![Page 1: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/1.jpg)
EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH
Dr. Luis Miguel Galindo
![Page 2: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/2.jpg)
“The gods love the obscure and hate the obvious”Brihadaranyaka UpanishadBrihadaranyaka Upanishad
“When I say a Word it is supposed to meanWhen I say a Word, it is supposed to mean exactly what I want it to mean, nothing more,
nothing less”nothing less
Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas
![Page 3: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/3.jpg)
INTRODUCCIÓN:
“I have heard it said that too much academicresearch is focused on finding very preciseanswers to irrelevant questions”
Carol Alexander (2001)
Dr. Galindo
![Page 4: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/4.jpg)
MODELOS GARCH
1 ARCH( )1. ARCH(ρ):
(1) 22110
2ttt e...e α++α+α=σ
10
110
00ttt
,,,e...e
≥αα⟩α
α++α+ασ
ρ
ρ−ρ−
K
( )20 tt
t ,NIe σ∼
Dr. Galindo
![Page 5: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/5.jpg)
MODELOS APLICADOS:
2. GARCH(ρ,q):
(5) ∑ ∑ −− ++=q
itijtjt ew1 1
222ρ
ασβσ= =j i1 1
Dr. Galindo
![Page 6: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/6.jpg)
MODELOS GENERALES:
El GARCH es estacionario:
∑ ∑ρ
= =
⟨α+β1 1
1i
q
jji
1 1i j
Dr. Galindo
![Page 7: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/7.jpg)
MODELOS APLICADOS:
1. GARCH(1,1):
(4)(4)
La varianza condicional es función de:
21
21
2−− ++= ttt ew βσασ
• Constante• Noticias sobre la volatilidad del periodo previop p
• La varianza pronosticado del periodo anterior:2
1:ARCH −te
21:GARCH −tσ
Dr. Galindo
![Page 8: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/8.jpg)
MODELOS APLICADOS:
3. GARCH-M:
(6.1) ( ) tttt exy ++= 2' log σχθ
4. Regresores en la ecuación de varianza:
(6.2) πασβσ
ρ'222titijt
q
jt zew +++= ∑∑ −−11 i
jj
j ∑∑==
Dr. Galindo
![Page 9: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/9.jpg)
MODELOS GENERALES:
4. Integrated GARCH : IGARCH
CCon ∑ ∑ρ
= =
=β+α1 1
1i
q
jji
La varianza incondicional es infinita
Dr. Galindo
![Page 10: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/10.jpg)
MODELOS GARCH:
IGARCH:
Con y suponiendo que :1=β+α χ=β
(7) ( )10
1 21
21
2
≤≤+−+= −−
χχσχσ ttt ew
Tipo de cambio: media y varianza no estacionariaC 0 ⇒ IGARCH i il EWMA
10 ≤≤ χ
Con w = 0 ⇒ IGARCH similar a EWMA
Dr. Galindo
![Page 11: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/11.jpg)
EXTENCIONES DEL GARCH
La varianza condicional ( ) de et debe ser no negativa2tσ
Imponiendo restricciones en los coeficientes se obtieneque las variables y sean positivas2e 2σque las variables y sean positivas
Alternativas:
ite − tσ
• ABSGARCHEGARCH• EGARCH
Dr. Galindo
![Page 12: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/12.jpg)
EXTENCIONES DEL GARCH
O ió E ti l GARCH l i l d ó+ −Opción: Estimar el GARCH normal incluyendo ó pero no ambos
+−1te −1te
Dr. Galindo
![Page 13: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/13.jpg)
EXTENCIONES DEL GARCH: ABSGARCH
5. ABSGARCH
El modelo absoluto GARCH utiliza |et|
GARCH(ρ,q):
ρq(1) ∑∑
ρ
=−
=− σβ+α+α=σ
1j
2jtj
q
1iit10
2t |e|
Al remplazar |et-i| por entonces los errores muygrandes disminuyen su importancia
21te −
Dr. Galindo
![Page 14: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/14.jpg)
EXTENCIONES DEL GARCH: TARCH
Glosten, Jagannathan y Runkle (1993) (GJR) desarrollan un modelo que permite asimetrías
6. Modelo GJR ó TARCH:
(1) 1t2
1t2
1t2
1t102t ee −−−− Γγ+βσ+α+α=σ
Donde: Гt-1 = 1 si et-1 < 0 = 0 en otro caso= 0 en otro caso
Dr. Galindo
![Page 15: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/15.jpg)
EXTENCIONES DEL GARCH: TARCH
En el caso donde exista “leverage effect” (existe mas l tilid d íd d i ) 0volatilidad con caídas de precios) γ>0
Con γ distinto de 0 existe asimetría.
