UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA
EVALUACIÓN DE LA APLICACIÓN DE UN HUSO TM PARA CHILE
CONTINENTAL, APLICABLE A CARTOGRAFÍA DEL MINISTERIO
DE BIENES NACIONALES
FERNANDO MILLAR ORDENES
2003
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
UNIVERSIDAD DE SANTIAGO DE CHILE
FACULTAD DE INGENIERIA
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA GEOGRÁFICA
EVALUACION DE LA APLICACIÓN DE UN HUSO TM PARA CHILE
CONTINENTAL, APLICABLE A CARTOGRAFÍA DEL MINISTERIO
DE BIENES NACIONALES
TRABAJO DE TITULACIÓN PRESENTADO EN CONFORMIDAD A LOS
REQUISITOS PARA OBTENER EL TÍTULO DE INGENIERO DE EJECUCIÓN
EN GEOMENSURA
PROFESOR GUÍA: RENÉ ZEPEDA GODOY
FERNANDO MILLAR ORDENES
2003
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
A mis padres
José e Inés
Por todo el amor y esfuerzo entregado en pos de mi felicidad.
A toda mi familia
Ale y Marco, Mauricio, Abuelos y tíos, por creer en mi.
A Coyailén
Fiel compañera en los momentos difíciles y por toda su ayuda y amor entregados.
Dedico este trabajo, también, a todas aquellas personas que en algún instante de
mi paso como estudiante de esta universidad, formaron parte de momentos
inolvidables de felicidad y tristeza, diversión, trabajo y estudio, Pilar, Mayte,
Carolas, Karina, Tania, Pato, Claudio, Chino, Daniel, Lorena, y muchos más. A los
que me acompañaron y acompañan en mi formación como deportista y
montañero, amigos para toda la vida, Andrés, Pilar, Mauricio, Luchos, Pepe,
Jorge, Zetor, Alberto, y a todos los integrantes de la rama de Andinismo de la
USACH.
Especial dedicación para los que ya no están con nosotros en vida, pero siempre
los he sentido a mi lado.
Claudio, maestro y amigo, sin ti no hubiese conocido la belleza de las alturas.
Sergio (Rambo) y Max, los duros de la montaña.
Rodrigo (Pelao), el más noble.
Abuelita Elsa, el regalo más grande, contigo aprendí sobre la bondad y las cosas
simples de la vida que nos hacen felices, tu risa y alegría siempre estarán
conmigo.
No hay límites para nuestros sueños, el desafío está en realizarlos.
“Las Montañas que hay que mover están en nuestra mente”, Reinhold Messner.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
Agradecimientos:
A toda la gente de la División Catastro del Ministerio de Bienes Nacionales, por la
ayuda prestada en la realización de este trabajo, especialmente a María Silvia
Céspedes, Claudia López y Estefan Bagladi.
A mi profesor guía Sr. René Zepeda y a todo el cuerpo de profesores del
departamento de Geografía, que fueron partícipes de mi formación profesional.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
RESUMEN
El presente trabajo entrega el desarrollo de una investigación cuyo objetivo final es
obtener los parámetros de una proyección TM que utilice un solo huso en Chile
Continental, para así elaborar Cartografía del Ministerio de Bienes Nacionales de
manera uniforme a lo largo de todo el país.
Mediante este trabajo se presenta una teoría, una hipótesis y se demuestra
su validez utilizando un método de investigación con cuyo análisis se llega a las
conclusiones finales.
El trabajo se ha dividido en cuatro capítulos generales. El primero hace una
introducción al tema, presenta el problema, plantea la hipótesis y una metodología
de investigación. El segundo capítulo entrega el marco teórico sobre el cual se
sustenta la investigación. Este contiene temas tales como, referencias geodésicas,
cartografía, proyecciones TM y Sistemas de Información Geográfica.
En el tercer capítulo se muestra todo el desarrollo del trabajo, explicando
cómo se obtuvieron los parámetros y sus valores, se presentan las fórmulas
utilizadas, el estudio de las deformaciones obtenidas con los nuevos parámetros y
la aplicación del nuevo sistema a diversos problemas, tales como, obtención de
coordenadas TM a partir de coordenadas geodésicas, procesamiento de datos
GPS y conversión de coberturas cartográficas.
El capítulo cuatro entrega los análisis de los resultados obtenidos y las
conclusiones y recomendaciones a partir de esos análisis.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
ÍNDICE GENERAL
1. Introducción.......................................................................................... 1
1.1. Antecedentes.............................................................................. 1
1.2. Planteamiento del Problema....................................................... 3
1.3. Estado Actual.............................................................................. 4
1.4. Hipótesis del Trabajo................................................................... 5
1.5. Objetivo general........................................................................... 5
1.6. Objetivos específicos................................................................... 6
1.7. Descripción de la contribución esperada..................................... 7
1.8. Metodología................................................................................. 7
2. Marco teórico.......................................................................................... 8
2.1. Referencias geodésicas............................................................... 8
2.2. Cartografía...................................................................................15
2.2.1. Definición de cartografía.............................................................. 15
2.2.2. El problema de las proyecciones................................................. 15
2.2.3. Deformaciones............................................................................. 18
2.2.3.1. Deformaciones lineales............................................................. 18
2.2.3.2. Deformaciones superficiales..................................................... 19
2.2.3.3. Deformaciones angulares......................................................... 19
2.2.4. Elipse de Tissot............................................................................ 19
2.2.4.1. Campo del sistema y escala..................................................... 24
2.2.4.2. Condiciones de conformidad.................................................... 26
2.3. Proyección Transversal de Mercator........................................... 32
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
2.3.1. Generalidades............................................................................ 33
2.3.2. Conversión analítica entre coordenadas geodésicas y planas.. 37
2.3.3. Problema directo........................................................................ 42
2.3.4. Factor de escala......................................................................... 45
2.3.5. Determinación del coeficiente correspondiente al artificio de
Tissot.......................................................................................... 47
2.3.6. Geodésicas transformadas sobre la proyección........................ 49
2.4. Sistemas de información geográfica.......................................... 52
2.4.1. Generalidades............................................................................ 54
2.4.2. Diferencias entre SIG y CAD……………………………………… 55
2.4.3. Datos.......................................................................................... 56
2.4.4. Base de datos cartográfica......................................................…57
2.5. Proyecciones cartográficas en Arc View.................................... 58
2.5.1 Elegir una proyección cartográfica........................................…. 59
3. Desarrollo............................................................................................. 62
3.1. Sistema Nacional Transversal de Mercator NTM....................... 62
3.2. Generalidades............................................................................ 63
3.3. Parámetros particulares para la proyección NTM...................... 64
3.3.1. Falso Este nacional.................................................................... 64
3.3.2. Falso Norte nacional.................................................................. 65
3.3.3. Factor de Escala del meridiano central (Ko).............................. 65
3.4. Fórmulas para la proyección NTM............................................. 70
3.5. Determinación de la variación de la distorsión lineal................. 70
3.5.1. Problema directo....................................................................… 70
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
3.5.1.1. Factor K en función de las coordenadas geodésicas........... 72
3.5.1.2. Factor K en función de las coordenadas planas................... 74
3.5.2. Problema inverso..................................................................... 76
3.5.3. Estudio de las deformaciones en el sistema............................ 79
3.5.3.1. Valores para la proyección UTM........................................... 86
3.5.3.2. Valores para la proyección NTM........................................... 89
3.6. Aplicación del nuevo sistema................................................... 90
3.6.1. Obtención de coordenadas NTM a partir de coordenadas
geodésicas (Problema directo)................................................ 90
3.6.2. Aplicación de los parámetros en el procesamiento de datos
GPS.......................................................................................… 93
3.6.3. Conversión de coberturas cartográficas a la proyección NTM. 96
4. Análisis y conclusiones...................................................................... 107
4.1. Análisis.................................................................................... 107
4.2. Conclusiones........................................................................... 112
Bibliografìa………………………………………………………………………….. 115
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
1
CAPITULO 1.- INTRODUCCIÓN
1.1.- ANTECEDENTES
La proyección Universal Transversal de Mercator UTM es una proyección
usada casi mundialmente para la representación en mapas de la superficie
terrestre, toma como base la proyección Gauss-Kruger, pero se diferencia en que
esta última utiliza un cilindro transverso tangente a la esfera en un meridiano
central que por no tener distorsión tendrá un factor de escala igual a 1 a todo lo
largo de él.
El sistema (UTM), divide la Tierra entre las latitudes 84º Norte y 80º Sur en
60 husos de 6º de ancho en longitud. El meridiano de Greenwich, o meridiano 0,
es el límite entre las zonas 30 y 31. Chile continental, por su ubicación geográfica,
se encuentra en los husos 18 (meridiano central de longitud –75°) y 19 (meridiano
central de longitud –69°).
A fin de evitar excesivos errores de escala (deformaciones) en los bordes
de cada huso, (la proyección UTM no es equidistante en el meridiano central) sino
que aplica un factor de escala (Ko) de 0,9996, por lo tanto, el cilindro tangente,
descrito anteriormente, se transforma en un cilindro secante, que corta al elipsoide
en dos líneas casi paralelas al meridiano central. De esta forma la proyección
equidistante se produce aproximadamente a 180 km a ambos lados del meridiano
central y las deformaciones en los bordes del huso llegan a ser del orden de
1/1.000 (1m/km). Para que los valores numéricos de las coordenadas en cualquier
cuadrante sean siempre positivos y aumenten en las direcciones Este y Norte, se
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
2
considera como origen de cada sistema de coordenadas planas el Ecuador y el
Meridiano Central, y se les asigna los valores Falso Este (FE) de 500.000 m y
Falso Norte (FN) de 0 m para el hemisferio Norte y 10.000.000 m para el
hemisferio Sur. La cuadrícula ortogonal UTM está formada por las paralelas a las
proyecciones del Ecuador y del meridiano Central (MC).
Existe una serie de puntos entre dos husos consecutivos en la que existe
una duplicidad de las coordenadas UTM, esta línea es la del meridiano existente
entre dos husos consecutivos. En el caso de Chile esto ocurre sobre el meridiano
-72, límite entre los husos 18 y 19.
Con la introducción de lleno, de los sistemas CAD y en general de sistemas
informáticos en los que se representan información gráfica georreferenciada, como
los sistemas SIG, y en general cualquier sistema que involucre información de
carácter espacial, surge el problema que supone la representación de posiciones
geográficas en proyección UTM existentes en distintos husos.
Estos sistemas informáticos disponen de un sistema cartesiano x,y ó x,y,z
sobre el cual se localizan las coordenadas UTM, las coordenadas en cualquier
otro sistema de proyección y/o incluso las coordenadas geográficas, pero no
disponen de un sistema en el que incluir dos o más orígenes de coordenadas para
posiciones geográficas.
Por ello, para poder representar integradamente coordenadas de todo Chile
en un sistema informático, se recurre a la representación sobre el huso 19 de
posiciones geográficas existentes en el huso 18. De esta manera se pasa de tener
dos orígenes de coordenadas, uno por cada huso, a un solo sistema de
coordenadas, el del huso 19.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
3
Esta operación se conoce como “forzar” las coordenadas UTM a un
determinado huso, hecho que es posible pero no recomendable, ya que la
distribución de husos y el empleo de distintos cilindros de proyección se efectúan
para evitar, o disminuir en lo posible, la distorsión causada por la proyección,
factor de escala. Este factor aumenta en forma exponencial conforme aumenta la
distancia al meridiano central del huso de representación.
1.2.- PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA
El Ministerio de Bienes Nacionales al igual que todas las instituciones
estatales o privadas que trabajan con Sistemas de Información Geográfica, y que
despliegan coberturas a nivel nacional se encuentran con el dilema de transformar
coberturas de un huso (extendiendo el huso) a otro para tener una visión general,
el ideal sería contar con un solo huso de tal manera que toda la información
ministerial se desplegara uniformemente.
El presente trabajo pretende generar un nuevo Huso TM que abarque Chile
Continental extendiendo más allá de los 6º el actual huso UTM, para lo cual será
necesario evaluar factores de escala, errores etc.
Se efectuará un estudio general utilizando el Modelo Matemático Genérico
de los Sistemas TM para obtener coordenadas planas y factores de escala a partir
de coordenadas geodésicas y de esta manera evaluar las deformaciones que se
generarán a lo ancho del huso, desde el meridiano central, entre las líneas de
secancia y fuera de ellas. Una vez obtenido los parámetros para el nuevo huso se
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
4
realizarán pruebas numéricas y gráficas aplicando estos nuevos parámetros a
diversas coberturas de Chile Continental en un Sistema de Información
Geográfica.
1.3.- ESTADO ACTUAL
Consciente del acelerado desarrollo tecnológico que ha experimentado el
campo de la Geodesia, Topografía y Cartografía, el Ministerio de Bienes
Nacionales, específicamente la División del Catastro Nacional de los Bienes del
Estado, se ha visto en la necesidad de reformular las condiciones de trabajo y de
exigencias técnicas que realiza el Ministerio, en lo que respecta a la ejecución de
levantamientos topográficos, elaboración y archivo de planos, como también a lo
relativo en las firmas responsables de estos. Actitud que se ve ampliamente
reforzada con la reciente adquisición de Instrumental de Ingeniería de la más
moderna tecnología.
Bajo este planteamiento fue que a partir de 1996 se inició El Programa de
Actualización Catastral de todo el país, en el cual se introdujeron terrenos desde el
año 1927 hasta el año 1996 en los diversos formatos imaginables. Se inició un
proceso de Georreferenciación sobre cartografía regular IGM 1:50.000, proceso no
óptimo pero con el que se pudo actualizar casi la totalidad del terreno fiscal.
A partir del año 2000 y, con la introducción de tecnología GPS y
Automatización Cartográfica con el uso de herramientas CAD, SIG ArcInfo y
ArcView, se comenzó a construir una red geodésica del Ministerio ajustando la
información obtenida en el proceso anterior y exigiendo la georreferenciación a
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
5
todos los trabajos actuales, además de la entrega de un Mosaico Catastral en
formato digital (ArcInfo o Arcview).
De la totalidad del Territorio Nacional Continental, el 32% es fiscal (8
millones de hectáreas aprox.) del cual casi el 50% es área silvestre protegida
administrada por CONAF. Actualmente el Ministerio de Bienes Nacionales maneja
la totalidad de esta información en formato digital, en un Mosaico SIG que
contiene deslindes, escrituras, información administrativa y todos los elementos
que exige el Manual de Normas Técnicas, el cual también obliga que toda la
cartografía se encuentre en coordenadas UTM, pero no está reglamentado cómo
se representará en el SIG, por lo tanto es arbitraría la utilización de un respectivo
huso y tampoco se puede tener una visión general del territorio.
1.4.- HIPÓTESIS DEL TRABAJO
Es posible desarrollar un sistema de proyección nacional basado en la
proyección TM, que permita, sin incurrir en deformaciones mayores de la escala,
la adopción de un solo meridiano central.
1.5.- OBJETIVO GENERAL
Estudiar y evaluar el desarrollo de un sistema nacional basado en la
Proyección TM, que permita, sin incurrir en deformaciones mayores de la escala,
es decir aplicable a coberturas desplegadas en la proyección UTM a escalas
1:50.000 y menores, en las que la máxima apreciación es de 10 metros, la
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
6
adopción de un solo meridiano central, analizando los errores que se producirán al
extender más allá de los 6º, un nuevo huso TM.
1.6.- OBJETIVOS ESPECÍFICOS
Determinar el ancho del huso y su Meridiano Central para abarcar a Chile
Continental.
Determinar los parámetros del nuevo sistema TM, tales como Factor de Escala
del Meridiano Central, Falso Este y Falso Norte.
Determinar la variación de la distorsión lineal a medida que se aleja del
Meridiano Central y del Ecuador.
Aplicar, a coberturas de Chile Continental, el nuevo sistema y evaluar las
deformaciones que se producirán.
