Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Automática y Sistemas Computacionales
TRABAJO DE DIPLOMA
Estrategia de control por realimentación de estados
para plataforma electro-neumática de simulación
de conducción
Autor: Alexander Moreno Limonte
Tutor: Msc. Ángel E. Rubio Rodríguez
Santa Clara
2007
"Año 49 de la Revolución”
Universidad Central “Marta Abreu” de Las Villas
Facultad de Ingeniería Eléctrica
Departamento de Automática y Sistemas Computacionales
TRABAJO DE DIPLOMA
Estrategia de control por realimentación de estados para plataforma electro-neumática de simulación
de conducción
Autor: Alexander Moreno Limonte [email protected]
Tutor: Msc. Ángel E. Rubio Rodríguez [email protected]
Consultante: Dr. José R. Abreu Garcia
Santa Clara
2007
"Año 49 de la Revolución"
Hago constar que el presente trabajo de diploma fue realizado en la Universidad Central
“Marta Abreu” de Las Villas como parte de la culminación de estudios de la especialidad
de Ingeniería en Automática, autorizando a que el mismo sea utilizado por la Institución,
para los fines que estime conveniente, tanto de forma parcial como total y que además no
podrá ser presentado en eventos, ni publicados sin autorización de la Universidad.
Firma del Autor
Los abajo firmantes certificamos que el presente trabajo ha sido realizado según acuerdo de
la dirección de nuestro centro y el mismo cumple con los requisitos que debe tener un
trabajo de esta envergadura referido a la temática señalada.
Firma del Autor Firma del Jefe de Departamento
donde se defiende el trabajo
Firma del Responsable de
Información Científico-Técnica
i
PENSAMIENTO
No consideréis nunca al estudio un deber, sino la envidiable
oportunidad de aprender a conocer la liberadora influencia
de la belleza en el reino del espíritu, para vuestra propia
alegría, y en provecho de la comunidad a la cual pertenece
vuestro trabajo final.
Albert Einstein
ii
DEDICATORIA
A mi madre por estar siempre dispuesta a brindarme su apoyo, a mis abuelos
por ser los mejores amigos que poseo, a mi amigo y hermano Jesús Roque por
brindarme sus certeros consejos, a mi padre y a mi familia en general por
haber depositado en mí la confianza necesaria durante todo este tiempo, a mis
amigos por haberme empujado siempre a dar lo mejor de mí. En fin dedico
este trabajo a todos los que de una forma u otra han influido de manera
positiva en mi formación profesional para alcanzar esta meta.
iii
AGRADECIMIENTOS
En primer lugar a mi amigo y tutor Ernesto Rubio por haberme guiado por el
camino correcto exigiendo siempre lo mejor de mí, a el Dr. José Abreu por
estar siempre dispuesto a ayudarme, al colectivo de profesores de la carrera
por haber depositado en mí los conocimientos básicos necesarios para mi
desempeño profesional. A mis compañeros y amigos de aula por haberme
ayudado en los momentos difíciles de mi carrera.
iv
TAREA TÉCNICA
Analizar las tendencias de control, para sistemas electro-neumáticos, más recientes.
Estudiar la técnica de control por ubicación de polos mediante la realimentación de
estados con el objetivo de aplicarla a los actuadores electro-neumáticos de la plataforma.
Sintetizar un controlador mediante la asignación de polos para cada articulación electro-
neumática del simulador de conducción que responda al desempeño requerido. Simular el
controlador propuesto con el modelo del sistema implementado en Simulink y comprobar
su desempeño. Realizar el análisis económico del sistema controlado mediante el
algoritmo propuesto.
Firma del Autor Firma del Tutor
v
RESUMEN
Los simuladores, en todas las esferas, van tomando cada vez mayor auge gracias al
desarrollo acelerado de los dispositivos de cómputo. Los simuladores de conducción
empleados para el entretenimiento de futuros conductores, son ejemplo de esto. Si bien es
cierto que el cálculo de la dinámica de los vehículos y los efectos visuales se desarrollan
rápidamente debido a estos avances computacionales, la mecánica fundamental de las
plataformas empleadas y el hardware de control no ha cambiado mucho. Los actuadores en
la gran mayoría siguen siendo eléctricos o hidráulicos representando esto un porciento
elevado del costo total del simulador.
