tensión sobre la normal al plano, mientras que la
componente tangencial se obtiene a partir del cateto del triángulo rectángulo generado
nTmTlTnml
TTT
nT zyx
z
y
x
++=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧⋅
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=⋅=
rrσ 22222 TT σττσ −=⇒+=
En estudios bidimensionales en el plano xy el tensor de tensiones se reduce a
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
yxy
xyx
σττσ
τ
y la tensión de un punto se obtiene mediante
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
ml
TT
yxy
xyx
y
x
σττσ
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2.1.4.- Tensiones principales y direcciones principales de tensión.
Conocido el tensor de tensiones de un punto [ ]τ se puede desarrollar el problema de
autovalores y autovectores con el que se determinan las tensiones y direcciones
principales de tensión asociadas a planos en los que las componentes tangenciales son
nulas.
La determinación de las tensiones principales se realiza a partir de resolver un sistema
de ecuaciones homogéneo, obtenido de que la tensión en un plano ( Tr
) tenga la
dirección del vector normal al plano ( nr
) de forma que las componentes tangenciales
sean nulas (Fig. 2.5)
Y
Z
X
e1
e2
e3
1σ
σ 2
σ 3
Fig. 2.5 – Tensiones principales.
{ } [ ]{ } { }nnT λτ == ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nml
nml
TTT
zyzxz
yzyxy
xzxyx
z
y
x
λστττστττσ
o bien,
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
000
nml
zyzxz
yzyxy
xzxyx
λστττλστττλσ
siendo λ un escalar. Para que exista solución diferente a la trivial (l=m=n=0) se tiene que
cumplir que el determinante de los coeficientes sea nulo
0
zyzxz
yzyxy
xzxyx
=−
−−
λστττλστττλσ
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expresión que da lugar a la ecuación característica del tipo
0III 322
13 =−++− λλλ
donde I1, I2, I3, son los invariantes lineal, cuadrático y cúbico respectivamente, de valores
zyx1I σσσ ++= zyz
yzy
zxz
xzx
yxy
xyx2I
σττσ
σττσ
σττσ
++= τστττστττσ
==
zyzxz
yzyxy
xzxyx
3I
A partir de la ecuación característica se pueden obtener tres raíces reales ( 321 ,, λλλ )
correspondientes a las tensiones principales (o autovalores) buscadas. Como criterio,
estas raíces se ordenan de menor a mayor
321
33
22
11
322
13 con0III σσσ
σλσλσλ
λλλ ≤≤⎪⎩
⎪⎨
⎧
===
⇒=−++−
luego el tensor de tensiones principales [ ]pτ tendría de componentes
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
3
2
1
p00
0000
σσ
στ
La determinación de las direcciones principales de tensión se realiza a partir de
solucionar el problema de autovectores, obteniendo las incógnitas li,mi,ni para cada uno
de los autovalores ( iλ ), o lo que es lo mismo, resolviendo el sistema de ecuaciones
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
i
i
i
i
i
i
i
zyzxz
yzyxy
xzxyx
z
y
x
nml
nml
TTT
λστττστττσ
⇒ ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−
−
000
nml
i
i
i
izyzxz
yziyxy
xzxyix
λστττλστττλσ
en el que se sustituye el parámetro iλ por cada un de los autovalores obtenidos
anteriormente. El sistema de ecuaciones obtenido es linealmente dependiente, por lo
que para tener una solución se elimina una de las ecuaciones dependientes y se
sustituye por la ecuación fundamental de los vectores unitarios
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1nml 2i
2i
2i =++
luego el sistema de ecuaciones a resolver para cada autovalor i es
3,2,1icon
1nml
00
nml
2i
2i
2i
i
i
i
yziyxy
xzxyix
=
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
=++
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−τλστττλσ
Los autovectores obtenidos son del tipo
{ } { } { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
3
3
3
3
2
2
2
2
1
1
1
1
nml
enml
enml
e
son ortogonales entre sí y normalizados. Como última condición se debe de imponer que
el triedro que generen se directo, por lo que han de cumplir que
( ) 1eee 321 =×⋅rrr
En sistemas bidimensionales en el plano xy el procedimiento es equivalente. En este
caso se parte de un tensor de tensiones bidimensional
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2xy
xyx
σττσ
τ
Para que exista solución diferente a la trivial (l=m =0) se tiene que cumplir que el
determinante de los coeficientes sea nulo
0yxy
xyx =−
−λστ
τλσ
expresión que da lugar a la ecuación característica del tipo
0II 212 =−+− λλ
donde I1, I2 son los denominados invariantes lineal y cuadrático, respectivamente de
valores,
yx1I σσ += yxy
xyx2I
σττσ
=
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A partir de la ecuación característica se pueden obtener dos raíces ( 21 ,λλ ) reales que se
ordenan de menor a mayor, correspondientes a las tensiones principales buscadas,
2122
1121
2 con0II σσσλσλ
λλ ≤⎩⎨⎧
==
⇒=−+−
luego el tensor de tensiones principales sería
[ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=
2
1p 0
0σ
στ
A diferencia del caso tridimensional, en este caso las raíces de la ecuación característica
son fáciles de obtener mediante ecuaciones predeterminadas
( ) ( ) ( ) ( ) ( )=
−−+±+=⇒=−++−
2
40
2xyyx
2yxyx
2,12xyyxyx
2 τσσσσσσλτσσλσσλ
por lo que finalmente
( ) 2xy
2yxyx
2,1 22τ
σσσσλ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −±
+=
La determinación de las direcciones principales de tensión se realiza a partir de
solucionar el problema de autovectores, o lo que es lo mismo, resolver el sistema de
ecuaciones
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−
00
ml
i
i
iyxy
xyix
λσττλσ
en el que se sustituye el parámetro iλ por cada un de los autovalores anteriores. El
sistema de ecuaciones es linealmente dependiente por lo que para poder obtener una
solución se elimina una de las ecuaciones y se sustituye por la ecuación fundamental de
los vectores unitarios
1ml 2i
2i =+
luego el sistema de ecuaciones a resolver para cada autovalor i es
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[ ]2,1icon
1ml
00
ml
2i
2i
i
ixyix
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
=+
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
− τλσ
y los vectores obtenidos son del tipo
{ } { }⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=2
22
1
11 m
le
ml
e
Aunque no se demuestre es importante indicar que las tensiones y direcciones
principales de tensión son invariantes para cada punto, al mismo tiempo que la tensiones
principales son siempre valores reales.
2.1.5.- Elipsoide de tensiones de Lamé.
Como ya se ha indicado, en un punto aparecen infinitas tensiones. El lugar geométrico
de los extremos de los vectores tensión asociado a todos los planos que pasan por un
punto forma un elipsoide denominado de tensiones o Lamé.
Para su determinación se considera la tensión (Tr
) para una dirección arbitraria de
componentes l, m, n en base principal de tensiones
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
nml
nml
000000
TTT
3
2
1
3
2
1
3
2
1
σσσ
σσ
σ
en la que despejando las componentes de la direcciones
3
3
2
2
1
1 TnTmTlσσσ
===
y sustituyendo en la ecuación fundamental de los vectores unitarios
1nml 222 =++
se obtiene el elipsoide de tensiones o elipsoide de Lamé, cuyos semiejes corresponden
a las tensiones principales (Fig. 2.6)
1TTT23
23
22
22
21
21 =++
σσσ
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Fig. 2.6 – Elipsoide de tensiones.
En el caso bidimensional en el plano principal de componentes 12, el elipsoide se
transforma en una elipse de ecuación
1TT22
22
21
21 =+
σσ
2.1.6.- Círculos de Morh.
La tensión en un punto asociada a un plano puede ser representada en una gráfica de
ejes normal y tangencial (σ, τ). Para ello se dibujan tres circunferencias (1, 2, 3) cuyos
centros se encuentran sobre el eje de tensiones normales y cuyos puntos extremos
corresponden a las tensiones principales, por lo que sus diámetros (d3, d2, d1) son las
diferencias de valores de dichas tensiones (d3=σ1- σ2, d2=σ1- σ3 y d1=σ2- σ3) tal como se
muestra en la Fig. 2.7.
σ1σ3 σ2
C1
O1
C2
O2
C3
O3
τ
σ
Τ τ
σ
Fig. 2.7 – Círculos de Mohr.
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Los puntos de la circunferencia 1 representan las tensiones en planos que son paralelos
al eje principal 1er
. Análogamente, los puntos de la circunferencias 2 y 3 representan las
tensiones que aparecen en planos paralelos a los ejes 2er
3er
, respectivamente (Fig. 2.8).
1er
2er
3er
Fig. 2.8 – Planos paralelos a los ejes principales de tensión.
Los puntos interiores a la circunferencia exterior y exteriores a las circunferencias
interiores representan las tensiones en planos que no son paralelos a ningún eje
principal.
Por ello, el vértice del vector tensión de un punto arbitrario es siempre interior a la región
definida por la circunferencia exterior y exterior a las regiones definidas por las
circunferencias interiores. Las circunferencias que delimitan la región de tensiones (C1,
C2, C3) se denominan de Mohr.
Las características geométricas de las circunferencias de Mohr son:
Centros: 2
OO 321
σσ +=−
2OO 31
2σσ +
=− 2
OO 213
σσ +=−
Radios: 2
R 321
σσ −=
2R 31
2σσ −
= 2
R 213
σσ −=
A partir de las circunferencias de Mohr es fácil comprobar que la tensión tangencial
máxima que puede aparecer en el punto de estudio corresponde al radio de la
circunferencia exterior, de valor (posteriormente se utilizará como criterio de
plastificación)
2R 31
2.maxσστ −
==
En estudios bidimensionales en el plano xy las tres circunferencias se reducen a una de
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diámetro d3=σ1- σ2, de forma que el vector tensión del punto de estudio tiene su extremo
sobre dicha circunferencia (Fig. 2.9).
σ1σ2
O2
C3
O3
τ
σ
Τ τ
σ
Fig. 2.9 – Circunferencia de Mohr bidimensional.
Las características geométricas de esta circunferencia son:
Centro: 2
OC 21 σσ +=− Radio:
2R 21 σσ −
=
Por convenio, en problemas bidimensionales utilizando el círculo de Mohr, se define la
tensión tangencial τ positiva de forma que, sobre la figura en la que aparece el sólido
seccionado, considerando el sentido que marca dicha tensión tangencial, el sólido en
estudio queda a su derecha (Fig. 2.10).
σ1
σ2
σ2
α
Τ
Τ σ1
Fig. 2.10 – Criterio de signos de la tensión tangencial.
Se indica sin demostrar que en los estudios bidimensionales, para un plano cuya normal
forma un ángulo α respecto del eje x, correspondiente a un plano que forma dicho
ángulo respecto del eje y, en la representación de Mohr el extremo del vector tensión (Tr
)
se encuentra en la intersección de la circunferencia de Mohr con el segmento que pasa
por el centro de dicha circunferencia formando un ángulo α2 respecto del eje σ (punto
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que coincide con la intersección de la circunferencia de Mohr con un segmento que pasa
por el punto de componentes ( )0,2σ formando un ángulo α respecto del eje σ ).
Esto hace que las tensiones que aparecen en planos perpendiculares del entorno de un
punto sean diametralmente opuestas en la circunferencia de Mohr, lo que facilita la
definición de esta circunferencia sin necesidad de calcular las tensiones principales (Fig.
2.11).
222 πα +
2nr
1nr
α
α
α α σ1
τ1
T1
σ2
τ2 T2
σ
τ σ1
τ1
σ2
τ2
α2
Fig. 2.11 – Representación mediante Mohr de tensiones sobre planos perpendiculares.
Cuando se realiza un análisis bidimensional, es aconsejable considerarlo como si fuera
tridimensional en el la tensión de uno de los ejes principales es conocida. Es importante
no olvidar la tercera tensión principal, que no aparece en el estudio bidimensional, para
estimar correctamente en todos los casos valores como la tensión tangencial máxima.
2.1.7.- Componentes de tensión octaédrica y desviadora.
Para definir el comportamiento límite de los sólidos, del que se hablará posteriormente,
es útil realizar una representación gráfica del las tensiones del punto en una base
asociada a las tensiones principales, denominada de Haigh-Westergaard, en la que la
tensión de cada punto se representa mediante las tensiones principales
correspondientes (σ1, σ2, σ3) (Fig. 2.12).
En esta base un vector con origen en el origen del sistema de estudio y extremo en un
punto arbitrario (OP) se puede descomponer en dos componentes, la primera, OS
paralela a la línea trisectriz (que forma el mismo ángulo respecto de los tres ejes de
referencia) y por lo tanto normal al plano π, y la segunda OT sobre dicho plano.
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Las componentes de unitario normal al plano ( nr
) respecto de la base de de
Haigh-Westergaard son
321 31
31
31n σσσ
rrrr++=
Se denomina tensión hidrostática a la proyección del vector tensión sobre la línea
trisectriz en la base de Haigh-Westergaard (correspondiente al segmento OS), cuyas
componentes son iguales, denominadas esférica o normal octaédrica media ( 0σ ), de
magnitud la media aritmética de las tensiones principales. Para la obtención de la tensión
hidrostática se considera la proyección del vector de tensiones principales sobre la línea
trisectriz
{ } ( )3212
1
31111
31
3σσσ
σσσ
++=⋅⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
y sus componentes octaédricas en la base de Haigh-Westergaard, cada una de las
cuales corresponde a la tercera parte del invariante lineal de tensiones ( 1I ), son
( )⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧++
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧++=
111
111
3I
111
3111
31
31
01321
3210 σσσσσσσσ
31
P(σ1, σ2, σ3)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
3I,
3I,
3IS 111
Plano π
T
σ1
σ2
σ3 O
α {n}
31
31
Fig. 2. 12 - Espacio de Haigh-Westergaard.
Al mismo tiempo se denomina tensión desviadora o tangencial octaédrica media ( 0τ ) a la
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34/129
proyección del vector tensión sobre el plano π cuya normal es la trisectriz en la base de
Haigh-Westergaard (correspondiente al segmento OT). La obtención de sus
componentes en la base de Haigh-Westergaard es sencilla a partir de la suma vectorial
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
−−−
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧−
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=−=⇒+=
→→→→→→
03
02
01
0
0
0
3
2
1
OSOPOTOTOSOPσσσσσσ
σσσ
σσσ
La componente hidrostática (asociada al segmento OS) genera cambio de volumen
mintiendo la forma, mientras que la componente desviadora (asociada al segmento OT)
genera cambio de forma manteniendo el volumen.
La energía producida por la componente desviadora (denominada energía de distorsión)
fue utilizada por Von Mises para plantear un criterio de comiendo de comportamiento
plástico.
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35/129
2.2.- Deformaciones en el entorno de un punto.
2.2.1.- Definición de deformaciones.
Dados dos puntos P y Q situados muy próximos entre sí ( rdr
) en un sólido elástico
descargado, si se carga los puntos pasan a nuevas posiciones P' Q' debido al
movimiento y deformación del sólido. La variación de posición de los puntos se
determina mediante el vector denominado desplazamiento o corrimiento QP c,crr
(Fig.
2.13).
rdr
'rdr
Qcr
P
Q
P’
Q’
Pcr
Fig. 2.13 – Variación de posición de dos puntos en un sólido deformable.
Si las componentes del vector desplazamiento de cada uno de los puntos se definen en
componentes mediante
( ) ( ) ( ) ( ) kz,y,xwjz,y,xviz,y,xuz,y,xcP
rrrr++=
( ) ( ) ( ) ( ) kz,y,x'wjz,y,x'viz,y,x'uz,y,xcQ
rrrr++=
y cada una de ellas depende de la posición del punto ( )z,y,x , se pueden poner las
componentes de Qcr
en función de las de Pcr
y sus derivadas mediante
dzzwdy
ywdx
xww'w
dzzvdy
yvdx
xvv'v
dzzudy
yudx
xuu'u
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=
que se expresan matricialmente
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⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
dzdydx
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
wvu
'w'v'u
o bien de forma reducida
{ } { } [ ]{ }drMcc PQ +=
donde la matriz [ ]M tiene de componentes
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
M
Esta matriz se puede poner como suma de dos matrices, una simétrica [ ]D (asociada a
la deformación elástica del sólido) más otra hemisimétrica [ ]H (asociada al giro del
sólido como si fuera rígido) de la forma
[ ] [ ] [ ]HDM +=
de componentes
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
=
zw
zv
yw
21
zu
xw
21
yw
zv
21
yv
yu
xv
21
xw
zu
21
xv
yu
21
xu
D
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
−∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
−∂∂
=
0zv
yw
21
zu
xw
21
yw
zv
210
yu
xv
21
xw
zu
21
xv
yu
210
H
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La matriz [ ]D se denomina tensor de deformaciones y se suele representar de forma
simplificada mediante
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
21
21
21
21
21
21
zw
zv
yw
21
zu
xw
21
yw
zv
21
yv
yu
xv
21
xw
zu
21
xv
yu
21
xu
D
εγγ
γεγ
γγε
en la que las componentes sobre la diagonal (εx, εy, εz) corresponden a los alargamientos
por unidad de longitud en las direcciones de los ejes coordenados, mientras que las
demás componentes γxy, γxz, γyz representan las variaciones angulares inicialmente
rectas de rectas paralelas a los coordenados xy, xz,yz, respectivamente.