Analizar y comparar en zonas límites de huso, la aplicación del nuevo sistema
con la aplicación de un huso extendido.
Realizar una metodología para la obtención de coordenadas del nuevo sistema
a partir de datos de terreno.
Realizar una metodología para la actualización de las coberturas existentes en
formatos UTM al nuevo sistema y viceversa en un SIG.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
7
1.7.- DESCRIPCIÓN DE LA CONTRIBUCIÓN ESPERADA Y EL PRODUCTO A
OBTENER
La División del Catastro Nacional de los Bienes del Estado es la autoridad
técnica en la formación, conservación y actualización del catastro nacional de los
bienes del Estado y en los trabajos de mensura que se requieren en el
cumplimiento de los fines propios del Ministerio. Bajo esta definición el Ingeniero
Geomensor es un profesional capacitado para estudiar, elaborar y proponer
Normas Técnicas y, controlar la calidad de los trabajos topográficos y cartográficos
que deban realizarse por el Ministerio y sus dependencias. Contribuir al desarrollo
del área cartográfica para desplegar uniformemente toda la información ministerial
no solo beneficia a esta institución del Estado, lo cual ya es un aporte, sino que
también a todas las instituciones y personas que deseen desarrollar esta área.
Sobre el producto a obtener, principalmente es entregar los parámetros y
una metodología sobre la actualización y obtención de coordenadas en el nuevo
sistema.
.
3.- METODOLOGIA
La metodología a utilizar estará basada en un enfoque sistémico, es decir,
se analizara el comportamiento del sistema para emitir un diagnóstico del
problema y luego se planteará una posible solución, primero conceptual y luego en
detalle. Para ello se utilizarán las fórmulas generales del Modelo Matemático de
los Sistemas TM.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
8
CAPITULO 2.- MARCO TEÓRICO
2.1.- REFERENCIAS GEODESICAS
2.1.1.- ELIPSOIDE DE REFERENCIA
Los cálculos necesarios para obtener las coordenadas de puntos
sobre la superficie terrestre deben ser soportados por algún sistema de referencia.
El geoide no puede servir de referencia ya que es un superficie compleja, por lo
tato, se debe acomodar una superficie de forma tal que se asemeje al geoide y
que su representación matemática sea posible.
Esta superficie corresponde al elipsoide (figura 2.1), el cual es generado a
partir de la rotación de una elipse en torno a su eje menor (b), es decir, el elipsoide
es una superficie de revolución.
Figura 2.1.- Elipsoidey
bf2 f1
xa
La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos tal que la suma de sus
distancias a dos puntos fijos de ella es constate. Estos dos puntos fijos son
llamados focos (f1 y f2), siendo además a el semieje mayor y b el semieje menor.
Además se reconoce f como su achatamiento, el cual está en función del semieje
mayor y menor.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
9
Un elipsoide de referencia es el elipsoide que se usa en un determinado lugar,
país o región, existiendo incluso elipsoides de carácter global, para esto bastará
definir sus dimensiones. En Chile, los elipsoides de referencia usados son los
siguientes:
Elipsoide Internacional de 1924 a = 6.378.388m f = 1/297
Elipsoide Sudamericano de 1969 a = 6.378.160m f = 1/298,25
2.1.2.- ELIPSOIDE GENERAL DE LA TIERRA
Es el más próximo al geoide, tiene carácter global y cumple las
siguientes condiciones:
Igualdad de volúmenes entre elipsoide y geoide.
Coincidencia de planos ecuatoriales y del centro de masa de la Tierra con el
centro del elipsoide, incluyendo océanos y atmósfera.
Hacer mínima la suma de los cuadrados de las alturas geoidales.
. Un elipsoide general y “moderno” de la Tierra es el GRS-80.
Elipsoide GRS-80 a = 6.378.137m f = 1/298,257223563
, siendo este último de uso en el Sistema de Posicionamiento Global (GPS).
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
10
2.1.3.- DATUM GEODESICO HORIZONTAL CLÁSICO
El elipsoide que ha sido definido (sus dimensiones) y orientado o
posicionado (colocado en la superficie terrestre) se define como datum geodésico
horizontal, este proporciona ciertos valores iniciales (cantidades numéricas) que
servirán de base o referencia para determinar la posición de los puntos de la
superficie terrestre en el elipsoide. Estos valores numéricos son: dimensiones del
elipsoide (epígrafe 2.1.1), latitud y longitud de un punto de control (geodésicas y
astronómicas), azimut (geodésico y astronómico) de ese punto a otro, altura
ortométrica (ondulación geoidal) y desviación de la vertical en el punto.
La determinación del datum se puede realizar de dos maneras:
Por Observación Astronómica Única: se realiza en un punto de triangulación de
primer orden y se hacen observaciones astronómicas, igualándolas a las
geodésicas (desviación de la vertical 0, coincidencia de las normales al elipsoide y
geoide). Se asume que geoide y elipsoide coinciden (altura geoidal 0). Es de uso
local, al alejarse comienzan a surgir problemas. En Chile un datum de este tipo es
Hito-XVIII-Elipsoide Internacional de 1924 (en la XII Región).
Por Orientación Astronómica Geodésica del Datum: Se determina la
desviación de la vertical en varias estaciones, cubriendo una gran área, estas
estaciones serán estaciones Laplace ( se puede aplicar la ecuación de Laplace).
Una de las estaciones se elegirá como origen. Con las observaciones se elegirá la
posición del elipsoide más adecuada, de tal manera que de mínima la deflexión de
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
11
la vertical. En este caso podrá haber una altura geoidal. Estos datums se pueden
conectar para trabajar en un mismo sistema. Los Datum horizontales de uso en
Chile son: PSAD-56-Elipsoide Internacional de 1924, origen La Canoa Venezuela,
= 08° 34’ 17.170” N, = 63° 51’ 34.880” W, h = 178.870 m, Az a Pozo Hondo= 40° 22’45.96” (desde el extremo
norte hasta la latitud 43º30’ S), SAD-69-Elipsoide sudamericano 1969, origen
Chua Brazil, = 19° 45’ 41’’.6527 S, = 48° 06’ 04”.0639 W, h = 763.28 m, Az a Uberaba= 271° 30’ 04”.05 (desde
la latitud 43º30’ S)
2.1.4.- DATUM SATELITAL
El Departamento de Defensa de los Estados Unidos ha diseñado, en
base ha datos satelitales, gravimétricos y astronómicos, un sistema geodésico
mundial que ha servido como referecia para el GPS (Sistema de Posicionamiento
Global), y que proporciona entre otra información un mapa de alturas geoidales.
El Sistema Geodésico Mundial 1984- WGS-84 (World Geodesic System
1984), es el Datum de uso para GPS y compatible con un Marco de Referencia
Terrestre Internacional -ITRF- básicamente bajo los siguientes aspectos:
Posición: geocéntrico, con origen en el centro de masa de la Tierra, incluyendo
océanos y atmósfera.
Orientación:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
12
o Eje Z en la dirección del Polo de Referencia establecido por el
Servicio internacional de Rotación Terrestre – IERS.
o Eje X en la intersección del Meridiano de Referencia IERS y el plano
ecuatorial.
o Eje Y completa el sistema ortogonal dextrógiro (sentido de la mano
derecha).
Al sistema cartesiano se asigna un elipsoide denominado también WGS-84, este
elipsoide posee los parámetros del Sistema de Referencia 1980 - GRS-80.
Actualmente Sudamérica, para compatibilizar los sistemas geodésicos
utilizados, se encuentra en proceso de definir y establecer un sistema de
referencia único con precisión compatible con la actual tecnología de
posicionamiento. Este sistema, denominado SIRGAS 2000, también es
geocéntrico.
2.1.5.- DATUM GEODESICO VERTICAL
El nivel medio del mar es la superficie de referencia que se utiliza
para el cálculo de alturas denominadas ortométricas (H). El sistema de referencia
WGS-84 (utiliza el elipsoide como Datum vertical) es una referencia geométrica
tridimensional, la altura es referida al elipsoide (h)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
13
Es importante conocer las precisiones que se obtienen entre un sistema y
otro:
CATEG. REDES ORDEN ORDEN CLÁSICO ERROR PPM ERROR PROP1/X
GEODINÁMICAITRSs – SIRGAS 2000
AA - 0,01 100.000.000
REF. NAC. PRIMARIAREDES GPS NACIONALES
A - 0,1 10.000.000
REDES LOCALESGPS GEODÉSICASWGS 84
B - 1 1.000.000
CONTROL MAPEOPSAD 56SAD69 (CLÁSICAS)
C 1er ORDEN 10 100.000
? B 2O ORDEN 20 50.000
2.1.6.- ONDULACIÓN GEOIDAL
Distancia, separación, entre el geoide y el elipsoide en un
determinado punto (Figura 2.2). La ondulación geoidal comúnmente es designada
por N en otras bibliografías, pero para evitar confundirla con la Gran normal se
designará por hG , así:
hG = |H - h| (2.1) donde: - H es la altura ortométrica y;
- h es la altura elipsoidal.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
14
SUPERFICIETERRESTRE
hH
GEOIDE
hGELIPSOIDE
Figura 2.2.- Ondulación Geoidal
Uno de los problemas geodésicos más importantes y complejos es la
determinación de la separación entre geoide y elipsoide (ondulación geoidal hG), lo
que se ha resuelto en gran parte con la elaboración de mapas geoidales.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
15
2.2.- CARTOGRAFIA
2.2.1.- DEFINICIÓN DE CARTOGRAFIA
Se define la cartografía como la ciencia que estudia los diferentes métodos
o sistemas para representar sobre un plano, una parte, o la totalidad de la
superficie terrestre, de manera que las deformaciones que se producen sean
mínimas y siempre conocidas, o bien, que la representación plana obtenida,
cumpla ciertas condiciones especiales que interesen desde el punto de vista de su
utilización posterior. También se puede definir como la ciencia que estudia la
representación plana de la esfera o del elipsoide, tratando de obtener por el
cálculo las coordenadas de los puntos del plano correspondientes a los situados
en dichas superficies.
2.2.2.- EL PROBLEMA DE LAS PROYECCIONES
Según definición internacionalmente adoptada, proyección es la
correspondencia matemática biunívoca entre los puntos de una esfera o elipsoide
y sus transformados en el plano.
La superficie terrestre total es un espacio curvo, representado
analíticamente por el elipsoide de referencia que representa al geoide.
La Tierra, mirada de manera generalizada, es decir, en una primera
aproximación, puede considerarse una esfera. Más cercana a la realidad en una
segunda aproximación, la forma de la Tierra puede describirse como un elipsoide.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
16
Una tercera aproximación o acercamiento a la forma real de la Tierra, se define
como Geoide, forma única y particular del globo terrestre.
Es relativamente fácil pasar del elipsoide a un esfera de igual superficie a la
que se llama globo terrestre, sin embargo, para pasar de este elipsoide al plano se
deberá establecer un ley de correspondencia adecuada entre los elementos del
elipsoide y sus representaciones en el plano, de manera que se minimicen las
distorsiones. Este sistema de correspondencia se denomina Sistema de
Proyección.
El problema queda resuelto cuando las coordenadas rectangulares del
plano x e y, se representan en función de las coordenadas geodésicas latitud ( y
longitud ( en el elipsoide, y viceversa. Mediante ciertas funciones, conforme al
esquema (Figura 2.3).
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
17
ELIPSOIDE REPRESENTACIÓN PLANA
P() P’(x,y)
f
P1(1) P’1(xy1)
P2(2) P’2(xy2)
g
Figura 2.3.- Sistema de proyección
La limitación de las proyecciones respecto a representar conjuntamente
todas las cualidades de la realidad, es proporcional al área representada, puesto
que las deformaciones serán mínimas si la superficie abarcada en la proyección
es suficientemente pequeña como para excluir la incidencia de la curvatura
terrestre. Por el contrario, en áreas extensas, y más aún en la representación de la
totalidad del elipsoide, las deformaciones serán mayores producto de la dificultad
de traspasar al plano una superficie curva.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
18
2.2.3.- DEFORMACIONES
Tanto las líneas geodésicas como las superficies terrestres y ángulos
pueden sufrir variaciones al representarse en el plano de una proyección.
2.2.3.1.- DEFORMACIONES LINEALES
Si se representa por S la magnitud de una línea geodésica y por S’ la
correspondiente en la proyección elegida (este valor es el que lleva al plano o
mapa), se llama factor de escala o módulo de deformación o anamorfosis lineal,
en el lugar que se considere, al cuociente:
SSK /' (2.5)
Este factor de escala varía con la situación de la línea geodésica sobre el
elipsoide y puede ser mayor, menor o igual a la unidad, permaneciendo constante
en ciertos puntos, llamándose en este último caso línea automecoica, o sea,
cuando para los puntos de la misma se verifica que K = constante. El factor de
escala es de carácter puntual.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
19
2.2.3.2.- DEFORMACIONES SUPERFICIALES
Las magnitudes superficiales sufren igualmente deformaciones,
denominándose módulo de deformación superficial o anamorfosis superficial a
AAK A /' (2.6)
siendo A’ y A las áreas sobre la proyección y sobre el elipsoide respectivamente.
2.2.3.3.- DEFORMACIONES ANGULARES
El ángulo que forman dos líneas geodésicas sobre el elipsoide, le
corresponde otro ’ sobre la proyección. La diferencia - ’ se llama deformación
o anamorfosis angular.
2.2.4.- ELIPSE DE TISSOT
Al estudiar las deformaciones producidas en la representación del elipsoide
sobre el plano, el francés Tissot (1860) enunció el siguiente principio: en todo
punto de la superficie existen dos direcciones perpendiculares tales que en sus
imágenes planas también lo son, se trata de las direcciones llamadas principales.
Efectivamente, si se consideran sobre el elipsoide dos geodésicas OGo y OHo
perpendiculares (Figura 2.4), sus imágenes en el plano serán dos curvas O’G’o y
O’H’o que en general no serán geodésicas del plano (no son rectas) ni
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
20
Go
O
Ho
G1
H1
G'o
H'o
G'1
O
H'1
perpendiculares; supóngase una rotación continua que lleve a la geodésica OGo
sobre OHo en OG1, en este caso OHo coincidiría con OGo en OH1 (las dos
geodésicas seguirán siendo perpendiculares sobre el elipsoide). En cambio en el
plano las transformadas correspondientes han sido O’G’1 y O’H’1, el ángulo que
inicialmente era agudo se ha vuelto mayor de /2, lo cual indica que ha habido un
momento durante la rotación en que ambas direcciones fueron perpendiculares.
Figura 2.4.- Deformaciones en la representación del elipsoide sobre el plano.
Considérese ahora un punto P del elipsoide que describa alrededor de O un
círculo de radio infinitesimal dr (Figura 2.5). Sobre el plano le corresponderá un
punto P’ que describirá una elipse de centro O’ (en la figura se dibujan
superpuestos). Esta elipse cuyos ejes tienen por valor adr y bdr es la llamada
elipse de Tissot, elipse indicatriz fundamental en este tipo de transformaciones. El
punto P’ homólogo del perteneciente al elipsoide se obtiene mediante la
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
21
Obdr
adr
construcción clásica del círculo principal de la elipse. Los puntos C y D tienen
como imagen los C’ y D’ : es decir los ejes de elipse corresponden por tanto a las
direcciones principales (direcciones perpendiculares conservadas).
Y=g
X=f
Figura 2.5.- Elipse de Tissot
Evidentemente la escala local OP
POK '' será variable en función de la dirección
considerada, pasando por un máximo aOC
COK ''
1 y por un mínimo
bdr
bdrOD
DOK ''
2 teniendo por tanto que los valores extremos de la escala local
se manifiestan sobre las direcciones principales. Análogamente se podrían
estudiar las alteraciones superficiales o angulares, en este caso dadas por las
diferencias entre direcciones de puntos del círculo y homólogos de la elipse, así
por ejemplo al ángulo COP del elipsoide le correspondería el C’O’P’. Esta
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
22
alteración angular es nula para el par formado por las direcciones principales y
sólo para ellas, salvo que la representación sea conforme, demostrándose que su
valor en función de los semiejes a y b es : )/()()'( 2 btgatgabtg ,
asimismo la máxima alteración )90'(,' UUUU viene dada por :
)/()( babasen , con abtgU /' y batgU / . En cuanto a la alteración
superficial, su magnitud es la siguiente: abdr
drbadSdS
2' .
