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1Preguntas de exámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisiónARITMÉTICA
Pregunta 1
El producto de tres números reales es 900 y la suma de sus inversos multiplicativos es 1/5. Determina la suma de los productos de dichos números tomados de dos en dos sin repetición.
UNMSM 2010 - II
A) 160 B) 180 C) 190 D) 210 E) 170
Resolución:
Tema: Operaciones fundamentalesAnálisis y procedimiento
Sean a; b y c los tres números reales.
Por dato tenemos:
• a # b # c = 900 … (I)
• a b c1 1 1
51+ + = … (II)
Nos piden hallar a # b + a # c + b # c.
Del segundo dato (II) tenemos:
a b c1 1 1
51+ + =
a b cb c a c a b
51
# ## # #+ + =
Pero de (I):a # b # c = 900
& b c a c a b900 5
1# # #+ + =
b # c + a # c + a # b = 180
` a # b + a # c + b # c = 180Rpta. 180
Clave B
Pregunta 2
El máximo común divisor de dos números enteros positivos es 19. Halla la diferencia positiva de estos números sabiendo que su suma es 114.
UNMSM 2011 - II
A) 57 B) 38 C) 45 D) 63 E) 76
Resolución:
Tema: MCD y MCMRecuerda que si el MCD (A; B) = d, entonces:
A = d . p PESÍ
B = d . q
Análisis y procedimiento
Sean A y B los números (A > B).
Por dato, tenemos lo siguiente:
• MCD (A; B) = 19
Entonces:
A = 19 p PESÍ
B = 19 q
• A + B = 11419(p + q) = 114
. . 5 1 (son PESÍ)
Luego:
A = 19 . p = 19(5) = 95
B = 19 . q = 19(1) = 19
` A - B = 95 - 19 = 76
Rpta. 76
Clave E
Pregunta 3
Sean a; b enteros positivos que satisfacen:
0,969696...a b11 3+ =
Halla a + b.
UNMSM 2012 - II
A) 6 B) 10 C) 9 D) 8 E) 7
Resolución:
Tema: Números decimalesRecuerda que la fracción generatriz de un número decimal periódico puro es de la siguiente manera:
0, ... 0,mnmnmn mn mn99
= =!
Análisis y procedimiento
Nos piden a + b, sabemos que a y b son enteros positivos.
Por dato, tenemos:
, ...a b11 3
0 969696+ =
0,a b11 3
96+ =!
Llevando el número decimal a su fracción generatriz, tenemos:
1 3
a b33
3 119996+ =
3a + 11b = 32 . .
7 1
Entonces:
a = 7 y b = 1
` a + b = 8Rpta. 8
Clave D
2
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
Pregunta 4
¿Qué tanto por ciento del 50% de 0,005 es 0,01?
UNMSM 2013 - II
A) 40% B) 4% C) 0,4% D) 400% E) 0,04%
Resolución:
Tema: Tanto por cientoTen en cuenta que, de forma práctica:
• Las palabras de, del y de los indican multiplicación.
• Las palabras es y equivalente indican igualdad.
Análisis y procedimiento
Según el enunciado
¿ é 50% 0,05 0,01?tanQu to por ciento del de es
%x # # =1 2 3444444 444444 SS S
Entonces: x% # 50% # 0,05 = 0,01
x100 100
501005
1001
# # =
x = 400
Lo anterior, es equivalente a decir:
x% = 400%Rpta. 400%
Clave D
Pregunta 5
Halla el menor número entero positivo n, tal que al dividir 1583n entre 178 se obtiene (8n + 3) de cociente por defecto.
UNMSM 2014-I
A) 8 B) 5 C) 6 D) 7 E) 4
Resolución:
Tema: Operaciones fundamentalesEn una división:
Por defecto Por exceso
D d
rd q-
cocientepor defecto
D = d # q + rd
D d
re q + 1
Análisis y procedimiento
Del enunciado, n ! Z+ donde n es mínimo.
Además:
1583n 178
r 8n + 3 ; r < 178
Por el algoritmo de Euclides, se tiene:
1583n = 178(8n + 3) + r
159n = 534 + r . .
4 102 (único caso)
` n = 4Rpta. 4
Clave E
Pregunta 6
En una biblioteca municipal existen en total 72 libros de matemática y literatura, los que están en relación de 5 a 3 respectivamente. El número de libros de literatura que deben agregarse para que la relación sea de 9 a 10, es:
UNI 2010-I
A) 21 B) 22 C) 23 D) 24 E) 25
Resolución:
Tema: RazonesAnálisis y procedimiento
N.° de librosde matemática
N.° de librosde literatura
Totalde libros
Lo quese tiene 5 # (9) 3 # (9) 8 # (9) = 72
Se observa que hay lo siguiente:
• 45 libros de matemática y• 27 libros de literatura.
