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Funciones Exponenciales y Funciones Exponenciales y LogarítmicasLogarítmicas
Prof. Enrique Huapaya G.
Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Una función exponencial tiene la forma
donde b >0, y b es diferente de cero.
xb)x(f
Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales Recordemos la gráfica de la función
( ) 2xf x x -3 -2 -1 0 1 2 3
2^x 0.125 0.25 0.5 1 2 4 8
En general las gráficas de las funciones exponenciales se comportan de forma similar a el ejemplo anterior.
Para b>1,
– la gráfica de f(x)=bx es creciente,
– contiene al punto (0, 1),
– y se acerca al eje de x,sin llegar a el, segun nos alejamos en la dirección negativa.
– En la dirección positiva, crece indefinidamente.
Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales1
( )2
x
g x
Para 0 < b < 1,
– la gráfica de f(x)=bx es decreciente,
– contiene al punto (0, 1),
– y se acerca al eje de x, sin llegar a el, segun nos alejamos en la dirección positiva.
– En la dirección negativa, crece indefinidamente
x -3 -2 -1 0 1 2 3
(1/2)^x 8 4 2 1 0.5 0.25 0.125
Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Ejemplo #3: Trace la gráfica de la función
Determine su dominio, indique si es creciente o decreciente, y si tiene alguna asintota.
2( ) 3xh x
Funciones ExponencialesFunciones Exponenciales
Solucion Ej.#3: Esta funcion se puede reescribir de la forma: h(x) = g(x + 2), pues
g(x) = 3x,
g(x + 2) = 3x+2.
Asi que la gráfica se puede obtener desplazando la grafica de g(x) 2 unidades a la izquierda. Además sabemos que el intercepto en y es y = 9.
Ejemplo #4: Trace la gráfica de la función
Determine dominio, recorrido, creciente o decreciente, y si tiene asintotas verticales u horizontales.
( ) 2 1xK x
Funciones Exponenciales: Funciones Exponenciales: AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #5: (Interés Compuesto)
Halle el valor futuro de una inversión de $500 al 8% de interés, compuesto trimestralmente (n = 4) por 3 años.
RECORDAMOS:
S Pr
n
nt
1
Funciones Exponenciales: Funciones Exponenciales: AplicacionesAplicaciones
Solución Ej.#6: Para este ejemplo, basta sustituir adecuadamente: P = 500, n = 4,
r = 0.08, t = 3.
Obtenemos : S = 500(1.02)12 = 500(1.27)
= $634.12
(4)(3)0.08
(500) 14
S
Funciones Exponenciales: Funciones Exponenciales: AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #7: (Interés Simple)
Un préstamo de $500 se otorga por un periodo de 90 dias a un interés simple de 16% anual. Determine la cantidad a pagar al cabo de los 90 días.
Funciones Exponenciales: Funciones Exponenciales: AplicacionesAplicaciones
Solución Ej#8: Nos dan P = 500, r = .16,
. Sustituimos en la fórmula:
Obtenemos que S = $520. O sea, al cabo de 90 dias , se pagará al banco $520.
360
90r
1(500) 1 (0.16)
4S
Funcion Exponencial Natural Funcion Exponencial Natural
La función exponencial natural es la función f definida por
f(x) = ex
Su dominio son los reales, y su recorrido el conjunto de los reales positivos.– Note: Como e =2.718, la gráfica de esta
función se comporta como la de f = bx, b > 1.
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones
Existen muchos modelos matemáticos que envuelven potencias de la base exponencial. Algunos envuelven lo que se llama crecimiento exponencial ó decaimiento exponencial.
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones
Crecimiento exponencial: Una función de la forma,
donde B y k son constantes positivas, se dice que reflejan crecimiento exponencial.
A la constante k se le llama la constante de crecimiento.
0t,Be)t(f kt
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones
Ejemplo #1: Sea f(t) la función que representa las bacterias presentes luego de t minutos. Entonces
f(t) = Be0.04t
donde B es una constante positiva. Si hay 1500 bacterias presentes inicialmente, ¿Cuántas habrá luego de 1 hora?