2.2.2.- Condiciones de compatibilidad.
Si se conoce el campo de desplazamiento ( ( )z,y,xcr
) de todos los puntos de un sólido
elástico, se pueden determinar de forma inmediata las componentes del tensor de
deformaciones [ ]D sin más que derivar las componentes cr
de de acuerdo con las
expresiones anteriormente indicadas. Sin embargo a partir del tensor de deformaciones
[ ]D es complicado deducir las componentes del vector desplazamiento ( cr
) ya que éstas
han de cumplir una serie de condiciones, denominadas de compatibilidad.
Las condiciones de compatibilidad que son necesarias para que puedan representar un
estado de deformaciones físicamente posible (sin huecos ni solapamientos en el
material) son
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2z
2
2y
2yz
2
2z
2
2x
2xz
2
2y
2
2x
2xy
2
xyxzyzz2
xyxzyzy2
xyxzyzx2
yzzy
xzzx
xyyx
zyxzyx2
zyxyzx2
zyxxzy2
∂∂
+∂
∂=
∂∂
∂
∂∂
+∂
∂=
∂∂∂
∂
∂+
∂∂
=∂∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
+∂
∂
∂∂
=∂∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
−∂
∂
∂∂
=∂∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+∂
∂−
∂∂
=∂∂
∂
εεγ
εεγ
εεγ
γγγε
γγγε
γγγε
2.2.3.- Deformaciones principales y direcciones principales de deformación.
El método para la obtención de las deformaciones principales y las direcciones
principales de deformación es análogo al utilizado para las tensiones principales y las
direcciones principales de tensión, anteriormente indicado.
Resolviendo el problema de autovalores a partir del tensor de deformaciones [ ]D se
obtienen las deformaciones principales, y resolviendo el problema de autovectores se
obtienen las direcciones principales de deformación, que coinciden con las obtenidas en
el estudio de tensiones.
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2.3.- Relaciones entre tensiones y deformaciones.
Las relaciones entre tensiones y deformaciones dependen de la composición
microestructural de la materia y se han de obtener de forma experimental. Si se realiza
un ensayo de tracción y se representa la deformación unitaria longitudinal (ε) frente a la
tensión normal (σ), para el caso de un acero dúctil, se obtiene una gráfica semejante a la
de la figura 2.14.
A B
C
σnom
ε
D
E
G
H J O
Deformación plastica
Deformación elástica
F
εr
Fig. 2.14 - Comportamiento de un acero dúctil.
En ésta se distinguen claramente los siguientes tramos:
OA) Recta que determina la relación lineal tensión-deformación. El punto A define el
límite de proporcionalidad. Hasta este valor el comportamiento es lineal.
AB) Zona de no linealidad. El punto B define el límite elástico superior o punto final
del comportamiento elástico, denominado también punto de fluencia. En muchas
materiales los puntos A y B son coincidentes. Si un punto del sólido se mueve en
el dominio OB y se descarga, vuelve a su estado inicial (O) sin adquirir
deformaciones permanentes.
BCD) Zona de saltos inestables entre los límites superior B e inferior C, causados por
el comportamiento plástico asociado a la propagación de las líneas de Lüders
sobre el material.
DE) Zona de endurecimiento o rigidización. Con pequeños aumentos de carga, se
producen grandes incrementos de deformación. En el punto E aparece la tensión
nominal máxima produciéndose el efecto de estricción o reducción de la sección.
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Si en este dominio el punto se descarga, lo hará según la recta GH, paralela a la
OA, y generando una deformación plástica de magnitud OH.
EF) El punto E corresponde al estado de carga última, a partir del cual el material se
deforma sin aumento de carga, hasta que en el punto F se produce la rotura.
La norma vigente en España se denomina Código Técnico de la Edificación (CTE)
contempla cuatro tipos de aceros estructurales. Su denominación es
S235 S275 S355 S450
La S es la inicial de steel (acero en inglés) mientras que el número que acompaña a la
denominación es el valor del límite elástico en megapascales.
Como ya se ha indicado, en el dominio OA la relación que existe entre tensión y
deformación seguirá una proporcionalidad lineal, cuya expresión se denomina ley de
Hooke, que para el caso de tracción monoaxil en la dirección del eje x, correspondiente al
ensayo de tracción, viene expresada por
xxxx E1E σεεσ =⇒=
donde E es una constante experimental característica del material denominada módulo
de elasticidad longitudinal o módulo de Young, función de la pendiente de la recta OA
(Fig. 2.15).
Módulo de Young aproximado de varios sólidos
Material Módulo de Young (MPa)
Cutícula blanda de la langosta preñada1 0,2
Goma 7
Membrana de huevo 8
Cartílago humano 24
Tendón humano 600
Plásticos sin armar, polietileno, nailon 1.400
Madera laminada 7.000
Madera (en el sentido de la fibra) 14.000
Hueso fresco 21.000
Metal de magnesio 42.000
Vidrio ordinario 70.000
Aleaciones de aluminio 70.000
Bronces 120.000
Hierro y acero 210.000
Óxido de aluminio (zafiro) 420.000 1'Cortesía del Dr. Julian Vincent, Departamento de Zoología, Universidad de Reading. Fuente: J. E. Gordon. “Estructuras o por qué las cosas se caen”
AceroAluminio
HuesoMadera
F, σ
δ, ε
Fig. 2.15 – Valores del Módulo de Young para distintos sólidos.
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Simultáneamente al alargamiento longitudinal, la tensión que aparece en la dirección del
eje x produce un acortamiento de las fibras transversales (y,z) que se determinan
mediante las expresiones
xy Eσμε −= xz E
σμε −=
donde μ es otra constante experimental característica del material denominada
coeficiente de Poisson.
Como se puede observar las tensiones en una dirección (x) provocan no solo las
deformaciones en esa dirección sino en las direcciones perpendiculares. Esto hace que
para estados de tensión más complejos, las relaciones entre tensiones y deformaciones
principales vengan dadas por
( )[ ]3211 E1 σσμσε +−= ( )[ ]3122 E
1 σσμσε +−= ( )[ ]2133 E1 σσμσε +−=
denominadas leyes de Hooke.
En el caso de que el análisis se realice en una base arbitraria (x,y,z) las relaciones entre
las deformaciones longitudinales, las tensiones normales, las deformaciones angulares y
las tensiones tangenciales son
( )[ ]zyxx E1 σσμσε +−= ( )[ ]yzyy E
1 σσμσε +−= ( )[ ]yxzz E1 σσμσε +−=
Gxy
xyτ
γ = Gxz
xzτγ =
Gyz
yzτ
γ =
denominadas leyes de Hooke generalizadas, siendo G una constante experimental
característica del material denominada módulo de elasticidad transversal, que se
relaciona con el módulo de Young y el coeficiente de Poisont mediante la expresión
( )μ+=
11EG
De la misma forma que las deformaciones se pueden poner en función de las tensiones,
las tensiones se pueden obtener en función de las deformaciones. Para ello se parte de
los invariantes lineales de los tensores de tensión ( 1I ) y deformación (e), denominado
éste último dilatación cúbica unitaria (no desarrollado)
3211I σσσ ++= 321e εεε ++=
sumando miembro a miembro las ecuaciones de Hooke generalizadas para
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deformaciones longitudinales
( )[ ]zyxx E1 σσμσε +−= ( )[ ]yzyy E
1 σσμσε +−= ( )[ ]yxzz E1 σσμσε +−=
se tiene
( )[ ]zyxzyxzyx 222E1 σσσμσσσεεε ++−++=++
o bien
( )[ ] e21
EIIE21eI2I
E1e 1111 μ
μμ−
=⇒−
=⇒−=
a partir de esta expresión y de la ecuación de Hooke generalizada en el eje x, sumando y
restando xμσ se obtiene
( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )[ ]1xzyxxxzyxx I1E1
E1
E1 μμσσσσμμσσσσμσε −+=++−+=+−=
de la misma manera se puede realizar con el resto, con lo que queda
( ) ( )[ ]1xx I1E1 μμσε −+= ( ) ( )[ ]1yy I1
E1 μμσε −+= ( ) ( )[ ]1zz I1
E1 μμσε −+=
en la primera expresión, despejando la tensión normal ( xσ ) y el invariante lineal de
tensiones ( 1I ) en función de la dilatación cúbica unitaria (e) se tiene
xx1x 1Ee
21E
11EI
1ε
μμμμε
μμμσ
++
−+=
++
+=
en la que denominado
μμμλ
21E
1 −+=
y teniendo en cuenta la expresión del módulo de elasticidad transversal (G)
( )μ+=
12EG
se tiene
xx G2e ελσ +=
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realizando el mismo proceso con el resto de componentes se obtienen las expresiones
xx G2e ελσ += yy G2e ελσ += zz G2e ελσ +=
xyxy Gγτ = xzxz Gγτ = yzyz Gγτ =
denominadas ecuaciones de Lamé.
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2.4.- Planteamiento general del problema elástico.
Aunque no se va a profundizar en el tema, es importante tener algunas ideas respecto
del problema elástico. Según sean los datos de partida se pueden presentar tres tipos de
problemas:
1- Se conocen las fuerzas exteriores aplicadas al sólido así como las fuerzas de masa.
En este caso se pueden determinar los tensores de tensión y deformación así
como el campo de desplazamientos de todos los puntos del sólido elástico.
2- Se conocen las fuerzas de masa y los desplazamientos de todos los puntos de la superficie exterior del sólido.
En este caso se pueden determinar los tensores de tensión y deformación así
como el campo de desplazamientos de los puntos interiores del sólido elástico.
3- Se conocen las fuerzas exteriores y movimientos existentes en la superficie del sólido así como las fuerzas de masa.
Es el caso más común. En él se tienen que determinar los tensores de tensión y
deformación así como el campo de desplazamientos de los puntos interiores del
sólido y las fuerzas exteriores en los puntos donde los movimientos estén
preescritos.
En cualquiera de los tres casos, los parámetros desconocidos habrán de cumplir
simultáneamente las siguientes condiciones:
Ecuaciones de equilibrio interno
0bzyx
F
0bzyx
F
0bzyx
F
zzyzxz
z
zyzyxy
y
xzxxyx
x
=+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=
=+∂
∂+
∂
∂+
∂
∂=
=+∂
∂+
∂
∂+
∂∂
=
∑
∑
∑
σττ
τστ
ττσ
Ecuaciones de equilibrio en el contorno
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⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
i
i
i
zyzxz
yzyxy
xzxyx
z
y
x
nml
TTT
στττστττσ
Relaciones entre componentes del tensor de deformaciones y del vector desplazamiento
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
zw
zv
yw
21
zu
xw
21
yw
zv
21
yv
yu
xv
21
xw
zu
21
xv
yu
21
xu
21
21
21
21
21
21
zyzxz
yzyxy
xzxyx
εγγ
γεγ
γγε
Condiciones de compatibilidad
2z
2
2y
2yz
2
2z
2
2x
2xz
2
2y
2
2x
2xy
2
xyxzyzz2
xyxzyzy2
xyxzyzx2
yzzyxzzxxyyx
zyxzyx2
zyxyzx2
zyxxzy2
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
∂
∂
∂+
∂
∂=
∂∂∂
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂∂
+∂
∂
∂∂
=∂∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
−∂
∂
∂∂
=∂∂
∂⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂∂
+∂
∂−
∂∂
=∂∂
∂
εεγεεγεεγ
γγγεγγγεγγγε
La resolución conjunta de todas estas condiciones (Fig. 2.16) lleva al planteamiento del
sistema de ecuaciones denominado de Navier, a cuya solución está asociada el vector
de Galerkin, en el que no se va a entrar. Simplificaciones bidimensionales en las que se
utiliza la función de Airy tampoco serán desarrolladas.
EQUILIBRIO
TENSIONES
COMPATIBILIDAD
DEFORMACIONES
COMPORTAMIENTO
FUERZAS DESPLAZAMIENTOSFUERZAS DESPLAZAMIENTOS
Fig. 2.16 – Condiciones de equilibrio elástico.
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2.5.- Energía potencial interna.
Se van a considerar conceptos energéticos como son los coeficientes de influencia, las
expresiones de la energía potencial en función de distintos parámetros o los teoremas
energéticos, que facilitan la resolución de problemas del sólido elástico tanto para el
estudio de movimientos como de vínculos hiperestáticos.
Si se tiene un sólido elástico al que se le aplica una carga, éste se deforma y el sistema
de fuerzas exteriores realiza un trabajo que se representará mediante eW . Si la carga se
realiza de forma lenta y progresiva, se puede aceptar sin excesivo error que la energía
cinética del no varía. Si además el sistema es conservativo y no existen pérdidas
energéticas (por lo que no se consideran efectos de calentamiento o rozamiento), el
trabajo realizado por las fuerzas exteriores eW se transforma en energía potencial de
deformación ( iU ) debido a la acción de las fuerzas interiores.
A partir del teorema de las fuerzas vivas, la variación de la energía cinética de un sistema
entre los instantes final (2) e inicial (1) ( 12cE −Δ ) es igual al trabajo de las fuerzas
( 2e1e WW − ) entre dichos instantes
2e1e1c2c12c WWEEE −=−=−Δ
Si además el sistema es conservativo, la energía mecánica ( E ) se mantiene constante
2e1e2i1i2e1e1c2c
2i1i1c2c2c2i1c1i21 WWUUWWEEUUEEEUEUEE
−=−⇒⎭⎬⎫
−=−−=−⇒+=+⇒=
luego el trabajo de las fuerzas exteriores ( 2e1e WW − ) queda almacenado como variación
de la energía potencial elástica ( 2i1i UU − ) producido por las fuerzas interiores durante la
deformación del sistema entre los instantes inicial y final. A esta energía potencial ( iU )
se la denomina elástica, interna o de deformación.
Al ser un sistema conservativo, el trabajo de las fuerzas interiores depende solo de los
estados inicial y final y no del camino recorrido por las fuerzas, y debido a la
característica de ser elástico, al desaparecer las cargas que lo generan el sistema
recupera la forma inicial.
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2.5.1.- Relaciones entre la fuerza exterior y el movimiento de un sólido elástico.
Aun estando en el campo de la elasticidad, en el que se utiliza preferentemente el
entrono del punto, para el estudio energético se utilizará el dominio del sólido deformable
ya que su aplicación se realizará en él. En su desarrollo se aceptan las siguientes
hipótesis:
1- En ningún punto del sistema cargado se supera el límite elástico.
2- Las fuerzas se aplican de forma lenta, progresiva y el sistema se comporta
siempre de forma conservativa.
3- El comportamiento del material es elástico lineal.
4- Se cumple el principio de superposición, por el que el efecto de un sistema de
fuerzas es independiente del orden de su aplicación.
5- Los desplazamientos finales son pequeños, por lo que aunque el sistema
adquiere movimiento, se considera que las fuerzas no modifican sustancialmente
sus líneas de actuación.
ijΔr
i
jjΔr
j
jFr
Fig. 2.17 - Movimiento de un punto debido a una fuerza.
Si i y j son dos puntos de un sólido deformable (Fig. 2.17), a partir del comportamiento
lineal (hipótesis 3) el módulo ( ijΔ ) del vector ( ijΔr
) correspondiente al movimiento del
punto i al aplicar la fuerza exterior jFr
en el punto j es proporcional a dicha fuerza
jij Fk=Δ
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siendo la constante de proporcionalidad k la deformación del punto i por unidad de fuerza
en el punto j.
Si los puntos i y j coinciden, el módulo del vector movimiento es jjΔr
(Fig. 2.17).
Por otra parte, si un sólido deformable está sometido a un sistema de fuerzas exteriores
n21 F,...,F,Frrr
aplicadas en los puntos 1, 2,…, n respectivamente (Fig. 2.18), a partir del
principio de superposición (hipótesis 4) el vector de movimiento que se produce en un
punto i es suma de los vectores movimiento producidos en dicho punto por el efecto de
cada una de las cargas
∑=
=+++=n
1jijin2i1ii ... ΔΔΔΔΔrrrrr
iΔr
i 2
2Fr
1
1Fr
n
nFr
1iΔr
2iΔr
inΔr
…
Fig. 2.18 – Movimiento de un punto debido a varias fuerzas.
Como el concepto a utilizar es el trabajo, definido por el producto de la fuerza por el
movimiento del punto de actuación de dicha fuerza en su dirección, correspondiente a la
proyección del movimiento en la dirección de la fuerza, se utilizará el símbolo δ para
dicha proyección.