Luego, si agregamos x libros de literatura, tendríamos:
• 45 libros de matemática• 27 + x libros de literatura
Por condición del problema, tenemos:x
945
1027= +
` x = 23Rpta. 23
Clave C
Pregunta 7
¿Cuántos números enteros menores que 100 existen que son cubos perfectos y que al ser multiplicados por 3 se convierten en cuadrados pefectos?
UNI 2011 - I
A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
Resolución:
Tema: PotenciaciónAnálisis y procedimiento
Sean N los números que cumplen la condición. Por dato se tiene lo siguiente:
• N < 100• N = K3
• 3N = R2
3
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Como
N = K3 < 100 & K < 4,64 … 1; 2; 3; 4
& N: 1; 8; 27; 64
& 3N: 3; 24; 81; 192
Como 3N debe ser cuadrado perfecto, solo se cumple cuando 3N = 81.
` Solo existe un valor para N.Rpta. 1
Clave A
Pregunta 8
Se tiene un número capicúa de seis cifras cuya última cifra es 2. Sea N el residuo de dividir dicho número entre 1000 y M el cociente. Si N - M = 99, calcula el valor máximo que puede tomar la suma de las cifras del número capicúa.
UNI 2012-II
A) 24 B) 26 C) 28 D) 30 E) 32
Resolución:
Tema: Cuatro operacionesAnálisis y procedimiento
Del enunciado, se tiene lo siguiente:
•
dividendo.
divisor.
2abba2 1000N-
residuo
M-
cociente
...( I )
• N - M = 99 ...( II )
Realizamos la división en ( I ):
2abba2 1000200 abba a000 bba2 b000 ba2
2ab
! N
! M
En (II):
ba2 - 2ab = 99
99b - 198 = 99
b = 3 & amáx. = 9
Luego, el dividendo es 293 392.
Rpta. La suma de sus cifras es 28.Clave C
Pregunta 9
Al multiplicar un número A de cuatro cifras por 999 se obtiene un número que termina en 5352. Calcula la suma de las cifras del número A.
UNI 2013 - II
A) 18 B) 19 C) 20 D) 21 E) 22
Resolución:
Tema: Cuatro operacionesAnálisis y procedimiento
Sea A = abcd del cual debemos hallar a + b + c + d.
Del dato tenemos: abcd # 999 = …5352
abcd # (1000 - 1) = …5352
abcd000 - abcd = …5352
Entonces:abcd000
abcd5352
10 - d = 2 & d = 8 9 - c = 5 & c = 4 9 - b = 3 & b = 6 7 - a = 5 & a = 2
-
` a + b + c + d = 20Rpta. 20
Clave C
Pregunta 10
La media aritmética de dos números enteros es los 5/4 de su media geométrica. Halla la razón de dichos números.
UNFV 2011 - II
A) 2 B) 3 C) 5 D) 4 E) 7
Resolución:
Tema: Promedios• Media aritmética de a y b: a b
2+
• Media geométrica de a y b: ab
Análisis y procedimiento
Sean los números a y b.
Del enunciado planteamos:
a b2+ = ab
45
2(a + b) = ab5
[2(a + b)]2 = ab527 A
4(a2 + 2ab + b2) = 25ab
4a2 + 8ab + 4b2 = 25ab
aba
abb4 42 2
+ = abab17
ba
ab4 4+ = 17 ; si
ba = x
& 4x + x4 = 17
4x2 - 17x + 4 = 0
4x - 1 x - 4
(4x - 1)(x - 4) = 0
Entonces: x = 41 0 x = 4
Nos piden: ba = x
Rpta. 4
Clave D
4
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
Pregunta 11
Halla m + n, si ,m n11
0 6=!
.
UNFV 2012 - I
A) 8 B) 9 C) 10 D) 12 E) 11
Resolución:
Tema: NumeraciónRecordar:
0,ab ab99
=!
Análisis y procedimiento
Sabemos:
0, n6!
= n996
& m11
= n996
9 . m = 6n . .
7 3
& m = 7; n = 3
m + n = 10Rpta. 10
Clave C
Pregunta 12
Syd agrupa cierta cantidad de discos de 7 en 7 y le sobran dos. Cuando Robert los apila de 8 en 8, sobran tres discos para completar una pila. David, en cambio, lo guarda en cajas de a 6 y uno queda suelto. ¿Cuántos discos hay, como máximo, si dicha cantidad no es mayor que 700?
PUCP 2014 - I
A) 597 B) 635 C) 667 D) 541 E) 620
Resolución:
Tema: DivisibilidadAnálisis y procedimiento
Sea “x” la cantidad de discos: x # 700
Según Syd: x = °7 + 2 = °7 - 5
Según Robert: x = °8 + 3 = °8 - 5
Según David: x = °6 + 1 = °6 - 5
Propiedad: x = MCM(7; 8; 6) - 5 … (a)
Se sabe que: MCM(7; 8; 6) = 168
En (a):
x = 168K - 5 # 700
k # 168
700 5+
k # 4,196
Máximo valor (k = 4): x = 168(4) - 5 = 667
Rpta. 667
Clave C
ÁlgebRA
Pregunta 13
Halla el producto de los valores de x que satisfacen la ecuación:
log logx x5 6 022
2- + =
UNMSM 2010 - II
A) 12 B) 6 C) 30 D) 32 E) 5
Resolución:
Tema: Ecuación logarítmicaResolvemos la ecuación logarítmica mediante un cambio de variable para facilitar la factorización de la expresión logarítmica.