Como solución a las necesidades del país el Centro de Investigación y Desarrollo de
Simuladores CIDSIM (SIMPRO) ha desarrollado simuladores ampliamente utilizados en
entrenamiento de personal de la producción y los servicios, a la vez que juegos virtuales.
Utilizando para este fin plataformas con accionamientos electro-neumáticos.
El uso de actuadores electro-neumáticos en plataformas para simuladores es un tema
reciente. Aunque es una tecnología barata, limpia y simple; para un control preciso y rápido
de los mismos, se requieren algoritmos complejos y no convencionales de control. Debido a
la carencia de personal calificado en la rama de control automático, la empresa SIMPRO
vi
presenta problemas con el diseño de algoritmos de control que permitan el correcto
funcionamiento de las plataformas de simulación de conducción.
Como solución a estos problemas planteados anteriormente el grupo de investigación
GIMAS, del departamento de automática y sistemas computacionales de la UCLV, se ha
dado la tarea de buscar algoritmos de control que cumplan con los requisitos básicos de
velocidad y de error de seguimiento en estos sistemas. En el presente trabajo se hace un
análisis de los principales métodos de control aplicados a este tipo de sistemas
recientemente, seleccionando de estos un algoritmo que cumpla con los requerimientos de
control para estas aplicaciones. Este algoritmo se sintetiza y comprueba mediante
simulación.
Se obtiene así en este trabajo un controlador capaz de garantizar los requisitos básicos de
diseño para las plataformas de simulación de conducción que usan actuadores electro-
neumáticos, contribuyendo de esta forma a elevar las prestaciones sin alterar en gran
medida los costos de producción.
vii
TABLA DE CONTENIDOS
PENSAMIENTO .....................................................................................................................i
AGRADECIMIENTOS........................................................................................................ iii
TAREA TÉCNICA................................................................................................................iv
RESUMEN .............................................................................................................................v
INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................1
Organización del informe ...................................................................................................4
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA..................................................................5
1.1 Control automático .................................................................................................5
1.1.1 Control clásico y control moderno..................................................................6
1.1.2 Control lineal ..................................................................................................8
1.1.3 Control no lineal .............................................................................................9
1.2 Control de actuadores neumáticos ........................................................................11
1.3 Conclusiones parciales..........................................................................................12
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO ...................................................13
2.1 Estado del arte en modelación de sistemas electro- neumáticos ..........................13
2.2 Modelación dinámica del actuador .......................................................................14
2.3 Identificación y obtención del modelo de la plataforma.......................................20
2.3.1 Datos técnicos fundamentales de la plataforma............................................21
viii
2.3.2 Identificación experimental ..........................................................................22
2.4 Conceptos básicos de diseño.................................................................................25
2.4.1 Diseño de sistemas por asignación de polos mediante la realimentación
estados 26
2.5 Diseño de sistemas de control mediante la asignación de polos...........................28
2.5.1 Diseño de sistema de control cuando la planta posee integrador .................28
2.5.2 Diseño del sistema de control cuando la planta no posee un integrador ......30
2.6 Conclusiones parciales..........................................................................................33
CAPÍTULO 3. DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS...................................35
3.1 Estado del arte de las técnicas de observación en actuadores neumáticos ...........35
3.1.1 Observador de estado de orden completo .....................................................36
3.1.2 Efectos de la adición del observador sobre el sistema en lazo cerrado ........38
3.2 Síntesis del controlador.........................................................................................39
3.3 Análisis económico...............................................................................................48
3.4 Conclusiones parciales..........................................................................................50
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES ...................................................................51
Conclusiones.....................................................................................................................51
Recomendaciones .............................................................................................................52
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS .................................................................................53
INTRODUCCIÓN 1
INTRODUCCIÓN
En el mundo actual, científica y tecnológicamente dinámico, cada vez son mayores las
tareas o actividades que se realizan de forma simulada buscando una mayor seguridad,
fiabilidad y flexibilidad, sobre todo si estas tareas están relacionadas de alguna manera con
el aprendizaje de habilidades que implican riesgo, peligro para los seres humanos o altos
costos. Por otra parte estas tareas o actividades simuladas deben cumplir un conjunto de
características que lo acerquen en la mayor medida posible a la actividad real que se
pretende simular. Tal es el caso de los Simuladores de Conducción, los cuales van teniendo
mayor aceptación a nivel mundial en la medida de que logran recrear con mayor precisión y
exactitud las sensaciones de un vehículo real, permitiendo el entrenamiento del personal y
minimizando el uso de vehículos reales con el consiguiente consumo de recursos.