Condición de no negatividad:0,0,0 110 ≥γ+α≥β≥α≥α 110
Dr. Galindo
![Page 16: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/16.jpg)
MODELOS GENERALES:
GJR GARCH (Gl t J th R kl 1993)GJR-GARCH: (Glosten, Jagannathan Runkle, 1993):
(1) ( )δ+α+β+=ρ
= =−−−−∑ ∑
1 1
21
2
i
q
jjtjttjtjitit eDehwh
⎩⎨⎧
≥⟨
=−
−− 00
01
1
11
t
tt esi
esiD
Dr. Galindo
![Page 17: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/17.jpg)
MODELOS APLICADOS:
TARCHTARCH
(1) 2222 Ieewq
ktktkitijtjt +++= −−−−∑ ∑ ∑ρ γ
γασβσ
casootroen00si11 1 1
yeI tt
j i kktktkitijtjt
⟨=−
= = =∑ ∑ ∑
Con γ1>0 malas noticias incrementan la volatilidad(leverage effect)(leverage effect)
Dr. Galindo
![Page 18: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/18.jpg)
TGARCH
EXTENCIONES DEL GARCH
TGARCH:
Threshold GARCH:
(1) ∑∑∑ρ
−−−
−++
+ σβ+α+α+α=σ1j
jtj
q
1iiti
q
1i1ti0t ee
1. para et-1 > 0o para et 1 > 0
11 −+− = tt ee
=== 1j1i1i
p t-1
2. para et-1 < 0≥0
11 −−− = tt ee
o para et-1 ≥0
Dr. Galindo
![Page 19: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/19.jpg)
d l i l GA C ( GA C ) ( l
EXTENCIONES DEL GARCH: EGARCH
Modelo exponencial GARCH (EGARCH) (Nelson,1991)
Características:
1. Modela el . Ello asegura que sea)log( 2tσ 2
tσg qpositiva porque incluso con un número negativo en ellado derecho, el antilog lo hace positivo
)g( t t
2. Permite efectos asimétricos
3 Problema: es necesario asegurarse que todos los3. Problema: es necesario asegurarse que todos losvalores sean positivos
Dr. Galindo
![Page 20: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/20.jpg)
MODELOS APLICADOS:
7 EGARCH:7. EGARCH:
(1) ( ) ( ) ∑∑ ∑ −−− ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++=
γρ
σγ
σασβσ 22 )(loglog kt
k
qit
ijtjteeabsw
Leverage effect?:
= −= = −⎟⎠
⎜⎝
⎟⎠
⎜⎝ σσ 11 1 k ktj i it
0⟨γg
El impacto es asimétrico si
0⟨iγ
0≠iγ iγ
Dr. Galindo
![Page 21: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/21.jpg)
EXTENCIONES DEL GARCH: EGARCH
• EGARCH utiliza errores normalmente distribuidos(e ) y GED y logs que garantiza resultado positivo(et) y GED y logs que garantiza resultado positivo
• El dividir a los errores por et por la desviaciónestándar condicional (σt) se obtienen los shocksestándar condicional (σt) se obtienen los shocksestandarizados
• El otro término se obtiene de incluir el valor absolutode los shocks estandarizados
• Esta especificación permite que shocks positivos oti t f t dif i d Ef tnegativos tengan efectos diferenciados Efectos
asimétricos⇒
Dr. Galindo
![Page 22: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/22.jpg)
MODELOS GENERALES:
8. FIGARCH
bi lGARCH con cambio estructural:
(1) 2 β+α+++ heDwDwh( )
9. Components GARCH : CGARCH:1111111 −−++ β+α+++= tt!RRt heDwDwh K
(1)
bi i l d i lttt umv +=
mt = cambios ocasionales de nivel
Dr. Galindo
![Page 23: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/23.jpg)
MODELOS GENERALES:
(21.2) += − η1 tttt qmm
( )⎩⎨⎧
−=
ρρ
1adprobabilidcon1adprobabilidcon0
tq ( )⎩ ρp
Dr. Galindo
![Page 24: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/24.jpg)
MODELOS GENERALES:
(27.3) ( ) ( ) ( )( )2
1112