Análisis y procedimiento
(log2x)2 - 5(log2x) + 6 = 0
Hacemos el cambio: log2x = t ; x > 0
Luego: t2 - 5t + 6 = 0
Factorizamos: (t - 2)(t - 3) = 0
& t - 2 = 0 0 t - 3 = 0
& t = log2x = 2 0 t = log2x = 3
Por definición de logaritmos obtendremos:
x = 22 0 x = 23
Luego: x1 = 4 0 x2 = 8
Nótese que ambas soluciones son positivas.
Por lo tanto: x1 . x2 = 32
Rpta. El producto de valores de x que satisfacen la ecuación es 32.
Clave D
Pregunta 14
Halla el producto de la suma de coeficientes de (2x2 - 3y)5 con la suma de los coeficientes de (x + y)4.
UNMSM 2011- II
A) 15 B) -16 C) 30 D) -18 E) 20
Resolución:
Tema: PolinomiosPara una variable:
Recuerda que:
Si P(x) = x2 + 2x + 5
& Suma de coeficientes = P(1) = 8
Para más de una variable:
Si P(x; y) = 3x2 + 5xy + 6y2
& Suma de coeficientes = P(1; 1) = 14
5
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Análisis y procedimiento
• P(x; y) = (2x2 - 3y)5
Suma de coeficientes = P(1; 1) = (2 - 3)5 = -1
• Q(x; y) = (x + y)4
Suma de coeficientes = Q(1; 1) = (1 + 1)4 = 16
Piden: (-1)(16) = -16Rpta. -16
Clave B
Pregunta 15
Halla la suma de tres números que están en progresión aritmética, sabiendo que la suma del primero y el tercero es 12, y que el producto del primero por el segundo es 24.
UNMSM 2012 - II
A) 14 B) 18 C) 16 D) 15 E) 12
Resolución:
Tema: Progresiones aritméticasAnálisis y procedimiento
Sean los números que están en progresión aritmética.
; ;a a R a R2t t t1 2 3
+ +? ? ?
+R +R
Por dato tenemos:a + (a + 2R) = 12 2a + 2R = 12
a + R = 6 … (I)
Además:a # a R
I
+__
iiS
= 24
a # 6 = 24 a = 4
& R = 2
Entonces los números son 4; 6 y 8.
` t1 + t2 + t3 = 4 + 6 + 8 = 18Rpta. 18
Clave B
Pregunta 16
Sean b ! 0 y c ! 0. Si a + b1 = 1 y b +
c1 = 1, halla el valor
de abc.
UNMSM 2013 - I
A) 1 B) 2 C) -1D) -2 E) 1/2
Resolución:
Tema: Teoría de ecuacionesAnálisis y procedimiento
Como:
a + b1 = 1 / b +
c1 = 1
& b
ab 1+ = 1 / c
bc 1+ = 1
& ab + 1 = b / bc + 1 = c
& (ab + 1) # c = b # c / bc + 1 = c
& abc + c = bcc 1-S
/ bc = c - 1
abc + cY = cY - 1
` abc = -1Rpta. -1Clave C
Pregunta 17
Si las ecuaciones en x:
x2 + x + a = 0
x2 + 2x + b = 0
tienen un raíz común, calcula:
b aa b
25 2
--_ i
; b ! 2a
UNMSM 2014 - I
A) 5 B) 4 C) 6D) 1 E) 3
Resolución:
Tema: Ecuaciones cuadráticasAnálisis y procedimiento
Sea a la raíz en común de las siguientes ecuaciones en x:
x2 + x + a = 0 … (I)x2 + 2x + b = 0 … (II)
Entonces de (II) y (I):
a2 + 2a + b = 0 (-)
a2 + a + a = 0 a + b - a = 0 a = a - b … (III)
Luego, reemplazamos (III) en (I):
(a - b)2 + (a - b) + a = 0 (a - b)2 = b - 2a
Finalmente, nos piden calcular:
b aa b
b a
b a2
52
5 25
2
--
=--
=_ _i i
Rpta. 5
Clave A
Pregunta 18
Halla el valor de x en la siguiente ecuación:
logxlogx - logx - 6 = 0
Da como respuesta la suma de soluciones.
UNI 2011-II
A) 10,01 B) 99,99 C) 100,01D) 999,99 E) 1000,01
6
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
Resolución:
Tema: LogaritmosRegla del sombrero
Siendo a; b positivos se tiene:logabn = n . logab
con a ! 1 ; n ! R.