Los simuladores de conducción del mundo real, usados para capacitación y entrenamiento
en conducción, tienen una aplicación muy cercana y creciente en juegos y entretenimientos,
disponiendo en ambos casos de plataformas móviles que dependiendo de su complejidad
pueden tener varios grados de libertad, logrando de esta forma, al situar sobre las mismas
los aditamentos de un vehículo real o del juego, obtener sensaciones de movimiento
recreadas virtualmente por un ordenador, permitiendo reproducir condiciones reales de
conducción en un ambiente seguro y totalmente controlado (Woon-Sung Lee 1998; Chen
2003).
Como solución a las necesidades del país el Centro de Investigación y Desarrollo de
Simuladores CIDSIM (SIMPRO) ha desarrollado simuladores ampliamente utilizados en
entrenamiento de personal de la producción y los servicios, a la vez que juegos virtuales,
los que se desarrollan exactamente bajo los mismos principios. La solución más económica
para las plataformas de simuladores y juegos ha sido la que utiliza actuadores neumáticos
INTRODUCCIÓN 2
lineales (Aracil, Saltarén et al. 2003; Carducci, Foglia et al. 2004) ya que estos sistemas
tienen grandes ventajas como son la limpieza, altas razones de carga contra peso y carga
contra volumen, desarrollan velocidades comparadas con la de los actuadores eléctricos y
grandes fuerzas, todo esto con un mecanismo operacional simple, permitiendo el desarrollo
de manipuladores compactos, ligeros y rentables que podrían ser utilizados en una gran
variedad de aplicaciones (Shunmugham R. Pandian and Kawamura 2002).
Sin embargo, el control preciso y rápido de los actuadores neumáticos lineales ha sido hasta
ahora difícil, debido al orden del modelo y su dinámica variable en función de la posición.
Lo anterior se debe en gran medida a la compresibilidad del aire, disturbios externos tales
como fricciones estáticas y de coulomb, variaciones de la carga útil y variaciones de la
fuente de la presión (Pearce 2005). Esto convierte el problema del control de movimiento
de los simuladores con plataformas neumáticas, en un elemento de vital importancia por la
complejidad que implican los algoritmos. Es por ello que se necesitan soluciones
particulares de implementación así como pequeños períodos de muestreo debido a la
rapidez que demandan tales sistemas. Esto se observa en trabajos como: (Shunmugham R.
Pandian and Kawamura 2002; Li, Mizukami et al. 2003; Wang and Peng 2003; Xue, Peng
et al. 2003).
El creciente desarrollo de la electrónica y a su vez de las microcontroladores empotrados ha
hecho posible la ejecución en tiempo real de complejos algoritmos de control (Sosa 2007).
Este avance ha provocado un creciente auge en la investigación de algoritmos de control
para actuadores neumáticos haciendo de este tema algo novedoso y reciente.
La carencia de personal capacitado en la esfera de control automático, por la empresa
SIMPRO, no ha permitido que se implementen los algoritmos de control más idóneos para
el funcionamiento de estos sistemas. Hasta el momento tienen implementado un clásico
algoritmo PID el cual no satisface las exigencias de exactitud y de velocidad requeridas,
esto se debe en gran medida a la complejidad de la planta
En tal sentido y como solución a estos problemas el grupo de investigación GIMAS, del
departamento de automática y sistemas computacionales de la UCLV, se ha dado a la tarea
de buscar algoritmos de control para las plataformas (Rubio, Hernández et al. 2007). De
INTRODUCCIÓN 3
manera que se contribuya a elevar las prestaciones de estos sistemas sin altera en gran
medida los costos de producción de dichas plataformas.
De lo expuesto anteriormente se llega al problema científico abordado en este trabajo:
¿Qué algoritmo de control, de bajo costo y fácil implementación, se puede desarrollar para
controlar las plataformas neumáticas de dos grados de libertad que permita elevar
prestaciones necesarias en simuladores de conducción sin modificar en gran medida los
costos de producción?