Si un sólido deformable está sometido solo a dos fuerzas exteriores ji F,Frr
aplicadas en
los puntos i, j, respectivamente (Fig. 2.19), se utilizará el coeficiente ijδ para simbolizar
la proyección del movimiento del punto i sobre la fuerza que actúa en él ( iFr
) cuando se
aplica en el punto j una fuerza de módulo unidad ( 1Fj = ).
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ijΔr
i j
1Fj =r
iFr
ijδ
Fig. 2.19 - Coeficientes de influencia.
Siendo ijδ la proyección de la deformación en i sobre la fuerza en i por unidad de fuerza
en j.
Si jF tiene un valor distinto a la unidad, la proyección del movimiento del punto i sobre la
fuerza que actúa en él iFr
cuando se aplica en el punto j una fuerza de módulo jF es
jij Fδ .
Finalmente, si sobre el sólido existen una serie de fuerzas exteriores n21 F,...,F,Frrr
que
actúan en los puntos 1, 2,…, n respectivamente, aplicando el principio de superposición,
la proyección del movimiento del punto i ( iδ ) sobre la fuerza que actúa en él ( iFr
) es suma
de las proyecciones de los movimientos jij Fδ sobre la fuerza iFr
producidos por cada
una de las fuerzas jFr
∑=
=+++++=n
1jjjinniiii22i11ii FF...F...FF δδδδδδ
luego la proyección del movimiento de un punto sobre la fuerza que actúa en dicho punto
es proporcional a los módulos de las fuerzas aplicadas en el sólido.
A los parámetros ijδ se les denomina coeficientes de influencia.
Esta expresión que se ha desarrollado para fuerzas activas concentradas (puntuales)
también es válida para momentos activos puntuales sin más que sustituir los
movimientos por giros y las fuerzas por momentos
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∑=
=+++++=n
1jjjinniiii22i11ii MM...M...MM θθθθθθ
2.5.2.- Expresiones de la energía potencial interna.
Como ya se ha indicado, la energía potencial interna es el trabajo desarrollado por las
fuerzas interiores que aparecen en los puntos internos del sólido ( i'Fr
) cuando éste se
carga, y es equivalente al trabajo producido por las fuerzas exteriores en el movimiento
del sistema.
21e21i WU −− =Δ
Si se considera un sólido elástico con comportamiento lineal inicialmente descargado al
que se le aplica una carga puntual de forma lenta y progresiva, y se denominan a las
magnitudes de la fuerza que actúa al final de la carga y la proyección del desplazamiento
correspondiente del punto de actuación en la dirección de la fuerza mediante iF y iδ
respectivamente, dicho proceso de carga viene reflejado en gráfica fuerza-movimiento
( δ,F ) de la Fig. 2.20
iF
δ δ
F
F
iδ δδ d+
Fig. 2.20 - Proceso de carga.
en la que δ,F son los valores de fuerza y deformación en un instante intermedio del
proceso de carga. La proporcionalidad lineal entre carga y deformación viene definida
por la relación
δδδδ i
i
i
i FFFF=⇒=
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y el área bajo la curva, correspondiente al trabajo de las fuerzas exteriores para ir del
estado inicial al final ( 21eW − ) es
ii0
2
i
i
0 i
i
021e F
21
2FdFdFW
iiiδδ
δδδ
δδ
δδδ==== ∫∫−
Expresión distinta a la usualmente utilizada en mecánica ( δFW 21 =− ), ya que la fuerza
elástica no actúa con su valor final ( iδ ) durante todo el movimiento de su punto de
actuación.
Si hay n fuerzas actuando simultáneamente sobre el sistema, por el principio de
superposición la expresión del trabajo de las fuerzas exteriores entre los instantes inicial
y final, desarrollada por Clapeyron, es
∑=
− =n
1iii21e F
21W δ
Como los trabajos de las fuerzas exteriores son iguales a los de las fuerzas interiores, y
queda almacenado como energía potencial elástica, se puede poner
∑=
−− ==n
1iii21e21i F
21WU δ
En lo que sigue y mientras no se indique lo contrario, las fuerzas en el estado inicial se
considerarán nulas, por lo que la variación del trabajo o la energía corresponde
únicamente al estado final.
2.5.2.1 Potencial interno en función únicamente de las fuerzas exteriores.
Teniendo en cuenta que la proyección del movimiento sobre la fuerza del punto de
estudio es proporcional a los módulos de las fuerzas exteriores aplicadas en el sólido
∑=
=+++++=n
1jjjinniiii22i11ii FF...F...FF δδδδδδ
el potencial interno se puede poner en función de las fuerzas exteriores
( )∑ ∑∑= == ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
n
1i
n
1jjjii
n
1iiii FF
21F
21U δδ
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2.5.2.2 Potencial interno en función únicamente de los movimientos.
Si se conocen los coeficientes de influencia ( ijδ ) y las proyecciones de los movimientos
sobre las direcciones de las fuerzas exteriores ( iδ ) a través de las expresiones
∑=
=+++=n
1jjjinni22i11ii FF...FF δδδδδ con i=1,2,..,n
se puede plantear un sistema de n ecuaciones, a partir de las cuales obtener los módulos
de las fuerzas exteriores ( jF ) en función de las proyecciones de los movimientos sobre
ellas ( n11 ,...,, δδδ ), de la forma
∑=
=+++=n
1kkjknjn22j11jj bb...bbF δδδδ con j=1,2,..,n
Sustituyendo este valor en la expresión del potencial interno se obtiene en función de los
movimientos
( )∑ ∑∑= ==
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==
n
1ii
n
1kkjk
n
1iiii b
21F
21U δδδ con j=1,2,..,n
2.5.2.3 Potencial interno en función de las componentes del tensor de tensiones y de deformaciones.
En este caso, el potencial interno o energía de deformación por unidad de volumen se
obtiene multiplicando la tensión en una dirección por la deformación correspondiente a
dicha dirección, con lo que queda
( )yzyzxzxzxyxyzzyyxxi 21U γτγτγτεσεσεσ +++++=
expresión que integrada respecto del volumen determina la energía potencial interna
total del sólido
( )∫ +++++=V
yzyzxzxzxyxyzzyyxxi dv21U γτγτγτεσεσεσ
2.5.3.- Teoremas de Castigliano.
Los conceptos de partida de estos importantes teoremas son la determinación de la
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energía potencial infinitesimal ( idU ) en función de la variación tanto de la fuerza ( dF )
como de la proyección del desplazamiento ( δd ).
Como la fuerza y la proyección del desplazamiento al final del proceso de carga ( ii ,F δ )
se puede poner en función de la fuerza y la proyección del desplazamiento en un instante
arbitrario ( δ,F ), se puede obtener estos parámetros y diferenciarlos
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
=⇒=
=⇒=
⇒=dF
FdF
F
dFdFFFFF
i
i
i
i
i
i
i
i
i
iδδδδ
δδ
δδ
δδ
Si se sustituyen en las expresiones infinitesimales del trabajo debido a la variación de la
proyección del desplazamiento o de la fuerza se tiene
dFF
FdFdUi
ii
δδ == δδ
δδ dFdFdUi
ii ==
2.5.3.1 Primer teorema de Castigliano.
Si se deriva la primera expresión respecto de la fuerza y se aplica a la fuerza exterior final
iF se tiene
ii
ii
FFi
i
FFi
i
FF
iF
FF
FdFF
FFF
U
iii
δδδδ===⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
=== luego i
FF
i
iFU
δ=∂∂
=
correspondiente al primer teorema de Castigliano, que indica que si se deriva la energía
de deformación respecto de una fuerza que actúa en el sistema y se sustituye para el
valor final de la fuerza correspondiente, se obtiene la proyección del movimiento del
punto de actuación de esta fuerza sobre su dirección.
2.5.3.2 Segundo teorema de Castigliano.
Si ahora la segunda expresión de la energía infinitesimal en función de la variación de la
proyección del movimiento en la dirección de la fuerza se deriva respecto de la variación
de la proyección de dicho movimiento, y se aplica a la proyección final del movimiento iδ
se tiene
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ii
ii
i
i
i
ii FFFdFU
iii
===⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
=∂∂
=== δδ
δδδ
δδ
δδ δδδδδδ luego i
i FU
i
=∂∂
=δδδ
correspondiente al segundo teorema de Castigliano, que indica que si se deriva la
energía respecto de la proyección del movimiento del punto de actuación de una fuerza y
se sustituye para la proyección correspondiente, se obtiene la fuerza que lo genera.
Estos teoremas se han aplicado a los casos de fuerzas puntuales y proyecciones de los
movimientos en la dirección de las fuerzas, pero también son aplicables al caso de
momentos puntuales y giros
iMM
i
iMU θ=
∂∂
= i
i MU
i
=∂∂
=θθθ
2.5.3.3 Método de la carga ficticia.
Como se ha visto, el primer teorema de Castigliano permite determinar la proyección del
movimiento de un punto en la dirección de la fuerza que actúa en dicho punto. Para
determinar el movimiento en una dirección de un punto del sólido en el que no actúa
ninguna fuerza, se utiliza el método de la carga ficticia.
Para ello se determina la energía del sistema sometido a las fuerzas exteriores, a la que
se añade una fuerza auxiliar ficticia P aplicada en el punto en el que se quiere determinar
el movimiento y en la dirección de dicho movimiento.
A partir de ahí se calcula la derivada de dicha energía respecto de la fuerza ficticia P y
posteriormente se anula dicha fuerza.
P0P
iPU δ=∂∂
=
2.5.4.- Teorema de Menabrea.
El teorema de Menabrea es una aplicación del teorema de Castigliano a sistemas
hiperestáticos.
Si el sólido elástico está vinculado de forma hiperestática, el número de incógnitas
vinculares supera al de ecuaciones de equilibrio estático, por lo que la obtención de
dichos vínculos no se puede realizar utilizando únicamente estas ecuaciones.
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Sin embargo en el punto de actuación de un vínculo se conoce la magnitud del
movimiento correspondiente preescrito (normalmente nulo), por lo que si la energía de
deformación se pone en función de las magnitudes vinculares correspondientes, se
deriva respecto de cada una de ellas y se iguala a los movimiento preescritos, se obtiene
un sistema de tantas ecuaciones como vínculos tiene el sólido, lo que permite su
resolución.
Por ejemplo, en el caso de un sistema hiperestático de grado dos (Fig. 2.21), se
seleccionarán y eliminarán dos de las incógnitas hiperestáticas, sustituyéndolas por las
fuerzas desconocidas correspondientes ( 21 X,X ), quedando el nuevo sistema vinculado
de forma isostática. Las fuerzas vinculares 21 X,X se considerarán como fuerzas
exteriores cuyo movimiento preescrito del punto de actuación es conocido (normalmente
nulo).
2 m
10 KN/m
0 1 2
4 m
2 m
10 KN/m
0 1 2
4 m 0
X
1X
1
=δX
2X
2
=δ
Fig. 2.21 - Sistema hiperestático externo.
Para la determinación de las fuerzas vinculares, el trabajo de las fuerzas exteriores ( eW )
se pondrá en función de estas incógnitas vinculares
( )21ee X,XWW =
y se derivará respecto de cada una de ellas igualándose al movimiento preescrito
correspondiente al vínculo (21 XX ,δδ )
111
XXX1
eXW δ=
∂∂
=
2
22
XXX2
eXW δ=
∂∂
=
En el caso común en que los movimientos preescritos sean nulos, estas expresiones serían
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0XW
11 XX1
e =∂∂
=
0XW
22 XX2
e =∂∂
=
que indican que para los valores correspondientes a las incógnitas hiperestáticas la
función potencial es mínima.
El teorema de Menabrea también se puede aplicar a sistemas hiperestáticos internos
producido por un número excesivo de barras en un sistema. Si el sistema es
hiperestático interno se convierte en isostático seccionando e introduciendo las
incógnitas hiperestáticas correspondientes (Fig. 2.22). 10 KN
1 2
4 m
10 KN
1 2
4 m
N0 N0
M0
M0
T0
T0
Fig. 2.22 - Sistema hiperestático interno.
Por ejemplo, en un cuadro de nudos rígidos sometido a flexión el grado de
hiperestaticidad es tres, por lo que se secciona por un punto y se introducen los tres
esfuerzos de la barra seccionada como incógnitas hiperestáticas (esfuerzo axil N0,
esfuerzo cortante T0 y momento flector M0), siendo iguales y opuestas en ambos
extremos de la sección.
Para la determinación de estos esfuerzos, el trabajo de las fuerzas exteriores ( iU ) se
pondrá en función de estas incógnitas
( )000ii M,T,NUU =
y se derivará respecto de cada una de ellas igualándose al movimiento preescrito
0
00
NNN0
iNU δ=
∂∂
=
0
00
TTT0
iTU δ=
∂∂
=
0
00
MMM0
iMU δ=
∂∂
=
Expresiones que indican que para los valores correspondientes a los esfuerzos
hiperestáticos la función potencial es mínima.
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2.5.5.- Teorema de Maxwell-Betti.
A este teorema se le denomina también de reciprocidad y en su desarrollo es importante
el orden de actuación de las fuerzas.
Se va a considerar el caso de un sólido elástico sometido a dos sistemas de fuerzas
2i1i F,Frr
, actuando sobre los puntos 2i1i A,A respectivamente, en los que 2i1i ,δδ son las
proyecciones de los movimientos de dichos puntos respecto de las fuerzas
correspondientes.
Además 1i'δ son las proyecciones de los movimientos de los puntos 1iA en los que
actúan las fuerzas 1iF respecto de sus líneas de acción cuando se aplican las fuerzas
2iFr
, y 2i'δ son las proyecciones de los movimientos de los puntos 2iA en los que actúan
las fuerzas 2iF respecto de sus líneas de acción cuando se aplican las fuerzas 1iFr
.
Si se aplica primero el sistema de fuerzas 1iFr
el trabajo correspondiente según la
expresión de Clapeyron es
( ) ∑=
=n
1i1i1i1ie F
21FW δ
Si posteriormente sobre el sistema cargado con las fuerzas 1iFr
se le aplican las fuerzas
2iFr
se producirán dos tipos de trabajo. Primero el debido a las fuerzas 2iFr
con las
proyecciones de los desplazamientos de sus puntos de actuación 2iδ , y además el
trabajo debido a las fuerzas ya existentes 1iFr
con las proyecciones de los
desplazamientos de sus puntos de actuación 1i'δ producidos por la fuerzas 2iFr
∑∑==
+n
1i1i1i
n
1i2i2i 'FF
21 δδ
En este último caso el trabajo vale ∑=
n
1i1i1i 'F δ (sin el 1/2), ya que es el producido por las
fuerzas anteriores 1iFr
con su magnitud final. Por lo tanto el trabajo exterior ( )2i1ie F,FT al
aplicar al aplicar sucesivamente los sistemas de fuerzas 2i1i F,Frr
con ese orden es
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( ) ∑∑∑===
++=n
1i1i1i
n
1i2i2i
n
1i1i1i2i1ie 'FF
21F
21F,FW δδδ
Si se aplican ahora nuevamente de forma sucesiva los dos sistemas de fuerzas pero en
orden contrario ( 1i2i F,Frr
) el trabajo exterior correspondiente ( )1i2ie F,FW es
( ) ∑∑∑===
++=n
1i2i2i
n
1i1i1i
n
1i2i2i1i2ie 'FF
21F
21F,FW δδδ
Como por el principio de superposición el trabajo final ha de ser el mismo
independientemente del orden de aplicación de las fuerzas
( ) ( )1i2ie2i1ie F,FWF,FW =
se llega a la conclusión de que
∑∑==
=n
1i2i2i
n
1i1i1i 'F'F δδ
denominado teorema de Maxwell-Betti.
Una conclusión importante de este teorema es la igualdad de los coeficientes de
influencia recíprocos. Para su determinación se considerará que el sistema está
sometido únicamente a dos fuerzas ji F,Frr
, actuando sobre los puntos ji A,A , con las
proyecciones de los movimientos de los puntos de actuación de las fuerzas respecto de
sus líneas de acción ji ',' δδ , respectivamente. En este caso la aplicación del teorema de
Maxwell-Betti es
jjii 'F'F δδ =
A partir de la determinación de la proyección del movimiento de un punto ( iδ ) como
suma de los productos de los coeficientes de influencia multiplicados por las magnitudes
de las fuerzas
∑=
=n
1jjjii Fδδ
aplicado a cada uno de los estados de carga se tiene
jjii F' δδ = ijij F' δδ =
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por lo que sustituyendo en la expresión anterior
ijijjijijjii FFFF'F'F δδδδ =⇒= luego jiij δδ =
y se concluye que los coeficientes de influencia recíprocos son iguales.
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2.6.- Criterios de plastificación.