Análisis y procedimiento
logxlogx - logx - 6 = 0(logx) . (logx) - logx - 6 = 0 (logx)2 - logx - 6 = 0 logx - 3 logx + 2
& (logx - 3)(logx + 2) = 0
& logx = 3 0 logx = -2
x = 103 0 x = 10-2
` La suma de soluciones = 103 + 10-2
= 1000,01Rpta. 1000,01
Clave E
Pregunta 19
Si x1 = 2 y x2 = -1 son raíces de x4 - ax2 + b = 0, halla a - b.
UNI 2012 - I
A) -1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3
Resolución:
Tema: EcuacionesPara resolver el problema usaremos y aplicaremos el concepto de solución o raíz de una ecuación polinomial.
Análisis y procedimiento
Como x1 = 2 y x2 = -1 son raíces (o soluciones) de la ecuación bicuadrada x4 - ax2 + b = 0, entonces verifican la ecuación.
En particular, para x2 = -1 tenemos:
(-1)4 - a(-1)2 + b = 0
& 1 - a + b = 0
a - b = 1Rpta. 1
Clave C
Pregunta 20
Sabemos que se cumple: abc = 0
a + b + c = 1
Halla el valor de:
2 3K a b c a b c2 2 2 3 3 3= + + - + +d dn n
UNI 2013 - II
A) 0 B) 1/6 C) 1/3 D) 1/2 E) 1
Resolución:
Tema: Productos notablesRecuerda que: (x + y)2 = x2 + y2 + 2xy (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy(x + y)
Análisis y procedimiento
Como: abc = 0 & a = 0 0 b = 0 0 c = 0
Si: a = 0 & b + c = 1
• (b + c)2 = (1)2
& b2 + c2 + 2bc = 1 b2 + c2 = 1 - 2bc
• (b + c)3 = (1)3
& b3 + c3 + 3bc b c
1
+_ iS
= 1
b3 + c3 = 1 - 3bc
Luego:
K = 2 3
a b c a b c2 2 2 3 3 3+ + - + +d dn n
K = bc bc2
0 1 23
0 1 32 3+ - - + -d dn n
K = 61
Análogamente:
Si: b = 0 Si: c = 0
& K = 61& K =
61
` K = 61
Rpta. 1/6
Clave B
Pregunta 21
Considera a > b > 0 y determina el cociente entre la menor y mayor de las raíces de la ecuación en x.
x a b x a b1 1 1 1+ + = + +
UNI 2014 - II
A) a/b B) b/a C) abD) a + b E) 1
Resolución:
Tema: EcuacionesAnálisis y procedimiento
Resolvemos:
x a b1 1 1+ + =
x a b1
+ +
a b1 1+ =
x a b x1 1
+ + -
aba b+ =
x x a bx x a b
+ +- - -_ i
Se obtiene:
x2 + (a + b)x + ab = 0 (x + a)(x + b) = 0
x = -a 0 x = - b
7
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Como: a > b > 0 & -a < - b < 0Luego:
xx
ba
ba
2
1 = -- =
Rpta. a/b
Clave A
Pregunta 22
Halla x + y, dado el siguiente sistema de ecuaciones:
xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468
UNFV 2011 - II
A) 11 B) 24 C) 12D) 10 E) 13
Resolución:
Tema: Productos notables
Binomio al cubo(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b)
Resolución y procedimiento
Datos: xy(x + y) = 420 x3 + y3 = 468Piden: x + ySabemos:
(x + y)3 = 3x y xy x y3 3
468 420
+ + +_ i1 2 344 44S
(x + y)3 = 468 + 3 . 420 (x + y)3 = 1728 x + y = 17283 = 12
Rpta. 12
Clave C
Pregunta 23
Después de factorizar: x4 - 6x3 + 5x2, señala la suma de los términos independientes de los factores.
UNFV 2014
A) 5 B) 6 C) -5 D) -6 E) 7
Resolución:
Tema: FactorizaciónAnálisis y procedimiento
Factorizamos: x4 - 6x3 + 5x2
x2(x2 - 6x + 5) x - 5 x - 1
x2(x - 5)(x - 1)
& Términos independientes: -5; -1
` -5 + -1 = -6Rpta. -6
Clave D
Pregunta 24
Si F es una función constante, tal que:
F
F F
5 3
3 28
-+
=_
_ _i
i i
Encuentra F(1997) + F(1998).
PUCP 2014 - I
A) 2 B) 4 C) 6D) 8 E) 9
Resolución:
Tema: FuncionesAnálisis y procedimiento
Sea la función constante: F(x) = a ; a ! R
Dato:
F
F F
5 3
3 2
-+
__ _
ii i
= 8
aa a
3-+ = 8
a = 4& F(x) = 4
Piden: F(1997) + F(1998) = 4 + 4 = 8Rpta. 8
Clave D
geoMeTRíAPregunta 25
La figura ABCD es un trapecio, CB = CD = 1 m, BD m3= y la medida del ángulo BAD es 45°. Halla la medida del ángulo ADB.