A partir del problema científico se establece como objeto de estudio de la presente
investigación “los algoritmos de control de fácil implementación y de bajos costos en
actuadores neumáticos” y centrar el campo de acción en “el diseño de un controlador que
permita lograr los menores errores de seguimiento con las mayores velocidades de
respuesta posibles a bajos costos y fácil mantenimiento”
El autor del presente trabajo asume como hipótesis que “es posible el diseño de un
algoritmo de control para los actuadores neumáticos de los simuladores de conducción que
logre los requerimientos planteados a bajos costos y fácil mantenimiento”.
En consecuencia, el objetivo general de la investigación es “contribuir a la elevación de las
prestaciones de las plataformas desarrolladas por SIMPRO al introducir en las mismas un
algoritmo de control de altas prestaciones, que permita, sin modificar en gran medida los
costos de estos dispositivos, aumentar los índices de funcionamiento así como un fácil
mantenimiento”.
Finalmente el objetivo específico de la investigación es “comprobar mediante la
simulación un algoritmo de control, de altas prestaciones, para las plataformas neumáticas
de conducción que no modifique en gran medida los costos de producción y permita
aumentar los índices de funcionamiento así como un fácil mantenimiento”
Con el desarrollo de este trabajo se espera arribar a los resultados siguientes para
cumplimentar lo planteado como objetivos específicos:
1. Se hace una valoración del estado del arte en la temática de algoritmos de control
para sistemas neumáticos.
INTRODUCCIÓN 4
2. Es seleccionado un algoritmo de control de fácil implementación que cumple con
los objetivos propuestos.
3. Se realizan todas las pruebas simuladas necesarias del algoritmo verificando su
desempeño.
4. Se realiza un análisis económico minucioso demostrando la fiabilidad de
implementar dicho algoritmo.
Organización del informe
El presente trabajo está estructurado en tres capítulos. En el Capítulo 1 se muestra, luego de
haber expuesto algunos conceptos de utilidad en el trabajo como son los de: control
automático, control clásico y control moderno, control lineal y no lineal; el estudio
realizado sobre el tema de los controles aplicados a los actuadores neumáticos utilizados en
los simuladores de conducción escogiendo de estos la técnica de control más idónea para el
propósito de este trabajo.
En el Capítulo 2 se describen los conceptos básicos de diseño por ubicación de polos
mediante la realimentación de estado luego de haber obtenido la modelación dinámica del
actuador electro-neumático la que se utiliza para validar el modelo de la plataforma del
simulador de conducción que se obtiene mediante la identificación experimental.
En el Capítulo 3 se procede a la implementación de los algoritmos obtenidos en el Capítulo
2 luego de haber analizado la necesidad de un observador de estado, para logra la
implementación de estos algoritmos, y el efecto de la adición de este al sistema. En un
segundo momento se procede con la síntesis de los controladores y la simulación de los
mismos en Simulink haciendo así un análisis de los resultados obtenidos con cada uno de
estos algoritmos. Por último se realiza un análisis económico del método escogido
comparándolo con alguno de los sistemas de control que actualmente se proponen para este
tipo de sistemas.
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 5
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA
En el presente capítulo se expone brevemente los conceptos de control automático, control
clásico y moderno, control lineal y no lineal. Esta serie de definiciones ayudan a
comprender lo concerniente a los próximos capítulos. Posteriormente se realiza una
revisión bibliográfica sobre el estado del arte de los algoritmos de control aplicados a los
actuadores neumáticos que gobiernan las plataformas de simulación de conducción lo que
nos posibilita la elección de un algoritmo de control específico para aplicarlo a la
plataforma.
1.1 Control automático
El control automático, como una rama de la ingeniería, realiza el análisis de sistemas para
que sea posible el desarrollo de un elemento capaz de modificar el comportamiento de estos
de acuerdo a parámetros preestablecidos.
El control automático ha desempeñado una función vital en el avance de la ingeniería y la
ciencia. Además de su extrema importancia en los sistemas de control de vehículos
espaciales, guiado de misiles, robóticos y similares, el mismo se ha vuelto una parte
importante de los procesos de la industria moderna. Por ejemplo, es esencial en el control
numérico de máquinas industriales, en el diseño de pilotos automáticos en la industria
aeroespacial, y en el diseño y fabricación de automóviles y camiones en la industria
automotriz. Forman parte del diseño de equipos de simulación de diferentes procesos de la
vida real, como la conducción de equipos móviles tanto terrestres como aéreos, con una
amplia aplicación en el desarrollo de juegos y en la industria militar.
