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UNIDADES TECNOLÓGICAS DE SANTANDER
UNIDAD 4
FACTORIZACIÒN Y FRACCIONES ALGEBRAICAS
FACTORIZACION Factorizar una expresión algebraica consiste en escribirla como un producto.
Cuando realizamos las multiplicaciones:
1. 2x(x2 – 3x + 2) = 2x3 – 6x2 + 4x 2. (x + 7)(x + 5) = x2 + 12x + 35
Vemos que las expresiones de la izquierda son los factores y las de la derecha son las expresiones a factorizar, es decir, la factorización es el proceso inverso de la multiplicación.
CASOS DE FACTORIZACIÓN 1. FACTOR COMUN 1.1 Factor común monomio : Con este método buscamos el factor común de todos y cada uno de los términos del monomio. Es decir, cuando tenemos una expresión de dos o más expresiones algebraicas y se presenta un término común; se debe sacar como factor común. Ejemplo 1: ¿cuál es el factor común monomio en 12x + 18y − 24z? Entre los coeficientes es el 6, o sea, 6·2x + 6·3y − 6· 4z = 6(2x + 3y − 4z) Ejemplo 2: ¿Cuál es el factor común monomio en: 5a2 − 15ab − 10ac? El factor común entre los coeficientes es 5 y entre los factores literales es a (el de menor grado), por lo tanto 5a2 − 15ab − 10ac = 5a·a − 5a·3b − 5a · 2c = 5a(a − 3b − 2c) Ejemplo 3: ¿Cuál es el factor común en 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 ? El factor común es “6xy “porque 6x2y − 30xy2 + 12x2y2 = 6xy(x − 5y + 2xy)
1.2 Factor común polinomio: Es el polinomio que aparece en cada término de la expresión. En este método se busca el factor común de todos y cada uno de los términos de un polinomio. Pero el resultado será otro polinomio. Ejemplo 1: 5x2(x − y) + 3x(x − y) + 7(x − y) - Factor común "(x − y)", el otro factor será lo que queda del polinomio. (5x2 + 3x + 7) Entonces se obtiene como resultado: (x − y) (5x2 + 3x +7) Ejemplo 2: Factoriza 2a (m − 2n) − b (m − 2n) =
Existe un factor común que es (m − 2n) → 2a (m − 2n) − b (m - 2n) = (m − 2n) (2a − b) 1.3 Factor común por agrupación de términos : En este caso de factorización hacemos uso de los dos métodos anteriores. Ejemplo: 5x4y + 3x3y −9xy −15xy2:
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Primero debemos agruparlo y factorizar los términos que agrupamos: seria así:
1º 5x4y − 15xy2 = 5xy (x3 − 3y) 2º 3x3y − 9xy = 3y (x3 −3y) Y por último si unimos los dos factores comunes monomios quedaría así: 5xy (x3 −3y) +3y (x3 −3y): Después se aplica el factor común polinomio. Entonces el resultado será el siguiente: (x3 −3y) (5xy +3y)
2. FACTORIZACION DE TRINOMIOS 2.1 Trinomio cuadrado perfecto Para que un trinomio sea cuadrado perfecto: el primer y tercer término deben tener raíz cuadrada y
el segundo término debe ser el doble producto de las bases de los dichos términos.
Ejemplo:
Factorizar 29 30 25x x− +
1°°°° Halla la raíz principal del primer término 29x ; 3x · 3x
2°°°° Halla la raíz principal del tercer término 25 con el signo del segundo término; −5 · −5
luego la factorización de ( ) ( ) ( )229 30 25 3 5 3 5 3 5x x x x x− + = − − = −
2.2 Trinomio cuadrado perfecto por adición o sustracció n: En este caso se intenta transformar una expresión (binomio o trinomio), en otra igual en la que se pueda aplicar trinomio cuadrado perfecto.