UNMSM 2010 - II
A
D
B
C
A) 90° B) 120° C) 105° D) 135° E) 75°
Resolución:
Tema: CuadriláterosRecuerda:
θ θ
a a
a 3
30ºθ =
Análisis y procedimiento
Piden m+ADB = x
θ
θθA
D
45°B
C
1 m3 m
1 m
x
8
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
Datos:DC = CB = 1 mDB = m3m+DAB = 45°
Como ABCD es un trapecio entonces: //DC AB , luego por el teorema de los ángulos conjugados internos:
(x + q) + 45° = 180°
& x + q = 135° … (I)
En el triángulo DCB, se deduce: q = 30° … (II)Reemplazamos (II) en (I):
x + 30° = 135° ` x = 105°
Rpta. 105°Clave C
Pregunta 26
En un triángulo ABC, D es un punto medio de AB y E es un punto de BC , tal que //DE AC . Si P y Q son los puntos medios de AE y DC , respectivamente, y PQ = 6 cm, halla AC.
UNMSM 2011 - II
A) 16 cm B) 28 cm C) 22 cmD) 24 cm E) 18 cm
Resolución:
Tema: CuadriláterosAnálisis y procedimiento
Piden AC.
A
D
B
C
QP
a
,
,
2a
6 n
n
m
mE
Como AD = DB y //DE ACEntonces, por el teorema de la base media en el triángulo ABC tenemos:
DE = AC2
= a
Por dato, tenemos que P y Q son puntos medios de las diagonales AE y DC del trapecio respectivamente; además PQ = 6.
Entonces, por teorema:6 = a a
22 -
a = 12
Pero AC = 2a ` AC = 24
Rpta. 24 cm
Clave D
Pregunta 27
En la figura, A y B son puntos de tangencia y el ángulo ACB mide 60°. Halla la medida del arco ADB.
UNMSM 2012-II
A
D
B
C
A) 60° B) 75° C) 120° D) 90° E) 105°
Resolución:Tema: CircunferenciaRecuerda que:
En el ángulo exterior determinado por dos tangentes.
Q
P
x
α
Se cumple:
180ºx α+ =
(P y Q son puntos de tangencia)
Análisis y procedimiento
Nos piden la medida del arco .ADB mADB x= =!
Datos: m+ACB = 60°, A y B son puntos de tangencia.
xA
D
60°
B
C
De la observación inicial, se cumple que:
m+ACB + mADB!
= 180° 60° + x = 180° ` x = 120°
Rpta. 120°Clave C
Pregunta 28
En la figura, halla a + b.
β
A
D
B
150°20° 70°
C
E
UNMSM 2013 -I
A) 70° B) 90° C) 80° D) 60° E) 100°
9
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Resolución:
Tema: TriángulosRecuerda:
Suma de las medidas de los ángulos interiores:
β
θα 180ºα β θ+ + =
Medida del ángulo exterior en función de 2 ángulos internos:
x
β
α x α β= +
Análisis y procedimiento
Nos piden a + b.
β
α
A
D
B
150°20° 70°
C
E
Por teoremas previos:
• En el TABC: 20° + 150° + a = 180° a = 10°
• En el TADE: 70° = b + 20° b = 50°
` a + b = 60°Rpta. 60°
Clave D
Pregunta 29
En la figura, ,BCAC
34= BE = 1 m y AD = 6 m.
Halla CE.
DA
B
E
β
β
C
UNMSM 2014 - I
A) 9 m B) 10 m C) 8 mD) 7 m E) 6 m
Resolución:
Tema: Triángulos rectángulos notables Análisis y procedimiento
Nos piden CE.
Datos: BCAC
34= ; BE = 1 m y AD = 6 m
DA
B
E
3a
4a
4k
3k6 m
1 m
β = 37°C
β = 37°
Del dato, ,BCAC
34= entonces AC = 4a y BC = 3a.
Se observa: ABC notable 37° y 53°, entonces b = 37°.
Luego, el DCE notable 37° y 53°, entonces CD = 3k y CE = 4k.
Como 3a = 4k + 1 y 4a = 3k + 6, dividimos las expresiones:
kk
43
3 64 1= ++
k = 2
Finalmente CE = 4(2)
` CE = 8 mRpta. 8 m
Clave C
Pregunta 30
En la figura, se tiene una semicircunferencia con diámetro BF, donde D es un punto de tangencia. Si AD = 3 cm, EC = 2 cm, calcula AC (en cm).
AD
B
CE
F
UNI 2010 - II
A) 6,0 B) 6,4 C) 6,8 D) 7,2 E) 7,6
Resolución:
Tema: Semejanza de triángulosAnálisis y procedimiento
Piden: DE = ,
Al tener los puntos de tangencia B, F y D, se cumple que: AD = AB = 3 DE = EF = ,
10
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
AD
B
CE
3
3
2´
´
F
Luego:
ABC a EFC
53
2,,
+ =
6 = ,(5 + ,) . .