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 6
Los avances en el área del control automático, ofrecen los medios adecuados para que los
sistemas cumplan su tarea con altos índices de desempeño y por consecuencia, el hombre se
libere de actividades repetitivas y peligrosas. Del mismo modo, con el funcionamiento
apropiado de los sistemas es posible mejorar la productividad de los procesos.
1.1.1 Control clásico y control moderno
Los métodos de respuesta en frecuencia y del lugar geométrico de las raíces, que forman el
núcleo de la teoría de control clásica, conducen a sistemas estables que satisfacen un
conjunto de requerimientos de desempeño. Estos métodos sólo son válidos para sistemas
lineales y generalmente los sistemas obtenidos son aceptables pero no óptimos en forma
significativa.
Desde el final de la década de 1950, el énfasis en los problemas de diseño de control ha
cambiado del diseño de sistemas que trabajen en forma apropiada, al diseño de un sistema
óptimo en algún sentido.
Conforme los sistemas modernos con varias entradas y salidas se vuelven más complejos,
la descripción de un sistema de control moderno requiere de una gran cantidad de
ecuaciones. La teoría de control clásica, que trata de los sistemas con una entrada y una
salida, pierde su solidez ante sistemas con entradas y salidas múltiples.
A partir de1960, debido a la disponibilidad de las computadoras digitales, se hizo posible el
análisis en el dominio del tiempo de sistemas complejos, la teoría de control moderna;
basada en el análisis en el dominio del tiempo y la síntesis a partir de las variables de
estado, se han desarrollado para enfrentar la creciente complejidad de las plantas modernas
y los requerimientos limitativos respecto a la precisión, peso y costo en aplicaciones
militares, espaciales e industriales.
En la actualidad, las computadoras digitales forman parte integral de los sistemas de
control. Las aplicaciones recientes de la teoría de control moderna también incluyen
sistemas como biológicos, biomédicos, económicos y socioeconómicos. Esta teoría está
basada en el conocimiento del comportamiento interno de los sistemas, reflejado en las
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 7
variables que influyen en su dinámica. Éstas constituyen el concepto de estado del sistema
y son la parte fundamental de dicha teoría. El conocimiento de la evolución de las variables
que influyen en la dinámica del sistema, permite efectuar un control más potente de esta y
su utilización en el control de sistemas más complejos (Domínguez, Campoy et al. 2002).
La teoría moderna de control, se desarrolla para solventar varios de los problemas en los
que presenta fuertes limitaciones la denominada teoría clásica, basada en el modelado de la
relación entre una entrada y una salida de los sistemas dinámicos lineales de parámetros
constantes.
Las ventajas de la teoría moderna de control en contraposición a la teoría clásica son
fundamentalmente las siguientes:
• Es aplicable a sistemas multivariables, en los que existe un elevado grado de
interacción entre las variables del sistema, no pudiendo establecerse lazos de control
entre una salida y una entrada concreta que se puedan ajustar de forma
independiente según se aborda en la teoría clásica.
• Es aplicable a sistemas en los que sus parámetros varían en el tiempo a velocidades
comparables con la evolución de sus variables, en los que no se puede obtener en
consecuencia un modelo de parámetros constantes válido en el intervalo temporal
necesario para efectuar el control.
• Es aplicable a sistemas complejos de control, en los que existe un gran número de
variables internas que condicionan el comportamiento futuro de la salida. La
utilización de la retroalimentación sólo de la salida según el modelo clásico
empobrece la información disponible por el regulador para controlar la planta,
llegando a impedir un control de la salida del sistema con mejores prestaciones.
• Es aplicable a sistemas con relaciones no lineales entre las variables involucradas en
su dinámica, cuyo comportamiento, no puede ser aproximado por un modelo lineal
dentro del intervalo de valores que tomarán sus variables.
Las ventajas que brinda la teoría moderna de control son abordadas por distintas ramas,
denominadas: control multivariable, control óptimo, control por asignación de polos,
control adaptable y control no lineal. Aunque cada una de estas ramas del control
automático utiliza técnicas que le son propias, todas ellas coinciden en la necesidad de un
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 8
modelo del comportamiento de sistemas dinámicos, que incluya la evolución de sus
variables internas, que pueda aplicarse a sistemas multivariables y que puede ser no lineal
y/o de parámetros no constantes. Este modelo del sistema es el denominado modelo de
estado del sistema.