Ejemplo: 4224 910 nnmm +− Resolviéndolo queda:
22224224 44910 nmnmnnmm −++− 224224 496 nmnnmm −+−
( ) ( )2222 23 mnnm −− Aplicamos diferencia de cuadrados:
( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 23 2 3 2m n mn m n mn − + − −
2.3 Trinomio de la forma: 2n nx bx c+ +
El trinomio de la forma 2n nx bx c+ + se puede descomponer en dos factores binomiales mediante el siguiente proceso: Ejemplo 1:
Descomponer 2 6 5x x+ + 1°°°° Hallar dos factores que den el primer término x ···· x 2°°°° Hallar los divisores del tercer término, seccionando aquellos cuya suma sea “6”
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1 y 5 ó -1 y - 5
Pero la suma debe ser +6 luego serán ( )( )5 1x x+ +
( ) ( )2 6 5 5 1x x x x⇒ + + = + +
Ejemplo 2:
Factorizar 4 2 24 12x x y y+ − 1º Hallar dos factores del primer término, o sea x4: x2 ···· x2 2º Hallar los divisores de 12y2, estos pueden ser: 6y · −2y ó −6y · 2y 4y · −3y ó −4y · 3y 12y · −y ó −12y · y Pero la suma debe ser +4, luego servirán 6y y −2y, es decir:
( )( )4 2 2 2 24 12 6 2x x y y x y x y+ − = + −
2.4 Trinomio de la forma 2n nax bx c+ + Ejemplo:
Factorizar 22 11 5x x− + 1º El primer término se descompone en dos factores 2x ···· x 2º Se buscan los divisores del tercer término 5 ···· 1 ó -5 ···· -1 3º Parcialmente la factorización sería (2x + 5) (x + 1) Pero no sirve pues da: 2x2 + 7x + 5 Se reemplaza por (2x - 1) (x - 5) y en este caso nos da: 2x2 - 11x + 5
Por lo tanto, ( ) ( )22 11 5 5 2 1x x x x− + = − −
Vale aclarar que este no es el único método. En la presentación se aplica el método que sugiere Baldor. 3. FACTORIZACION DE BINOMIOS 3.1 Diferencia de dos cuadrados: Ejemplo:
Factorizar 2 29 16x y−
Raíz cuadrada del primer término 29 3x x=
Y raíz cuadrada del segundo término 216 4y y=
Luego la factorización de ( ) ( )2 29 16 3 4 3 4x y x x− = + −
3.2 Cubo perfecto de un binomio Ejemplo: Factorizar 3 23 3 1a a a+ + +
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Todos los signos de los términos son positivos
3 3a a= : Raíz cúbica del primer término del cuatrinomio. 3 1 1= : Raíz cúbica del cuarto término del cuatrinomio.
( )( ) 22 313 aa = Triplo del cuadrado de la raíz cúbica del primer término por la raíz cúbica del cuarto: Igual al segundo término del cuatrinomio.
( )( ) aa 313 = Triplo de la raíz cúbica del primer término del cuatrinomio por el cuadrado de la raíz cúbica del cuarto término: igual al tercer término del cuatrinomio. Por lo tanto:
133 23 +++ aaa Desarrollo de un cubo perfecto de binomios.
( )323 1133 +=+++ aaaa 3.3 Suma o diferencia de cubos perfectos
3.3.1 Diferencia de cubos: ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b− = − + +
Ejemplo: ( )( )3 28 2 4 2x x x x− = − + +
3.3. 2 Suma de cubos: ( ) ( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + − +
Ejemplo: ( )( )3 227 1 3 1 9 3 1a a a a+ = + − +
FRACCIONES ALGEBRAICAS DEFINICIONES Fracción algebraica: es el cociente indicado de dos expresiones algebraicas, es decir de la forma
( )
( )
p x
q xdonde el polinomio p(x) es el numerador y q(x) el denominador de la fracción algebraica, con
q(x) ≠ 0. Ejemplos:
2
5 8 3( ) ( 3) ( )
3 2 3 2
2 3 3 4( ) ( ) ( 4, 2)
7 2 8
xa x b x
x x
x y xc d x x
x x
+ ≠ ≠ − − +
− + ≠ ≠ −− −
Simplificación de fracciones algebraicas Simplificar una fracción algebraica es convertirla en una fracción equivalente reducida a su mínima expresión, o sea, una fracción algebraica es reductible (se puede simplificar) si su numerador y su denominador se pueden dividir por un mismo factor.
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Una fracción después de simplificada se dice que es irreducible.
• Para simplificar una fracción cuyos términos sean monomios se dividen el numerador y el denominador por sus factores comunes hasta lograr que la fracción sea irreducible.
• Para simplificar una fracción cuyos términos sean polinomios se descomponen en factores los polinomios y se suprimen los factores comunes en el numerador y el denominador hasta lograr que la fracción sea irreducible.