1 1
Entonces: , = 1
` DE = 1Rpta. 6,0
Clave A
Pregunta 31
En un triángulo ABC se tiene que m+C = 2m+A. Sobre el lado AB se traza el triángulo ABP recto en B (P exterior a AB ). Sim+PAB =
21 m+C y AP = 12 u, determina el valor de BC (en u).
UNI 2012-Il
A) 3 B) 4 C) 5D) 6 E) 8
Resolución:
Tema: Aplicaciones de la congruenciaRecuerda el teorema de la mediana relativa a la hipotenusa.
A
B
CM
m
mm
Análisis y procedimiento
Piden BC.Sea: BC = xDato: AP = 12
A
6
12
6 6
2α 2α
B
C Q
P
M
x
α
αα
12
Se prolongan AC y PB hasta Q.
En el TAPQ se observa que AB es bisectriz y altura a la vez; por lo tanto, el TPAQ es isósceles.
& AP = AQ = 12
En el TABQ se traza la mediana BM relativa a la hipotenusa AQ.& AM = MQ = BM = 6El TMBC es isósceles, por lo tanto, x = 6.
Rpta. 6
Clave D
Pregunta 32
En la figura, el triángulo ABC recto en B, BH es la altura, BD es la bisectriz del ángulo ABH y BE es la bisectriz del ángulo HBC. Si AB = 7 u y BC = 24 u. Calcula el valor del segmento DE (en u).
UNI 2013-II
A D
B
CEH
A) 4 B) 5 C) 6 D) 8 E) 9
Resolución:
Tema: Líneas notablesRecuerda algunos de los triángulos pitagóricos.
5
12
13
24
257
Análisis y procedimiento
Nos piden DE = x.
θθ
A D
7
θ + 2αα + 2θ2θ 2α
B
C
241
Ex
H
α α
Datos AB = 7, BC = 24 & AC = 25
Como BD y BE son bisectrices, entonces el TABE y el TBCD son isósceles (AB = AE).
Luego: x + 1 = 7 ` x = 6
Rpta. 6
Clave C
Pregunta 33
En la circunferencia de radio R de la figura, determina el ángulo a de modo que , = R.
UNI 2014 - II
A
B
C
α
,
A) 15º B) 18º C) 30º D) 36º E) 45º
11
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Resolución:
Tema: CircunferenciaAnálisis y procedimiento
A60° 60°
60°
B
C
α
R
, = R
R
Dato: AC = , = R
Piden a.Si AC = , = R & mAC
!
= 60°
Por ángulo inscrito:
a = mAC2
!
= º260 = 30º
Rpta. 30º
Clave C
Pregunta 34
¿Para qué valor de x, las rectas 1L y 2L serán paralelas?
12(8 - x)
x2 + 120L1
L2
UNFV 2012 - I
A) 5,92 B) 6,09 C) 6D) 5,14 E) 8
Resolución:
Tema: Líneas y segmentosAnálisis y procedimiento
Si 1L y 2L & x2 + 120 + 12(8 - x) = 180°
x2 + 120 + 96 - 12x = 180°
x2 - 12x + 36 = 0
(x - 6)2 = 0
` x = 6Rpta. 6
Clave C
Pregunta 35
En un triángulo rectángulo un cateto “a” y la hipotenusa “c” son enteros consecutivos, ¿cuál es el cuadrado del segundo cateto?
UNFV 2013
A) c - a B) c + a C) caD) 2a + c E) 2c - a
Resolución:
Tema: TriángulosAnálisis y procedimiento
Datos: A
C B
x
a
c
c = a + 1
& c - a = 1
Aplicamos el teorema de Pitágoras:
x2 + a2 = c2
x2 = c2 - a2
x2 = c a c a
1
- +_ _i iS
` x2 = c + aRpta. c + a
Clave B
Pregunta 36
La figura muestra un triángulo equilátero ABC, donde DE // AC y:
ABAF
BCBE
31= =
Calcula la medida del ángulo x. PUCP 2013-I
A
D
B
C
Fx
E A) 60º
B) 30º
C) 37º
D) 25º
E) 40º
Resolución:
Tema: TriángulosAnálisis y procedimiento
Por la proporción:Si AF = m & AB = 3m
DABC por ser equilátero, entonces:DB = BE = DE
Además: AB = BC = 3m
Por el dato de la proporción:BC = 3m & BE = m
De la figura: BE = DB = m& DA = 2m & FD = m
TFDE es isósceles: x = 30°
Rpta. 30°Clave B
A
D
B
C
Fx
mm
m
m
m
2m
3m
60°
120°
60°
60°
E
12
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
TRIgonoMeTRíA
Pregunta 37
En la figura, CB = 4 cm, M es punto medio de AB , CM = MB y AB = 2 6 cm. Halla cosa.