En un estado tridimensional de tensiones se observa que llegada una combinación de
valores se produce la fluencia del material con un aumento de deformación a tensión
constante, instante en el que se considera finalizado el comportamiento elástico. Las
condiciones que deben aparecer para que se alcance este estado son complejas y
difíciles de deducir orlo que se desea obtener criterios de determinación a partir del
ensayo de tracción monoaxil.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡⇔
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
00000000x
zyzxz
yzyxy
xzxyx σ
στττστττσ
Para determinar estas condiciones se realizaron estudios teórico-experimentales con el
objetivo de determinar los criterios de plastificación que implican el final del
comportamiento elástico del material.
Estudios de investigadores como Lode indicaron que la plastificación está relacionada
con el tamaño de la circunferencia de Mohr más grande.
Posteriormente Bridgman analizó el comportamiento de materiales sometidos a grandes
compresiones, obteniendo como conclusión que la compresión hidrostática produce
siempre deformación elástica.
La compresión hidrostática recibe su nombre del hecho de que éste es el único estado de
tensión que puede soportar un fluido en reposo, ya que solamente puede aparecer
tensiones tangenciales por efecto de la viscosidad, lo que requiere movimiento entre sus
capas.
Un estado de compresión hidrostática, debido a que los valores de las tres tensiones
principales son coincidentes, queda representado mediante un punto en la gráfica de las
circunferencias de Mohr (Fig. 2.23)
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σ1=σ2=σ3
τ
σ
Fig. 2.23 – Representación de Mohr de un estado de compresión hidrostática.
Una consecuencia inmediata de las observaciones de Bridgman es que si se
superponen un estado de compresión hidrostática a otro en el que no se alcance la
plastificación, por muy grande que sea el valor de la tensión hidrostática no se llega a la
plastificación.
En la Fig. 2.24, se comprueba que las circunferencias de Mohr del estado de tensiones
no plastificado solo experimenta una traslación hacia la izquierda tras la superposición,
no produciéndose cambios de tamaño, lo que avala los resultados de Lode.
= + σ1=σ2=σ3
τ
σ σ3
Τ τ
σ2 σ1 σ
τ
σ
τ
σ σ3
Τ τ
σ2 σ σ1
Fig. 2.24 – Superposición de tensión hidrostática más otro estado.
2.6.1.- Criterio de Tresca.
El Criterio de Tresca, o de la tensión tangencial máxima predice el comienzo de la
plastificación de materiales dúctiles, indicando que éste se inicia cuando la tensión
tangencial máxima que actúa sobre un punto del material alcanza la tensión tangencial
máxima en el ensayo de tracción, por lo que el comportamiento elástico viene expresado
por
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22,
2,
2.max e323121 σσσσσσσ
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−−
siendo eσ la tensión límite elástica.
La condición límite de plastificación estaría expresada por tres ecuaciones de igualdad,
de las que quitando los valores absolutos resultan las seis ecuaciones siguientes
e32e31e21 σσσσσσσσσ ±=−±=−±=−
Estas seis ecuaciones representan seis planos en un espacio tridimensional en el
espacio de Haigh-Westergaar paralelos a la trisectriz de los ejes, formando un prisma
hexagonal regular (Fig. 2.25) conocido como superficie de plastificación, que se extiende
infinitamente en el espacio de las tensiones principales.
31
S
σ1
σ2
σ3 O
{n}
31
31
σ1
σ2 σ3
O
σe
σe
σe
Fig. 2. 25 – Prisma correspondiente al criterio de Tresca y representación isométrica.
La muestra este prisma proyectado en un plano perpendicular a la trisectriz (en
perspectiva isométrica). Observado esta figura, si el punto asociado a las tensiones
principales está dentro del hexágono, no habrá plastificación y si se encuentra en su
superficie, el punto ha plastificado.
Se denomina tensión equivalente .equivσ al doble de la tensión tangencial máxima del
estado de carga que actúa sobre el punto
31.equiv σσσ −=
de forma que el comportamiento elástico del material se produce cuando
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e31.equiv σσσσ <−=
comenzando el comportamiento plástico cuando
e31.equiv σσσσ =−=
Este criterio es aceptable para materiales dúctiles, si bien en estudios experimentales de
torsión pura se comete un error del 15% del lado de la seguridad.
2.6.2.- Criterio de Von Mises.
El Criterio de Von Mises, o de la energía de distorsión predice el comienzo de la
plastificación de materiales dúctiles, indicando que éste se inicia cuando la energía de
distorsión por unidad de volumen ( dU ) que actúa sobre un punto del material alcanza la
correspondiente al ensayo de tracción.
La energía de deformación por unidad de volumen ( iU ) se puede descomponer en la
energía debida al cambio de volumen ( vU ) y la producida en la distorsión o cambio de
forma a volumen constante ( dU ).
dvi UUU +=
La energía de deformación por unidad de volumen ( iU ) se puede expresar en base
principal de tensiones mediante
( )332211i 21U εσεσεσ ++=
en la que sustituyendo las deformaciones en función de las tensiones
( )[ ]3211 E1 σσμσε +−= ( )[ ]3122 E
1 σσμσε +−= ( )[ ]2133 E1 σσμσε +−=
se tiene
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +−++−++−= 213331223211i E
1E1
E1
21U σσμσσσσμσσσσμσσ
o desarrollando
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( ) ( )32312123
22
2i EE2
1U1
σσσσσσμσσσ ++−++=
la energía debida al cambio de volumen ( vU ) está asociada a la tensión normal
octaédrica media ( 0σ ) de cada una de sus componentes y vale
( ) ( )00000000v 23
21U εσεσεσεσ =++=
en la que sustituyendo las deformación octaédrica en función de la tensión
( )[ ] [ ]μσσσμσε 21EE
1 00000 −=+−=
se tiene
[ ] ( )μσμσσ 21E2
321E2
3U200
0v −=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
sustituyendo la tensión normal octaédrica media ( 0σ ) por su valor en función de las
componentes principales de tensión
3321
0σσσσ ++
=
se tiene
( ) ( )μσσσ 21E6
U2
321v −
++=
y la energía por unidad de volumen asociada al cambio de forma se puede obtener de
viddvi UUUUUU −=⇒+=
( ) ( ) ( ) ( )μσσσ
σσσσσσμσσσ 21E6EE2
1UUU2
321323121
23
22
2vid 1
−++
−++−++=−=
Expresión que desarrollando es
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221d E6
1U σσσσσσμ−+−+−
+=
la energía por unidad e volumen asociada al cambio de forma para un estado de tracción
es
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( ) ( ) ( )[ ] 2e
2e
22e
ed E3
10000E6
1U σμσσμ +=−+−+−
+=
por lo que el límite de comportamiento elástico viene expresado por
( ) ( ) ( )[ ] 2e
213
232
221 E3
1E6
1 σμσσσσσσμ +=−+−+−
+
o simplificado
( ) ( ) ( )[ ] 2e
213
232
221 2σσσσσσσ =−+−+−
En sistemas bidimensionales el criterio se reduce a la expresión
( )[ ] 2e
21
22
221 2σσσσσ =++−
En este caso se denomina tensión equivalente .equivσ a la expresión asociada al estado
de carga que actúa sobre el punto
( ) ( ) ( )[ ]213
232
221.equiv 2
1 σσσσσσσ −+−+−=
de forma que el comportamiento elástico del material se produce cuando
( ) ( ) ( )[ ] e2
132
322
21.equiv 21 σσσσσσσσ <−+−+−=
comenzando el comportamiento plástico cuando
( ) ( ) ( )[ ] e2
132
322
21.equiv 21 σσσσσσσσ =−+−+−=
La energía de distorsión está asociada al cilindro de Von Mises, elemento que está
circunscrito al prisma del criterio de Tresca (Fig. 2. 26)
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31
S
σ1
σ2
σ3 O
{n}
31
31
σ1
σ2 σ3
O
σe
σe
σe
Fig. 2. 26 – Cilindro correspondiente al criterio de Von Mises y representación isométrica.
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3. - Resistencia de Materiales.
3.1.- Introducción.
Como ya se ha indicado, la resistencia de materiales aplica las hipótesis de elasticidad
de forma simplificada sólidos deformables como barras, placas o láminas. Para el
estudio de barras utiliza el modelo geométrico de prisma mecánico.
Un prisma mecánico es sólido teórico generado por una sección plana, denominada
indicatriz, cuyo centro de gravedad (G) describe una curva (c) llamada directriz, siendo el
plano que contiene a la sección normal a la curva (Fig. 3.1).
Fig. 3.1 – Prisma mecánico.
Los prismas mecánicos se pueden clasificar dependiendo de distintos parámetros.
En función del tipo de línea media.
1- Planos. Cuando la línea media está contenida en un plano.
2- Rectos. Cuando la línea media es recta.
3- Alabeados. Cuando la línea media no está contenida en un plano (Fig. 3.2).
Fig. 3.2 – Prisma alabeado.
En función de la forma de la sección.
1- De sección constante. Cuando la sección del prisma es la misma en toda su
longitud (Fig. 3.3).
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Fig. 3.3 – Prisma recto de sección constante.
2- De sección variable. Cuando la sección del prisma no es la misma en toda su
longitud (Fig. 3.4).
Fig. 3.4 – Prisma de sección variable.
3- A retallos. Cuando la sección del prisma no es la misma en toda su longitud,
pero es constante dentro de distintos dominios (Fig. 3.5).
Fig. 3.5 – Prisma de sección constante a retallos.
En función de las dimensiones.
1- Vigas. Cuando las dimensiones de la sección transversal son pequeñas
respecto de la longitud de la línea media. Se utilizan en elementos que salvan
grandes distancias (Fig. 3.6).
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Fig. 3.6 – Vigas.
2- Placas. Elementos limitados por dos planos cuya distancia (espesor) es
pequeño en comparación con las otras dimensiones. Aparecen en losas y
forjados (Fig. 3.7).
Fig. 3.7 – Placas.
3- Láminas o cáscaras. Cuerpos limitados por dos superficies curvas cuya
distancia (espesor) es pequeño en comparación con otras dimensiones.
Aparecen en superficies de depósitos, silos, tuberías (Fig. 3.8).
Fig. 3.8 -Lámina
De entre los modelos indicados se analizará el modelo barra.
3.1.1.- Ejes de estudio del elemento barra.
Se considerará un sistema de referencia directo de ejes xyz y unitarios k,j,irrr, con origen en
el centro de gravedad de la sección (G), con eje longitudinal x tangente a la línea media en
ese punto, y ejes y, z preferentemente principales de inercia de la sección (Fig. 3.9).
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Si los ejes y, z no son los principales de inercia o el sistema de referencia no se sitúa en
el centro de gravedad de la sección, las fórmulas a utilizar tendrán expresiones
complejas.
Fig. 3.9 – Sistema de referencia.
En general, la posición de la sección de estudio para un prisma alabeado viene definida
por la abcisa curvilínea (s), correspondiente a la longitud del arco de curva de la línea
media (c) que sitúa la sección respecto del origen del sistema de referencia.
3.1.2.- Esfuerzos sobre la sección.
Se considera un prisma mecánico en equilibrio estático bajo la acción de un sistema de
fuerzas. Si se secciona por un plano perpendicular a su línea media y se elimina uno de
los elementos, el equilibrio de las fuerzas exteriores que actúan en él desaparecerá, a no
ser que se considere la acción de una fuerza y un par que se sitúa en el centro de
gravedad G de la sección de corte (torsor) equivalentes a las fuerzas interiores que
aparecen en los puntos de la sección.
Si se descompone la resultante de fuerzas de la sección de corte ( Rr
) respecto de los
ejes del sistema de referencia Gxyz de unitarios k,j,irrr
, se tiene (Fig. 3.10)
kTjTiNR zyx
rrrr++=
x
yz
F1
F2
F3
G
Ty
Tz
Nx
R
Fig. 3.10 – Resultante de las fuerzas interiores.
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en la que
Nx - Esfuerzo normal al plano de estudio o axil, que tiende a alargar la barra
originando tensiones normales de tracción o compresión ( xσ ),
Ty, Tz - Esfuerzos cortantes situados en el mismo plano de la sección, que tienden
a originar deformaciones angulares y generan tensiones tangenciales ( xzxy ,ττ ,
respectivamente).
Si se descompone el momento resultante de fuerzas de la sección de corte respecto del
centro de gravedad de la sección ( GMr
), respecto de los ejes del sistema de referencia
Gxyz, se tiene (fig. 3.11)
kMjMiMM zyTG
rrrr++=
x
yz
F1
F2
F3
G
My
Mz
MT
MR
Fig. 3.11 – Momento resultante de las fuerzas interiores respecto del cetro de gravedad.
en la que
MT - Momento que actúa en dirección normal al plano de estudio o momento
torsor, que tiende a hacer girar la barra respecto de su eje longitudinal y genera
tensiones tangenciales,
My, Mz - Momentos flectores que tienden a hacer girar el cuerpo curvándolo en los
planos (xz e xy respectivamente) generando momentos flectores.
3.1.3.- Relación entre esfuerzos y tensiones.
Los esfuerzos axil y cortantes, y momentos torsor y flector son estáticamente
equivalentes a la distribución de tensiones que aparecen en los puntos de la sección, por
lo que la relación que existe entre los esfuerzos de la sección y las tensiones de los
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puntos que la componen son (Fig. 3.12).
z
y
σx
τxz
τxy
x
z
y
O
A
dA
x
z
y
O Tz
Ty
Nx Mx
My
Mz
Fig. 3.12 – Relación entre tensiones en el entorno del punto y esfuerzos en la sección.
∫=A
xx dAN σ ∫=A
xyy dAT τ ∫=A
xzy dAT τ
∫∫ −=A
yzA
xzx dAxdAyM ττ ∫=A
xy dAzM σ ∫=A
xz dAyM σ
3.1.4.- Criterio de la rebanada.
Se denomina así el método para definir el criterio de signo de los esfuerzos que aparecen
en una sección bajo la acción de un sistema de fuerzas. El análisis se basa en seccionar
de forma ideal por un plano una viga, generando dos caras, la dorsal y la frontal de forma
que los esfuerzos positivos en cada uno de los planos son los que aparecen en la Fig.
3.13.
Fig. 3.13 – Esfuerzos positivos. Criterio de la rebanada.
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3.2.- Tracción o compresión.
3.2.1.- Introducción.
Es la solicitación que aparece en una barra cuando la resultante fuerzas interiores sobre
el centro de gravedad queda reducida al esfuerzo axil (3.14).
x
yz
F1
F2
F3
GNx
Fig. 3.14 – Barra sometida a tracción.
Se considera esfuerzo normal positivo xN cuando el esfuerzo genere tracciones sobre
la sección y negativo cuando genere compresiones. Los esfuerzos positivos aparecen en
la Fig. 3.15.
xNx Nx
+
y
Fig. 3.15 – Esfuerzos positivos de tracción.
Las hipótesis que se consideran para su estudio desde el punto de vista de la resistencia
de materiales son las siguientes:
Barras de eje recto y fuerzas aplicadas axialmente en el centro de gravedad de las
secciones.
Barras robustas (no aparece el efecto de pandeo).
Las secciones durante su deformación se mantienen planas y perpendiculares al eje.
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3.2.2.- Sistema isostático.
En principio se calculan las reacciones a partir de las ecuaciones de equilibrio estático.
Por ejemplo, para la viga de la Fig. 3.16
a
O B C
P1
A
P2 P3
b
l
x
x
R0
O B C
P1
A
P2 P3
x
Fig. 3.16 – Barra isostática sometida a tracción.
32103210x PPPR0PPPR0F ++=⇒=+++−⇒=∑
Conocidas las reacciones, el proceso se basa en seccionar cada uno de los campos de
carga mediante un plano y eliminar una de las partes, por ejemplo la que se encuentra a
la derecha. Para que el elemento no eliminado siga cumpliendo la condición de equilibrio,
la resultante de fuerzas interiores que aparece en la sección, correspondiente al
esfuerzo axil, ha de ser equilibrante de las fuerzas que actúan en el elemento, o bien
equivalente a las fuerzas que aparecían en la parte eliminada.
( )xNN xx =
Como a priori puede ser complicado conocer el sentido correcto del esfuerzo de todos los
campos de carga, una técnica para su determinación correcta es considerar siempre los
esfuerzos desconocidos como positivos (a tracción), y posteriormente, a partir de
plantear el equilibrio del elemento, obtener el signo del esfuerzo.
La magnitud del esfuerzo axil se define respecto de un origen de cotas que se toma
normalmente el extremo izquierdo de la barra (Fig. 3.17), y utilizando una función
matemática discontinua para cada campo de carga, por ejemplo, para la Fig. 3.17
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32103x
102x
01x
PPPRNlxbPRNbxa
RNax0
=−−=≤≤−=≤≤
=≤≤
a
O
P1
A x
x
Nx
a
O B C
P1
A
P2 P3
b
l
x
x
R0
Fig. 3.17 – Esfuerzo axil en el segundo campo de cargas.
