Download - Examen Final
![Page 1: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/1.jpg)
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS
CÁLCULO INTEGRAL
PRIMER EXAMEN FINAL COLEGIADO
TIPO “A”
30 de Mayo de 2011 Semestre 2011-2 INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.
1. Mediante el límite de la suma de Riemann calcular
1
1
12
x dx�
§ ·�¨ ¸© ¹³
15 puntos
2. Calcular, si existe
limx
x x�o
§ ·�¨ ¸© ¹
2
0
5 1
10 puntos
3. Efectuar
) cota x ang x dx³ 2 2)
9dxb
x x �³
2
3 2
9) xc dxx x
��³
30 puntos
![Page 2: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/2.jpg)
1EF2011-2A
4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de
2 2y x y x y � �
10 puntos
5. Calcular la pendiente de la recta tangente a la curva de intersección entre la gráfica de la
función � � 2 2,f x y x y � y el plano 2x , en el punto (2, 1, 5). Hacer la representación gráfica.
15 puntos
6. Sea la función tan xz angy
, mostrar que z z
x y y xw w
w w w w
2 2
10 puntos
7. Para la función 2 2 1z x y � � , determinar su dominio, su recorrido y trazar la
gráfica de la función.
10 puntos
![Page 3: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/3.jpg)
UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
FACULTAD DE INGENIERÍA CÁLCULO INTEGRAL
Solución del Primer Examen Final
Tipo “A” Semestre 2011 – 2
1. Mediante el límite de las sumas de Riemann, obtener 1
1
12
x dx�
§ ·�¨ ¸© ¹³
� �
� �
� �
1
1
1 1
1
1 1
21 1
1 2 212
1 2 1 2 3 21 12 2 2
1 3 2 22 2
3 41
3
nb
na in
ni
n
nin n
ni i
n
b a b af x dx lim f a in n
x dx lim f in n
f x x f i i in n n
x dx lim in n
lim in n
lim nn
of
of�
of�
of
of
� �§ · �¨ ¸© ¹
§ · § ·� � �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
§ · § · � � � � � � �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
§ · § ·� �¨ ¸ ¨ ¸© ¹ © ¹
�
¦³¦³
¦³¦ ¦
� �2
1
1
142
1 13 42 2
3 2 1
1 12
n
n nn
limn
x dx
of
�
��
§ · � �¨ ¸© ¹
�
§ ·� ¨ ¸© ¹³
15 Puntos
![Page 4: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/4.jpg)
S1EF_A11-2
2. 2 0
0
5 1x
xlim
x�o
§ ·� f¨ ¸© ¹
� �
� �
� ��
� �
2
0 0
0 0
10 0
2
0 0
5 1
5 12
5 12
1 5 12
5 112
1 55 11
2
x
x x
x x
x x
x x
yx
xln y lnx
xlim ln y lim lnx
lim ln y lim xlnx
lnxlim ln y limx
Aplicando regla de L' H opital
xxlim ln y lim
� �
� �
� �
� �
o o
o o
�o o
o o
§ · �¨ ¸© ¹
§ · �¨ ¸© ¹
§ · �¨ ¸© ¹§ · �¨ ¸© ¹
§ ·�¨ ¸© ¹
§ ·¨ ¸§ ·�
¨¨ ¸©¨ ¸�
© ¹
� �
� �0
2
0
0
0
2
0
1
0
1
5 1 1
x
x
ln lim y
x
x
x
xlim ln y
e elim y
limx
�
�o
�
�
o
§ ·¨ ¸© ¹
o
o
¸¹
�
§ ·� ¨ ¸© ¹
10 Puntos
![Page 5: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/5.jpg)
S1EF_A_11-2
3. Efectuar
2 2
2
2
2
2
12 2 1
121
12 2 2
a ) xangcot x dx
x xxangcot x dx angcot x dxx
u angcot x dv x dx
xdu dx vx
x xxangcot x dx angcot x angtanx C
��
ª º« »« » � « »�¬ ¼
� � �
³³³
³
� �
2 2
2
2 2
2
22
2
2 2
9
3 1 1 19 9 99 3
393 3
9
1 999
dxb )x x
sec d sec d cot csc d csc Ctan sec tan
x xsen tanx
cos dx sec dx
dx x Cxx x
T T T T T T T TT T T
T T
T T T
�
� �
�
�
§ ·�¨ ¸ � �¨ ¸� © ¹
³³ ³ ³
³
![Page 6: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/6.jpg)
� �
� �� � � �
� � � �
� �
2
3 2
2
2 2
2
2 2
2 2
2
2 9
3 2 8
9
911
911
9 1 19 9 8
9 9 8 99 8 11
9 91
xc ) I dxx x
x A B CI dx dxx xx x x
x A B Cx xx x x
x Ax x B x C xA B C
I dx ln x ln x Cx x xx
x xdx ln Cxx x x
�
�
� § · � �¨ ¸�� © ¹
� � �
��
� � � � �
? � �
§ · � � � � � �¨ ¸�© ¹
ª º� � �« »
� « � »¬ ¼
³³ ³
³
³
30 Puntos
4. Calcular el área de la región limitada por las gráficas de ecuación y x � y 2 2x y �
![Page 7: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/7.jpg)
S1EF_A11-2
� � � �11 1 2 3
2 2
2 2 2
2 2 22 3
3 93 62 2
92
y yA y y dy y y dy y
A
A unidades deárea
� � �
ª ºª º � � � � � � � � �« »¬ ¼ ¬ ¼
� �
³ ³
10 Puntos
5. Sea � � 2 2f x , y x y �
P
T
z zyy x
m
w w �
w w
2 2
2
15 Puntos
![Page 8: Examen Final](https://reader035.vdocumento.com/reader035/viewer/2022081813/5695d35d1a28ab9b029daec4/html5/thumbnails/8.jpg)
S1EF_A11-2
6. Sea yz ang tanx
§ · ¨ ¸© ¹ mostrar que
2 2z zx y y xw w
w w w w
� �
2 2 2
2 2 22 2
z x z x yy x yx y x y
w w � � �
w w w� �
� �2 2 2
2 2 2 2 22 22
1z y z x yyx y xx y x y x y
y
w w � �
w w w� � �
10 Puntos
7.
� �^ ` > �^ `
2 2
2 2
1
1 0f f
z x y
D x,y x y R z z ,
� �
� t � f
10 Puntos