Se observa que los semiejes de esta elipse indicatriz evidencian las
deformaciones del sistema de presentación elegido. Su cálculo basado en los
teoremas de Apolonio, parte de la determinación de los módulos de deformación
lineal a lo largo de los meridianos
221
gfEddE
h y del paralelo
22
cos1
cos
gfNdN
Gdk ; pasando por las expresiones
2222 bakh y abIkh cos (donde I es la diferencia entre el ángulo recto del
meridiano y paralelo del elipsoide y su homólogo en el plano), se llega finalmente
a las ecuaciones:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
23
222
cos11
cos11)(
g
Nff
Ngba (2.7)
222
cos11
cos11)(
f
Ngg
Nfba (2.8)
que permiten calcular los valores de los semiejes a y b, imágenes de las
direcciones principales.
Definición de variables y constantes:
elemento angular, ' módulo de deformación angular. máxima alteración angular.U dirección desde el eje X hasta el punto P (fig. 2.5).'U dirección desde el eje X hasta el punto P’.ds elemento superficial.
E elemento lineal sobre el paralelo = 22
yx
G elemento lineal sobre el meridiano = 22
yx
F elemento lineal en función de la latitud y longitud =
yyxx
xf = eje de las absisas.yg = eje de las ordenadas.M = Radio de curvatura de la elipse meridiana.
N Gran Normal.',,, eeba constantes del elipsoide de referencia.
r radio del paralelo de latitud h = deformación sobre el meridianok = deformación sobre el paralelo
latitud Isométrica.E = denominador de escala.K = factor de escalaKo = factor de escala en el meridiano central.
Arco de meridiano.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
24
2.2.4.1.- CAMPO DEL SISTEMA Y ESCALA
Se define el campo del sistema de representación como el dominio
sobre el que puede aplicarse sin que las anamorfosis inherentes al proceso
superen un valor determinado. Así por ejemplo si la representación es conforme
habrá que estudiar hasta qué extensión se puede considerar aplicada sin que las
deformaciones lineales excedieran de una constante previamente fijada. Dicho de
otra forma, si la denominada alteración lineal se fija en K’ = 1/2000 ese es el valor
que marca el campo del sistema, en el sentido de que si se proyecta una distancia
no se puede cometer una deformación superior a este valor. En general si la
escala del mapa, relación entre magnitud de éste y la correspondiente en el
terreno es E1 ; sobre su campo debe aplicarse K
EK
E11'1
, de ahí el nombre
de factor de escala. Si al efectuar una transformación se encuentra una
incertidumbre próxima a 1/2000 quiere decir que se está en el límite del campo de
aplicación. Normalmente la cifra fijada como tope es precisamente
200011'
2000110005.1 CCC KKK (2.9)
De forma que si en una determinada proyección el factor de escala lineal es mayor
de 1.0005, no es aplicable para representar el detalle estudiado (habrá que
alejarse poco del origen de coordenadas en el elipsoide, zona de tangencia en los
desarrollos).
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
25
Se observa que los elementos deformados, o los ejes de la elipse indicatriz
permiten conocer no solo las alteraciones que se producen en el entorno de un
punto sino comparar magnitudes lineales medidas en diferentes regiones del
mapa. La comparación de referencia suele hacerse entre líneas tales que una no
haya sufrido deformación (línea de secancia k=1) y otra sí. De forma que si E1 es
la escala general de la representación, ésta sólo se cumplirá para las líneas del
primer tipo ya que para las segundas, deformadas, la relación que hay que aplicar
sería KEE1
'1
, siendo K el módulo de deformación lineal, escala local y más
frecuentemente factor de escala y '
1E
la escala real de la representación por su
propia definición es función del punto, ,KK . Ejemplo: si a 1/25000 se miden
5cm y mcmE
K 5.1247524950
1'
1,002.1 y no 1250 m. A veces si la
superficie es grande se acompañan ábacos aclaratorios de la variación de la
escala.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
26
2.2.4.2.- CONDICIONES DE CONFORMIDAD
En aquellos casos en que los ejes de la elipse de Tissot son tales que en
todo punto a = b, es decir a un círculo elemental le corresponde otro como imagen,
ocurrirá que en cada punto la escala local es idéntica en todas las direcciones
(pero variable de un punto a otro). En consecuencia, la semejanza de figuras
manifiesta que la alteración angular sería nula y por tanto la representación
conservaría los ángulos. Esto significa (Figura 2.6) que si se consideran dos
curvas C1 y C2 del elipsoide, que admitan en P las tangentes T1 y T2 formando un
ángulo , su imagen en el plano serían dos curvas C’1 y C’2 que tendrían en P’ dos
tangentes T’1 y T’2 formando un ángulo tal que cualquiera que fuesen las curvas
consideradas, se tendría (Aclárese que simultáneamente no puede ocurrir
que 1 ba y ba (equivalencia y conformidad) en todo punto ya que ello
implicaría la conservación de las longitudes y ángulos y eso se sabe que es
imposible al tratarse de superficies no desarrollables).
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
27
Figura 2.6.- Conservación del ángulo al traspasarlo del elipsoide al plano.
Por la propia naturaleza de la proyección se desprende por tanto la
inconsecuencia de que la relación de longitudes ha de ser independiente de la
dirección considerada. Para llegar a las ecuaciones de conformidad se
transformará antes la expresión de K2 dada por
dNdMGddFdEd
2222
2
cos2
.
Como
dNMdtgcos
, dividiendo por
2
22222 cos
tgdMdN resultará que:
1cos
2
2
222
2
2
2
tgN
GdM
dFtgM
Etg
1coscos
2
2
222
2
2
2
tgN
GtgN
MMtgF
MEtg
1
2
2
2
2
2
2
2
tgrG
MrFtg
MEtg
K ; (r radio del paralelo de latitud )
Generalmente los valores de K2 variarán lógicamente según la dirección de
Las tangentes de ese ángulo correspondiente a los valores extremos de la
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
28
expresión anterior se determinarán resolviendo la ecuación de 2º grado obtenida
al igualar a cero su derivada con relación a
14201
22
2
22222222
rMF
rG
ME
MrF
rG
ME
tgtg
MrF
rG
ME
tgK
121 tgtg y 21 tgtg
MrF
rG
ME
22
Al comprobar la primera que las direcciones y correspondientes al máximo y
mínimo que se ocupa son rectangulares en la superficie elipsoidal; reemplazando
los valores 1tg y 2tg en la expresión de K2 se obtienen las magnitudes de los
semiejes a y b que como se sabe son también perpendiculares. Si la proyección
es conforme, se cumple que la deformación es independiente de la dirección
considerada y 222 baK , es decir que las raíces de la ecuación de 2º grado
serán de la forma 00 , o dicho de otra forma, como la ecuación ha de satisfacerse
cualquiera que sea el valor de
00222
rF
MrFtg
rG
MEtg
MrF
y 022
rG
ME , ó
22 r
GME y 0F
Las expresiones 222 cosN
GME
y 0F son las condiciones de
conformidad del sistema de representación empleado. A estas condiciones se
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
29
puede llegar de varias formas, en efecto si 0 baba , luego recordar que
ambos corchetes han de anularse al ser los dos positivos (elevados al cuadrado).
0cos11
cos11
222
f
Ng
Mg
Nf
Mba ( o que h = K , es decir,
la deformación sobre el meridiano igual a la del paralelo).
g
Nf
M cos11 y
f
Ng
M cos11 ecuaciones también conocidas
como de Cauchy Riemann; que en el caso de la Tierra esférica, N = M se
simplificarían adoptando la forma:
gf
cos1 y
fg
cos1 , con (R = 1).
Estas condiciones se pueden volver independientes de la forma del
meridiano haciendo intervenir una nueva variable, llamada latitud creciente
(esfera) o Isométrica (elipsoide) definida por la relación
dN
Mdcos
, es
decir, tal que el canevas de meridianos y paralelos así formados sea cuadrangular
paralelomeridiano ; efectivamente dd ya que si se hace dd , resulta
dNMddNMd coscos
(iguala el diferencial del meridiano al del
paralelo). En el caso de la esfera la expresión de esta latitud sería
ddcos
1 .
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
30
Resulta que
0 24cosLntgd , para el elipsoide se
obtendría
esenesenLneLntg
NMd
1
1224cos0
Para deducir las nuevas condiciones de conformidad se partirá de las
derivadas f y g respecto a a través de , teniendo:
gg
y
ff
, considerando la expresión de
coscos NMgg
NM
dd
y
cosNMff
,
sustituyendo las expresiones halladas para los dos primeros miembros resultaría:
coscos NMgf
NM
y
coscos NMfg
NM
gf
y
fg
entonces las nuevas ecuaciones de
conformidad serán:
gf
y
gg
La ecuación general de las proyecciones conformes se obtiene derivando
los dos miembros de las condiciones, con relación a en la primera y con relación
a en la segunda:
2
22
gf
, 2
22
gf por cumplirse la igualdad de Schwarz ( 2as
derivadas cruzadas) ggf 02
2
2
2
. Se trata de una ecuación en
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
31
derivadas parciales de segundo orden llamada de las funciones armónicas
cilíndricas o de Laplace que tiene por integral la función igigg 21
siendo 1g y 2g funciones arbitrarias e 1i , para la función f se obtiene una
fórmula análoga, pero las funciones que contienen estarán ligadas a 1g y 2g por
las ecuaciones de las condiciones de conformidad. Se tiene en definitiva que la
función f y g deben ser reales, la función 2g no puede ser arbitraria una vez
que haya fijado la 1g : si se elige para 1g una función real, 2g será la misma
función real; si 1g es imaginaria, 2g sería su conjugada.
Cabe destacar la utilidad de estas proyecciones conformes para la
geodesia, puesto que allí son básicos los cálculos en lo que intervienen los
ángulos siendo esa la causa que limita estudiar sólo este tipo. Ahora bien, aun en
este supuesto hay que aplicar una corrección sobre el plano, ya que si ABC es un
triángulo del elipsoide, sus tres geodésicas se transformarán en sendas curvas en
el plano. Se sabe que se conservan los ángulos de las tangentes y que para
aplicar las fórmulas de trigonometría plana hay que hallar el triángulo rectilíneo. De
forma que para cada dirección observada se deberá pasar de la curva
transformada plana de la geodésica a la cuerda correspondiente, esa reducción
depende de cada sistema siendo tal que la suma algebraica de las seis que hay
que aplicar será igual al exceso esférico del triángulo (se conservan los ángulos).
En resumen, las fórmulas de la representación plana deben permitir: pasar de las
coordenadas elipsoidales, geodésicas, a las planas recíprocamente, calcular la
escala de cada punto (alteración lineal) y calcular esa reducción a la cuerda.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
32
2.3.- PROYECCIÓN TRANSVERSAL DE MERCATOR (TM)
La representación plana del elipsoide es una necesidad desde el punto de
vista cartográfico y una comodidad bajo el prisma geodésico. En el primer aspecto,
la representación más fiel sería un globo homotético al terrestre.
Desgraciadamente para una representación detallada, a escala, sería necesario
un globo de grandes dimensiones con los inconvenientes consiguientes:
fabricación, almacenaje, consulta y transporte sobre el terreno como documento
de trabajo. Es por tanto evidente la ventaja sustancial de una imagen plana en
todos los supuestos.
El análisis del problema de la representación con el enfoque geodésico se
basa en los cálculos de coordenadas de puntos a partir de medidas realizadas
sobre el terreno. Aunque se sabe que teóricamente el problema está resuelto
realizando los cálculos sobre un elipsoide convencional, que se ajusta en gran
parte a la superficie terrestre sobre una cierta extensión. Es cierto que la
formulación del problema es enormemente complicada, siendo ese el origen de
que desde un primer momento se pensara en la simplificación que supone
transformar el elipsoide en esfera local (globo terráqueo) y usar las fórmulas de la
trigonometría esférica. Bajo esa misma línea de razonamiento se puede simplificar
más el problema si el elipsoide se representa sobre el plano, ya que el transporte
de coordenadas, con todos los cálculos necesarios, se realizaría con las fórmulas
clásicas de trigonometría plana.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
33
2.3.1.- GENERALIDADES
La representación TM, es la recomendada para países como Chile,
extendidos a lo largo de un meridiano, deriva de la proyección Gauss-Krüger. La
diferencia fundamental entre ambas proyecciones radica en que la Gauss-Krüger
concibe un cilindro transverso tangente a la esfera en un meridiano central, que
por no tener distorsión, tendrá un factor de escala igual a 1, por el contrario la
proyección TM concibe un cilindro secante al elipsoide con un meridiano central
cuyo factor de escala será distinto a la unidad.
La siguiente figura ilustra la proyección TM:
Figura 2.7.- Proyección Transversal de Mercator
Un sistema cilíndrico transverso conforme, utilizado para toda la superficie
de referencia, tiene el inconveniente de que a medida que se produce una
separación en longitud del meridiano central, las deformaciones aumentan,
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
34
llegando a alcanzar valores inadmisibles desde el punto de vista de la ingeniería,
tal y como se desprende de la siguiente figura:
Figura 2.8.- Deformación producida en la proyección a medida que se produce una separación en
longitud del meridiano central.
Para que la proyección TM cubra toda la superficie de referencia, se recurre
al artificio de subdividir el elipsoide de revolución, en husos (porción de la
superficie elipsoidal comprendida entre dos meridianos) de igual amplitud. En cada
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
35
huso se considerará un desarrollo cilíndrico conforme transverso, se tendrá por
tanto la cantidad de proyecciones necesarias de manera que se cubra la totalidad
del elipsoide, pero referida cada una al meridiano central del huso respectivo y al
Ecuador (Figura 2.9). dado que la superficie de referencia es una superficie de
revolución, las expresiones que resuelvan el paso directo e inverso de
transformación de coordenadas, los estudios de deformaciones, etc. Serán iguales
para cada uno de los husos, sin más que particularizar la longitud geodésica del
meridiano central correspondiente.
Figura 2.9.- Sistema de referencia para cada Huso
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
36
La proyección TM se define bajo las siguientes condiciones:
La proyección es conforme.
El plano de referencia donde se define el sistema rectangular es único para
todas las zonas.
Los errores causados por las deformaciones propias de la proyección no
exceden a una tolerancia dada.
La transformada del meridiano central de cada huso es una línea automecoica
(igual factor de escala K0 ). Esta condición, al ser el meridiano una geodésica
del elipsoide, convierte su transformada en una recta.
Las expresiones de transformación son las mismas para cualquier huso, pero
referidas al meridiano central de éste y siempre que se suponga una misma
superficie de referencia, un mismo elipsoide.
Para reducir las deformaciones en los extremos de cada huso se aplica el
artificio de Tissot, es por este motivo que el meridiano central de cada huso es
automecoico, ya que presenta un factor de escala constante en todos sus puntos
menor que 1. Esto se traduce en que el cilindro deja de ser tangente, como lo es
en la proyección Gauss-Krüger, para pasar a ser secante en la proyección TM.
Finalmente se recurre también al artificio de Tissot para reducir a la mitad las
alteraciones producidas en las zonas más alejadas del meridiano origen, se trata
por tanto de una ampliación continuada de la representación de Gauss.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
37
Por el hecho de que haya que utilizar diferentes husos en algunos casos,
habrá ciertas situaciones extremas, cuando se trabaja en el límite entre dos husos,
en que se planteará el problema de tener las coordenadas de la proyección en dos
sistemas distintos, uno para cada huso.