A la representación de esta función se la denomina diagrama o gráfico de esfuerzos
axiles. En él se visualizan los esfuerzos en todas las secciones de la barra (Fig. 3.18)
x
a
O B C
P1
A
P2 P3
b
l
x
Nx
+N3
N2
N1
Nx
P3
P2
P1
R0
Fig. 3.18 – Gráfica de esfuerzos axiles.
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3.2.3.- Tensiones.
El esfuerzo axil de cada sección ( xiN ) se considera uniformemente distribuido en el área
de la sección recta perpendicular a la línea media ( iA ), independientemente de su
geometría, por lo que las tensiones en todos sus puntos son iguales y de magnitud
i
xixi A
N=σ
Debido a efectos como taladros o variación de sección, pueden aparecer concentración
de tensiones que nos se van a estudiar (Fig. 3.19).
Fig. 3.19 – Reparto de tensiones a tracción.
A partir de la expresión de las tensiones se pueden resolver diversos problemas.
Dimensionamiento.
Conocido el esfuerzo axil en cada sección y la tensión admisible del material, determinar
el área mínima de la sección necesaria
min,iadm
xiadm
min,i
xi ANAN
≤⇒≤σ
σ
en la que
admσ - Tensión admisible del material.
min,iA - Área mínima de la sección.
Comprobación.
Conocido el esfuerzo axil en y el área en cada sección, comprobar que no se supera la
tensión admisible del material.
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admi
xiA
N σ≤
Limitación de cargas.
Conocido la tensión admisible del material y el área en cada sección, comprobar que el
esfuerzo axil en cada sección no supera el valor máximo.
iadmmax,xixi ANN ⋅=≤ σ
3.2.4.- Deformaciones.
Como solo hay tensiones en la dirección longitudinal de barra (eje x), aplicando las leyes
de Hooke generalizadas
( )[ ]zyxx E1 σσμσε +−= ( )[ ]yzyy E
1 σσμσε +−= ( )[ ]yxzz E1 σσμσε +−=
Gxy
xyτ
γ = Gxz
xzτγ =
Gyz
yzτ
γ =
se obtienen las deformaciones
Ex
xσε =
Ex
zyσμεε −== 0yzxzxy === γγγ
Relacionando las deformaciones con los movimientos
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
∂∂
+∂∂
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
∂∂
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
21
21
21
21
21
21
zw
zv
yw
21
zu
xw
21
yw
zv
21
yv
yu
xv
21
xw
zu
21
xv
yu
21
xu
D
εγγ
γεγ
γγε
se obtiene
Exu x
xσε =
∂∂
= Ey
vy xσμε −=∂∂
= Ez
w xz
σμε −=∂∂
= 0yzxzxy === γγγ
de estos, el más importante es el existente en la dirección del eje x, del que se puede
obtener
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dxEANdx
Edxdu xx
x ===σε
Para un campo de carga de longitud iL , esfuerzo axil xiN , área iA y material iE , el
alargamiento iLΔ viene expresado mediante
∫=iL
0 ii
xii dx
AENLΔ
por lo que el alargamiento de una barra con distintos campos de carga se obtiene
sumando las integrales que aparecen en cada campo de carga.
∑ ∫∑== ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡==
n
1i
L
0 ii
xin
1iii
idx
AENLL Δ
las expresiones de la deformación en cada campo de carga y la gráfica de movimientos
correspondiente a la viga a tracción analizada (Fig. 3.20) serían
( )
( )33
3x3
22
2x2
11
1x1
AEbxNLlxb
AEaxNLbxa
AExNLax0
−=≤≤
−=≤≤
=≤≤
Δ
Δ
Δ
( )
( )( )lxLLLLbxLLL
axLL
3213
212
11
=++==+=
==
ΔΔ
Δ
x
a
O B C
P1
A
P2 P3
b
l
x
Δl
Δl
Δ11 +
Δ12 Δ13
Fig. 3.20 – Movimientos de la viga a tracción.
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3.2.5.- Energía de deformación.
La energía de deformación por unidad de volumen viene expresada mediante
( )yzyzxzxzxyxyzzyyxxi 21U γτγτγτεσεσεσ +++++=
luego en el caso de tracción queda reducida a
( )xxi 21U εσ=
y la energía de un volumen infinitesimal sometido a tracción es
( )dV21dU xxi εσ=
Si se consideran dos secciones constantes muy próximas entre sí, la expresión queda
( )Adx21dU xxi εσ=
en la que sustituyendo la tensión y la deformación unitaria por
ANx
x =σ E
xx
σε =
se obtiene
dxEAN
21dU
2x
i =
correspondiente a la energía para un elemento de longitud infinitesimal. Si se integra
respecto de la longitud de un campo de carga, se tiene
∫=iL
0 ii
2xi
i dxAE
N21U
y para una barra con distintos campos de carga, la energía total vale
∑ ∫∑==
==n
1i
L
0 ii
2xi
n
1ii
idx
AEN
21UU
Si el sistema está formado por varias barras, la energía total es suma de la energía de
cada una de las barras.
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3.2.6.- Sistemas hiperestáticos.
Cuando una barra o un sistema de barras tiene más incógnitas que ecuaciones de
equilibrio estático el sistema es hiperestático. En este caso hay que obtener primero los
valores de los vínculos para posteriormente determinar la magnitud de los esfuerzos,
tensiones y deformaciones de las barras.
Para la obtención de los vínculos se utilizan, además de las ecuaciones de equilibrio, las
de comportamiento o deformación y las de compatibilidad de los movimientos con los
vínculos del sistema.
Despejadas las incógnitas hiperestáticas del sistema, el calculo de de tensiones,
deformaciones y movimientos se realiza del mismo modo que en sistemas isostáticos.
Existen dos procedimientos característicos para la obtención de las incógnitas
vinculares: los métodos geométrico y energético.
3.2.6.1 Hiperestática interna. Método geométrico.
La obtención de las incógnitas hiperestáticas se basa en el siguiente procedimiento:
1- Seccionar las barras y plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema, dejando
como incógnitas los esfuerzos de las barras redundantes.
2- Plantear las ecuaciones de equilibrio estático.
3- Considerar los movimientos hipotéticos que tendría el sistema de barras en
función de las deformaciones de las barras, de forma que sean compatibles con
los nudos.
4- Determinar las deformaciones de las barras en función de los esfuerzos
(desconocidos) que aparecen en ellas.
5- Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
Como ejemplo se va a analizar el sistema de la Fig. 3.21. Para simplificar, las áreas y
materiales de las barras se consideran iguales.
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α α
A
O
L1
LL1
B C
Fig. 3.21 – Sistema hiperestático interno.
El sistema es hiperestático ya que al ser barras concurrentes en un punto solo se pueden
plantear las ecuaciones de equilibrio de fuerza en sus dos componentes de forma
linealmente independiente. Aislando el nudo O estas ecuaciones son (fig. 3.22)
α α
A
O
L1 L
L1
B C
N1 N3
N2
x
y
Fig. 3.22 – Esfuerzos en las barras.
0FcosNcosNN0F0senNsenN0F
312y
13x
=−++⇒==−⇒=
∑∑
αααα
Al ser el sistema hiperestático hay dos ecuaciones con tres incógnitas, lo que es
algebraicamente insuficiente para calcular los esfuerzos.
Teniendo en cuenta las de formaciones de las barras (la barra OA una magnitud LΔ y las
barras OB y OC una magnitud 1LΔ ) a partir de la compatibilidad de deformaciones (las
barras OB y OC giran sobre su perpendicular hasta alcanzar el punto O’) el sistema
adopta una configuración tal como la mostrada en la Fig. 3.23
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
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α α
A CB
O
O’
ΔL
L1 L
L1
ΔL1
α
Fig. 3.23 – Compatibilidad deformaciones.
Teniendo en cuenta el criterio de pequeñas deformaciones, los ángulos y las longitudes
de las barras no varían sustancialmente después de la deformación. Por ello la ecuación
de compatibilidad de deformaciones es
αΔΔ cosLL1 =
A partir de las ecuaciones de comportamiento
EAlNL 2=Δ
EAlNL 11
1 =Δ
se pueden obtener la ecuación de compatibilidad en función de los esfuerzos, teniendo
en cuenta que αcosll 1= , se tiene
αααΔΔ 221
212111 cosNNcos
EAlN
EAlNcosLL =⇒=⇒=
Luego a partir del sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, se obtienen los
esfuerzos
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=
+==
⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=
=−++=−
α
αα
α
αααα
32
3
2
31
221
312
13
cos21FN
cos21cosFNN
cosNN
0FcosNcosNN0senNsenN
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3.2.6.2 Hiperestática interna. Método energético.
La obtención de las incógnitas hiperestáticas se basa en el siguiente procedimiento:
1- Eliminar las barras redundantes del sistema y sustituirlas por fuerzas incógnitas
hasta obtener un sistema isostático.
2- Plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema isostático, considerando las
fuerzas incógnita y los esfuerzos (de forma simbólica) del sistema isostático.
3- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isostático en función de las
fuerzas incógnita.
4- Obtener el potencial interno del sistema.
5- Aplicar el primer teorema de Castigliano, obteniendo el movimiento preescrito de
la barras incógnita.
6- Resolver el sistema de ecuaciones.
Como ejemplo se va a analizar el mismo sistema de la Fig. 3.20.
El sistema es hiperestático de grado uno por lo que se va a eliminar una de las barras y
se va a sustituir por la fuerza incógnita X (Fig. 3.24).
α α
A
O
L1 L1
B C
N1 N3X
x
y
X
Fig. 3.24 – Sustitución de una barra por una fuerza incógnita y esfuerzos en las barras
del sistema isostático.
Estas ecuaciones de equilibrio estático son
0FcosNcosNX0F0senNsenN0F
31y
13x
=−++⇒==−⇒=
∑∑
αααα
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
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Al ser el sistema hiperestático hay dos ecuaciones con tres incógnitas, lo que es
algebraicamente insuficiente para calcular los esfuerzos.
Utilizando el procedimiento se obtienen los esfuerzos de las barras del sistema isostático
en función de la fuerza incógnita
αcos2XFNN 31
−==
y se determina el potencial interno del sistema en función de los esfuerzos de las barras
no eliminadas
( )ααα 3
221
231
21
n
1i ii
i2xi
n
1i
L
0 ii
2xi
n
1ii cosEA4
lXFcosEAl
cos2XF
EAlN
21
EAlN
21
AElN
21dx
AEN
21UU
i −=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=+==== ∑∑ ∫∑
===
Aplicando el teorema de Menabrea
( ) ( )αα
δ 3XX
3XX
ii cosEA2
lXFcosEA2
lXFXU −
−=−
−=∂∂
===
en el que el movimiento preescrito de la barra eliminada se obtiene aplicando la fuerza X
únicamente sobre esa barra (Fig. 3.25)
α α
A
O
L1 L1
B C
Xx
y
Fig. 3.25 – Movimiento preescrito de la barra incógnita.
Y su valor es
EAXl
0 −=δ
luego se obtiene
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
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( )EAXl
cosEA2lXF
3 −=−
−α
de donde
α3cos21FX
+=
que coincide con el esfuerzo obtenido por el método geométrico. Los demás esfuerzos
se obtiene sustituyendo en la expresión
αα
α 3
2
3131cos21
cosFNNcos2
XFNN+
==⇒−
==
3.2.6.3 Hiperestática externa. Método geométrico.
La obtención de las incógnitas hiperestáticas se basa en el siguiente procedimiento:
1- Eliminar vínculos y sustituirlos por los fuerzas y momentos vinculares incógnitas.
2- Plantear las ecuaciones de equilibrio estático.
3- Considerar los movimientos hipotéticos que tendría el sistema de barras en
función de sus deformaciones, de forma que sean compatibles con los vínculos.
4- Determinar las deformaciones de las barras en función de los esfuerzos
(desconocidos) que aparecen en ellas.
5- Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
Como ejemplo se va a analizar el sistema de la Fig. 3.26.
a
B C
P
A x
b
Fig. 3.26 – Sistema hiperestático externo.
El sistema es hiperestático ya que tiene dos vínculos y solo se pueden plantear una
ecuación de fuerza de forma linealmente independiente. Esta ecuación es (fig. 3.27)
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a
B C
P
A x
b
RA RB
Fig. 3.27 – Esfuerzos en las barras.
0RPR0F BAx =++⇒=∑
Al ser el sistema hiperestático hay una ecuación con dos incógnitas, lo que es
algebraicamente insuficiente para calcular los esfuerzos.
Los esfuerzos en cada uno de los campos de carga de la barra serán
PRNbaxaRNax0
A2x
A1x
−−=⇒+≤≤−=⇒≤≤
La deformación total de la barra es 2L de magnitud
( )EA
axNLbaxa
EAxNLax0
2x2
1x1
−=+≤≤
=≤≤
Δ
Δ
( )( )baxLLLaxLL
212
11
+=+===
ΔΔ
Teniendo en cuenta la compatibilidad de deformaciones de la barra se tiene
( ) 0baxLLL 212 =+=+= Δ
en la que sustituyendo por los esfuerzos
EAaR
EAaNL A1
1 −== ( ) ( ) ( )EA
bPREA
axNbaxL A2x2
−−=
−=+=Δ
por lo que se tiene
( ) ( ) 0PbbaR0EA
bPREA
aRA
AA =−+−⇒=−−
+−
Luego a partir del sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, se obtiene
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
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( )⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+−=
+−=
⇒⎭⎬⎫
=−+−=++
baPaR
baPbR
0PbbaR0RPR
B
A
A
BA
3.2.6.4 Hiperestática externa. Método energético.
Se basa en el siguiente procedimiento:
1- Eliminar los vínculos redundantes del sistema y sustituirlos por fuerzas incógnitas
hasta obtener un sistema isostático.
2- Plantear las ecuaciones de equilibrio del sistema isostático, considerando las
fuerzas incógnita y los esfuerzos del sistema isostático.
3- Obtener los esfuerzos de las barras del sistema isostático en función de las
fuerzas incógnita.
4- Obtener el potencial interno del sistema.
5- Aplicar el primer teorema de Menabrea, igualando al movimiento preescrito del
vínculo incógnita.
6- Resolver el sistema de ecuaciones obtenido.
Como ejemplo se va a analizar el mismo sistema de la Fig. 3.25.
El sistema es hiperestático de grado uno, y se elimina uno de los vínculos sustituyéndolo
por la fuerza incógnita correspondiente (Fig. 3.28).
a
B C
P
A x
b
X
Fig. 3.28 – Eliminación de un vínculo e introducción del efecto vincular.
La ecuación de equilibrio estático es
0XPR0F Ax =++⇒=∑
Al ser el sistema hiperestático hay una ecuación con dos incógnitas, lo que es
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
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algebraicamente insuficiente para calcular los esfuerzos.
Utilizando el procedimiento se obtienen los esfuerzos de los campos de carga del
sistema isostático en función de la fuerza incógnita
XNbaxaXPNax0
2x
1x
=⇒+≤≤+=⇒≤≤
y determinar el potencial interno del sistema en función de los esfuerzos de la barra
eliminada
( )EA
bX21
EAaXP
21
EAlN
21
EAlN
21
AElN
21dx
AEN
21UU
221
22x1
21x
n
1i ii
i2xi
n
1i
L
0 ii
2xi
n
1ii
i+
+=+==== ∑∑ ∫∑
===
Aplicando el teorema de Menabrea
( ) ( )EAXb
EAaXP
EAXb
EAaXP
XU0
XXXX
i ++
=++
=∂∂
===
de donde
baPaX+
−=
que coincide con el esfuerzo obtenido por el método geométrico. El otro vínculo se
obtiene sustituyendo en la expresión
baPbR0XPR AA +
−=⇒=++
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
89/129
3.3.- Torsión.
3.3.1.- Introducción.
Es la solicitación que aparece en una barra cuando la resultante de momentos interiores
queda reducida a un momento en la dirección longitudinal de barra (Fig. 3.29).
x
yz
F1
F2
F3
GMT
Fig. 3.29 – Barra sometida a tracción.
Se considera momento torsor positivo TM cuando su sentido es hacia el exterior de la
sección de corte y negativo en sentido contrario. Los momentos torsores positivos
aparecen en la Fig. 3.30.
xNx Nx
+
y
Fig. 3.30 – Momentos positivos de torsión.
Se va a desarrollar únicamente la torsión uniforme que es aquella que aparece sobre una
barra cilíndrica de sección constante (circular o anular).
Las hipótesis que se consideran para su estudio desde el punto de vista de la resistencia
de materiales son las siguientes:
Las secciones planas antes de la deformación, permanecen planas después de la
deformación.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
90/129
Para dos secciones rectas infinitamente próximas, distantes entre sí dx, la
deformación se reduce a la rotación relativa de un ángulo dφ respecto del eje
perpendicular a las mismas (x).
Con estas hipótesis se consiguen resultados exactos en barras de sección recta
constante circular o anular, sometidas a momentos torsores en los extremos.
3.3.2.- Análisis de deformaciones.
