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1
POSICIONES, DIRECCIONES Y PLANOS
CRISTALOGRÁFICOS
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2
La posición de un átomo se describe haciendo referencia a los ejes de
la celda unitaria y a las dimensiones de la celda.
Se muestran coordenadas de átomos en la celda enunciando las tres
distancias, separadas por comas.
1,1,1
0,1,1
0,1,1
x
y
z
POSICIONES CRISTALOGRÁFICAS
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3
Ciertas direcciones son de particular importancia y son aquellas que
pasan por el centro de los átomos (direcciones cristalográficas).
Para denotar una dirección cristalográfica se emplean los índices de
Miller:
1. Usar un sistema coordenado de mano derecha
2. Determinar las coordenadas de dos puntos que estén en la
dirección
3. Restar las coordenadas de inicio al de la cola.
4. Eliminar las fracciones, hasta obtener enteros mínimos
5. Encerrar entre corchetes [ ].
6. Si se produce un signo negativo, representarlo con una raya sobre
el número
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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4
Obtener los indices de Miller de las siguientes direcciones:
z
x
y
011
1,1,0
0,1,0
1,0,1
011 0,0,1
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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5
z
x
y
100
1,1,0
0,1,0
1,0,1
Direcciones
paralelas
100 100
0,0,1
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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6
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
Generalmente no interesa el módulo del vector, sino sólo la dirección. La
notación de Miller retiene únicamente este aspecto. Los índices de
Miller se reducen a los enteros más pequeños posibles: h, k y l.
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7
z
x
y
1,1,0
0,1,0
1,0,1
100 100
0,0,1
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
Direcciones
equivalentes <1,0,0>
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8 x
y
z 101
1,1,0
0,1,0
1,0,1
110 101
0,1,1
1,1,1
Direcciones
equivalentes < 1 0 1 >
Diagonales de las caras de la celda
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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9
DIRECCIONES EQUIVALENTES
Una familia de direcciones es un grupo de direcciones
equivalentes, y se representa entre paréntesis inclinados < >.
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10
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
< 1 1 1 >
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11
[110] indicará un conjunto de direcciones paralelas.
Si se desea nombrar a todas las diagonales de las caras del cubo se
hará empleando la siguiente forma: <110>
<110> indicará una familia de direcciones e incluye a las paralelas, y
representará a todas las diagonales de las caras de la celda (del cubo)
como son:
[110]; [101]; [011]; etc.
Esta familia de direcciones, también se pudo haber denotado como:
<101>, <011>, etc.
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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12
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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13
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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14
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
[h k i l] h + k = -i
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15
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
[h k i l] h + k = -i
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16
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
[h k i l] h + k = -i
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17
DIRECCIONES CRISTALOGRÁFICAS
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18
ANISOTROPÍA-ISOTROPÍA
Material Anisótropo ⇒ Propiedades dependen de la dirección
cristalográfica en la que se miden
Material Isótropo ⇒ Propiedades idénticas en todas las
direcciones
Material
Dirección
cristalográfica
[100]
Dirección
cristalográfica
[111]
Fe-α (BCC) 19.1 40.4
Cu (FCC) 9.7 27.8
Al (FCC) 9.2 11.0
Módulo Elástico E (GPa) en monocristales
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19
z
x
y
Plano: A
Plano: B
Plano A // al plano B
Ejes x y z
Interceptos 1
El plano A (y B) es el:
(100)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Inversos 1/1 1/ 1/
Índices Miller 1 0 0
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20
De la misma forma existen planos de relativa importancia en la celda
unitaria y que pasan por el centro de los átomos (planos
cristalográficos).
Para determinar los índices de Miller del plano A:
a) Seleccionar el plano B que no pase por el origen, que sea
paralelo al plano A.
b) Las intersecciones con los ejes son:
x = 1 y = z =
c) Los inversos:
x = 1 y = 1/ = 0 z = 1/ = 0
d) El plano A (y B) es el: (100)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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21
FAMILIA DE PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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22
FAMILIA DE PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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23
Las cifras negativas se representan con una raya sobre el número.
(001) indicará un conjunto de planos paralelos.
{001} indicará una familia de planos que tienen algo en común, en este
caso las seis caras de la celda (del cubo).
{001} representará a los planos: (001), (010), (100).
De lo anterior se puede decir que:
{001} = {010} = {100}
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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24
Dibuje el plano (1 1 1)
z
x
y
(1 1 1)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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25
Dibuje el plano (1 1 2)
z
x
y
2
1,0,0
(1 1 2)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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26
Ahora dibuje el plano (1 0 2)
z
x
y
2
1,1,0
(1 0 2)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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27
¿ El plano (020) es un plano cristalográfico en el sistema CS ?
y
z
x
0,2
1,0
(020)
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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28
El plano (020) no es un plano cristalográfico, pues no pasa por el
centro de los átomos en el sistema cúbico simple.
Si lo es en los sistemas BCC y FCC.
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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29
NOTA
En los sistemas cúbicos, un plano y una dirección que tengan los
mismos índices de Miller son perpendiculares:
( i j k ) [ i j k ]
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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30
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
(1 1 1) (1 1 1)
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31
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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32
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
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33
PLANOS CRISTALOGRÁFICOS
Determine los índices de Miller del
plano mostrado
(1011)
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34
Es el número de átomos que cruzan una dirección en particular por unidad
de longitud. Para calcular el número de átomos la dirección debe pasar por
el centro del átomo, de lo contrario no se toma en cuenta para los cálculos.