1 −−−− −+−=− tttttt mhmemh βα
m = tendencia variable en el tiempo o el componente
( )12
11 −−− −++= tttt hePmwm φ
mt tendencia variable en el tiempo o el componente permanente en volatilidad
Dr. Galindo
![Page 25: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/25.jpg)
MODELOS APLICADOS:
9. CGARCH
( ) ( )(9) ( ) ( )( ) ( )2
12
11
21
21
2
−−−
−−
−+−+=
−+−+=−
tttt
tttt
ewmwm
wwewm
σφρ
σβασ
Variables transitorias = Impacto en el C.P. en volatilidadVariables permanentes = Impacto en el nivel del L P de la
( ) ( )111 −−− tttt φρ
Variables permanentes = Impacto en el nivel del L.P. de lavolatilidad
Efecto asimétrico TARCHqt = es la volatilidad de L.P.
Dr. Galindo
![Page 26: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/26.jpg)
MODELOS GENERALES:
10. Quadratic GARCH : QGARCHQ Q
(19)
( ) 12
1 −− β+γ−α+= ttt hewh
Dr. Galindo
![Page 27: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/27.jpg)
MODELOS GENERALES:
10. Regime Switching GARCH : RS-GARCH
(23) 111
21111 ++= −−−−−−− tttttttt shseswssh βα
régimen=ts
Dr. Galindo
![Page 28: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/28.jpg)
MODELOS GENERALES:
11. Asymmetric Dynamic covariance (Abc)y y ( )
(24.1)
( )1ttt mee −++= μγ
(24.2)
( )th0,N~te
iitiith θ=(24.3)
iitiit
ijtijjjtiitijtijt hhPh θφ+=
Dr. Galindo
![Page 29: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/29.jpg)
MODELOS GENERALES:
(25)jttittijtiijtijt ghhgeeabHbw '
11''
11'
1'
−−−−− ++++= Kθ
1.VECH: P12= 0
2 BEKK2. BEKK
3. FARCH
10 1212 == φP
Dr. Galindo
![Page 30: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/30.jpg)
PRUEBAS DE ASIMETRIA
2. Prueba del signo y el tamaño del sesgo (Engle y Ny,1993)
2.1. Prueba del sesgo del signo
1. Definir a como una dummy que toma el valord 1
−ts
de 1Si y 0 en otro caso
H φ 00ˆ 1 <−tu
H0: φ = 0
(26) ttt vse ++= −−110
2 φφ
Dr. Galindo
![Page 31: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/31.jpg)
PRUEBAS DE ASIMETRIA
2.2. Prueba del sesgo del tamaño:
1. Definir una variable dummy dependiente
(27) ttt vse ++= −−110
2 φφ
Dr. Galindo
![Page 32: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/32.jpg)
3 P b i l d l i l ñ d l
PRUEBAS DE ASIMETRIA
3. Prueba simultanea del signo y el tamaño del sesgo
Definiendo: −−
+− −= 11 1 tt ss
(28)11 tt
ttttttt vesesse ++++= −+−−
−−
−− 113112110
2 φφφφ
H0: φ1 = 0 “Sign bias” (importa el signo)H0: φ 2 = φ 3 = 0 “Size bias” (importa la magnitud)
⇒⇒
Prueba conjunta: TR2 de (21.3) con χ2(3):
H0: No existen efectos asimétricos
Dr. Galindo
![Page 33: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/33.jpg)
GARCH MULTIVARIADOS
11. Objetivo: Cuantificar las relaciones entre lavolatilidad de varias variablesvolatilidad de varias variables
Modelo GARCH multivariado⇒ Modelo GARCH multivariado⇒
( )Ntttt yyyy ,...,, 21=
La varianza condicional: Ht tiene las varianzas en la
( )Ntttt yyyy , ,, 21
La varianza condicional: Ht tiene las varianzas en ladiagonal
Dr. Galindo
![Page 34: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/34.jpg)
GARCH MULTIVARIADOS
Modelo VECH:
(29) ( ) ( )∑∑=
−−− ++=ρ
β1
10 )()(
iit
hi
q
itith
ih
th HveceevecAAvecHvec