A
C
BM
α
UNMSM 2010-II
A) 32 B)
33 C)
23
D) 3
2 2 E) 22
Resolución:Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudoPropiedad:Si x + y = 90°, entonces, cosx = seny.
Análisis y procedimiento
Piden cosa.
θ
θA
C
L
2
2
2θB
M
2
66
α
M es punto medio de AB& AM = MB = 6CM = MB & m+MCB = m+CBM = q
Se traza la altura ML: & CL = LB = 2
MLB (teorema de Pitágoras):
2ML ML6 22 2 2&+ = =_ _i i
Se observa que: a + 2q = 90°Entonces:cosa = sen2qcosa = 2senqcosq
cosa = 262
62f dp n
` cosa = 3
2 2
Rpta. 3
2 2
Clave D
Pregunta 38
Si 0 < q < ,4π simplifica la expresión:
1 2 21 2 2
coscosE
sensen
θ θθ θ= + +
- +UNMSM 2011-II
A) cotq B) senq C) tanq D) cosq E) tan2q
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas del ángulo doble• 2sen2q = 1 - cos2q• 2cos2q = 1 + cos2q• sen2q = 2senqcosq
Análisis y procedimiento
Piden simplificar:
1 2 21 2 2
coscosE
sensen
θ θθ θ= + +
- +
Por identidades del ángulo doble:
2 22 2cos cos
cosEsen
sen sen2
2
θ θ θθ θ θ=++
2cos cos
cosE
sen
sen sen2
θ θ θ
θ θ θ=
++
__
ii
Simplificando tenemos:
cos
E senθθ=
` E = tanqRpta. tanq
Clave C
Pregunta 39
Si cosa = ,nm donde |m| ! |n|, halla el valor de:
K = (cota + csca)(tana - sena)
UNMSM 2012-II
A) mn 12
2- B) 1
nm2
2- C)
mnm 12 -
D) mn
m n2 2- E) mn
n m2 2-
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas fundamentales
• tanqcotq = 1 • secq = cos1θ
• tanq = cossen
θθ • senqcscq = 1
Análisis y procedimiento
Dato: cosa =
nm ; |m| ! |n|
K = (cota + csca)(tana - sena)
K = cotatana - cotasena + cscatana - cscasena
K = 1 coscossen
sensen
sen1 1αα α
α αα- + -b bl l
K = -cosa + seca
Reemplazamos el dato:
K = nm
mn
mn
nm- + = -
` K = mn
n m2 2-
Rpta. mn
n m2 2-
Clave E
13
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Pregunta 40
Se tiene el triángulo rectángulo BAC que es recto en A. Si CQ = a cm, AB = b cm; halla el valor de
ba .
A B
C
Q
45°30°
UNMSM 2013-I
A) 31 3 3-_ i B)
31 3 3+_ i C)
31 6 3-_ i
D) 31 6 3+_ i E)
31 3
Resolución:
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudo
n60°
30°
2n
n 3
n45°
45°n
n 2
Análisis y procedimiento
A B
C
Q
45°30°
30°
aa/2
a 3/2
a 3/2
b
tan30° = b
a21 3+_ i
ba = ºtan
3 12 30
+
ba = º
1tan3 1
2 3033 1
+ --f p
ba = 30ºtan 3 1-_ i
ba =
33 3 1-_ i
ba =
31 3 3-_ i
Rpta. 31 3 3-_ i
Clave A
Pregunta 41Determina el rango de la función:
f(x) = (2 + senx)(2 - senx), x ! R
UNMSM 2014-I
A) [2; 4] B) [1; 3] C) [3; 4]D) [1; 9] E) [1; 4]
Resolución:
Tema: Funciones trigonométricas-1 # senx # 1 ; x ! R
Análisis y procedimientof(x) = (2 + senx)(2 - senx)
Aplicamos diferencia de cuadrados:f(x) = 4 - sen2x
Si x ! R & -1 # senx # 1 0 # sen2x # 1 0 $ -sen2x $ -1 4 $ 4 - sen2x $ 3 4 $ f(x) $ 3 3 # f(x) # 4
` f(x) ! [3; 4]
Rpta. [3; 4]Clave C
Pregunta 42
Sea:A = {(x; y) ! R2 / x = cos2t; y = sen2t; t ! R}
Entonces podemos afirmar que:UNI 2011-I
A) A es una circunferencia.B) A es un segmento de recta.C) A es una semielipse.D) A es una recta.E) A es un segmento de parábola.
Resolución:
Tema: Ecuación paramétrica de la rectaRecuerda: cossen 12 2θ θ+ =
Análisis y procedimiento
Sea:A = {(x; y) ! R2 / x = cos2t; y = sen2t; t ! R}
x = cos2t … (I)y = sen2t … (II)
Donde 0 # x # 1 / 0 # y # 1
Sumamos (I) y (II): x + y = 1
Se tiene la ecuación de un segmento de recta debido a que x e y están acotados.