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Solución Ej #2: Inicialmente hay 1500
bacterias. Eso nos dice que f(0) = 1500. O sea, B = 1500. Así que la función de crecimiento es: f(t) = 1500 e 0.04t. El número de bacterias presentes luego de 1 hora será:
f(60) = 1500 e 0.04(60) = 1500(11.023)
= 16,535
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Decaimiento exponencial: Una función de la forma,
donde B y k son constantes positivas, se dice que reflejan decaimiento exponencial.
A la constante k se le llama la constante de decaimiento.
0t,Be)t(f kt
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Ejemplo #3: Sea V(t), la función que
representa el valor en dólares de cierto equipo de computadoras , t años luego de su compra inicial. Dicha función tiene la forma,
V(t) = Be -0.20t
donde B es una constante. Si el equipo se compró por $2800, ¿Cuál será su valor luego de 2 años?
Funcion Exponencial Natural: Funcion Exponencial Natural: AplicacionesAplicaciones Solución Ej#13: El equipo se compró es $2,800.
Esto nos dice que V(0) = 2800, o sea B = 2800. Así que la función V(t) será:
V(t) = 2800e-0.20t
Para encontrar el valor del equipo, luego de 2 años, sustituimos t = 2 en dicha ecuación.
Obtenemos: V(2) = 2800e-0.20(2)
= 2800(0.67032) = 1876.9
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
La función logarítmica con base b, es la función inversa de la función exponencial con base . Se escribe
F(x) = logb x
para denotar dicha función. Note:
y = logb x si y solo si x = by
El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los números positivos, y su recorrido son los reales.
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Cuando la base utilizada en una función logarítmica es la base 10, llamamos a la función la función de logarítmo común.
log x = log10 x, para x > 0
Si la base es e, llamamos a dicha función la funcion de logarítmo natural.
ln x = loge x, para x >0
Si b > 1
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0y = 10^xy = Log(x)y = x
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
En resumen, si b > 1– logb x es creciente
– logb x es positiva si x >1, y negativa si 0 < x < 1
– logb x se va a infinito negativo segun x se acerca a cero por la derecha
Si 0 < b < 1
-4.0 -3.0 -2.0 -1.0 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0
-3.0
-2.0
-1.0
1.0
2.0
3.0y = (1/10)^xy = xreflect{y = (1/10)^x} in y=x
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
En resumen, si 0 < b < 1– logb x es decreciente
– logb x es negativa si x >1, y positiva si 0 < x < 1
– logb x se va a infinito positivo segun x se acerca a cero por la derecha
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Propiedades de Logaritmos : Sean M, N, b, números positivos, b diferente de 1. Entonces:logb (MN) = logb M + logb N
logb (M/N) = logb M - logb N
logb Ny = y logb N
logb (1/N) = - logb N
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Verificación Prop. de Logarítmos: Verificamos la primera propiedad para ilustrar la idea. Sea x = logb M, y = logb N,
Entonces M = bx, N = by. Sustituimos:logb (MN) = logb (bxby) = logb (bx+y) = x + y
= logb M + logb N
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Fórmula de Cambio de Bases: La siguiente fórmula es válida para valores de a > 0, b > 0, c > 0, a & b diferentes de 1.
alog
clogclog
b
ba
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Ejemplo #14: Halle el dominio de las siguientes funciones:a) h(x) = log2 (x + 1)
b) g(x) = log x2
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Solución Ej#14:a) log2 (x + 1) está definida sólo para
x + 1 > 0, así que el dominio son los valores reales tales que x > -1.
b) g(x) = log x2 está definida sólo para x2 >0, o sea su dominio son los reales excepto x = 0.
Funciones LogarítmicasFunciones Logarítmicas
Ejemplo #15: Trace la gráfica de la función
)x(log)x(H 3