Se considera una viga recta de sección circular constante, sometido a momentos
exteriores de igual módulo y dirección pero sentidos opuestos (MT, -MT) en los centros de
gravedad (G1, G2) de sus secciones extremas (Fig. 3.31). Para el análisis se tomará una
rebanada generada mediante dos secciones muy próximas (Σ y Σ’) distantes entre sí dx.
Si BC es la configuración inicial (antes de su deformación) de una fibra longitudinal, y
BC1 la misma fibra en su configuración deformada, el segmento AA’ paralelo a la fibra en
configuración indeformada en la rebanada pasará a AA’1 después de la deformación,
considerándose que las longitudes de los segmentos sobre la sección Σ’ G’A’ y G’A’1 son
iguales.
Fig. 3.31 – Prisma circular sometido a torsión
Al ángulo infinitesimal A’G’A’1 se le denomina ángulo de torsión dφ, y corresponde al giro
relativo de una fibra longitudinal entre las dos secciones en los extremos de la rebanada,
siendo φ el giro relativo total entre las secciones de los extremos de la barra.
Se define como ángulo de torsión por unidad de longitud θ
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
91/129
dxdφθ =
Si el prisma considerado (Fig. 3.31) es de sección circular constante y actúan momentos
puntuales en los extremos (torsión uniforme), el giro relativo entre secciones
infinitamente próximas es constante respecto de la longitud de la rebanada (dx), por lo
que tanto el ángulo de torsión φ, como el ángulo de torsión por unidad de longitud θ
también lo son.
En este caso la deformada de cualquier fibra del prisma es un arco de hélice cilíndrica.
3.3.3.- Deformación angular y tensión tangencial.
Como se ha indicado, la deformación producida por la torsión en prismas de sección
circular o anular con momentos puntuales en los extremos consiste en un giro relativo
entre las secciones del prisma (sin deformación en la dirección longitudinal de la barra).
Si se considera (Fig. 3.31) una rebanada entre dos secciones (Σ y Σ’), el punto A’ antes
de la deformación pasa al A’1 después de la deformación, con lo que la fibra AA’ sufre
una deformación angular γ pasando a A A’1 tal como muestra la figura.
Si la distancia entre G’A’ es ρ, se tiene que la deformación angular val
dxd
'AA'A'A 1 φργ ==
ya tensión tangencial será
θρτθφ
φρτφργ
γτG
dxd
dxdG
dxd
G=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=⇒
⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
Para el caso de una viga cilíndrica sometida a momentos puntuales en los extremos, el
ángulo de torsión por unidad de longitud (θ) es constante para todas las secciones de la
barra, y la tensión tangencial (τ) de dirección perpendicular al radio vector que une el
punto de estudio con el centro geométrico de la sección, varía linealmente con la
distancia (ρ)
El reparto de tensiones tangenciales es el que aparece en la figura 3.32.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
92/129
Fig. 3.32 – Deformación angular y tensión tangencial de un prisma de sección angular
Siendo la tensión tangencial máxima la que aparece en los puntos del contorno de la
sección, cuyo valor es
dxdGR.maxφτ =
Para el caso de una viga cilíndrica sometida a cargas más complejas, el ángulo de
torsión por unidad de longitud (θ) deja de ser constante en todas las secciones y pasa a
depender de la sección de estudio, determinada mediante su posición x (θ =θ (x)), por lo
que la tensión tangencial (τ) es función lineal de la distancia (ρ) al centro de gravedad de
la sección y de la cota de estudio (x)
( ) ( )xGx, θρρτ =
3.3.4.- Relación tensión tangencial-momento torsor.
El reparto de tensiones tangenciales que actúa en los puntos de la sección genera un
sistema equivalente en su centro geométrico de resultante nula y momento el torsor. Su
relación se puede obtener a partir de considerar un anillo situado a una cierta distancia ρ
del centro de la sección (Fig. 3.33)
Fig. 3.33 – Tensiones tangenciales en un anillo de una sección
ρ
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
93/129
oA
2
A
2
AT I
dxdGdA
dxdGdA
dxdGdAM φρφρφρτ ==== ∫∫∫
siendo Io el momento de inercia polar respecto del centro geométrico de la sección
circular o anular y G Io la rigidez a torsión.
A partir de las expresiones de tensión tangencial y momento torsor, se obtiene la
expresión de tensiones tangenciales en función del momento torsor
ρτφ
φρτ
o
T
oTI
M
IdxdGM
dxdG
=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
a partir de la cual, la tensión tangencial máxima de una sección viene dada por,
T
T
o
T
o
T.max W
M
RI
MR
IM
===τ
en la que se define como módulo resistente la relación geométrica entre el momento de
inercia polar respecto del centro de simetría de una sección circular (Io) y el radio de la
sección (R).
RI
W oT =
Luego, para que la sección sea resistente se ha de cumplir que la tensión admisible del
material ( .admτ ) sea superior a la producida por el estado de cargas,
.adm
TT
oT
.adm
TT
T
T.adm MW
RIW
MWWM
ττ
τ=≥⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
≥⇒≥
3.3.5.- Ángulo de torsión.
Para determinar el ángulo de torsión entre dos secciones se utiliza la expresión ya
deducida del momento torsor
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
94/129
∫=⇒=x o
ToT GI
dxMI
dxdGM φφ
Si el prisma circular es de sección constante y longitud l, y está sometida a torsión
uniforme, dado que el momento torsor, el material y la sección son constantes, expresión
se reduce a
o
Tl
0 o
TGI
lMdxGIM
== ∫φ
3.3.6.- Sistemas isostáticos e hiperestáticos.
La aplicación de la torsión a sistemas isostáticos e hiperestáticos sigue los mismos
criterios que los indicados en tracción sustituyendo los esfuerzos axiles por momentos
torsores y la deformación longitudinal por la deformación angular, tanto para sistemas
isostáticos como hiperestáticos.
El caso de torsión aplicado a perfiles no circulare son se va a considerar.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
95/129
3.4.- Flexión.
3.4.1.- Introducción.
Es la solicitación que aparece en una viga cuando la resultante de fuerzas y momentos
interiores quedan reducidos a una fuerza y momento sobre su sección transversal.
Existen distintos tipos de flexión (Fig.3.34).
Flexión pura.
Cuando la reducción de fuerzas interiores en el centro de gravedad de una sección,
perpendicular a la línea directriz, es un único momento contenido en el plano,
anulándose el esfuerzo axíl (Nx), los esfuerzos cortantes (Ty, Tz) y el momento torsor
(MT).
Flexión pura asimétrica y simétrica.
La flexión es pura asimétrica cuando el vector momento flector tiene
componentes según los ejes y y z, principales de inercia de la sección.
La flexión es pura simétrica cuando el vector momento flector tiene una
única componente según uno de los ejes principales de inercia de la
sección.
Flexión simple.
Cuando la reducción de fuerzas interiores en el centro de gravedad de una sección,
perpendicular a la línea directriz, está formado por un momento flector y un esfuerzo
cortante.
Flexión desviada.
Cuando los vectores momento flector y esfuerzo cortante se descomponen
respecto de los ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de
la sección.
Flexión compuesta.
Cuando además de aparecer esfuerzo cortante y momento flector, existe esfuerzo
axíl.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
96/129
y
x
z
G
MF
My
Mz
Flexión pura asimétrica
y
x
z
G
Mz
Flexión pura simétrica
y
x
z
G
Ty
Mz
Flexión simple
y
x
z
G
MF
My
Mz
Flexión esviada
Ty
Tz
y
x
z
G
MF
My
Mz
Flexión compuesta
Ty
Tz
Nx
Fig. 3.34 – Tipos de flexión.
3.4.2.- Flexión pura.
Además de las hipótesis generales ya indicadas en la introducción a la Resistencia de
Materiales, se tendrán en cuenta las siguientes:
1- Todos los puntos del sólido se mantienen dentro de los límites del
comportamiento elástico lineal.
2- Las secciones planas antes de la deformación siguen siendo planas después
de la deformación (hipótesis de Bernoulli)
Por ello, al someter una rebanada de un prisma a flexión pura simétrica todas sus fibras
adquieren curvatura, dividiéndose la sección en dos dominios en función de su
deformación.
En uno de los dominios las longitudes de las fibras se acortan, mientras que en el otro se
alargan. Las primeras estarán por tanto sometidas a una tensión axil de compresión,
mientras que las segundas a tracción, existiendo un conjunto de puntos sin tensión
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
97/129
denominados línea neutra.
Experimentalmente se comprueba que se cumple la hipótesis de Bernoulli (las secciones
permanecen planas después de la deformación), por lo que se considera que no existen
tensiones tangenciales, ya que éstas generarían deformaciones angulares en las
secciones.
3.4.3.- Criterio de signos.
Se considerará momento flector positivo aquel que genere tensiones normales de
tracción en el primer cuadrante, por lo que el criterio se asocia al sistema de referencia
elegido (fig. 3.35).
+
Mz
y
x
z
G
Mz y
x G
Fig. 3.35 – Criterio de signos.
3.4.4.- Análisis de tensiones.
Se parte de una viga sometida a flexión pura simétrica debido a la solicitación de
momentos exteriores activos en sus extremos.
En la viga se considera una rebanada, definida mediante el corte por dos planos
inicialmente verticales situados a una distancia infinitesimal (DE y CF). Una vez cargada
la viga, y producidas las deformaciones de las fibras, existe una cuya longitud no varía. A
esta fibra se la denomina línea neutra (AB) y al radio de curvatura en su configuración
deformada ρ (Fig. 3.36).
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
98/129
Mz Mz
O
ρ
E
A
D
dx
H F
B
N M
C J dθ
dθ
ρ'
ds
Fig. 3.36 – Deformaciones a flexión.
Se va a analizar la deformación unitaria (ε) de una fibra situada a una distancia y
respecto de la fibra neutra, para lo se parte de la igualdad entre el giro de las fibras de la
rebanada (dθ) y el giro de la sección extrema de la sección (HJ paralela a la DE) después
de la deformación (CF)
BNMN
'dsdxd ===ρρ
θ
como MN es la deformación de la fibra estudiada ( dxMN xε= ) y BM es la distancia de
esta fibra respecto de la línea neutra ( yBN = ), se tiene,
ρεε
ρy
ydxdx
xx =⇒=
A partir de esta expresión, aplicando la ley de Hooke, se obtiene la denominada ley de
Navier que determina el reparto de tensiones normales de las fibras de una sección
sometida flexión pura,
ρσ
εσρ
ε yEE
y
x
xx
x =⇒⎪⎭
⎪⎬⎫
=
=
Si se considera una sección constituida de un único material, tanto el módulo de Young (E)
como el radio de curvatura de la línea neutra (ρ) son constantes, por lo que la magnitud de la
tensión es linealmente proporcional a su distancia respecto de la línea neutra (y). Esto hace
que las tensiones máximas aparezcan en las fibras más alejadas de la neutra (Fig. 3.38).
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
99/129
y
z G
b
h
σx
y
Fig. 3.38 – Tensiones normales de flexión.
3.4.5.- Relaciones entre esfuerzos y tensiones.
Planteando ahora el equilibrio elástico de la sección considerando flexión pura por
momento flector zM , se obtiene (Fig. 3.37)
Fig. 3.37 – Tensiones y esfuerzos en la sección.
(1) 0mdy0dyEd0F zxx ==⇒==⇒= ∫∫∫∑ΩΩΩ
ΩΩρ
Ωσ
(2) 00d0F xyxyy =⇒=⇒= ∫∑ τΩτΩ
(3) 00d0F xzxzz =⇒=⇒= ∫∑ τΩτΩ
(4) ( ) 0dzy0M xyxzx =−⇒= ∫∑Ω
Ωττ
(5) 0Idyz0dyzEdz0M yzxy ==⇒==⇒= ∫∫∫∑ΩΩΩ
ΩΩρ
Ωσ
(6) zzz
2xz
zz
IEMIEdyEdyM
MM
ρρ
Ωρ
ΩσΩΩ
=⇒⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=
∫∫
∑
τxz
τxy
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
100/129
De la ecuación (1) se deduce que el momento estático respecto del eje z ha de ser
nulo, luego el eje z ha de contener al centro de gravedad de la sección.
De las ecuaciones (2, 3 y 4), se obtienen que las tensiones tangenciales en el
entorno del punto (τxy, τxz) son nulas.
De la ecuación (5) se obtiene que el momento de inercia centrífugo (Iyz) es nulo,
luego la base de estudio ha de ser principal de inercia.
De la ecuación (6) junto con la ley de Navier se obtiene la expresión de la tensión
normal (σx) en función del momento flector (Mz). El momento de inercia (Iz) se
calcula respecto de la línea neutra de la sección.
yI
MyE
IMEIEM
z
zx
x
z
zzz
=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=⇒=σ
ρσ
ρρ
Para el caso en que el momento flector se encuentre sobre el eje principal de inercia y de
la sección, la expresión se anterior transforma en,
zI
M
y
yx =σ
3.4.6.- Momento resistente.
La tensión normal máxima en una viga solicitada a flexión pura aparece en la sección de
mayor momento flector y en las fibras más alejadas respecto de la línea neutra, luego
.maxz
.maxz.maxx y
IM
=σ
expresión a partir de la cual se obtiene el momento resistente geométrico, relación
geométrica entre el momento de inercia respecto de la línea neutra y la distancia de la
fibra más alejada
.max
zz
z
.maxz
.max
z
.maxz.max
z
.maxz.maxx y
IWW
M
yI
My
IM
=⇒===σ
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
101/129
Conocida la tensión normal admisible (σx adm.) y el momento flector máximo de la viga (Mz
max.) se puede obtener el momento resistente necesario de la sección (Wz nec.),
.admx
.maxz.necz
.necz
.maxz.admx
MW
WM
σσ ≥⇒≥
Los valores absolutos se introducen ya que la expresión es válida tanto para estudios de
tracción como de compresión. El valor de momento resistente necesario obtenido se
puede comparar con el momento resistente (Wz) que aparece tabulado para distintas
secciones. En el caso de la sección rectangular (Fig 3.39) el momento resistente
geométrico es
y
z G
b
h
ymax.
Fig. 3.39 – Sección rectangular.
6bh
2h
bh121
yIW
23
.max
zz ===
3.4.7.- Flexión simple.
En el caso de una sección sometida a flexión simple aparecen un esfuerzo cortante (T) y
un momento flector (M) sobre los ejes principales de inercia de la sección. La existencia
del esfuerzo cortante (T) produce un alabeo (deformación angular) en las secciones
planas antes de la deformación, por lo que dejan de ser planas después de la
deformación.
Principio generalizado de Navier-Bernoulli.
Una rebanada sometida a flexión simple en la que no varía el esfuerzo cortante,
experimentan un movimiento de alabeo que es el mismo en los dos extremos de la
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
102/129
sección (Fig. 3.40)
dx
Ao
dx
A’Bo A
B’
B
Fig. 3.40 – Alabeo por esfuerzo cortante.
Por lo tanto existe un efecto de alabeo en las secciones extremas de la rebanada y no se
cumple la hipótesis de Bernoulli, pero se considera que el movimiento de cada fibra
generado en ambos extremos es el mismo, por lo que la deformación total de las fibras
de la rebanada no está influida por la aparición de dicho alabeo (A’B’=AB), y coincide con
la existente en el caso de flexión pura.
Esto justifica que la formulación de tensiones normales de flexión pura, también sea
válida en el estudio de flexión simple, aun cuando en este último caso las tensiones
normales vayan acompañadas de tensiones tangenciales.
La conclusión es que el efecto del alabeo se considera despreciable aun en el caso de
que el esfuerzo cortante varíe.
3.4.8.- Criterio de signos de flexión simple.
Los criterios de signos positivos correspondientes al momento flector y el esfuerzo
cortante en el caso de flexión simple son los indicados en la Fig. 3.41
+
Ty
Ty
Mz
y
x
Mz
Fig. 3.41 – Esfuerzos positivos de flexión simple.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
103/129
3.4.9.- Relaciones entre esfuerzo cortante, momento flector y carga repartida.
La carga repartida y los esfuerzos cortante y flector (Ty y Mz) existentes en una sección
sometida a flexión simple no son independientes entre sí. Para determinar su
dependencia se va a considerar una rebanada con carga repartida (q) tal como muestra
la Fig. 3.42, en la que la carga repartida tiene sentido gravitacional, y los esfuerzos
cortante y momentos flectores reintroducen según el criterio positivo de la rebanada
Mz+dMz Mz Ty
Ty+dTy dx
Gx
q
y
Fig. 3.42 – Carga repartida y esfuerzos positivos de flexión simple.
Planteando el equilibrio de fuerzas y momentos respecto del centro de gravedad de la
sección derecha (G) se obtiene
( )dx
dMT0dMdxT0dMM2dxdxqdxTM0M
dxdT
q0dTdxq0dTTdxqT0F
yyzz
0
yzGz
yyyyyy
=⇒=−⇒=+−−+⇒=
−=⇒=+⇒=+++−⇒=
∑
∑
43421
En las expresiones anteriores se ha despreciado el infinitésimo de segundo orden
( 0dxdx ≈ ), y se determina que la pendiente de cortantes es el estado de carga repartida
cambiada de signo, y que la pendiente de momentos es el cortante.