Rpta. A es un segmento de recta.Clave B
Pregunta 43
Una escalera se encuentra apoyada en una pared haciendo un ángulo de 45°. Se resbala, la parte inferior se desliza 8 5 m2- de su posición inicial y el nuevo ángulo que forma con la pared es 53°. ¿Cuántos metros mide la escalera?
UNI 2012-II
A) 8 B) 10 C) 12D) 14 E) 16
14
Preguntas deexámenes de admisiónPreguntas de
exámenes de admisión
2.° de Secundaria
Resolución:
Tema: Razones trigonométricas de un ángulo agudoTriángulos rectángulos notables
45°
45°k
k
k 2
3k
4k
5k53°
37°
Análisis y procedimiento
Sea AB la longitud de la escalera.A
3k
A'
B' B M4k - 8 + 5 28 - 5 24k
Si A'M = 3k, entonces B'M = 4k y A'B' = 5k.
Se observa que AB = A'B'.
k4 8 5 2 2- +_ i = 5k k4 2 8 2 10- + = 5k 810 2- = k k5 4 2- 2 5 4 2-_ i = k 5 4 2-_ i
k = 2
` AB = 5k = 5(2) = 10Rpta. 10
Clave B
Pregunta 44
Si secx = csc2q - cot2q, determina:
E = 2 cot cossec tan
xx2 2
θθ
- +-
UNI 2013-I
A) -1 B) 0 C) 1/2 D) 1 E) 3/2
Resolución:
Tema: Identidades trigonométricas de arco doble
• tan2xb l = cscx - cotx
• sec2x = 1 + tan2x
Análisis y procedimiento
De la condición: secx = csc2q - cot2q secx = tanq … (I) cosx = cotq … (II)
Nos piden E:
E = 2 cot cossec tan
xx2 2
θθ
- +-
E = cot costan tan
xx
21 2 2
θθ
- ++ -
Reemplazamos (I) y (II) en la expresión:
E = cos cossec tan
x xx x
21 2 2
- ++ -
E = 2
1 1+
` E = 1Rpta. 1
Clave D
Pregunta 45
Si tan2a = 2tan2x + 1, halla el valor de y = cos2a + sen2x.
UNI 2014-I
A) sen2a B) cos2a C) 1 + sen2aD) tan2a E) 1 + cos2aResolución:
Tema: Identidades trigonométricas fundamentales• sec2q = 1 + tan2q
• secq = cos1θ
• sen2q = 1 - cos2q
Análisis y procedimiento
tan2a = 2tan2x + 1 1 + tan2a = 2(tan2x + 1)
sec2a = 2sec2x
cos12α
= cos x22
cos2x = 2cos2aNos piden: y = cos2a + sen2x y = cos2a + 1 - cos2x y = cos2a + 1 - (2cos2a) y = 1 - cos2a y = sen2a
Rpta. sen2aClave A
Pregunta 46
Si se cumple que cos(x - y) = 3senxseny, calcula tanxtany.
UNFV 2010
A) -2 B) -1/2 C) 1/2D) 1 E) 2
Resolución:
Tema: Arco compuestoRecuerda: cos(x - y) = cosxcosy + senxseny
Análisis y procedimiento
Al desarrollar cos(x - y) en la igualdad obtenemos:
cos(x - y) = 3senxseny cosxcosy + senxseny = 3senxseny cosxcosy = 2senxseny
21 =
cos cosx ysenxseny
` 21 = tanxtany
Rpta. 1/2
Clave C
15
Preguntas deexámenes de admisión
Preguntas de exámenes de admisión
Pregunta 47
Si: cosb
senxax=
Calcula: R = acos2x + bsen2x
UNFV 2011
A) a2/2 B) a2 C) b2
D) a E) b
Resolución:
Tema: Arco compuestoRecuerda: cos2x = 1 - 2sen2x sen2x = 2senxcosx
Análisis y procedimiento
Dato: cosb
senxax=
& senx = cosa
b x … (I)
Nos piden: R = acos2x + bsen2x
Por identidad de arco doble sabemos:R = a(1 - 2sen2x) + b(2senxcosx)
De (I) tenemos:
R = 1 2 2cos cos cosaa
b x ba
b x x2
- +d dn n> >H H
R = cos cosaab x b
ab x1 2 22
22 2- +< <F F
R = 2 2cos cosaab x
ab x
22
22- +
R = aRpta. a
Clave D
Pregunta 48
En la figura, EF = 2 cm. Halla BC.
A
D
B
C
Fα
E
PUCP 2014-I
A) 2cosa cm B) 2cota cm C) 2sena cm D) 2tana cm E) 2seca cm
Resolución:
Tema: Razones trigonométricasRecuerda:
x
a
α
cotx a α=
Análisis y procedimiento
Dato: EF = 2 cmPiden: BC = x
x
A
D
B
C
Fα
α
α
E 2
2cotα
En el EBC: sena = cotx
2 α& x = 2cotasena = 2cosa
Rpta. 2cosa cm
Clave A