Densidad de la dirección: [010]
DL = (número de átomos) / (longitud)
= (1/2 * 2) átomos / a0
= 1 átomo / a0
ao
DENSIDAD LINEAL: FCC
[ 010 ]
Y
X
Z
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35
z
x
y
[010]
[110]
Densidad de la dirección: [110]
DL = (número de átomos) / (longitud)
= 2 átomos / 2 a0
= 2 átomos/a0 =1,41 átomos/a0
DENSIDAD LINEAL: FCC
a2
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36
DENSIDAD LINEAL: BCC y FCC
BCC FCC
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37
Es el número de átomos que se encuentran contenidos en un plano por
unidad de área.
Para el calculo se toman en cuenta aquellos átomos que son cortados
por sus centros.
Calcular la densidad de los planos (100) y (111) para el sistema FCC.
¿Cuál de ellos es el más compacto?
DENSIDAD PLANAR
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38
Densidad del plano: (100)
DP = (número de átomos) / (área)
= (1/4 * 4 + 1) átomos / aO2
= 2 átomos / aO2
Plano
(100)
aO
aO
DENSIDAD PLANAR: FCC (100)
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39
x
z
y
½ átomo está
en el plano
(180°)
1/6 de átomo está
en el plano
(60°)
DP(111) =
2
o2
o
2
o
a
átomos31,2
a2
3
átomos2
a24
3
átomos36
13
2
1
DENSIDAD PLANAR: FCC (111)
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40
DEFORMACIÓN PLÁSTICA
La deformación plástica tiene lugar cuando planos de átomos se
deslizan entre ellos, desde una posición de equilibrio a nuevas
posiciones de equilibrio.
La deformación plástica es la deformación permanente y no se
recupera una vez retirado el esfuerzo que la produjo, al contrario que
las deformaciones elásticas.
ƒEl deslizamiento ocurre a lo largo de planos cristalográficos
específicos (fracción atómica planar mas elevada) y a lo largo de
direcciones preferentes (fracción atómica lineal mas elevada)
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41
PLANO MAS COMPACTO EN BCC
Determine el plano más compacto en la red BCC
x
z
y
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42
DENSIDAD PLANAR: BCC y FCC
BCC FCC
* Planos más compactos o de mayor densidad.
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43
BCC
Planos compactos {011}
Direcciones compactas <111>
FCC
Planos compactos {111}
Direcciones compactas <110>
DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS
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44
Seis (6) planos compactos de la familia {110} que no son paralelos.
Cada plano compacto contiene 2 direcciones compactas pertenecientes
a la familia <111>.
DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: BCC
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45
DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: BCC
![Page 46: Estructura de Los Materiales-Parte 3](https://reader033.vdocumento.com/reader033/viewer/2022050909/5695d1471a28ab9b0295dd58/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Cuatro (4) planos compactos {111} no paralelos.
Cada plano compacto contiene 3 direcciones compactas <110>.
DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: FCC
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47
DIRECCIONES Y PLANOS COMPACTOS: FCC
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48
Red
cristalina BCC (CCCu) FCC (CCCa)
Planos
compactos {110}
6 en total
(no paralelos) {111}
4 en total
(no paralelos)
Direcciones
compactas <111>
2 por cada plano
compacto <110>
3 por cada
plano
compacto
DIRECCIONES Y PLANOS MAS COMPACTOS
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49
DIRECCIONES Y PLANOS MAS COMPACTOS
Un plano compacto.
El plano compacto contiene tres direcciones compactas.
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50
DIRECCIONES Y PLANOS MAS COMPACTOS
[ h k l ]: indica un conjunto de direcciones paralelas
< h k l >: una familia de direcciones que tienen algo en común
(direcciones equivalentes)
( h k l ): un conjunto de planos paralelos
{ h k l }: una familia de planos que tienen algo en común (planos
equivalentes)
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51
Determine los índices de Miller de las direcciones A, B, C y D mostrados
en la celda cúbica de la Figura 1.
x
y
z
½, 1, 0
1, 0, ½
½, 1, 1 A
B
C
D
Figura 1
PROBLEMA
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52
Determine los índices de Miller de los planos mostrados en la celda cúbica
de la Figura 2.
1, ½, 0 x
y
z
0, 1, ½
0, ½, 0
½, 0, 1
Figura 2
PROBLEMA
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53
Determinar la distancia que existe entre los planos más compactos en la
estructura BCC.
x
y
z
(1 1 0)
(1 1 0)
PROBLEMA
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54
Determinar la distancia que existe entre los planos más compactos en la
estructura BCC.
x
y
z
o)110()110( a2
2DciatanDis x
y z D
(110)
PROBLEMA
a
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55
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos ( i j k ) se puede
emplear la siguiente fórmula desarrollada sólo para estructuras
cristalinas cúbicas cuyo parámetro de red es “a”:
222
o)kji(
kji
aD
oo
222
o)110( a
2
2
2
a
011
aD
Donde:
ao = es el parámetro de red
i, j, k = son los índices de Miller del plano
PROBLEMA
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56
DIFRACCIÓN DE RAYOS X
La difracción de rayos X se emplea para identificar la estructura
cristalina de los materiales.
Los átomos y los iones tienen un tamaño del orden de 0,1 nm.
La zona del espectro electromagnético con una longitud de onda en
ese rango es la radiación X.
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57
DIFRACCIÓN DE RAYOS X
(Ecuación de Bragg)
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58
DIFRACCIÓN DE RAYOS X
Para que tenga lugar la difracción, los haces de rayos X dispersados
por planos adyacentes del cristal deben estar en fase.
Donde:
= longitud de onda
d = es el espaciamiento entre planos atómicos adyacentes
= es el ángulo de Bragg.
2 = es el ángulo de difracción. Se mide experimentalmente.