Ejemplos Simplificar las siguientes fracciones algebraicas:
(a) 3 3 2 3 2
5 2 3 2
24 8 3 8
21 7 3 7
a b a ab a
ab b ab b
⋅= =⋅
(b) 16x
12x7x2
2
−+−
Observa que podemos factorizar el numerador y denominador de la fracción dada, ya que:
)4x)(4x(16x
)3x)(4x(12x7x2
2
−+=−−−=+−
Luego:
2
2
7 12 ( 4)( 3) 3
16 ( 4)( 4) 4
x x x x x
x x x x
− + − − −= =− + − +
Mínimo común múltiplo de expresiones algebraicas La operación de reducir las fracciones algebraicas al mínimo común denominador consiste en convertirlas en fracciones equivalentes que tengan el mismo denominador y que éste sea el menor posible. Para encontrar el m.c.m. debemos, en primer lugar, factorizar cada uno de los polinomios en sus factores primos y luego obtener el producto de los distintos factores primos, eligiendo en cada caso el de mayor exponente
Ejemplo: Reducir al mínimo común denominador
2 2 2
3 2 3, , ,
5 6 6 9 3 2 2
x x x
x x x x x x x
++ + + + + + +
Al factorizar los denominadores obtenemos:
2( 2)( 3) , ( 3) , ( 2)( 1) , ( 2)x x x x x x+ + + + + + ; m.c.m. = 2( 2)( 3) ( 1)x x x+ + +
OPERACIONES CON FRACCIONES ALGEBRAICAS
En las operaciones con fracciones algebraicas se aplican las mismas reglas que se utilizan en aritmética para el cálculo de fracciones numéricas.
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1. Suma y Resta Reglas:
• Se simplifican las fracciones, si es posible. • Se reducen las fracciones dadas al mínimo común denominador • Se divide el denominador común entre cada uno de los denominadores y cada cociente lo
multiplicamos por su respectivo numerador. • Se suman o restan los numeradores que resulten y se divide este resultado por el
denominador común. • Se reducen términos semejantes en el numerador, si los hubiere. • Se simplifica la fracción que resulte, si es posible.
Ejemplo:
5 9 7 2 8 5 (5 9 ) (7 2 ) (8 5 ) 4 6
2 3 2 3 2 3 2 3 2 3
a b a b a b a b a b a b a b
a b a b a b a b a b
− − − − + − − − −+ − = =− − − − −
Luego, factorizando el numerador y simplificando, se obtiene:
2)b3a2(
)b3a2(2 =−−
Entonces: 5 9 7 2 8 5
22 3 2 3 2 3
a b a b a b
a b a b a b
− − −+ + =− − −
2. Multiplicación Reglas:
• Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible. • Se halla el producto de las expresiones que queden en los numeradores y el producto
resultante se divide por el producto de las expresiones que queden en los denominadores. Ejemplo:
2 3
2 3 2 2
5 6 7 21
9 2 8 7 7
m m m m m
m m m m m
− + − +− + − −
� �
Factoricemos y simplifiquemos
2
2 2
( 3)( 2) ( 1) 7( 3)
( 3)( 3) ( 2 8) 7( 1)
( 3)( 2) ( 1)( 1) 7( 3) 1
( 3)( 3) ( 4)( 2) 7( 1)( 1) 4
m m m m m
m m m m m m
m m m m m m
m m m m m m m m
− − − +⋅ ⋅ =+ − + − −
− − + − +⋅ ⋅ =+ − + − + − +
Entonces:
2 3
2 3 2 2
5 6 7 21 1
9 2 8 7 7 4
m m m m m
m m m m m m
− + − +⋅ ⋅ =− + − − +
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3. División Reglas:
• Se multiplica el dividendo por el divisor invertido • Se descomponen en factores y se simplifican las fracciones, si es posible.
Ejemplo:
2
2
2 4 6 12 2 4 15 45
5 15 15 45 5 15 6 12
x y xy y x y x y
x y x y x y xy y
− − − +÷ = •+ + + −
Factoricemos y simplifiquemos
2( 2 ) 15( 3 ) 1
5( 3 ) 6 ( 2 )
x y x y
x y y x y y
− +• =+ −
Entonces: 22 4 6 12 1
5 15 15 45
x y xy y
x y x y y
− −÷ =+ +
4. Operaciones combinadas Para resolver una expresión algebraica con distintas operaciones se realizan en primer lugar aquellas indicadas dentro de los paréntesis. Si no los hay, las multiplicaciones y divisiones tienen prioridad. Ejemplo:
2 2
2 2 2 2
3 3 6 6
2 2 2
x y x y x y
x xy y x y x xy y
− − −÷ • + + + − +
Calculemos el cociente del paréntesis y luego multipliquemos.
22
22
2 yxyx
yx
)yx(6
)yx(2
)yx(
)yx(3
+−−•
−+•
+−
Factoricemos y simplifiquemos
Entonces:
2 2
2 2 2 2 2 2
3 3 6 6
2 2 2
x y x y x y x y
x xy y x y x xy y x xy y
− − − −÷ • = + + + − + − +
2 2 2 2 2
3( ) 2( ) ( )( )
( ) 6( )
x y x y x y x y x y
x y x y x xy y x xy y
− + − + −• • =+ − − + − +