Estas dos expresiones se pueden relacionar entre si mediante
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
104/129
2
2
dxMd
dxdTq
dxdMT
dxdTq
==−⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
−=
Según esto, si la carga repartida (q) varía según una función algébrica en función del
parámetro longitudinal (q(x)), las funciones esfuerzo cortante (Ty(x)) y momento flector
(Mz(x)) son también funciones algébricas de orden uno y dos grados superiores,
respectivamente (Fig. 3.43)
8 KN/m
2 m
4 KN m
0 1
5 KN
2
1 2
3 m
Gráfico de esfuerzos cortantes
Gráfico de momentos flectores
Fig. 3.43 – Gráficas carga, esfuerzo cortante, momento flector.
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105/129
3.4.10.- Expresiones para distintas cargas.
Para la determinación de los momentos flectores y esfuerzos cortantes correspondientes a
los distintos estados de carga se utilizan las funciones de discontinuidad o funciones de
Macaulay que se expresan entre corchetes <> y cuyo significado es (Fig. 3.43)
( )⎩⎨⎧
<≥−
>=−<1
111 axpara0
axparaaxax
x
q a1
Fig. 3.43 – Función de Macaulay.
Se van a analizar las expresiones correspondientes a distintos estados de carga
comunes.
Momento puntual
x
M
a1
Mz
Ty
y
( )
( ) ( ) 0dx
xdMxT
MaxMxM
zy
01z
==
=>−<=
Carga puntual
x
P
a1
Mz
Ty
y
( )
( ) ( ) PaxPdx
xdMxT
axPxM
01
zy
1z
=>−<==
>−<=
Carga uniforme
x
q
a1 a2
Mz
Ty
y
( )
( ) ( ) [ ]>−<−>−<==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<=
21z
y
22
21
z
axaxqdx
xdMxT
!2ax
!2axqxM
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
106/129
( )
( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) [ ]( )
( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]⎪
⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
−−−=>>
−=<<<<
=<<
⇒>−<−>−<==
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −−
−=>>
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ −=<<<<
=<<
⇒⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<=
212y2
121y21
1y1
21z
y
22
21
2z2
21
21z21
1z12
22
1z
axaxqaxTaxpara
axqaxaTaxapara
0axTaxpara
axaxqdx
xdMxT
!2ax
!2axqaxMaxpara
!2axqaxaMaxapara
0axMaxpara
!2ax
!2axqxM
Carga triangular creciente
x
q
a1 a2
Mz
Ty
y
( )
( ) ( )>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
==
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
2
22
21
12
zy
22
32
31
12z
ax!2ax
!2ax
aaq
dzxdMxT
!2axq
!3ax
!3ax
aaqxM
A partir del análisis de estas cargas simples se pueden determinar el momento flector y el
esfuerzo cortante para cargas más complejas utilizando su superposición.
Carga triangular decreciente:
x
q
a1 a2
Mz
Ty
y
( )
( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
−>−<==
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
−>−<
=
!2ax
!2ax
aaqaxq
dxxdMxT
!3ax
!3ax
aaq
!2axqxM
22
21
121
zy
32
31
12
21
z
Carga trapecial creciente:
x
q1
a1 a2
Mz
Ty
q2
y
( )
( ) ( )>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<==
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
22
22
21
12
1211
zy
22
2
32
31
12
122
11z
axq!2ax
!2ax
aaqq
axqdx
xdMxT
!2ax
q!3ax
!3ax
aaqq
!2ax
qxM
El estado de carga trapecial creciente es general, permitiendo obtener cualquier otro
estado de carga repartida sin más que modificar sus parámetros
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
107/129
Carga uniforme: q1 = q2 = q
( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎩
⎪⎨
⎧
>−<−>−<=
>−<−
>−<=
⇒
⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
>−<−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<==
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
21y
22
21
z
22
22
21
12
1211
zy
22
2
32
31
12
122
11z
axqaxqxT2axq
2axqxM
axq!2ax
!2ax
aaqqaxq
dxxdMxT
!2axq
!3ax
!3ax
aaqq
!2axqxM
Carga triangular creciente: q1 = 0, q2 = q
( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
>−<−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
⇒
⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
>−<−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<==
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
2
22
21
12y
22
32
31
12z
22
22
21
12
1211
zy
22
2
32
31
12
122
11z
axq!2ax
!2ax
aaqxT
!2axq
!3ax
!3ax
aaqxM
axq!2ax
!2ax
aaqqaxq
dxxdMxT
!2axq
!3ax
!3ax
aaqq
!2axqxM
Carga triangular decreciente: q1 = q, q2 = 0
( )
( ) ( )
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
−>−<=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
−>−<
=
⇒
⇒
⎪⎪
⎭
⎪⎪
⎬
⎫
>−<−⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<==
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
!2ax
!2ax
aaqaxqxT
!3ax
!3ax
aaq
!2axqxM
axq!2ax
!2ax
aaqqaxq
dxxdMxT
!2axq
!3ax
!3ax
aaqq
!2axqxM
22
21
12
11y
32
31
12
21
z
22
22
21
12
1211
zy
22
2
32
31
12
122
11z
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
108/129
3.4.11.- Estimación de tensiones tangenciales.
Al igual que las tensiones normales están relacionadas con los momentos flectores, las
tensiones tangenciales lo están con los esfuerzos cortantes. Como el procedimiento para
su determinación lleva a fórmulas complicadas se utilizará un método aproximado para
su determinación.
Para el estudio de tensiones tangenciales se consideran dos tipos de sección:
Secciones macizas.
Aquellas en las que su masa está agrupada sin complicaciones geométricas
como agujeros o partes esbeltas. Como ejemplos se encuentran el círculo, el
cuadrado o el rectángulo.
Secciones de pared delgada.
Aquellas cuya geometría está formada por rectángulos esbeltos, estando alguno
con su dimensión mayor orientada paralelamente a las cargas.
3.4.11.1 Secciones macizas.
Se va a considerar una el caso de sección rectangular.
y
y
z G
b
h
τxy
Fig. 3.44 – Reparto de tensiones tangenciales en sección maciza.
La Fig. 3.44 muestra el reparto correcto de tensiones tangenciales en una sección
rectangular en la que se aprecia que en las fibras superior e inferior no hay tensión
tangencial, siendo su distribución parabólica en las fibras de la sección.
La figura Fig. 3.45 muestra las tensiones tangenciales máximas para los casos de
secciones rectangular y circular.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
109/129
Vy Vy
bhT
5,1 y.max =τ 2
y.max R
T33,1
πτ =
Fig. 3.45 – Tensiones tangenciales máximas en secciones rectangular y circular.
3.4.11.2 Secciones de pared delgada.
En muchas secciones aparece un ramal vertical denominado alma, que tiene su
dimensión mayor orientada en la de las cargas. En este caso se puede suponer que las
tensiones asociadas al esfuerzo cortante se reparten de forma uniforme respecto del
área de ese alma (Fig. 3.46).
Fig. 3.46 – Tensiones tangenciales en el alma.
En el caso en el que la sección tenga un alma, se dividirá el esfuerzo cortante entre la
sección del alma (Fig. 3.46 a), como en secciones de tipo doble T, mientras que si la
sección tiene doble alma, la tensión tangencial en los puntos de cada una de las almas
obtiene de dividir el esfuerzo cortante entre el área del conjunto de las dos almas (Fig.
3.46 b), como ocurre en secciones rectangulares cerradas de pequeño espesor.
En el estudio del perfil de pared delgada se utiliza el concepto de flujo de tensiones de
ramal, definido como el producto de la tensión tangencial por el espesor del ramal
eq ⋅= τ
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
110/129
Los flujos de tensiones son nulos en los extremos libres de los ramales, conociéndose su
sentido ya que en las almas paralelas a la dirección de carga, tienen la dirección del
esfuerzo cortante. En secciones con un eje de simetría flujos de tensiones también son
simétricos respecto de dicho eje.
Aplicando el principio de conservación del flujo, en el caso en el que exista un punto de
intersección de ramales, el flujo entrante a la intersección tiene que ser igual al flujo
saliente, que en el caso de la Fig. 3.47 es
Vy
τ
τ
τ
Fig. 3.47 – Flujos de tensiones.
2211211 ee2qqq ⋅=⋅⇒=+ ττ
Expresión a partir de la cual, si se conocen los espesores de los ramales de la sección
( 21 e,e ) y la tensión tangencial en el alma ( 2τ ), se puede determinar la tensión tangencial
en el punto de intersección de las alas ( 1τ ). En la Fig. 3.48 se muestra el flujo de tensiones
tangenciales para distintas secciones.
Fig. 3.48 – Flujos de tensiones tangenciales sobre distintas secciones.
3.4.12.- Combinación de tensiones.
Como se ha indicado, las tensiones normales están asociadas a los momentos flectores,
mientras que las tensiones tangenciales lo están a los esfuerzos cortantes. En general
en una viga sometida a flexión simple los esfuerzos cortantes y momentos flectores
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
111/129
varían de una sección a otra, tal como se muestra en la Fig. 3.49.
Fig. 3.49 – Diagramas de esfuerzos cortantes y momentos flectores.
Para cada punto de cada sección se puede obtener un valor de tensión normal y
tangencial respecto del plano normal a la línea media, cuyos valores máximos en la
sección central son
23z
maxz.maxx bh2
Pl32h
bh121
4Pl
yI
M2hy ===⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ =σ ( )
bhP
43
bh2P
23
bhT
5,10y y.max ====τ
Luego la relación entre las tensiones normal y tangencial máximas es,
hl2
bh4P3
bh2Pl3
bh4P3
bh2Pl3
2
.maxxy
.maxx
.maxxy
2.maxx==⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
τσ
τ
σ
Como la altura de la sección rectangular (h) suele ser mucho menor que la longitud de la
barra (l), la influencia de la tensión normal máxima es muy superior a la de la tensión
tangencial máxima.
Aún así existen puntos de la sección en la que actúan simultáneamente tensiones
normales y tangenciales. Será en estos puntos donde, para comprobar que no se supera
la tensión límite del material, habrá que utilizar las hipótesis de Tresca (o de la tensión
tangencial) o Von Mises (o de la energía de distorsión).
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
112/129
3.4.13.- Energía de deformación.
A partir de la expresión de la energía de deformación por unidad de volumen en función
de las tensiones y deformaciones
( )yzyzxzxzxyxyzzyyxxi 21U γτγτγτεσεσεσ +++++=
teniendo en cuenta que en el caso de flexión simple solo aparecen las componentes
xzxxzx ,,, γετσ , la expresión anterior queda reducida a
( )xzxzxxi 21U γτεσ +=
en la que considerando
GExz
xzx
xτγσε ==
se tiene
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=
GE21U
2xz
2x
iτσ
Si se desprecia el efecto de las tensiones tangenciales y se determina la energía
infinitesimal por unidad de longitud para el caso de viga de sección constante, se tiene
( )∫=A
2xi dA
E21dU σ
Expresión en la que sustituyendo la tensión normal en función de la ley de Navier
yI
M
z
zx =σ
se tiene
∫=A
22z
2z
i dAyI
ME21dU
en la que tanto el momento flector como el momento de inercia son constantes para cada
sección por lo que salen fuera de la integral de área, de forma que la expresión a integrar
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
113/129
corresponde al momento de inercia por lo que
z
2z
z2z
2z
A
22z
2z
i EIM
21I
IM
E21dAy
IM
E21dU ==⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= ∫
expresión que habrá que integrar respecto a la longitud para obtener la energía total de la
barra debida a flexión pura o simple, despreciando el efecto de los esfuerzos cortantes
dxEIM
21U
l z
2z
i ∫=
3.4.14.- Deformaciones.
Igual que en otros casos, existen distintos métodos para su determinación.
3.4.14.1 Método de la doble integración. Ecuación de la deformada.
Los conceptos fundamentales que se van a utilizar son:
1- Se considerará viga recta de sección constante, y el estudio se realizará
respecto de ejes principales de inercia que pasan por el centro de gravedad de la
sección, estando las cargas situadas sobre algún eje principal de inercia.
2- Se define como superficie neutra la generada por los ejes neutros de todas las
secciones de la viga. Esta superficie se deforma debido al efecto de las fuerzas
transversales, pero no varía de longitud, ya que no está sometida a fuerzas
longitudinales.
3- La intersección de la superficie neutra con el plano de carga determina la
deformada de la línea media del prisma, denominada línea elástica.
4- Para estudiar la deformada de la viga se considerará la ecuación de la línea
elástica referida al sistema cartesiano ortonormal principal de inercia, cuyo eje x
coincide con la configuración indeformada.
5- Para cargas verticales se supondrá despreciable el posible desplazamiento en
la dirección longitudinal (ux) de las barras frente al transversal (vy).
Lo anterior indica que la deformación de la línea neutra de una sección estará definida
por los siguientes parámetros (Fig. 3.50).
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
114/129
yc - desplazamiento perpendicular al eje longitudinal. Positivo en el sentido
positivo del eje, y negativo en el contrario.
θc - ángulo girado por la sección, coincidente con el ángulo de la tangente de la
elástica con el eje x. Positivo en sentido antihorario.
y
y
θ
Fig. 3.50 – Geometría y criterio de signos de la deformación a flexión.
Ecuación de la deformada.
Para determinar la ecuación de la deformada o línea elástica se considera una rebanada
de longitud ds, donde el ángulo que forman las secciones después de la deformación es
dθ y el radio de curvatura de la línea media ρ (Fig. 3.50).
La expresión de la curvatura de flexión para una trayectoria plana es
( ) 232y1
y1
′+
′′=
ρ
donde las derivadas primera y segunda de la componente y vienen dadas por
dxd
dxydy
dxdyy 2
2 θθ ==′′==′
Recordando la expresión de la curvatura de flexión, obtenida a partir de tomar momentos
en una rebanada
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
115/129
z
z
z2
xF
Fz
IEM1
IEdyEdyM
MM=⇒
⎪⎭
⎪⎬
⎫
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛==
=
∫∫
∑
ρρ
Ωρ
ΩσΩΩ
se obtiene la expresión
( )( ) 2
2
232z
z
z
z
232
dxydy
y1
yIE
M
IEM1
y1
y1
=′′≈′+
′′=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
′+
′′=
ρ
ρ
en la que para pequeñas deformaciones se desprecia el valor de 2y′ frente a la unidad
del denominador, luego la ecuación diferencial de la deformada, asociada a la curvatura
de flexión (κ ) es
z
z2
2
IEM
dxyd
==κ
con el criterio de signos indicado en las Fig. 3.51, siendo el producto EIz la rigidez a
flexión
Fig. 3.51 - Criterio de curvatura a flexión.
A partir de la ecuación diferencial y mediante un proceso de doble integración se obtiene
la expresión de la deformada de la línea neutra y=y(x).
En cada proceso de integración aparecerá una constante (correspondiente al giro y la
flecha en el origen del parámetro de estudio) que se deberá determinar a partir de las
condiciones de contorno en el origen.
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
116/129
( )
( ) o221z
z1
z
z
o11z
z
z
z
y0xyCconCdxCdxIE
MyCdx
IEM
dxdyy
0xCconCdxIE
MyIE
Mdxd
dxydy
ydxdy
dxdy
dxdy
===+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⇒+==′
===+==′⇒==′
=′′⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=′=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=′′
∫ ∫∫
∫ θθθθ
θ
La máxima deformación de una viga (denominada flecha) puede aparecer en alguno de
sus extremos volados o en un punto dentro del dominio de la viga.
Para la obtención del máximo valor de la deformada en el dominio de la viga se ha de
determinar la cota x en la que se anula el giro ( )0x =θ y sustituir su valor en la ecuación
de la deformada
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )0xyy0x0dx
xdyxyxy .max.max ==⇒=⇒==′=⇒ θθθ
Expresiones de giros y deformadas para distintas cargas.
Si se considera el caso de una viga que tenga n campos de carga, y el estudio de realiza
con un origen de parámetro x distinto para cada campo, serán necesarios dos
constantes de integración en cada uno de los campos.
Para disminuir esta dificultad se busca una ecuación universal en la que,
independientemente del número de campos de carga que existan en la viga, sea preciso
determinar sólo dos constantes de integración. Esto se logra con las funciones de
discontinuidad o de Macaulay.