Donde:
son los términos de error asociados alas medias condicionales de
( )ntttt eeee ,...,, 21=Nttt yyy ,...,, 21las medias condicionales de Nttt yyy , ,, 21
Dr. Galindo
![Page 35: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/35.jpg)
ió i i l 2 (d i bl )
GARCH MULTIVARIADOS
Representación matricial: N = 2 (dos variables)
⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡ 20h(30)
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
+⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
=⎥⎥⎥⎤
⎢⎢⎢⎡
−−
−
12*
11
211
232212
131211
012
011
12
11
tt
t
t
t
eee
aaaaaa
aa
hh
H = varianza condicional asociada con y
⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣⎥⎦⎢⎣ −
212333213
02222 tt eaaaah
H11t = varianza condicional asociada con y1t
H12t = covarianza condicional entre los errores
H22t = varianza condicional con y2t
Dr. Galindo
![Page 36: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/36.jpg)
GARCH MULTIVARIADOS
Representación diagonal (reduce el número deparámetros):parámetros):
(31) ⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
+⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
+⎥⎥⎤
⎢⎢⎡
=⎥⎥⎤
⎢⎢⎡ −− 11111
21111
0
01111
0000
0000 ttt
hh
bb
eee
aa
aa
hh
(31)⎥⎥⎦⎢
⎢⎣⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
+⎥⎥⎦⎢
⎢⎣⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
+⎥⎥⎦⎢
⎢⎣
=⎥⎥⎦⎢
⎢⎣ −
−
−
−−
122
112
33
22
212
1211
33
22
022
12
22
12
0000
0000
t
t
t
tt
t
t
hh
bb
eee
aa
aa
hh
Dr. Galindo
![Page 37: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/37.jpg)
ió ( i d fi id
GARCH MULTIVARIADOS
Representación BEKK: (asegura una matriz definidapositiva)
(32) ∑ ∑= =
−−− ++=q
i i
iiitiiititit HAeeAAH
1 1
**1*1*0
ρ
ββi i1 1
⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡⎥⎤
⎢⎡
+⎥⎤
⎢⎡
=⎥⎤
⎢⎡ −−−
*12
*111211
211
*12
*11
012
0111211 aaeeeaaaahh ttttt
⎤⎡⎤⎡⎤⎡
⎥⎦
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣⎥⎦
⎢⎣
+⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣ −−−
*12
*11112111
*12
*11
*22
*21
2121211
*22
*21
022
0212221
bbhhbb
aaeeeaaaahh
tt
ttttt
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
−−
−−
*22
*21
1211
122121
112111
*22
*21
1211
bbhhbb tt
tt
Dr. Galindo
![Page 38: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/38.jpg)
CONSIDERACIONES GENERALES
1. Modelos ARCH suponen que los shocks positivos ynegativos tienen el mismo efecto por que dependennegativos tienen el mismo efecto por que dependendel cuadrado de los shocks pasados
2. El modelo ARCH es bastante restrictivo2. El modelo ARCH es bastante restrictivo3. El modelo ARCH no explica las fuentes de
variación4. EL modelo ARCH tiende a sobrepredecir la
volatilidad porque responde lentamente a shocksi l d f taislados fuertes
Dr. Galindo
![Page 39: EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH - cepal.org · Alicia en el país de las maravillasAlicia en el país de las maravillas. ... PRUEBAS DE ASIMETRIA 2. Prueba del signo y el](https://reader031.vdocumento.com/reader031/viewer/2022022702/5bc40ca909d3f2995e8da1ed/html5/thumbnails/39.jpg)
EXTENCIONES DE LOS MODELOS ARCH Y GARCH
Dr. Luis Miguel Galindo