2.3.2.- CONVERSIÓN ANALÍTICA ENTRE COORDENADAS GEODÉSICAS Y
PLANAS
El problema de la transformación de coordenadas geodésicas a planas o a
la inversa puede enfocarse de un modo general haciendo intervenir el análisis de
la variable compleja. Efectivamente, se estudió (ver sección 2.2.4.2) que las
condiciones de conformidad establecían que:
fg (2.10) y
fg (2.11)
siendo ,fx e ,gy
= latitud isométrica =
0 cosNMd (2.12)
Identificando el par (x,y) con la imagen A’ del punto A del elipsoide a su vez
determinado por ( Ahora bien, en el estudio de la variable compleja se
demuestra que las anteriores condiciones de Cauchy Riemann, de igual nombre
en ese campo, son necesarias y suficientes para que las funciones g y f con
derivadas parciales continuas sean la parte real e imaginaria de una función
analítica (con derivada) de variable compleja i tal que:
igihh , zf , (2.13)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
38
En las regiones en que 0'h la transformación es biunívoca (si 0'h el
punto es singular), es decir, existirá otra función también compleja, H, que efectúe
la transformación en el sentido inverso, esto es:
iixyHzH (2.14)
En general se puede expresar que ihz , es una transformación
conforme que por medio de la función analítica h pasa del elipsoide al plano. Al
ser variable se puede desarrollar según la fórmula de Taylor:
...!2
, 2
22
dhdi
ddhihz n (2.15)
y separando la parte real de la imaginaria, se llega a:
...!4!2
,42
0 IVII hhhy (2.16)
...!5!3
53
VIIII hhhx (2.18)
Fórmulas generales de transformación, en donde las derivadas IIIIII hhh ,,
son funciones de la latitud isométrica o creciente (esfera). En la mayoría de los
casos se puede efectuar el truncamiento con precisión suficiente para las
necesidades geodésicas y máxima para las topográficas.
En su aplicación al sistema TM se partirá, por tanto, de las funciones
ixyhz ; izH definiéndolas por dos series enteras
de términos imaginarios cuyos coeficientes se deducirán a partir de la condición
impuesta al meridiano central del huso, alteración lineal nula (Figura 2.10). si la
longitud es 0 , se toma un punto O sobre el mismo y se hace 0 ,
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
39
0 , 0 y 0yyy se tendrá 0zzz y 0 , con lo
que las relaciones del sistema xiyhzhz y
xizH . Desarrollando en serie resultará:
...!3!2 3
33
2
22
d
zdd
zdddzhz (2.19)
...!3!2 3
33
2
22
dzdz
dzdz
dzdzzH
(2.20)
Figura 2.10.- Alteración nula en el MC
Haciendo intervenir sus partes reales e imaginarias de forma explícita
resultará:
...33
221 iaiaiaxiy (2.21)
...33
221 xiybxiybxiybi (2.22)
siendo: n
n
n idxiyd
na
!
1 (3.13) y n
n
n xiydid
nb
!1 (2.23)
o
O
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
40
Las propiedades de las funciones analíticas permiten obtener las derivadas
con independencia de la dirección considerada, de modo que si se deriva según el
meridiano con alteración lineal nula (K = 1): x = 0 e hy designada por , se
simplificarán ya que además 0 . Consecuentemente, siendo el arco de
meridiano sobre el elipsoide a partir del ecuador, resultan los coeficientes:
n
n
n
n
n dd
nidxiyd
na
!1
!1
(2.24), análogamente n
n
n dd
nb
!1
(2.25)
Ahora bien, teniendo en cuenta que: Mdd ,
cosNMdd y que
222 1cos'1 eMN , donde: cos'e
Se calcularán los coeficientes sucesivos mediante las expresiones
siguientes:
00
00
1 cos
cos
N
NMdMd
dda (2.26)
002
02 cos21
tgNa (2.27)
200
20
303 1cos
61
tgNa (2.28)
40
200
200
403 495cos
241
tgtgNa (2.29)
...5814185cos120
10
220
200
40
20
503 tgtgtgNa (2.30)
...3002705861cos7201
022
02
004
02
006
07 tgtgtgtgNa (2.31)
Análogamente los coeficientes nb serán:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
41
001 cos
1N
b (2.32)
02
0
02 cos2
N
tgb (2.33)
03
0
200
2
3 cos621
Ntgb
(2.34)
0
40
40
200
20
4 cos24465
Ntgtgb
(2.35)
0
50
200
2200
40
2
5 cos120...8624285
Ntgtgtgb
(2.36)
0
60
02
0022
004
02
6 cos720...484612018061
Ntgtgtgtgb
(2.37)
Estos desarrollos permitirán resolver con gran exactitud y de forma práctica,
programando las expresiones anteriores, las cuestiones básicas de toda
transformación:
Paso de coordenadas geodésicas a TM y viceversa.
Cálculo de la convergencia.
Escala local.
Reducción a la cuerda.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
42
2.3.3.- PROBLEMA DIRECTO. CONVERSIÓN DE COORDENADAS
GEODÉSICAS A TM
En efecto, si P es un punto del elipsoide ,P del que se desea conocer
sus coordenadas rectangulares x e y, para posteriormente obtener las
coordenadas norte y este. Se trazará por P el paralelo de latitud que cortará al
meridiano automecoico en R (figura 2.10).
Desplazando el origen hasta este punto se tendrá:
00 ; 00 y yyyyz rr 0
Si ahora se sustituyen estos valores en la expresión incremental de z;
...44
33
221 iaiaiaiaxiy (2.37)
como yy , ...66
44
22 aaay (2.38)
...55
331 aaax (2.39)
De manera que si se introduce en ellas los valores antes obtenidos para los
coeficientes, se obtendrán las fórmulas de transformación directa:
...5814185cos120
1cos6
cos
2224255
2233
tgtgtgN
tgNNx
(2.40)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
43
...330275861cos720
495cos24
cos2
2224266
42244
23
tgtgtgtgN
tgtgNtgNy
(2.41)
mS Arco de meridiano
Lógicamente la eliminación de entrega la ecuación de los meridianos y la
eliminación de la de los paralelos, sin embargo, su complejidad hace que el
trazado de esas curvas sea puntual.
Como eje de ordenadas se adopta la transformada del meridiano central del
huso y como eje de las abscisas la transformada del Ecuador geodésico (Figura
2.9). De esta horma, el origen del sistema de referencia de la proyección tendrá
por coordenadas geodésicas: 0º de latitud geodésica y de longitud geodésica; y
por coordenadas cartográficas un Falso Norte y un Falso Este asignados.
Cualquier otro punto del huso tendrá con respecto al mismo un incremento de
latitud y longitud geodésica.
De acuerdo a la definición del sistema de referencia sobre la proyección, es
evidente que:
Cualquier punto que tenga un incremento de longitud geodésica negativa,
estará al oeste del meridiano central del huso y por tanto le corresponderá una
coordenada x negativa .
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
44
Cualquier punto que tenga un incremento de latitud creciente negativa,
pertenecerá al hemisferio sur, por tanto, le corresponderá una coordenada y
negativa.
Finalmente, a partir de las coordenadas planas, se obtienen las
coordenadas Norte y Este en la proyección TM:
yKFNNorteTM 0 (2.42)
xKFEEsteTM 0 (2.43)
donde FN y FE son el Falso Norte y el Falso Este, adoptados para el Ecuador y el
meridiano central respectivamente.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
45
2.3.4.- FACTOR DE ESCALA
El factor de escala lineal introducido por una proyección en un punto se
define a partir de la relación entre la distancia sobre el plano de la proyección y
sobre la superficie de referencia, el elipsoide.
En cuanto a la escala local, resultará que si se adopta el factor de reducción
K0, la ecuación que se planteó en el meridiano automecoico (K = 1) variará
resultando 0Kyhy . Como la escala local es la relación entre los
elementos lineales del plano y del elipsoide, resultará:
2222
22
2
22 '
drdyMdydx
dSdSK
(2.44) (r = radio de curvatura del paralelo)
por el artificio de Tissot:
2222
2220
2
2202 '
drdyMdydxK
dSdSKK
(2.45) o bien,
1
1
22
2
2
2
20
2
rdMdr
dxdy
ddx
KK (2.46)
Si t es la orientación y c el acimut, se tiene:
rd
MdloArcoparale
anoArcomeridiggtdxdy
C cot,cot , sustituidos en la expresión anterior:
Cgg
drdx
KK
2
2
22
2
20
2
cot1cot1
t (2.47) o sea,
rsentdsen
ddx
KK C
0
(2.48)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
46
Como la transformación es conforme 0K
K es independiente del acimut C , de
modo que si dSC 2
paralelo constante. Y como
2
t
rddx
rddx
KK
sec
cos1
0
. Sustituyendo el valor de
...1cos2
cos 2232
tgNNddx
2222
tg1cos2
1
rddx pero ... sen
...12
1sec 222
sen
de manera que multiplicando ambas expresiones resulta:
2
2222
2
0 21cos
21 sentg
KK
, para así obtener K en función de
coordenadas geodésicas:
22
2
0 1cos2
1 KK (2.49)
Además, podrá hallarse la convergencia por medio de coordenadas planas
como:
cosNx
... ,
22
22
cosNx
2
2
2
0 12
1 NxKK (2.50)
De acuerdo a la definición del factor de escala su carácter es puntual.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
47
2.3.5.- DETERMINACIÓN DEL COEFICIENTE CORRESPONDIENTE AL
ARTIFICIO DE TISSOT
En principio, la proyección TM en un huso, coincide con la proyección de
Gauss-Krüger con un desarrollo cilíndrico transverso y conforme. De acuerdo a la
tangencia del cilindro con la superficie del elipsoide de revolución en un meridiano,
el central del huso, éste debería ser automecoico y con distorsión lineal nula en el
caso de la proyección Gauss-Krüger. Sin embargo, para disminuir las
deformaciones en los extremos del huso se aplica el artificio de Tissot,
obteniéndose así la proyección TM.
Geométricamente el artificio implica que el cilindro deja de ser tangente
para pasar a ser secante. La consecuencia es que aparecerán dos líneas con
distorsión lineal nula (k=1) en la proyección, al este y al oeste del meridiano
central, y el meridiano central continua siendo una línea automecoica pero con un
factor de escala distinto de la unidad.
Analíticamente implica que el factor de escala adopta una expresión del
tipo:
'0 KKK (2.51)
Para deducir el valor de KO se tendrá en cuenta que el artificio de Tissot
implica reducir a la mitad la deformación en los extremos del huso. El factor de
escala sin artificio de Tissot en los extremos del huso se puede expresar por:
1'K (2.52)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
48
Dando a Ko el valor
210
K , el factor de escala, aplicando el artificio de
Tissot en los extremos valdrá:
2
122
112
1'2
0
KKK (2.52)
Por tanto se reduce la deformación a la mitad en los extremos al pasar de
1 a
21
.
Dado que K’ para el meridiano central es igual a la unidad, el valor del factor de
escala tras aplicar el artificio de Tissot será el propio coeficiente Ko.
El valor de Ko se calcula a partir del valor de K’ para un incremento de
longitud . Pero además K’ es función de la latitud geodésica. Adoptando un
valor medio para el dominio de la proyección TM.
Este artificio tiene como consecuencia que las deformaciones sean nulas en
ciertas líneas que no coinciden exactamente con meridianos pero son próximas a
los meridianos de la siguiente figura:
Figura 2.11.- Líneas de secancia
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
49
2.3.6.- GEODÉSICAS TRANSFORMADAS SOBRE LA PROYECCIÓN
Dados dos puntos sobre el elipsoide y sus respectivas proyecciones sobre
el plano TM, la transformada de la geodésica que los une sobre el elipsoide no
coincide con la cuerda que los une sobre la proyección.
Sean dos puntos A y B situados al este del meridiano central del huso, si se
trazan los arcos S1 y S2 (correspondientes a sus geodésicas) simétricos respecto
de la cuerda AB.
- K1 será el factor de escala para los puntos de la geodésica S1.
- K2 será el factor de escala para los puntos de la geodésica S2.
Figura 2.12.- Transformada de la geodésica con la cuerda
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
50
Sabiendo que la línea geodésica debe tener una longitud mínima,
integrando a lo largo de S1 y S2 se tendrá:
B
A KdSS
11 (2.53)
B
A KdSS
22 (2.54)
como para todos los puntos de S1 (exceptuando A y B), se verifica 21 xx también
21 KK entonces:
21 SS
por lo tanto la geodésica correspondería al arco elipsoidal más pequeño S1, la cual
vuelve su concavidad hacia el meridiano central del huso (figura 2.13). La misma
demostración se puede aplicar para una geodésica situada al oeste del meridiano
central del huso.
Figura 2.13.- Concavidad hacia el meridiano central de la línea geodésica
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
51
Las líneas geodésicas que corten el meridiano central del huso, invertirán el
sentido de su curvatura a uno y otro lado del meridiano, sabiendo que dicha
curvatura es continua, observándose un punto de inflexión en el corte.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
52
2.4.- SISTEMAS DE INFORMACIÓN GEOGRÁFICA (SIG)
Los Sistemas de Información Geográfica son una herramienta esencial para
el análisis y toma de decisiones en muchas áreas vitales del desarrollo nacional,
por su capacidad de representar, integrar y modelar variables de interés al realizar
la planificación y gestión de un espacio geográfico. Para las dependencias
estatales es un instrumento que permite la planificación de la expansión de las
ciudades y el uso eficiente de la infraestructura de utilidades de servicios públicos
y el territorio, así como su administración.
En las instituciones de investigación y desarrollo, ayuda en el estudio de la
distribución y monitoreo de recursos, tanto naturales como humanos, así como en
la evaluación del impacto de las actividades humanas sobre el medio ambiente
natural. De esta forma puede ayudar en la planificación de actividades tendientes
a la preservación de los recursos naturales.
Recientemente el uso de SIG ha sido incorporado al desarrollo de
actividades del sector empresarial, permitiendo un manejo eficiente de los datos
de tendencia demográfica, estrategias de segmentación de mercado y distribución
de los productos entre otros.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
53
Algunos ejemplos específicos de la utilización del SIG son:
Creación de una cartografía de fácil actualización.
Planificación del área de siembra de cultivos y plantaciones forestales
basado en datos de usos potenciales y cobertura de la tierra actualizados
Facilitar el manejo de información catastral y demográfica
Manipulación y análisis de imágenes de sensores remotos para diversos
uso
Planificación de recursos naturales y evaluación y monitoreo del impacto de
actividades humanas en el ambiente
Distribución de recursos en zonas de desastres
Planificación de mercado de productos
etc.
Toda la ayuda que puede proveer un SIG depende enormemente de la
información que se tiene, es decir, de la base de datos disponible. La calidad de
esta base de datos y su contenido determinan la cantidad y calidad del resultado
obtenido en el SIG.
Es importante reconocer que el esfuerzo o inversión necesario para crear las
bases de datos necesarias y tener un SIG funcional y eficiente no es
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
54
necesariamente pequeño, ni tampoco es una sola inversión millonaria en los
equipos mas sofisticados y en los programas más caros. Es un esfuerzo continuo
por aumentar y mejorar los datos almacenados; es una búsqueda constante de la
forma más eficiente de hacer un trabajo de conversión de datos (por ej.
transformar mapas en papel a mapas digitales) y en hacerlo con un criterio de
control de calidad y bajo las normas estandarizadas por la comunidades de
usuarios de SIG a que se pertenece. Igualmente, es un entrenamiento constante
de todo el personal involucrado, desde los administradores hasta los técnicos, en
diversas áreas.
En otras palabras, un SIG no se compra, sino que se construye.
2.4.1.- GENERALIDADES
Un SIG es un sistema computarizado, consistente en la colección
organizada de equipos, programas, datos con atributos, datos georeferenciados y
personal. Todos estos trabajan en conjunto para el almacenamiento, análisis y
despliegue de información espacial asociada a una base de datos de atributos.