1.1.2 Control lineal
Un sistema de control, puede ser definido como una combinación de componentes
eléctricos y mecánicos que actúan conjuntamente y cumplen un objetivo determinado. Por
otro lado, el control retroalimentado debe establecerse como una operación que en
presencia de perturbaciones (señales externas que afectan el rendimiento del sistema),
tiende a reducir la diferencia provocada entre la salida de un sistema y la entrada de
referencia.
Bajo este enfoque, es posible decir que un sistema de control retroalimentado es aquel que
tiende a mantener una relación preestablecida entre la salida y alguna entrada de referencia.
El sistema de control compara dichas señales y genera una señal de control con base a la
comparación para corregir la salida del sistema. La Figura 1.1 muestra las diferentes
señales y bloques que definen a un sistema de control retroalimentado.
R
H(s)
G(s)Error Salida
Figura 1.1. Sistema de control retroalimentado.
En general, para el análisis de sistemas lineales se consideran ecuaciones diferenciales
lineales, con coeficientes constantes. Además, para el estudio de sistemas lineales se
incluye el método de solución de ecuaciones diferenciales invariantes en el tiempo
conocido como transformada de Laplace, el cual facilita el manejo de expresiones que en el
dominio del tiempo son complicadas, transformándolas al dominio de la variable compleja
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 9
“s”, donde reciben un tratamiento algebraico. Esto puede observarse en la siguiente
ecuación diferencial:
yxxx =++•••
EC 1.1
que representa un sistema físico y que tiene un equivalente en el dominio de la frecuencia
dado por:
( )( ) 1
12 ++
=sssY
sX EC 1.2
Los controladores lineales funcionan adecuadamente si todos los parámetros del sistema
son conocidos de manera exacta, así como también sus condiciones de operación.
Las técnicas de control lineal, se fundamentan en el supuesto de que la planta presenta un
comportamiento aproximadamente lineal en todo el intervalo de operación. Es decir, que
las no linealidades presentes en la dinámica del sistema son pequeñas y suaves.
Cuando se desea controlar una planta no lineal en un amplio intervalo de operación y en
forma precisa, las técnicas de control lineal son insuficientes o tienen que ser muy
sofisticadas. Estos casos se presentan en el campo de la robótica, la aeronáutica y en
procesos industriales, donde las técnicas de control no lineal son las más adecuadas.
1.1.3 Control no lineal
Aunque varias relaciones físicas se representan por medio de ecuaciones lineales, un
estudio de los sistemas físicos indica que la gran mayoría de éstos tienen términos no
lineales. Un ejemplo de ecuación diferencial no lineal es:
( )tsenAxdtdx
dtxd ω
2
2
2
=+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+
EC 1.3
A diferencia de un sistema lineal, en un sistema no lineal no puede aplicarse el principio de
superposición; del mismo modo, el tratamiento con la transformada de Laplace no es
posible. En la Figura 1.2 se muestra la representación de un sistema no lineal. Una
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 10
peculiaridad de este tipo de sistemas es que no se cuenta con una función de transferencia
que indique el comportamiento del sistema en el plano complejo, por lo que un tratamiento
a través del análisis de estabilidad por medio de la función de transferencia no es viable.
R Elementolineal
Elementono l ineal
SalidaError
Figura 1.2. Sistema de control no lineal.
El control no lineal, consiste en el análisis y diseño de sistemas de control que contienen al
menos un componente no lineal. En el proceso de diseño se debe implementar un sistema a
lazo cerrado no lineal partiendo de la definición de las características de comportamiento
del sistema, donde, a partir de una planta no lineal a controlar y algunas especificaciones de
comportamiento a lazo cerrado, la tarea sea construir un controlador que logre que el
sistema a lazo cerrado responda a las características deseadas.