Las expresiones de giro y flecha correspondiente a cada una de las distintas cargas son:
Momento puntual
x
M
a1
Mz
Ty
y
( )
21z
1z
01z
ax2MyEI
axMEIMaxMxM
>−<=
>−<==>−<=
θ
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
117/129
Carga puntual
x
P
a1
Mz
Ty
y
( )
31z
21z
1z
ax!3
PyEI
ax!2
PEI
axPxM
>−<=
>−<=
>−<=
θ
Carga uniforme
x
q
a1 a2
Mz
Ty
y
( )
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<=
!4ax
!4axqyEI
!3ax
!3axqEI
2ax
2axqxM
42
41
z
32
31
z
22
21
z
θ
Carga triangular creciente
x
q
a1 a2
Mz
Ty
y
( )
!4axq
!5ax
!5ax
aaqyEI
!3axq
!4ax
!4ax
aaqEI
2axq
!3ax
!3ax
aaqxM
42
52
51
12z
32
42
41
12z
22
32
31
12z
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
θ
A partir del análisis de estas cargas simples se pueden mediante superposición
determinar el giro y la deformada para cargas más complejas.
Carga trapecial creciente
x
q1
a1 a2
Mz
Ty
q2
y
( )
!4axq
!5ax
!5ax
aaqq
!4axqyEI
!3axq
!4ax
!4ax
aaqq
!3axqEI
2axq
!3ax
!3ax
aaqq
2axqxM
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
42
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11z
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
θ
El estado de carga trapecial creciente permite obtener cualquier otro estado de carga
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
118/129
repartida sin más que modificar sus parámetros:
Carga uniforme: q1 = q2 = q
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>−<−
>−<=
>−<−
>−<=
>−<−
>−<=
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
!4ax
q!4ax
qyEI
!3ax
q!3ax
qEI
2ax
q2ax
qxM
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q6ax
6ax
aaqq
2ax
qxM
42
41
z
32
31
z
22
21
z
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
32
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11z
θθ
Carga triangular creciente: q1 = 0, q2 = q
( ) ( )
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−
=
⇒
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
>−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<−−
+>−<
=
!4ax
q!5ax
!5ax
aaq
yEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaq
EI
2ax
q6ax
6ax
aaqxM
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
qyEI
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
qEI
2ax
q6ax
6ax
aaqq
2ax
qxM
42
52
51
12
2z
32
32
41
12
2z
22
32
31
12z
42
2
52
51
12
124
11z
32
2
32
41
12
123
11z
22
2
32
31
12
122
11z
θθ
Con estas expresiones, tomando el parámetro x a partir del origen izquierdo de la viga,
las constantes de integración corresponden al giro (θ0) y deformada (y0) en el origen, por
ello, las expresiones genéricas de los giros y deformada de una viga se puede expresar
mediante,
[ ]
∑
∑∑
=
==
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ >−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<
−
−+
>−<+
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ >−<+>−<+=
repartidas
1i
32
2
32
41
12
123
11
puntuales
1i
21
imomentos
1i1iozz
!3ax
q!4ax
!4ax
aaqq
!3ax
q
ax!2
PaxMIEIE
ii
ii
ii
iiii
ii
θθ
∑
∑∑
=
==
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡ >−<−
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ >−<−
>−<
−
−+
>−<+
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ >−<+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ >−<++=
repartidas
1i
42
2
52
51
12
124
11
puntuales
1i
31
imomentos
1i
21
iozozz
!4ax
q!5ax
!5ax
aaqq
!4ax
q
ax!3
Pax2
MxIEyIEyIE
ii
ii
ii
iiii
ii
θ
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
119/129
3.4.14.2 Método de Mohr para el cálculo de deformaciones.
Otro método distinto para el cálculo de deformaciones a flexión basado en
consideraciones energéticas es el denominado método de Mohr.
Se supone una viga cargada a flexión simple en la que se desea determinar la
deformación producida en una sección C, tal como muestra la Fig. 3.52.
Fig. 3.52 – Base del método de Mohr.
El método tiene los siguientes pasos
1- Se introduce una carga puntual ficticia (Φ) en el punto (C) donde se quiere
calcular la deformación, y en la dirección del desplazamiento.
2- Se determina el potencial interno de la viga sometida a las acciones de las
cargas reales más la carga ficticia. Se desprecia el efecto del esfuerzo
cortante.
3- El desplazamiento de la sección se calcula aplicando el teorema de
Castigliano, particularizando el resultado para el caso de carga ficticia nula
0C d
dW
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
ΦΦδ
4- Aplicando el principio de superposición, el momento flector en cada una de las
secciones es la suma de los momentos flectores debido a la carga real más la
carga ficticia.
5- Por el principio de linealidad, el momento flector de la carga ficticia es igual al
momento flector de una carga unidad (Mz1) aplicada en el mismo punto de la
carga ficticia (C) con su misma dirección y sentido, multiplicados por la
magnitud de la carga ficticia (Φ). Por ello la ley de momentos flectores es
1zzoz MMM Φ+=
Formación complementaria en Ingeniería Mecánica. Resistencia de Materiales
120/129
donde
Mzo – momento flector de la viga sometida a la carga real.
Mz1 – momento flector de la viga sometida a la carga unitaria.
6- Sustituyendo la expresión del momento flector en el potencial interno de la
viga, se tiene
( )∫
∫+
=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
+=+=
=l
0 z
21zzo
i
1yyoy
1zzoz
l
0 z
2z
i
dxEI2
MMdUTTT
MMM
dxEI2
MdU
Φ
ΦΦ
Por lo que, para obtener el desplazamiento vertical aplicando el teorema de
Castigliano
( )
⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
+=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
⇒⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=
∫
∫
=
=l
0 z
1zzo
0
iC
l
0 z
1z1zzoi
0C
dxEI
MMddU
dxEI2
MMM2dUd
ddW
Φ
Φ
Φδ
ΦΦ
Φδ
El movimiento final obtenido dependerá de la orientación de la carga ficticia que se
considere, de forma que para cargas transversales se obtendrán desplazamientos
transversales (deformaciones a flexión), para cargas longitudinales se obtendrán
desplazamientos longitudinales (alargamientos a tracción), y para momentos puntuales,
giros. El movimiento será positivo si tiene el sentido de la carga ficticia y negativo en
sentido contrario.
3.4.15.- Sistemas hiperestáticos.
Se plantean ahora los casos de vigas sometidas a flexión en las que no se pueden
obtener los vínculos del sistema utilizando únicamente las ecuaciones de la estática. El
estudio se va a desarrollar para sistemas planos, por lo que el número máximo de
ecuaciones linealmente independientes de la estática son tres (dos de fuerzas y una de
momentos). Ejemplos de vigas hiperestáticas aparecen en la Fig. 3.53.
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Fig. 3.53 – Vigas hiperestáticas a flexión.
Para resolver la hiperestaticidad de un sistema son necesarias las ecuaciones de
equilibrio, pero no suficientes, por lo que se tendrán que aplicar las condiciones de
compatibilidad con el contorno a las ecuaciones de comportamiento del sistema.
El estudio se va a desarrollar comenzando por el análisis de distintos procedimientos de
resolución de hiperestaticidad para vigas de un solo tramo. En cada uno de los casos se
indicará el proceso necesario para la obtención de las incógnitas.
Los métodos para el cálculo de vigas hiperestáticas de un solo tramo que se van a
analizar los siguientes:
1. Ecuación diferencial de la línea elástica.
2. Eliminación de vínculos.
3. Energético.
3.4.15.1 Método de la ecuación diferencial de la línea elástica.
La base de este método es la misma que se utilizó en el cálculo de la deformada de una
viga a flexión mediante el proceso de doble integración. Para ello se siguen los
siguientes pasos:
1- Se plantea la ecuación diferencial de la elástica considerando los vínculos
incógnitas con notación simbólica. Se realiza la doble integración y se introducen
las constantes iniciales incógnita (con notación simbólica) de giro y deformada.
2- El número de incógnitas del sistema coincide con el número de incógnitas de los
vínculos más el giro y la flecha del origen del parámetro longitudinal.
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3- El número de ecuaciones a plantear son tres del equilibrio estático (sumatorio de
fuerzas verticales y horizontales, en su caso, y sumatorio de momentos nulos)
más una por cada condición de compatibilidad (giro o deformada preescrita)
debida a los vínculos.
4- Si la incógnita es una fuerza reactiva, la compatibilidad indica que el
desplazamiento de la viga en el punto de actuación es su desplazamiento
preescrito, y si la incógnita es un momento vincular debido a un empotramiento, la
compatibilidad indica en que el giro de la viga en el punto de actuación es su giro
preescrito.
5- Se resuelve el sistema planteado y se obtienen las incógnitas.
3.4.15.2 Método de eliminación de vínculos.
En este caso se utiliza un procedimiento basado en la eliminación de vínculos
hiperestáticos para la obtención de sus magnitudes. El estudio se desarrolla sobre una
viga isostática, a la que se aplicarán las condiciones de contorno de la viga hiperestática
inicial en los puntos de actuación de los vínculos. Los pasos a seguir son:
1- Se eligen los vínculos que al ser eliminados hacen que el sistema se vuelva
isostático. A continuación se eliminan estos vínculos y se introducen cargas
desconocidas con su misma dirección y sentido (con magnitudes expresadas
mediante notación simbólica), de forma que el sistema hiperestático se
transforma en isostático, pero en el que actúan cargas incógnitas.
2- Se divide el estado de cargas en dos, el correspondiente a las cargas iniciales
conocidas, y el de las cargas incógnitas asociadas a los vínculos eliminados,
aplicándose cada una de ellas por separado al sistema isostático.
3- Se determinan la deformación en el punto de actuación de los vínculos para cada
estado de carga.
4- Se aplica el principio de superposición y de movimientos, y se iguala el
movimiento total al prescrito del vínculo eliminado correspondiente.
5- De esta manera se plantearán tantas ecuaciones como incógnitas vincules se han
eliminado.
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6- La determinación de las ecuaciones de comportamiento del sistema isostático se
puede realizar por cualquiera de los procedimientos indicados (elástica, método
de Mohr, prontuario…).
3.4.15.3 Método energético.
En este caso se utiliza un procedimiento basado en la energía de deformación. Los
pasos a seguir son:
1- Igual que en el caso anterior, se eligen los vínculos que al ser eliminados hacen
que el sistema se vuelva isostático. A continuación estos vínculos desconocidos
se eliminan y transforman, manteniendo la misma dirección y sentido, en cargas
desconocidas (con magnitudes expresadas mediante notación simbólica), de
forma que el sistema hiperestático se transforma en isostático, pero en el que
actúan cargas incógnitas.
2- Se determina la energía de deformación debido a las cargas reales más las
ficticias.
3- Se aplica el teorema de Menabrea y se obtienen tantas ecuaciones como
incógnitas vincules se han eliminado.
4- Se resuelve el sistema de ecuaciones.
3.4.16.- Flexión desviada.
En todo lo anterior se ha considerado que el momento flector tenía la dirección de uno de
los ejes principales de inercia de la sección. Ahora se analiza la flexión cuando la
dirección del momento flector está sobre el plano de corte, pero no coincide con dichos
ejes.
En el caso en que el esfuerzo normal sea nulo se hablará de flexión desviada (Fig. 3.54),
mientas que si existe, flexión compuesta.
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Fig. 3.54 – Flexión desviada.
En esta flexión se utiliza el mismo criterio de signos que el usado en vigas sometidas a
flexión simple, luego se considerará positivo al momento flector cuando genera tracción
en el primer cuadrante (Fig. 3.55).
+
Ty
Ty
Mz
y
x
Mz
+
Tz
Tz
My
z
x
My
Fig. 3.55 – Criterio de signos en flexión desviada.
3.4.16.1 Flexión desviada. Tensiones normales.
Se parte de una viga como la representada en la figura, cargada en un plano que no
contiene ninguno de los dos ejes principales de inercia de la sección. Si Mf es el
momento flector en una sección, y My y Mz sus componentes respecto de los ejes
principales de inercia, el valor de la tensión normal en un punto de la sección se puede
obtener, aplicando el principio de superposición, sumando los valores correspondientes
a la tensión provocada por cada una de las componentes del momento flector de forma
independiente, calculados según la ley de Navier (Fig. 3.56)
x
z
y
Mz
My
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Fig. 3.56 – Momento flector sobre eje no principal de inercia de la sección.
zI
My
IM
zI
M''
yI
M'
y
y
z
z
y
y
z
z
+=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
=
σσ
σ
Fig. 3.57 – Posición del eje neutro en flexión desviada.
A partir de esta expresión, la posición del eje neutro se obtiene con la condición de que la
tensión normal sea nula, luego
zIMIM
y0zI
My
IM
yz
zy
y
y
z
z =⇒=+=σ
que corresponde a una recta que pasa por el centro de gravedad de la sección. El
estudio de tensiones tangenciales son se va a bordar.
z
y
σ’
σ’’
My
Mz
z
y
My
Mz
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3.4.16.2 Flexión desviada. Energía de deformación.
La expresión del potencial interno del entorno de un punto de un prisma sometido a
flexión desviada viene dada por (Fig. 3.58)
Fig. 3.58 – Componentes de tensión en flexión desviada.
( ) dzdydxG21dzdydx
E21dU 2
xz2xy
2i ττσ ++=
Despreciando el efecto de las tensiones tangenciales, la energía potencial para una
rebanada es
∫=A
2i dzdy
E2dxdU σ
Sustituyendo la tensión normal por la ley de Navier se obtiene
∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
+=
A
2
y
y
z
zi
A
2i
y
y
z
z
dzdyzI
My
IM
E2dxdU
dzdyE2
dxdU
zI
My
IM
σ
σ
expresión en la que sacando los momentos flectores y de inercia al ser constantes en la
sección queda
∫∫ +=A
22y
2y
A
22z
2z
i dAzEI2
dxMdAy
EI2dxMdU
cuyas integrales corresponden a los momentos de inercia respecto de los ejes z e y,
respectivamente, por lo que la expresión del potencial se puede poner
dxEI2
Mdx
EI2MdU
y
2y
z
2z
i +=
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que corresponden a la superposición de las energías de deformación de la flexión en los
planos xy y xz, respectivamente.
3.4.16.3 Flexión desviada. Deformación.
Para calcular las deformaciones se vuelve a aplicar el principio de superposición,
considerando la flexión desviada descompuesta en dos flexiones simples y
determinando el desplazamiento total como composición vectorial del desplazamiento
producido por cada una de las flexiones de forma independiente, analizándose cada un
de ellas con los criterios ya indicados.
Fig. 3.59 – Deformación en flexión desviada.
2c
2cc zy
δδδ +=
3.4.17.- Flexión compuesta.
Una viga está sometido a flexión compuesta cuando la reducción del sistema de fuerzas
interiores, existente en los puntos de la sección de corte, en el centro de gravedad de la
sección respecto del sistema principal de inercia de dicha sección, viene expresada por
una o varias componentes tanto del momento flector como del esfuerzo cortante y un
esfuerzo axil.
Si My y Mz son las componentes del momento flector en la base principal de inercia, y Nx
el esfuerzo axil, la expresión de la tensión normal de un punto en función del principio de
superposición es (Fig. 3.60)
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3.59 – Esfuerzos en flexión compuesta.
zI
My
IM
AN
AN'''
zI
M''
yI
M'
y
y
z
zx
x
y
y
z
z
=⇒
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
⎬
⎫
=
=
=
σ
σ
σ
σ
La expresión del eje neutro se obtiene nuevamente a partir de su condición de lugar
geométrico en el que la tensión normal es nula, luego
z
zx
y
z
z
y
z
zx
y
y
y
y
z
zxMI
ANz
II
MM
MI
ANz
IM
y0zI
My
IM
AN
−−=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−=⇒=++=σ
que corresponde a una recta que, debido al esfuerzo axil no pasa por el centro de
gravedad de la sección.
3.4.17.1 Flexión compuesta. Energía de deformación.
Para hallar la deformación se determina el potencial interno del entorno de un punto de
una sección de un prisma sometido a flexión compuesta, que viene dado por,
( ) dzdydxG21dzdydx
E21dU 2
xz2xy
2i ττσ ++=
Despreciando el efecto de las tensiones tangenciales, la energía potencial para una
rebanada es
∫=A
2i dzdy
E2dxdU σ
Sustituyendo la tensión normal por la ley de Navier se obtiene
y
x
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∫∫
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=⇒
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
=
++=
A
2
y
y
z
zxi
A
2i
y
y
z
zx
dzdyzI
My
IM
AN
E2dxdU
dzdyE2
dxdU
zI
My
IM
AN
σ
σ
Expresión que desarrollada es
∫∫∫ ++=A
22y
2y
A
22z
2z
A2
2x
i dAzEI2
dxMdAy
EI2dxMdA
EA2dxNdU
donde la primera integral corresponde al área de la sección y las dos siguientes son los
momentos de inercia respecto de los ejes z e y, respectivamente, de forma que la
expresión del potencial interno para la rebanada queda,
y
2y
z
2z
2x
i EI2
dxM
EI2dxM
EA2dxNdU ++=
3.4.17.2 Flexión compuesta. Deformación.
La deformación se obtiene mediante superposición de flexión desviada transversal y
deformación longitudinal axil, ambos casos ya estudiados.