En un SIG se usan herramientas de gran capacidad de procesamiento
gráfico y alfanumérico, estas herramientas van dotadas de procedimientos y
aplicaciones para captura, almacenamiento, análisis y visualización de la
información geoespacial.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
55
La mayor utilidad de un sistema de información geográfico esta íntimamente
relacionada con la capacidad que posee éste de construir modelos o
representaciones del mundo real a partir de las bases de datos digitales, esto se
logra aplicando una serie de procedimientos específicos que generan aún más
información para el análisis, como lo son, por ejemplo, la unión de múltiples bases
de datos (join, links) con cartografía digital, obteniéndose como resultado datos
georeferenciados y enlazados.
La construcción de modelos o modelos de simulación como se llaman, se
convierte en una valiosa herramienta para analizar fenómenos que tengan relación
con tendencias y así poder lograr establecer los diferentes factores influyentes.
2.4.2. DIFERECIAS ENTRE SIG Y CAD
Los sistemas CAD se basan en la computación gráfica, que se concentra en
la representación y el manejo de información visual (líneas y puntos). Los SIG
requieren de un buen nivel de computación gráfica, pero un paquete exclusivo
para manejo gráfico no es suficiente para ejecutar las tareas que requiere un SIG
y no necesariamente un paquete gráfico constituye una buena base para
desarrollar un SIG.
El manejo de la información geoespacial requiere una estructura diferente
de la base de datos comunes, mayor volumen de almacenamiento y tecnología de
soporte lógico (software) que supere las capacidades funcionales gráficas
ofrecidas por las soluciones CAD.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
56
Los SIG y los CAD tienen mucho en común, dado que ambos manejan los
contextos de referencia espacial y topología. Las diferencias consisten en el
volumen y la diversidad de información, y la naturaleza especializada de los
métodos de análisis presentes en un SIG. Estas diferencias pueden ser tan
grandes, que un sistema eficiente para CAD puede no ser el apropiado para un
SIG y viceversa.
2.4.3.- DATOS
El 50% de un sistema de información geográfico lo componen sus datos.
Los datos geográficos y tabulares pueden ser adquiridos por quien implementa el
sistema de información, así como por terceros que ya los tienen disponibles. El
SIG integra los datos espaciales con otros recursos de datos y puede incluso
utilizar las plataformas de base de datos más comunes para manejar la
información geográfica.
Por lo tanto, debe contener la información que garantice el funcionamiento
analítico del SIG.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
57
2.4.4.- BASE DE DATOS CARTOGRÁFICA
La esencia de un SIG está constituida por una base de datos cartográfica.
Esta es, una colección de datos acerca de objetos localizados en una determinada
área de interés en la superficie de la Tierra, organizados en una forma tal que
puede servir eficientemente a una o varias aplicaciones. Una base de datos
cartográfica requiere de un conjunto de procedimientos que permitan hacer un
mantenimiento de ella tanto desde el punto de vista de su documentación como de
su administración. La eficiencia está determinada por los diversos tipos de datos
almacenados en diferentes estructuras. El vínculo entre estas estructuras se
obtiene mediante el campo clave que contiene el número identificador de los
elementos. Tal número identificador aparece tanto en los atributos gráficos como
en los no gráficos. Los atributos no gráficos son guardados en tablas y
manipulados por medio de un sistema manejador de bases de datos.
Los atributos gráficos son guardados en archivos y manejados por el
software de un sistema SIG. Los objetos geográficos son organizados por temas
de información, o capas de información, llamadas también niveles. Aunque los
puntos, líneas y polígonos pueden ser almacenados en niveles separados, lo que
permite la agrupación de la información en temas, son los atributos no gráficos los
elementos que simplemente son agrupados por lo que ellos representan. Así por
ejemplo, en una categoría dada, ríos y carreteras, aun siendo ambos objetos línea,
están almacenados en distintos niveles por cuanto sus atributos son diferentes.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
58
Los formatos estándar para un archivo de diseño son el formato celular o
RASTER y el formato tipo VECTOR, en el primero de ellos se define una grilla o
una malla de rectángulos o cuadrados a los que se les denomina células o
retículas, cada retícula posee información alfanumérica asociada que representa
las características de la zona o superficie geográfica que cubre, como ejemplos de
este formato se pueden citar la salida de un proceso de fotografía satelital, la
fotografía aérea es otro buen ejemplo.
De otro lado, el formato vectorial representa la información por medio de
pares ordenados de coordenadas, este ordenamiento da lugar a las entidades
universales con las que se representan los objetos gráficos, así: un punto se
representa mediante un par de coordenadas, una línea con dos pares de
coordenadas, un polígono como una serie de líneas y una área como un polígono
cerrado. A las diversas entidades universales, se les puede asignar atributos y
almacenar éstos en una base de datos descriptiva o alfanumérica para tales
propósitos.
2.5.- PROYECCIONES CARTOGRÁFICAS EN ARC VIEW
ArcView GIS es un software SIG de escritorio, que posee una
interfase gráfica de usuario que le permite cargar datos tabulares y espaciales
para que pueda desplegarlos en forma de mapas, tablas y gráficos. ArcView
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
59
provee las herramientas necesarias de consulta y de análisis de datos para luego
presentar sus resultados en mapas de alta calidad.
Los SIG de escritorio enlazan información a los elementos de un mapa, y
esta información que representa las características propias de un objeto se llama
atributos. Este enlace entre elementos de un mapa y los atributos es el principio
básico de un SIG y es también la fuente de su potencialidad. Los elementos del
mapa y los atributos están enlazados, permitiendo acceder a los atributos a través
del elemento o viceversa, también provee de herramientas para realizar análisis
espacial, geocodificar direcciones y desplegarlos en un mapa, crear y editar datos
tabulares, espaciales, generar mapas temáticos y crear mapas de salida.
2.5.1.- ELEGIR UNA PROYECCIÓN CARTOGRÁFICA
Las proyecciones cartográficas difieren entre sí en el modo en que utilizan
áreas , formas, distancias y orientación. Ninguna proyección puede ser fiel a la
totalidad de esas propiedades, aunque se pueden conservar algunas
combinaciones, como área y orientación. En la construcción de un mapa, se
puede decidir cuál de las propiedades es más importante para sus necesidades y
escoger una proyección que conserve esa propiedad. ArcView brinda una amplia
gama de proyecciones para elegir.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
60
Si las coordenadas están expresadas en unidades curvilíneas, de latitud y
longitud, como grados, implica que estos valores no obedecen a ninguna
proyección, por consiguiente pueden ser transformadas o proyectadas en
cualquiera de las proyecciones consideradas en ArcView.
Si los datos espaciales están expresados en unidades lineales planas,
significa que obedecen a una proyección, en cuyo caso se debe disponer de la
información sobre ella, de otro modo nunca podrán ser transformados. No se
podrán visualizar en una proyección distinta desde ArcView, a menos que se
transformen sus datos originales (metadatos) con otra aplicación (extensión que
se puede cargar al programa).
No es imprescindible elegir una proyección cartográfica, porque se puede
trabajar en ArcView en unidades curvilíneas decimales sin especificar ninguna
proyección. ArcView trazará la vista tratando simplemente la longitud y la latitud
como coordenadas planas x,y, asociando las coordenadas curvilíneas a
coordenadas cartesianas, provocando deformaciones que no obedecen a ninguna
proyección cartográfica definida.
Es importante conocer las unidades expresadas por las coordenadas, para
de esta forma, determinar si se trata de una proyección.
ArcView trata con coordenadas planas, por lo que no comprueba en qué
proyección cartográfica están los datos cuando añade un tema, lo cual permitirá
añadir elementos a una vista incluso si la fuente de los datos utiliza distintas
proyecciones. Sin embargo, esos elementos no saldrán correctamente alineados y
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
61
se obtendrán resultados erróneos si se llevan a cabo consultas y análisis. Hay una
única excepción. Si la vista contiene imágenes o cuadrículas proyectadas, se le
pueden añadir datos espaciales en grados decimales y definirle la misma
proyección utilizada por la imagen o cuadrícula, de modo que sea posible alinear
los datos en grados decimales con los datos de la imagen trama. Las imágenes y
cuadrículas no se muestran según el tipo de proyección que se ha elegido para
una vista. Es necesario conocer entonces los datos específicos de grilla y datum
de cada tema, los llamados Metadatos o el dato del dato.
El termino "Metadato" significa un documento que describe el contenido,
calidad, condición y otras características de un dato (geoespacial). En esencia, los
metadatos intentan responder a las preguntas quién, que, cuando, donde, porqué
y cómo, sobre cada una de las facetas relativas a los datos que se documentan.
Una definición más ilustrativa de un metadato es “La suma total de lo que puede
decirse sobre cualquier objeto de información en cualquier nivel de agregación”
(Gilliland 2000). Se entiende por objeto de información a un elemento o conjunto
de elementos digitales que, independientemente de su tipo o formato, pueden ser
referenciados o manipulados como un objeto único por medio de una
computadora.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
62
CAPÍTULO 3.- DESARROLLO
3.1.- SISTEMA NACIONAL TRANSVERSAL DE MERCATOR (NTM)
Una de las formas más comunes para representar grandes áreas de terreno
que abarquen más de un huso UTM, es su representación a través de
coordenadas geográficas, mejor denominadas geodésicas, por ser referidas al
elipsoide. En el caso de Chile, generalmente se usa este tipo de representación
para mostrar el territorio de manera integrada, con los problemas que ello
conlleva. Para trabajar con coordenadas planas UTM a lo largo de todo Chile, la
solución más común es ampliar un huso, hecho que provoca el aumento en la
distorsión lineal a medida que se aleja de la intersección elipsoide/cilindro (líneas
de secancia), hacia los bordes. Bajo este contexto se propone una proyección TM
denominada en el presente trabajo TM Nacional o NTM, como una solución
integral para tener una visión general del territorio chileno y un aporte al área de la
geodesia y la cartografía.
Este capítulo por su parte muestra los temas específicos asociados a la
aplicación de la Proyección Nacional Transversal de Mercator.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
63
3.2.- GENERALIDADES DE LA PROYECCIÓN NTM
La proyección NTM, es una proyección de tipo Transversal de Mercator-TM,
es un sistema cilíndrico transverso conforme, al que se le han impuesto ciertos
parámetros específicos con el propósito de crear cartografía regional y nacional.
Como se estudió en el capítulo de Proyección TM, es sabido que en la
medida que se produce un alejamiento en sentido este-oeste (longitud) desde las
líneas de secancia, aumentan las deformaciones causadas por los problemas
propios de la proyección, más aun si se pretende extender el huso más allá del
límite, como sería el caso de extender el huso 19 al 18, alejándose mucho más del
meridiano central. A raíz de ello se ha determinado una cobertura en sentido este-
oeste, para el huso NTM de 8º, cuatro grados a cada lado del meridiano central, y
así lograr abarcar a todo Chile continental, por lo que el meridiano central será el
meridiano –71º. En base a esto se determinó un factor de escala en el meridiano
central de K0 = 0.99928, con una precisión de1:1388,889
En la proyección NTM, por ser el factor de escala menor que 0.9996, las
líneas de secancia estarán más alejadas del meridiano central (aproximadamente
a 2º9’36”) que en la proyección UTM (aproximadamente 1º37’).
Las coordenadas NTM podrán ser transformadas al sistema UTM y
viceversa con el fin de relacionar proyectos que estén en distintos sistemas, a
través de su relación con las coordenadas geodésicas, con las fórmulas
estudiadas, mediante programas de transformación de coordenadas
especialmente diseñados para este fin o realizando sencillas modificaciones a los
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
64
programas que se encuentran actualmente en uso, según parámetros particulares,
todo esto con el propósito de unificar datos para relacionar distintos proyectos.
3.3.- PARAMETROS PARTICULARES PARA LA PROYECCIÓN NTM
3.3.1.- FALSO ESTE NACIONAL(FEN)
Un huso NTM siempre comprende una región cuya distancia horizontal, en
dirección este-oeste, es siempre inferior a 900 km, por eso se adoptó como origen
de coordenadas Este en la proyección NTM, el valor de 700.000m. Esto significa
que los extremos del huso tomaran como valores mínimo 256.000m y máximo
1.144.000m aproximadamente para los extremos izquierdo y derecho
respectivamente, ya que 1º de longitud equivale a una distancia aproximada de
111km en el Ecuador, y se hace menor conforme aumenta la latitud hacia ambos
polos. De esta manera se está dando un Falso Origen o un FALSO ESTE
NACIONAL. Se pretende así que nunca se usen valores negativos de
coordenadas NTM. Así: FEN=700.000 metros.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
65
3.3.2.- FALSO NORTE NACIONAL(FNN)
En este caso se decidió que el Falso Origen de las coordenadas NTM, o
sea como FALSO NORTE NACIONAL tome el valor 7.000.000m suficiente para
cubrir el territorio nacional continental, que es la zona que interesa. El origen por lo
tanto estará en el Ecuador, así:
FNN=7.000.000 metros.
Se puede mencionar, a modo de comparación, los valores de los sistemas
UTM y LTM (local) de uso en ingeniería (ver tabla 3.0).
Tabla 3.0.- Valores para las distintas proyecciones TM
Proyección Falso Norte Falso Este Ko
UTM 10.000.000 m 500.000 m 0,9996
LTM 7.000.000 m 200.000 m 0,999995
NTM 7.000.000 m 700.000 m 0,99928
3.3.3.- FACTOR DE ESCALA DEL MERIDIANO CENTRAL (K0)
Como se estudió anteriormente ( ver sección 2.3.4), se recurrió al artificio
de Tissot para reducir las deformaciones en los extremos de los husos, de esta
forma el meridiano central pasó de tener un valor igual a 1 (Gauss-Krüger) a un
valor de 0,9996 (UTM). Esto se tradujo en que el cilindro dejó de ser tangente para
pasar a ser secante. Sin embargo, aún cuando se modificó el valor del factor de
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
66
escala la proyección no dejó de ser una proyección del tipo TM, es decir, mantuvo
las cualidades inherentes a este tipo de proyección.
Lo anteriormente expuesto deja abierta la posibilidad de utilizar una
proyección Regional o Nacional para proyectos que abarquen dos o más husos
UTM, utilizando un cilindro secante, con la diferencia de calcular un factor de
escala apropiado para el meridiano central u origen de la zona de interés.
Por lo tanto, aumentando la cobertura del huso a 8º en sentido longitudinal
y con una adecuada elección del factor de escala del origen del sistema K0, se
pretende crear una proyección que sea utilizable solamente en el problema en
estudio.
Como se estudió anteriormente (sección 2.3.5), el factor de escala adopta
una expresión del tipo:
'0 KKK
22
2
0 1cos2
1 KK
donde cos'e
reemplazando,
2222
0 cos'1cos2
1 eKK (3.1)
Para deducir el valor de KO se tendrá en cuenta que el artificio de
Tissot implica reducir a la mitad la deformación en los extremos del huso. El factor
de escala sin artificio de Tissot en los extremos del huso se puede expresar por:
1' º4K
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
67
Dando a Ko el valor
210
K , el factor de escala, aplicando el
artificio de Tissot en los extremos valdrá:
2
122
112
1'2
º40º4
KKK
Por tanto se reduce la deformación a la mitad en los extremos al
pasar de 1 a
21 .
Dado que K’ para el meridiano central es igual a la unidad, el valor del factor
de escala tras aplicar el artificio de Tissot será el propio coeficiente Ko.
El valor de Ko se calcula a partir del valor de K’ para un incremento de
longitud = 4º, pero además K’ es función de la latitud geodésica, adoptando un
valor medio para el dominio de la proyección NTM, es decir, º/2 = 40º, se
tendrá finalmente:
001436,11cos'1cos2
1' 2222
40,4
ek oo entonces:
001436,0
99928,01390
110007178,012
10 k
Este artificio tiene como consecuencia que las deformaciones sean nulas en
ciertas líneas llamadas de secancia, que no coinciden exactamente con
meridianos pero son próximas a los meridianos como se ilustra en la figura (3.1).