Algunas de las ventajas que brinda el utilizar la metodología no lineal son las siguientes:
a) Mejora de sistemas de control existentes: En el control lineal, inicialmente se asume
que el modelo lineal es válido para un pequeño intervalo de operación. Cuando se
requiere de un rango de operación mayor, el desempeño del controlador lineal se
afecta y el sistema puede ser inestable. Los controladores no lineales, por otro lado,
pueden manejar no linealidades directamente en un intervalo de operación amplio.
b) Análisis de no linealidades fuertes: En el control lineal, se asume que el modelo del
sistema es linealizable. Sin embargo, en los sistemas de control existen no
linealidades cuya naturaleza discontinua no puede ser aproximada por modelos
lineales. Estas no linealidades fuertes incluyen la fricción de Coulomb, zona muerta,
histéresis y saturación, que frecuentemente existen en la ingeniería de control. Sus
efectos no pueden aproximarse por modelos lineales y deben desarrollarse técnicas
de análisis no lineal para predecir el rendimiento del sistema en presencia de estas
no linealidades.
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 11
c) Manejo de incertidumbres: En el diseño de controladores lineales, es necesario
asumir que los parámetros del modelo del sistema son conocidos; sin embargo,
muchos problemas de control contienen incertidumbres en los parámetros de los
modelos, debiéndose a variaciones lentas o abruptas de los parámetros. Un
controlador lineal basado en la inexactitud o desconocimiento de algunos
parámetros del modelo del sistema puede presentar un bajo rendimiento o
inestabilidad (Jean–Jacques and Weiping 1991).
1.2 Control de actuadores neumáticos
Hoy en día los dispositivos neumáticos son ampliamente utilizados en los campos de la
industria moderna. Esta creciente popularidad se debe principalmente a sus bajos costos de
mantenimiento, su buena relación fuerza/peso y que es una tecnología muy limpia en
cuanto al factor ruido. Sin embargo debido a los procesos físicos que ocurren en estos
sistemas el control de los mismos se hace una tarea muy difícil. Un número de
características como son: la fricción, variaciones en la dinámica del actuador debido a
cambios en la carga y en la posición del pistón a lo largo del cilindro, hacen a la dinámica
de estos completamente no lineal y dependiente de la posición, complicando el diseño de
los controladores de lazo cerrado (Laghrouche, Smaoui et al. 2004).
Muchos son los trabajos que proponen estrategias de control lineal y no lineal en pos de
mejorar el desempeño de estos sistemas. En tal sentido se reporta el uso de diversas
técnicas de control: en (Brun, Mazouz et al. 2000), a partir de lograr estructurar parte del
comportamiento no lineal del sistema, se plantea una estrategia de control no lineal sobre
esa base; en (Yamada, Tanaka et al. 2000) se propone un control por ubicación de polos
adaptable con linealizador neuronal; Schulte desarrolla un controlador por realimentación
de estados a partir de la identificación experimental con técnica borrosa del sistema
(Schulte and Hahn 2003). También se reportan los controladores: robusto (Wang, Wang et
al. 2001), adaptativos por modelo de referencia (Sakamoto, Matsushita et al. 2002), por
observador de estados (Pandian, Takemura et al. 2002), por realimentación de estados con
técnica fuzzy (Schulte and Hahn 2004), por redes neuronales (Song and Liu 2006), robusto
por QFT (Karpenko and Sepehri 2004). De estos últimos cinco diseños los cuatro primeros
CAPÍTULO 1. REVISIÓN BIBLIOGRÁFICA 12
son complejos reguladores no lineales que directa o indirectamente realimentan aceleración
y su derivada para garantizar robustez, mientras que el último la garantiza realimentando
presión lo cual encarecería mucho el sistema.
Mas recientemente en (Igor and German 2006) se plantea que uno de los algoritmos de
control más utilizados es el de ubicación de polos implementando un PVA (realimentación
de posición, velocidad y aceleración) utilizando un observador para estimar la velocidad y
la aceleración. Esta estrategia de control es muy común utilizarla cuando se requiere de un
sistema que posea una respuesta rápida y una exactitud muy elevada. Debido a su fácil
implementación y los resultados obtenidos en la práctica esta es una variante por la que se
puede apostar para el control de este tipo de sistema. Otra de las ventajas que nos ofrece es
que los costos de implementación del algoritmo son relativamente bajos, puesto que sólo
utiliza el sensor de posición.
