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7/26/2019 FerrerasWasiucionek
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Ariel Ferreras Wasiucionek
Busquey seleccioneen Internet (plataformas como Wikipedia, Youtube, Scribd, o bsqueda
libre usando palabras clases en buscadores como Google, Google acadmica entre otros,
informaci!n sobre grupo, subgrupo, grupo finito, "omomorfismo entre grupos y e#emplos$
%rate de no e&cederse de este temario$ 'e ser necesario presente una sntesis propia$
Grupos:
'efinici!n)
Sea un con#unto *+ aco -G., y una funci!n . /l par (G,0 es un grupo si y slo si0 es una
ley interna en G, asociatia, con neutro, y tal que todo elemento de G admite un inerso
respecto de 0$
(G, 0 es grupo si y s!lo si se erifican los a&iomas)
G1$0) G2 G
G3$ 4ey asosiatia)
ab c : a , b , c ,G ( ab )c=a ( bc )
G5) /&istencia de elemento neutro o indentidad)
eG / a : aGae=ea=a
G6) /&istencia de inersos)
aG ,a 'G/aa '=a 'a=e
G7) 8onmutatiidad)
ab : a , bG ab=ba
Entonces el grupo se llama conmutativo abeliano.
/#emplo)
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/n el con#unto de los enteros se define 0 mediante)
a0b9a:b:5 (1)
/l par (;,0 es un grupo abeliano$ /n efecto se erifican)
G1 $0 es ley interna de 0 (1)
G3 $0 es asosiatia pues)
(a0b0c9(a:b:50c9a:b:5:c:59
9a:b:c:< (2)
a0(b0c9a0(b:c:59a:b:c:5:59
9a:b:c:< (3)
de (3 y de (5 resulta) (a0b0c9a0(b0c
G5)
/&iste un neutro en entonces
Si e es neutro entonces a0e9a$
=or (1) a:e:59a y resulta e9(>5
G6) todo elemento de G es inertible respecto de 0
Si a?es inerso de a, entonces debe erificarse)
a0a?9e
teniendo en cuenta (1)e9(>5
a:a?:59e
entonces)
a?9(>a
G7) /s conmutatia)
a0b9a:b:59b:a:59b0a
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Propiedades de los grupos:
@nicidad del neutro y del inerso)
/l elemento neutro es nico y el inerso es nico$
Aegularidad)
4os elementos de todo grupo son regulares$
ip!tesis)
(G,0 es grupo)
a0b 9 a0c
b0a9 c0a
%esis)
b9c
'emostraci!n por "ip!tesis)
a0b9a0c
8omponiendo a la iCquierda con a?, inerso de a)
a?0(a0b9a?0(a0c
=or asociatiidad)
(a?0a0b9(a?0a0c
=or G6)
a0a?9e entonces) e*be*c
=or G5) (e&iste neutro
bc
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Se prueba la regularidad por la derec"a$
4a regularidad significa que la ley cancelatia es Dlida para todos los elementos del
grupo$
!ubgrupos:
/l subcon#unto no aco del grupo G, es subgrupo de (G,0, si y solo si (,0 es
grupo$
/#emplo)
1%odo grupo (G, admite como subgrupo al mismo G, y al con#unto cuyo nico elemento es e$
Embos se llaman subgrupos triiales de (G,$
3( , : es subgrupo de (F, :$
5 /l con#unto de los enteros pares, con la adici!n, es un subgrupo de ( , :$ en cambio no
lo es los impares ya que la suma de dos enteros pares da un nmero par y no se erificara
G1$
Si el con#unto G es finito, entonces G se dice grupo finito$ 8aso contrario, diremos que G es
infinito$
8uando S es un con#unto finito, entonces E(S es tambin finito$ EdemDs,si S tiene n
elementos, entonces E(S 9 nH
"o#o$or#is#o:
/l concepto de "omomorfismo de grupo es crucial en toda la teora que estamosestudiando$ =ermite clasificar aquellos grupos que tienen la misma estructura, dentro de una
misma clase$ /sta concepci!n integradora, para poner orden dentro de una gran ariedad de
e#emplos matemDticos, casos particulares y situaciones de manipulaci!n de smbolos, es una
de las grandes irtudes del lgebra Joderna$
Sean (G, y (G, K dos grupos$ @na aplicaci!n L ) G M G, se llama "omomorfismo de
grupos, si y s!lo si L(a b 9 L(a K L(b para todo a, b G$
@sualmente utiliCamos la misma notaci!n para el producto en ambos grupos entonces la
condici!n de "omorfismo se escribe L(ab 9 L(aL(b
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/#emplo 1 Si G y G son dos grupos y e es el elemento neutro de G, la aplicaci!n L ) G M G
& M e Se llama "omorfismo nulo
/#emplo 3 Sea (;, : el grupo de los nmeros enteros con la suma y (; < , : el grupo los
enteros m!dulo < con la suma de enteros m!dulo