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
68
Figura 3.1 Líneas de secancia en el nuevo huso
Lineas de SecanciaBorde del Huso
Mínima deformación
Meridiano Central del Huso
Mínima deformación
Borde del Huso
Chile
Paises
Secancia_husoMBN
+2°9'
-2°9'
500 0 500 1000 Kilometers
N
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
69
El valor del factor de escala en la proyección NTM (Figura 3.2 ), estará
definido numéricamente por lo siguiente:
K0 = 0,99928, en el meridiano central;
0,99928< K<1, entre las líneas de secancia;
K>1, fuera de las líneas de secancia.
Resumiendo los parámetros particulares para la proyección NTM son los
siguientes:
Tabla 3.1 Parámetros para la proyección NTM
Meridiano Central -71º
Factor de escala en el MC 0,99928
Falso Norte en el Ecuador (FNN) 7.000.000 m
Falso Este en el MC (FEN) 700.000 m
Figura 3.2 Valores de K en el cilindro de proyección para el Ecuador.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
70
3.4 FÓRMULAS PARA LA PROYECCIÓN NTM
Las fórmulas particulares para la proyección NTM, serán las mismas que se
determinaron para la proyección TM, estudiadas en la sección 2.3: Proyección
Transversal de Mercator, individualizando los parámetros específicos
determinados en el punto anterior para la NTM.
3.5.- DETERMINACIÓN DE LA VARIACIÓN DE LA DISTORCIÓN LINEAL
La variación de la distorsión lineal se debe calcular a través de todo el huso,
en sentido Este Oeste y Norte Sur, es decir , cómo varía el factor de escala y se
distribuye simétricamente a cada lado del meridiano central.
El objetivo es determinar la máxima deformación lineal producida en el
huso, expresada en porcentaje y metros por kilómetro, así como la media y la
desviación estándar como análisis estadístico y comparativo. Además, el valor del
factor de escala K, es el que se utilizará para reducir distancias elipsoidales a
distancias en la proyección NTM.
3.5.1 PROBLEMA DIRECTO
A las distancias geométricas obtenidas en campo, han de aplicarse las
correcciones oportunas para su paso al elipsoide. Una vez obtenidas estas
distancias es preciso aplicarles una última corrección para su reducción a la
proyección NTM. A esta corrección se le denomina factor de escala y se
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
71
representa por la letra k y representa la relación de escala, en un punto, entre una
distancia en el elipsoide y la misma proyectada en el plano NTM.
La distancia que se utilizará en la proyección será, la que se tenía en el
elipsoide, multiplicada por este factor k. La deducción de las fórmulas
correspondientes se pueden encontrar en el capítulo sobre proyección TM.
ELIPSOIDALNTM DkD (3.2)
La obtención del factor k de escala se puede deducir a partir de las
coordenadas geodésicas o a partir de las coordenadas planas. Para este cálculo
se utilizarán las fórmulas del Modelo Matemático Genérico de los Sistemas TM
presentado en el volumen n°2 del Manual de Carreteras.
Parámetros relacionados al elipsoide:
a : semi-eje menor del elipsoide.
f : achatamiento del elipsoide.
)1( fab ;b
ac2
; 2
222 )('
bbae
222 cos'1 eV
3VcM ;
VcN
23 cos)(
VVVcR
2VcNMR ; cos NP
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
72
Con:
b: semieje menor.
e’: 2a excentricidad.
M: radio de curvatura de la sección meridiana.
N: Gran Normal.
R: radio de curvatura de la sección normal de acimut .
R: radio medio.
3.5.1.1 Factor k en función de las coordenadas geodésicas
Cuando se conocen las geodésicas la fórmula correspondiente es
)1( 410
280 aaKK (3.3)
)cos'1(cos21 222
8 ea
)cos'42cos)'289(4(cos241 42222
10 eea
donde:
K0 = 0,99928
( coordenadas geodésicas del punto.
longitud del Meridiano Central = -71°
Ejemplo
Se calculará la distancia reducida a la proyección NTM partiendo de un
vértice de coordenadas:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
73
Nombre: Arica
Datum: WGS – 84
Elipsoide: WGS – 84
Latitud: -18°28’50,4233’’
Longitud: -70°19’55,5468’’
Siendo la distancia en el elipsoide de 5.850 m, y que se quiere reducir a la
proyección NTM.
Se calculará entonces
19’55,5468’’
a8 = 0,452486923
a10 = 0,155728566
por lo tanto K = 0,99934145
obteniendo como distancia en la proyección
mDNTM 15,846.599934,0850.5
esto significa una variación de –0,6585 metros por kilómetro ( 1000199934,0 ).
También se puede utilizar la fórmula (3.1):
22
2
0 1cos2
1 KK
con cos'e ,
para el caso anterior, K = 0,99934144, variando minimamente en el 8vo decimal.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
74
3.5.1.2 Factor k en función de las coordenadas planas
Si se dan coordenadas planas en lugar de geodésicas, la fórmula a emplear
es
410
280 1 XbXbKK (3.4)
28 21R
b
122
410 cos'4124
1e
Rb
Con:
latitud aproximada correspondiente al arco meridiano B (en radianes).
18011
RY
0KFEEX
0KFNNY
Ejemplo:
Considerando el mismo problema anterior, en que se conoce la distancia de
5.850 m, pero se partirá del conocimiento de las coordenadas NTM del vértice.
Dichas coordenadas son:
Norte = 4.957.157,22 m
Este = 770.490,70 m
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
75
Se obtendrán los siguientes valores:
X = 70.541,49
Y = -2.044.314,68
18°24,6’
luego,
b8 = 1,23571E-14
b10 = 2,60671E-29
por lo tanto K = 0,99934145
obteniendo como distancia en la proyección
mDNTM 15,846.599934,0850.5
Los cálculos mostrados se utilizan para distancias menores de 100 km. Para
distancias mayores, el factor de escala se obtiene de la siguiente expresión:
BMA kkkk141
611 (3.5)
siendo kA y kB los factores correspondientes a los extremos del lado, y kM el
correspondiente a su punto medio.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
76
3.5.2 PROBLEMA INVERSO
El problema que se ha analizado para pasar de las distancia geodésica
(sobre el elipsoide) a la proyección, permite resolver el problema inverso con las
mimas fórmulas, es decir, la distancia sobre el elipsoide se obtiene a partir de la
distancia plana dividida por el factor K, por lo tanto:
KDD NTM
ELIPSOIDAL (3.6)
Se podrían deducir distancias planas NTM a partir de distancias planas
UTM. Bastaría con reemplazar en (3.6) el valor de la distancia elipsoidal por su
homóloga en función de la distancia UTM:
NTM
NTM
UTM
UTM
KD
KD
luego, UTMUTM
NTMNTM D
KKD (3.7)
teóricamente se podría calcular conociendo los valores de K en ambos sistemas,
para u mismo punto o línea.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
77
3.5.3 ESTUDIO DE LAS DEFORMACIONES EN EL SISTEMA
La mínima deformación se alcanza cuando el factor K es igual a 1, crece
hacia los bordes del huso, k > 1, y hacia el meridiano central, K < 1. La máxima
deformación se determina calculando K en el Ecuador con los siguientes valores
de entrada:
04710
por lo tanto K = 1,001737, lo que representa una deformación de 1,7367 m/km.
Cabe recordar que en el meridiano central, K = K0 = 0,99928, la deformación
alcanzará –0,7200 m/km.
Será fácil calcular, para una cierta latitud, la longitud en la que la
deformación es mínima, k = 1. Bastará en (3.1) o (3.3) sustituir K en el primer
miembro por 1 y despejar para luego determinar Se obtendrán las siguientes
expresiones:
Para (3.1)
42202
4222
0
2222
0
cos'cos
112
cos'cos112
cos'1cos2
11
eK
eK
eK
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
78
422
0
0
cos'cos
12
eK
K
(3.8)
Para (3.3)
410
28
0
410
280
11
)1(1
aaK
aaK
0
028
410
1K
Kaa (3.9)
La resolución de la expresión (3.8) resultará bastante sencilla para cualquier
valor de , bastará con calcular la raíz de un determinado valor. En cambio la
expresión (3.9) es un polinomio de 4° grado, con lo que se obtendrán valores en el
conjunto de los números imaginarios.
Por ejemplo, se determinará el valor de para la mínima deformación en el
Ecuador:
K = 1
10cos0
entonces, para (3.9)
20
0
'1
12
eK
K
, con K0 = 0,99928 (3.10)
40.03783372 radianes /
180
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
79
09,6'22,167713
ahora tendrá los siguientes valores al Este y Oeste del MC:
49,8'-68E
09,6'-73O
Para (3.10)
a8 = 0.503369748
a10 = 0.212264706
reemplazando:
99928,099928,015,02,0 24
(3.11)
se obtienen 4 soluciones complejas en la que la parte real de las dos primeras
coinciden con las soluciones obtenidas de (3.10). Entonces la mínima deformación
se alcanza en los meridianos simétricos próximos a 09,6'2 en el Ecuador.
Se puede observar y analizar gráficamente cómo varía a través de la
latitud manteniendo K = 1, es decir las líneas de secancia. Bastaría con graficar
(3.8) en los límites correspondientes al estudio (0°, -80°).
(3.8) es una función (y = f(x)) de la forma x
ycos
1 . Al graficar, con los valores
correspondientes a la latitud, se obtiene la siguiente gráfica:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
80
Variación de con K = 1
-15
-10
-5
0
5
10
15
0 -10 -20 -30 -40 -50 -60 -70 -80
Latitud
f(fi)
-f(fi)
Gráfico 3.1 Variación de en función de con K = 1
Se obtiene como valor máximo 31,2'1212.52408)80( f .
A continuación se presentan los valores obtenidos:
Tabla 3.2 Valores de longitud en el huso para las líneas de secancia
° ' al Oeste
del MC al Este del
MC0 2.167713 -2.167713 2°.09',6 -73°.09',6 -68°.49',8-5 2.176048 -2.176048 2°.10',2 -73°.10',2 -68°.49',2-10 2.201375 -2.201375 2°.12',0 -73°.12',0 -68°.47',4-15 2.244685 -2.244685 2°.14',4 -73°.14',4 -68°.45',0-20 2.307735 -2.307735 2°.18',0 -73°.18',0 -68°.41',4-25 2.393238 -2.393238 2°.23',4 -73°.23',4 -68°.36',0-30 2.505156 -2.505156 2°.30',0 -73°.30',0 -68°.29',4-35 2.649208 -2.649208 2°.38',4 -73°.38',4 -68°.21',0-40 2.833670 -2.833670 2°.49',8 -73°.49',8 -68°.09',6-45 3.070752 -3.070752 3°.04',2 -74°.04',2 -67°.55',2-50 3.379006 -3.379006 3°.22',2 -74°.22',2 -67°.37',2-55 3.787809 -3.787809 3°.46',8 -74°.46',8 -67°.12',6-60 4.346350 -4.346350 4°.20',4 -75°.20',4 -66°.39',0-65 5.143406 -5.143406 5°.08',4 -76°.08',4 -65°.51',0-70 6.356784 -6.356784 6°.21',0 -77°.21',0 -64°.38',4-75 8.401678 -8.401678 8°.24',0 -79°.24',0 -62°.35',4-80 12.524083 -12.524083 12°.31',2 -83°.31',2 -58°.28',2
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
81
0.998000.998500.999000.999501.000001.000501.001001.001501.00200
-71.
0-7
1.5
-72.
0-7
2.5
-73.
0-7
3.5
-74.
0-7
4.5
-75.
0
Longitud
K
K con respectoal MC
También se puede observar cómo varía K en el Ecuador a medida que se
aleja del MC. En este caso se utilizará la expresión (3.1) con = 0°,
reemplazando queda:
2
2
'12
199928,0 eK (3.13)
se obtiene K en función de que al graficar se ve de la siguiente forma:
Gráfico 3.2 Variación de K al alejarse del MC
Se observa que K tiene un crecimiento parabólico a medida que se aleja del MC.
Los valores de K obtenidos son los siguientes:
Tabla 3.3 Valores de K en el Ecuador
K-71.0 0.0 0.99928-71.5 -0.5 0.99932-72.0 -1.0 0.99943-72.5 -1.5 0.99962-73.0 -2.0 0.99989-73.5 -2.5 1.00024-74.0 -3.0 1.00066-74.5 -3.5 1.00116-75.0 -4.0 1.00173
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
82
K en el borde del huso
0.99800
0.99900
1.00000
1.00100
1.00200
0°
-10°
-20°
-30°
-40°
-50°
-60°
-70°
-80°
Latitud
K
K en el bordedel huso
Cabe mencionar que los valores de K al Este del MC son los mismos.
Otro elemento a observar es la variación de K a medida que se aleja del
Ecuador en un mismo meridiano, es decir, con constante. Para el estudio se
utilizará = -4°, o sea, en el borde del huso. Se obtiene la siguiente expresión:
222 cos'1cos8199928,0 eK (3.14)
con K en función de . La gráfica resultante es:
Gráfico 3.3 K en función de en el borde del huso
En este caso K tiene el comportamiento de una función cos2, alcanzando
un máximo y un mínimo según sea el ángulo, en este caso acotado al hemisferio
Sur. Máximo con mínimo con Los datos obtenidos son los
siguientes:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
83
Tabla 3.4 Valores de K en los bordes del huso
cos2 K0 1.00000000 1.0017316-5 0.99240388 1.0017129
-10 0.96984631 1.0016572-15 0.93301270 1.0015663-20 0.88302222 1.0014431-25 0.82139380 1.0012913-30 0.75000000 1.0011156-35 0.67101007 1.0009214-40 0.58682409 1.0007147-45 0.50000000 1.0005017-50 0.41317591 1.0002890-55 0.32898993 1.0000829-60 0.25000000 0.9998898-65 0.17860620 0.9997155-70 0.11697778 0.9995651-75 0.06698730 0.9994432-80 0.03015369 0.9993534
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
84
-75.
0°-7
4.0°
-73.
0°-7
2.0°
-71.
0°-7
0.0°
-69.
0°-6
8.0°
-67.
0°
-80-60
-40-20
0
0.9980000.9985000.999000
0.999500
1.000000
1.000500
1.001000
1.001500
1.002000
K
Longitud
Latitud
Variación de K en función de y
1.001500-1.0020001.001000-1.0015001.000500-1.0010001.000000-1.0005000.999500-1.0000000.999000-0.9995000.998500-0.9990000.998000-0.998500
Anteriormente se vio como varía K en función de y de en forma
independiente, manteniendo fija una de las dos, pero ¿cómo se aprecia en
conjunto?, es decir, graficando K en función de y Para ello se utilizará
nuevamente la fórmula (3.1), función de dos variables independientes, que al ser
graficada se puede interpretar como una superficie en el espacio. En este caso
el dominio de K estará acotado a latitudes del hemisferio Sur (0°, -80°) y a
longitudes dentro del huso (-75°, -67°), obteniendo el siguiente gráfico:
Gráfico 3.4 Variación de K en función y Con los siguientes valores estadísticos:
Tabla 3.5 Valores estadísticos para K en el husomax 0.1730% 1.001737 1.7367 m/kmmin -0.0720% 0.999280 -0.7200 m/km
Promedio 0.999792948 -0.0207% -0.2071 m/km
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
85
Los valores de K obtenidos para el sentido Oeste del MC son los siguientes:
Tabla 3.6 Valores de K en función de y
Cabe recordar que las deformaciones son simétricas a ambos lados del MC. Esto
se puede observar en el gráfico (3.4).
-75.0 -74.5 -74.0 -73.5 -73.0 -72.5 -72.0 -71.5 -71.0
-80 0.999353 0.999336 0.999321 0.999309 0.999298 0.999290 0.999285 0.999281 0.999280
-75 0.999443 0.999405 0.999372 0.999344 0.999321 0.999303 0.999290 0.999283 0.999280
-70 0.999565 0.999498 0.999440 0.999391 0.999351 0.999320 0.999298 0.999284 0.999280
-65 0.999715 0.999613 0.999525 0.999450 0.999389 0.999341 0.999307 0.999287 0.999280
-60 0.999889 0.999747 0.999623 0.999518 0.999432 0.999366 0.999318 0.999290 0.999280
-55 1.000083 0.999895 0.999732 0.999594 0.999481 0.999393 0.999330 0.999293 0.999280
-50 1.000289 1.000052 0.999848 0.999674 0.999532 0.999422 0.999343 0.999296 0.999280
-45 1.000502 1.000216 0.999967 0.999757 0.999585 0.999452 0.999356 0.999299 0.999280
-40 1.000715 1.000379 1.000087 0.999841 0.999639 0.999482 0.999370 0.999302 0.999280
-35 1.000923 1.000538 1.000204 0.999921 0.999690 0.999511 0.999383 0.999306 0.999280
-30 1.001118 1.000687 1.000313 0.999997 0.999739 0.999538 0.999395 0.999309 0.999280
-25 1.001294 1.000822 1.000412 1.000066 0.999783 0.999563 0.999406 0.999311 0.999280
-20 1.001447 1.000938 1.000498 1.000126 0.999821 0.999584 0.999415 0.999314 0.999280
-15 1.001571 1.001033 1.000567 1.000174 0.999852 0.999602 0.999423 0.999316 0.999280
-10 1.001662 1.001103 1.000619 1.000209 0.999875 0.999614 0.999429 0.999317 0.999280
-5 1.001718 1.001146 1.000650 1.000231 0.999889 0.999622 0.999432 0.999318 0.999280
0 1.001737 1.001160 1.000661 1.000238 0.999893 0.999625 0.999433 0.999318 0.999280
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
86
-72.
0
-71.
0
-70.
0
-69.
0
-68.
0
-67.
0
-66.
0
-56-47
-38-29
-20
0.9988000.9990000.9992000.9994000.9996000.9998001.0000001.0002001.0004001.000600
1.0008001.001000
K
Longitud
Latitud
1.000800-1.0010001.000600-1.0008001.000400-1.0006001.000200-1.0004001.000000-1.0002000.999800-1.0000000.999600-0.9998000.999400-0.9996000.999200-0.9994000.999000-0.9992000.998800-0.999000
3.5.3.- COMPARACION DE DEFORMACIONES ENTRE SISTEMAS
Obtenidos los valores de las deformaciones, será necesaria su comparación
con las de la proyección UTM, en los husos correspondientes y con un huso
extendido, solución utilizada actualmente para proyectar el territorio nacional
integradamente. Esto con el fin de evaluar la efectividad de la solución planteada.
Para esta comparación se utilizarán las mimas fórmulas y procedimientos
vistos en la sección anterior anterior, pero el dominio de K estará en los límites de
coordenadas geodésicas para Chile continental.
3.5.3.1 Valores para la proyección UTM
HUSO 19:
Gráfico 3.4 Variación de K para el huso 19
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
87
-75.
0
-74.
0
-73.
0
-72.
0
-71.
0
-70.
0
-69.
0
-68.
0
-67.
0
-56-47
-38-29
-20
0.997000
0.998000
0.999000
1.000000
1.001000
1.002000
1.003000
1.004000
1.005000
K
Longitud
Latitud
1.004000-1.0050001.003000-1.0040001.002000-1.0030001.001000-1.0020001.000000-1.0010000.999000-1.0000000.998000-0.9990000.997000-0.998000
Valores estadísticos:
Tabla 3.7 Valores estadísticos de K para el huso 19Factor de Escala Distorsión lineal % m/kmmax 1.000862 0.0862 0.8621min 0.999600 -0.0400 -0.4000Promedio 0.999939 -0.0061 -0.0607
HUSO 19 EXTENDIDO:
Gráfico 3.5 Variación de K para el huso 19 extendidoValores estadísticos:
Tabla 3.8 Valores estadísticos de K para el huso 19 extendido
Factor de Escala Distorcion lineal % m/kmmax 1.0047 0.4663 4.6631min 0.9996 -0.0400 -0.4000Promedio 1.0006 0.0570 0.5702
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
88
-75.
0
-74.
0
-73.
0
-72.
0
-71.
0
-70.
0
-69.
0
-68.
0
-67.
0-56
-47-38
-29-20
0.994000
0.996000
0.998000
1.000000
1.002000
1.004000
1.006000
1.008000
1.010000
K
Longitud
Latitud
1.008000-1.0100001.006000-1.0080001.004000-1.0060001.002000-1.0040001.000000-1.0020000.998000-1.0000000.996000-0.9980000.994000-0.996000
HUSO 18 EXTENDIDO
Gráfico 3.6 Variación de K para el huso 18 extendido
Valores estadísticos
Tabla 3.9 Valores estadísticos de K para el huso 18 extendido
Factor de Escala Distorsión lineal % m/kmmax 1.008628 0.8628 8.6283min 0.999600 -0.0400 -0.4000Promedio 1.001737 0.1737 1.7367
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
89
-75.
0
-74.
0
-73.
0
-72.
0
-71.
0
-70.
0
-69.
0
-68.
0
-67.
0-56
-47-38
-29-20
0.998000
0.998500
0.999000
0.999500
1.000000
1.000500
1.001000
1.001500
1.002000
K
Longitud
Latitud
1.001500-1.0020001.001000-1.0015001.000500-1.0010001.000000-1.0005000.999500-1.0000000.999000-0.9995000.998500-0.9990000.998000-0.998500
3.5.3.2.- Valores para la proyección NTM
Gráfico 3.7 Variación de K para el huso NTM
Valores estadísticos:
Tabla 3.10 Valores estadísticos de K para el huso NTM
Factor de Escala Distorsión lineal % m/kmmax 1.00152 0.1525 1.5247min 0.99928 -0.0720 -0.7200Promedio 0.99986 -0.0138 -0.1384
Los datos estadísticos nos dicen claramente que el nuevo sistema entrega una
deformación lineal, en promedio, menor que los husos UTM extendidos.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
90
3.6.- APLICACIÓN DEL NUEVO SISTEMA
Los parámetros del sistema NTM serán aplicados a los modelos genéricos
de obtención de coordenadas planas a partir de coordenadas geodésicas, en la
cual se basan muchos sistemas computacionales de cálculo de coordenadas. El
objetivo es mostrar las herramientas que contienen los programas
computacionales para la obtención de coordenadas planas en las diversas
proyecciones existentes y además en nuevos sistemas basados en los clásicos.
Para ello se utilizará el software de procesamiento de datos GPS Ashtech
Solutions, como sistema de obtención de coordenadas a partir de datos de
terreno, y la plataforma ArcView como herramienta de análisis de coberturas
cartográficas en un ambiente SIG.
3.6.1 OBTENCION DE COORDENADAS NTM A PARTIR DE COORDENADAS GEODESICAS (PROBLEMA DIRECTO)
Se utilizará para este proceso el Modelo Matemático Genérico de los
Sistemas TM hecho en una planilla Excel para su rápido cálculo.
Para el ejemplo se hará uso de cuatro vértices IGM solicitados por el MBN
para ser usados en la transformación de coordenadas obtenidas en el
procesamiento de datos GPS, desde el datum WGS84 a SAD69.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
91
Datum : SAD – 69
Elipsoide : Sudamericano 1969
Tabla 3.11 Vértices geodésicos IGM
Nombre de la
Estación
Latitud Longitud Zona Altura
Morro Chico 52°03’24,555’’ 71°25’0,618’’ 19 244,83
Porpesse 52°56’53,080’’ 70°47’43,842’’ 19 55,88
Fuerte Bulnes 53°36’57,975 70°56’14,128’’ 19 120,85
Lagunitas 53°04’34,18’’ 70°11’6,590’’ 19 92,43
A continuación se mostrarán todos los valores obtenidos en el proceso
para la estación Morro Chico:
PARAMETROS DE ENTRADA (Elipsoide)
a f6378160 0.003352892
b c e´26356774.719 6399617.225 0.006739661
Ko MC0.99928 -71
FN 7000000FE 700000
DATOS DE ENTRADA
52°.03'24'',555 71°.25'00'',618Latitud fi longitud-52.0568 -71.4168
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
92
CALCULO DE FACTOR DE
ESCALAa8 0.18952021
a10 -0.009896036 -0.416838333K 0.99929002
Arco de MeridianoA 1.005052625 111133.3488B 0.005063232 16038.95495C 1.06281E-05 16.83348992D 2.08219E-08 0.021986052E 3.93275E-11 3.11448E-05F 6.55534E-14 4.15311E-08
B -5769686.0780
Y -5769768.0985X -28591.4135
Coordenadas NTMN 1234386.13E 671429.17
Para los otros puntos las coordenadas NTM serán:
Tabla 3.11 Coordenadas NTM de los vértices
Nombre de la
Estación
Norte Este Altura
Morro Chico 1234386.13 671429.17 244,83
Porpesse 1135343.30 713735.39 55,88
Fuerte Bulnes 1061068.59 704149.16 120,85
Lagunitas 1120808.97 754569.89 92,43
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
93
3.6.2 APLICACIÓN DE LOS PARÁMETROS EN EL PROCESAMIENTO DE DATOS GPS
Para esta aplicación se utilizará el software Ashtech Solutions 1.0, el cual
posee un módulo llamado Project Settings, en donde se puede configurar un
sistema de coordenadas basado en un Grid TM (ver figura 3.3 )
Figura 3.3 Módulo para cambio de sistema de coordenada
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
94
En este módulo se deben ingresar los parámetros de la proyección (figura 3.4)
Figura 3.4 Ingreso de parámetros NTM
Se utilizaron datos crudos de la campaña GPS en la XII región del año
2001. Cómo punto de control se utilizó el vértice IGM Rubens de coordenadas
geodésicas:
52°03’29,2624’’
72°00’21,1490’’
se ingresaron los datos de una sesión con cinco estaciones con los respectivos
valores de antena (altura, radio, offset) (figura 3.5).
Figura 3.5 Datos GPS
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
95
Luego de ingresar el punto de control se procesan los datos y se obtienen
las coordenadas NTM de las estaciones. El programa entrega diversos reportes,
donde también se pueden observar los valores del factor de escala K para cada
punto y los parámetros del sistema NTM:
Site 95% Fix Position
ID Site Descriptor Position Error Status Status
1 RBNS East. 631058.567 0.000 Fixed Processed
Nrth. 1233865.610 0.000 Fixed
Elev. 310.131 0.000 Fixed
2 PN2_ East. 596035.327 0.035 Processed
Nrth. 1270888.359 0.061
Elev. 23.873 0.096
3 _REN East. 634532.511 0.002 Processed
Nrth. 1232600.627 0.006
Elev. 263.050 0.008
4 RE2_ East. 634332.950 0.000 Processed
Nrth. 1232352.550 0.002
Elev. 274.590 0.002
5 _NA1 East. 596870.121 0.002 Processed
Nrth. 1271471.064 0.002
Elev. 58.757 0.004
Site Scale Elevation
ID Site Descriptor Convergence Factor Factor
1 RBNS -0 47.598 0.999338 0.99995142
2 PN2_ -1 10.917 0.999413 0.99999626
3 _REN -0 45.218 0.999333 0.99995879
4 RE2_ -0 45.360 0.999333 0.99995699
5 _NA1 -1 10.334 0.999411 0.99999079
Grid System
Name: NTM
Projection Type: TM83
Zone Name: MBN
Zone Parameters:
Longitude of Central Meridian = 071°00'00.00"W
Scale factor at Central Meridian = 0.999280 m
Longitude of the grid origin = 000°00'00.00"W
Latitude of grid origin = 00°00'00.00"N
False easting (m) = 700000.000 m
False northing (m) = 7000000.000 m
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
96
Si se calculan las coordenadas del vértice Rubens (punto de control) con el
Modelo Matemático en excel, se obtienen los siguientes valores:
DATOS DE ENTRADA
52°.03'29'',262 72°.00'21'',149Latitud fi longitud-52.0581 -72.0059
K 0.99933837
N 1233865.61E 631058.57
Estos valores coinciden en su totalidad con los calculados por el software, por lo
que se podría decir que éste utiliza un modelo similar.
3.6.3 CONVERSIÓN DE COBERTURAS CARTOGRAFICAS A LA PROYECCIÓN NTM.
Como herramienta de estudio, análisis y conversión de coberturas se
utilizará Arc View, ya descrito anteriormente en la sección 2.4.
Algunos sistemas que trabajan con coberturas cartográficas, traspasan
éstas de una proyección a otra ingresando los parámetros correspondientes. Tal
es el caso del Arc View, con el cual se convertirán coberturas de Chile continental
a la proyección NTM.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
97
Para en tender cómo trabaja ArcView con las proyecciones cartográfica, se
procederá a generar una grilla de coordenadas geodésicas en grados decimales
sobre la representación de Chile continental. Para ello el programa dispone de una
librería de ejemplos en los que se encuentran los Temas requeridos (figura 3.6) .
Figura 3.6 Vista en ArcView con grilla de coordenadas geodésicas
Para el estudio se debe seleccionar Chile, convertirlo a shape y agregarlo como
tema (figura 3.7).
Figura 3.7
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
98
Ahora se podría proyectar esta vista en UTM huso 19 (figura 3.8)
Figura 3.8 Proyección UTM
Se puede apreciar cómo se deforma la gratícula a medida que nos alejamos del
huso.
La misma vista ahora proyectada en el sistema NTM (figura 3.9)
Figura 3.9 Proyección NTM
No se aprecian diferencias debido a la escala.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
99
A simple vista no se pueden apreciar diferencias entre un sistema y otro,
pero si se calcula el área o el perímetro del polígono que representa a Chile, se
podrían determinar diferencias :
Área polígono proyectado UTM huso 19 = 744809,308 km2
Área polígono proyectado NTM =743809,932 km2
Los parámetros de la proyección se cambian en las propiedades de la vista como
se aprecia en la figura 3.10.
Figura 3.10 Ingreso de los parámetros NTM para la vista
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
100
Para representar gráficamente en el territorio nacional, la variación de K en
una vista (mapa), se deben generar tablas con los datos correspondientes a las
líneas automecoicas. Estas tablas deben contener la latitud y la longitud a ambos
lados del MC. Luego, en arcview, se ingresan como temas de punto asignándoles
la posición correspondiente en el mapa: ejemplo para K = 0.99975
Tabla 3.12 Valores de
_AL_OESTE del MC _AL_ESTE_-16 -72.82 -69.18-17 -72.83 -69.17-18 -72.84 -69.16-19 -72.85 -69.15-20 -72.86 -69.14-21 -72.88 -69.12-22 -72.89 -69.11-23 -72.90 -69.10-24 -72.92 -69.08-25 -72.93 -69.07-26 -72.95 -69.05-27 -72.97 -69.03-28 -72.99 -69.01-29 -73.00 -69.00-29 -73.00 -69.00-30 -73.02 -68.98-31 -73.05 -68.95-32 -73.07 -68.93-33 -73.09 -68.91-34 -73.11 -68.89-35 -73.14 -68.86-36 -73.17 -68.83-37 -73.20 -68.80-38 -73.23 -68.77-39 -73.26 -68.74-40 -73.29 -68.71-41 -73.32 -68.68-42 -73.36 -68.64-43 -73.40 -68.60-44 -73.44 -68.56-45 -73.48 -68.52-46 -73.53 -68.47-47 -73.57 -68.43-48 -73.62 -68.38-49 -73.67 -68.33-50 -73.73 -68.27-51 -73.79 -68.21-52 -73.85 -68.15-53 -73.92 -68.08-54 -73.99 -68.01-55 -74.06 -67.94-56 -74.14 -67.86
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
101
Chile.shp
1,0005#
1,0005#
0,99975#
0,99975#
0,9995#
0,9995#
0,9994#
0,9994#
0,99934#
0,99934#
0,99928#
1#
1#
View5
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
##########################################
L-80
L-60
Variación de K en el Territorio Nacional
N
500 0 500 1000 Kilometers
Figura 3.11 Distribución de los valores de K en el huso NTM
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
102
La figura 3.11 muestra el resultado del procedimiento explicado
anteriormente. Se puede observar gráficamente la variación de las deformaciones
a medida que se aleja del MC, que es la única columna de puntos que permanece
recta ya que siempre el valor de K será Ko = 0,9996. En este caso la vista no esta
proyectada en el sistema NTM. La figura 3.12 muestra la misma situación pero
proyectada en el sistema NTM.
Figura 3.12 Distribución de los valores de K en el huso NTM Proyectado
A continuación se presentará a Chile en la proyección NTM y cuadrícula
con las coordenadas Norte y Este, además de la presentación de meridianos y
paralelos (figura 3.13)
.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
103
Figura 3.13 Representación de Chile con Grilla NTM
60°
60°
50°
50°
40°
40°
30°
30°
20°20°
100° 90°
90°
80°
80°
70°
70°
60°
60°
50°
50°
-1000000
-1000000
-500000
-500000
0
0
500000
500000
1000000
1000000
1500000
1500000
500000 500000
1000000 1000000
1500000 1500000
2000000 2000000
2500000 2500000
3000000 3000000
3500000 3500000
4000000 4000000
4500000 4500000
5000000 5000000
5500000 5500000
CHILE EN COORDENADAS NTM
N
500 0 500 1000 Kilometers
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
104
Para transformar coberturas completas, de un sistema proyectado, a otro,
se utilizará la extensión Projection Utilility, la cual transforma archivos en formato
shape que se encuentre en alguna proyección, sin la necesidad de poner el
archivo en una vista como tema. El programa analiza los Metadatos del archivo y
detecta el sistema de proyección y el datum.(figura 3.14)
Figura 3.14 Módulo de Transformación de Proyeciones
Luego, el programa consulta por el nuevo sistema de coordenadas al cual se
quiere transformar. Aquí se ingresarán los parámetros de la proyección NTM.
(figura 3.15)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
105
Figura 3.15 Módulo de selección e ingreso de los parámetros de la proyección
Por último, el programa solicita un nombre y una ruta para guardar el nuevo
archivo. A continuación entrega un sumario con los parámetros de entrada y
salida. (figura 3.16)
Figura 3.16 Sumario de resumen de los datos de salida
A continuación se presentará un sector de la décima región transformada a la proyección NTM. Los datos de origen se encontraban en el huso 18. (figura 3.17)
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
106
Figura 3.17 Cobertura en proyección NTM
Sist_lacustre.shp
Hidro.shp
Ciudad.shp#
Caminos.shp
Leyenda
#
#
##
#
#
#
#
##
#
#
#
#
ALERCE
PARAGUAY
COLEGUAL
LOS BAJOS
FRUTILLAR
LONCOTORO
LLANQUIHUE
LAS QUEMAS
SAN ANTONIO
LOS PELLINES
PUERTO VARASLOS MAITENES NUEVA BRAUNAU
FRUTILLAR BAJO
GUAY CHICO
LAGO LLANQUIHUE
LAGUNA PICHILAGUNA
N
510000
510000
520000
520000
530000
530000
540000
540000
550000
5500002410000 2410000
2420000 2420000
2430000 2430000
2440000 2440000
2450000 2450000
10 0 10 Kilometers
Comuna de Puerto Varas
Proyección Cartográfica: NTM
Datum: WGS 84
Escala 1:250.000
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
107
CAPÍTULO 4 .- ANÁLISIS Y CONCLUSIONES
4.1.- ANÁLISIS
Con la introducción de la fórmula para el cálculo del Factor de Escala K, en
función de y en una planilla Excel de doble entrada, se ha determinado la
variación de K a través de todo un huso UTM y del huso propuesto para la
proyección NTM. El dominio para ésta se encontrará entre el Ecuador y la latitud
-80°, y entre las longitudes -67° y -75°. Los valores obtenidos para la proyección
NTM son:
K precisión DistorsiónK0 0,99928 1:1.389 -0,72 metros por kilómetroKmáximo 1,00173 1:578 1,73 metros por kilómetroKpromedio 0,99979 1:4.762 -0,21 metros por kilómetro
Los valores para un huso UTM (ej: huso 19) son:
K precisión distorsión
K0 0,9996 1:2.500 -0,40 metros por kilómetroKmáximo 1,00098 1:1.020 0,98 metros por kilómetroKpromedio 0,9999 1:10.000 -0,10 metros por kilómetro
Es evidente que ampliar el ancho del huso de 6° a 8°, manteniendo las
características de la proyección TM, hace que se incrementen las deformaciones
producidas por el alejamiento del cilindro secante al meridiano central, aunque no
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
108
exageradamente, pero significativas a la hora de evaluar grandes distancias o
extensiones de terreno.
Para el objetivo del trabajo, se deben evaluar las deformaciones acotando
el estudio a los límites del territorio Nacional Continental, de manera integrada, es
decir, con un solo huso, entre los –17° y –56° de latitud y los –67° y –75° de
longitud, donde los resultados obtenidos fueron los siguientes:
Huso proyección NTM:
K precisión distorsiónK0 0,99928 1:1.389 -0,72 metros por kilómetroKmáximo 1,00152 1:658 1,52 metros por kilómetroKpromedio 0,99986 1:7.143 -0,14 metros por kilómetro
Solución huso 19 extendido:
K precisión distorsiónK0 0,9996 1:2.500 -0,40 metros por kilómetroKmáximo 1,0047 1:213 4,70 metros por kilómetroKpromedio 1,0006 1:1.667 0,60 metros por kilómetro
Estos resultados entregan relevante información principalmente por los
valores promedio, ya que señalan una menor precisión y mayores deformaciones
al aplicar el huso 19 extendido, del orden de 45 cm más que en la proyección
NTM. No dejan de llamar la atención también los valores máximos alcanzados
cuando se extiende el huso 19, del orden de los 4 m por km.
Es importante mencionar que el dominio de K con el que se realizaron los
cálculos, son los valores de latitud y longitud extremas del territorio, pero no está
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
109
inserto en su totalidad dentro de estos márgenes, debido a su inclinación y forma
poco homogénea. Si se desprecian gran parte de estos valores, fuera del territorio
Nacional y se recalculan los promedios, se obtienen los siguientes resultados:
NTM:
K precisión distorsiónKpromedio 0,999845 1:6.666 -0,15 metros por kilómetro
UTM extendido (huso 19)
K precisión distorsión
Kpromedio 1,00033 1:3030 0,33 metros por kilómetro
Los valores obtenidos al acotar aun más el dominio de K para ser más
representativo del territorio, siguen confirmado una mejor precisión y menores
deformaciones para la proyección NTM en relación al huso 19 extendido.
Se debe considerar, al momento de determinar las escalas con las que se
realizará la cartografía, las deformaciones obtenidas en el huso de manera
íntegra, es decir como valor máximo de 1,5 metros por kilómetro. Esto implica
utilizar escalas donde la resolución no permita apreciar gráficamente esta
distancia. Si el límite de percepción visual alcanza los 0,2 mm , en una escala
1:25.000 la máxima apreciación será de 5 metros, suficiente para el valor de la
distorsión.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
110
Ya definido el Campo del sistema y Escala, se pueden utilizar estos valores
para determinar la escala exacta que se debe utilizar para obtener una distancia
medida en diferentes regiones del mapa, de forma que si 1/E es la escala general
de la representación, esta sólo se cumplirá para las líneas de secancia, ya que
para las otras habrá que aplicar el factor de escala correspondiente a ese punto,
es decir, 1/E’ = 1/E X K.
Ejemplo: si a 1/250.000 se miden 5cm y K = 1,0005, 1/E’ = 1/249875, por lo
tanto 5 cm = 12493,75 m y no 12500 m. Sería lo mismo que obtener la distancia
elipsoidal a partir de la distancia plana, D = 12500/1,0005 = 12493,75 m. Por lo
tato se podría generar un ábaco aclaratorio con la variación de la escala.
Ejemplo para escala 1:250.000:
Gráfico 4.1 Variación de escala para cartas 1:250.000 e proyección NTM
-75°
-74°
-73°
-72°
-71°
-70°
-69°
-68°
-67°
-56°
-45°
-35°
-25°
-18°
Escala
Longitud
Latitud
Variación de Escala1:250.150-1:250.200
1:250.100-1:250.150
1:250.050-1:250.100
1:250.000-1:250.050
1:249.950-1:250.000
1:249.900-1:249.950
1:249.850-1:249.900
1:249.800-1:249.850
1:249.750-1:249.800
1:249.700-1:249.750
1:249.650-1:249.700
1:249.600-1:249.650
1:249.550-1:249.600
1:249.500-1:249.550
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
111
Las líneas que conservan la escala (K=1, secancia), a medida que se alejan
del Ecuador, también se van alejando del Meridiano Central, comenzando a 2°9’
del MC en el Ecuador y llegando a los 12°30’ en el límite de la proyección (-80°).
Hacia los polos esta distancia tenderá a infinito (ver fórmulas 3.8 y 3.9, sección
3.5.3). En el límite del territorio Nacional, alcanza los 3°46’. Por lo tanto tiene un
crecimiento exponencial. Es por eso que esta proyección no es aplicable en los
polos.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
112
4.2.- CONCLUSIONES
Los resultados obtenidos luego de aplicar los parámetros propuestos para
la nueva proyección, incurren en errores o deformaciones menores que la
comparada (UTM extendida), como se apreció en los análisis. Por lo tanto al
momento de entregar una evaluación del nuevo sistema se resume que éste no
genera deformaciones mayores a 1,5 metros por kilómetro y que en promedio son
del orden de 15 cm por kilómetro, valores aceptables para este tipo de
proyecciones, si se piensa que al extender un huso UTM más allá de sus límites,
se producen alteraciones mayores.
Se comprueba, por lo tanto la hipótesis planteada de desarrollar un sistema
de proyección nacional basado en la proyección TM, adoptando un solo meridiano
central, incurriendo en deformaciones no significativas dependiendo de la escala.
En síntesis, se puede solucionar el problema de la duplicidad de
coordenadas en los límites del huso UTM, sin la necesidad de forzar las
coordenadas o extender un huso, sino que generando una zona más amplia con
un factor de escala equivalente.
El objetivo general de analizar los errores que se producirán en el nuevo
sistema, se cumplió íntegramente, ya que se estudio desde todos sus aspectos,
variación de K en función de latitud y longitud, distancias a las que las
deformaciones son nulas desde el MC, comparación de distorsiones en el huso en
todo su dominio y acotado al territorio nacional continental, variación de la escala y
transformación de distancias.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
113
Destacable del trabajo es la determinación de los parámetros para la
proyección, es decir, meridiano central, ancho de huso que integre la totalidad del
territorio sin extenderse demasiado como para incurrir en errores mayores y a
partir de allí calcular el factor de escala para el meridiano central Ko, y por último
las coordenadas de origen (FEN y FNN) para no tener valores negativos.
Los cálculos realizados fueron hechos en planillas de cálculo Excel, las que
optimizaron bastante el trabajo ya que permitieron obtener valores de K de manera
rápida en tablas de doble entrada, programando una sola celda y copiando para
las demás, así como la programación del modelo matemático genérico de los
sistemas TM para obtener las coordenadas del nuevo sistema a partir de
coordenadas geodésicas. También se utilizó para calcular Ko y generar las
distintas gráficas mostradas en el trabajo. Esta herramienta permitió observar de
manera muy precisa cómo varía K en el huso y fuera de éste, así como la
deformación lineal y la escala, y algo muy importante, cómo están trazadas las
líneas automecoicas.
Los procesos actuales, computacionales, facilitan bastante la
transformación de coberturas cartográficas de un sistema de proyección a otro, así
como también la obtención de coordenadas en el sistema requerido a partir de
datos de terreno, como es el caso de los datos GPS.
Como el objetivo de esta proyección es tener una visión general del
territorio orientada a coberturas del Ministerio de Bienes Nacionales, se
recomienda:
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
114
Utilizar la proyección NTM en la construcción de planos o traspaso de
coberturas cartográficas para zonas rurales, específicamente para deslindar
Parques Nacionales, Áreas Silvestres Protegidas y predios de gran extensión,
donde el área sea superior a 200 has. y escalas 1:25.000 o menor.
Si bien es cierto, la proyección es independiente del datum, es decir, se
pueden proyectar elementos a partir de un datum u otro, este toma vital
importancia cuando se trata de información ya cartografiada a la cual ya se le ha
aplicado un datum de origen, en ese caso se deben conservar sus elementos de
referencia.
Se puede utilizar información cartográfica basada en PSAD56, ya que la
mayor escala disponible es 1:25.000, lo que significa que el mínimo elemento
cartografiable es de 5 m, suficiente para el valor máximo de distorsión obtenido.
Así mismo IGM en WGS84 escala 1:50.000 o menor en formato digital.
Si se desea proporcionar coordenadas de arranque para un levantamiento
bajo cualquier datum, se recomienda utilizar coordenadas UTM y luego
transformarlas al nuevo sistema, a menos que se trate de un trabajo donde no se
requiera de gran precisión.
Si en un futuro se piensa implementar una proyección nacional, ya sea para
uso interno, en este caso del MBN, o general de Chile, este trabajo representa un
primer acercamiento a los parámetros a utilizar o la metodología a utilizar para
determinarlos, para lo cual se deberá normalizar y estandarizar la adquisición,
generación y transferencia de los datos Territoriales para este sistema.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
115
BIBLIOGRAFÍA
Martín Asin, Fernando. Geodesia y Cartografía matemática. Madrid, 1990
Snyder, John ; Forray R.,Carlos. Proyecciones de Mapas. Universidad de Santiago, 1991.
Gutierres, J.E. Lectura y utilización de Cartas y Mapas. 1993
Fernández Coppel, Ignacio. Las Coordenadas Geográficas y la Proyección UTM. Universidad de Valladolid, 2001.
Errázuriz, Ana María ; Gonzales, José Ignacio. Proyecciones Cartográficas, Manejo y Uso. Ed. Universidad Católica de Chile, 1992.
Ministerio de Obras Públicas. Manual de Carreteras. Volumen N°2, Procedimiento de Estudios Viales, Capítulo 2.300, Diciembre 2001.
Larson, Roland; Hostetler, Robert. Cálculo y Geometría Analítica. Mcgraw Hill, 1989.
Ministerio de Bienes Nacionales. Manual de Arc View. 2001.
Ministerio de Bienes Nacionales. Manual de Normas Técnicas. División del Catastro Nacional de los Bienes del Estado, 1997.
Allende, Mónica. Apuntes Curso de Geodesia Geométrica, 2000.
Silva, Jorge. Apuntes Curso de Ajustes Geodésicos, 2000.
Zepeda, Rene. Apuntes Laboratorio de Geodesia Satelital, 2001.
Romero, Leyla. Tesis de Grado, Capítulos II y III, Universidad de Santiago, 2001.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details
116
Claudinei Rodrigues De Aguiar; Paulo De Oliveira Camargo; Mauricio GaloTransformacäo de Coordenadas e Datum com Propagacâo de Covariâncias. Anais do Simpósio Brasileiro de Geomática, Presidente Prudente - SP, 9-13 de julho de 2002. p.113-120.
José Anibal Arias Aguilar. Búsquedas por contenido y anotaciones en Bibliotecas Digitales multimediales, Capítulo 1, Sistemas de Información geográfica, Bibliotecas Digitales y Metadatos, Mayo de 2002.
Muñoz Razo, Carlos. Cómo Elaborar y Asesorar una Investigación de Tesis, 1998.
Visage eXPert PDF Copyright © 1998,2003 Visage SoftwareThis document was created with free TRIAL version of Visage eXPert PDF.This watermark will be removed
after purchasing the licensed full version of Visage eXPert PDF. Please visit http://www.visagesoft.com for more details