1.3 Conclusiones parciales
El análisis de las estrategias de control aplicadas a los actuadores neumáticos permite
arribar a la conclusión de que el método por ubicación de polos, gracias a las facilidades
que brinda, debe cumplir con las exigencias de velocidad y de exactitud así como con las
económicas. Pudiendo hacer fiable su uso en el control de posición de los actuadores
neumáticos que se encargan del movimiento de la plataforma de simulación desarrollada
por la empresa SIMPRO. En los siguientes capítulos se analiza teóricamente el método
propuesto, haciendo la comprobación del mismo mediante la simulación para luego analizar
si se cumplen los objetivos propuestos por esta investigación.
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 13
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO
Como se comentó en el capítulo anterior los actuadores neumáticos de desplazamiento
lineal, posicionando cargas de forma discreta, tienen un amplio uso a escala industrial por
sus características ya mencionadas, no obstante, un control rápido y preciso de estos
actuadores implica el uso de algoritmos no convencionales que demandan soluciones
particulares de implementación. En el presente capítulo se pretende exponer la teoría del
algoritmo de control mediante asignación de polos.
Primeramente se realiza la modelación dinámica de los actuadores electro-neumáticos, a los
que posteriormente en el Capítulo 3 se les aplicará dicho control, considerando la diferencia
entre las constantes de tiempo de las cámaras del cilindro y el subdimensionamiento del
carrete de la válvula. Seguidamente se realiza una identificación experimental por tramos
de los actuadores en la plataforma desarrollada por SIMPRO y finalmente se exponen dos
métodos para la obtención del controlador.
2.1 Estado del arte en modelación de sistemas electro- neumáticos
Diversos autores han desarrollado analíticamente el modelo matemático de estos sistemas
con mayor o menor grado de complejidad (Burrows 1972; Brun, Mazouz et al. 2000;
Richer and Hurmuzlu 2000; Tressler, Clement et al. 2002; Janiszowski 2004). En todos
estos trabajos se llega a un modelo de tercer orden con parámetros claramente dependientes
del volumen de las cámaras del cilindro que a su vez depende de la posición en que se
encuentre su émbolo. Por tanto, para facilitar la linealización del modelo se trabaja
alrededor de la posición para la cual los volúmenes son iguales o se promedian las
constantes de tiempo que estos introducen. En todos los casos se considera que el carrete de
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 14
la válvula está perfectamente dimensionado, lo que significa que la válvula queda
totalmente cerrada en su posición central sin fugas de aire cosa que realmente no ocurre.
Por otra parte, la determinación práctica de los coeficientes que conforman el modelo
matemático de estos sistemas no es sencilla, especialmente los relacionados con las
fricciones y el flujo a través de la válvula, máxime si se considera que realmente son
subdimensionadas. Esto hace que en muchos trabajos se recurra a técnicas de identificación
experimental para obtener modelos que permitan el diseño de los controladores (Schulte
and Hahn 2003; Zorlu, Özsoy et al. 2003).
(Sartorius, Rubio et al. 2006) presenta la modelación físico matemática de los sistemas
electro-neumático lineal considerando la diferencia entre las constantes de tiempo de las
cámaras del cilindro y el hecho práctico de que el carrete de la válvula es subdimensionado.
De esta forma obtiene un modelo con comportamiento dinámico de tercer orden
dependiente de la posición del cilindro, el cual describe de forma más precisa la dinámica
del sistema. Adicionalmente realiza un proceso de identificación experimental por tramos
del sistema electro-neumático real de pruebas consistente en la plataforma desarrollada por
SIMPRO que, teniendo en cuenta que el sistema tiene un polo próximo al origen, se hace
en lazo cerrado. Finalmente obtiene una familia de modelos que, por aproximación
estadística, se combinan en uno sólo que varía de forma continua su dinámica en función de
la posición del émbolo del cilindro, obteniendo como resultado un modelo experimental
continuo muy cercano al modelo dinámico teórico de tercer orden reportado en la literatura.
2.2 Modelación dinámica del actuador
Las válvulas neumáticas de carrete no deben hacerse perfectamente ajustadas puesto que el
aire no es un buen lubricante y la haría muy sensible a la suciedad. Por esta razón en la
práctica necesariamente deben quedar subdimensionadas (Burrows 1972). Siguiendo este
análisis, para la posición central del carrete, y sus alrededores, se tendrán fugas de aire
hacia ambas cámaras del cilindro a través de orificios de áreas x1e y x2e, y de éstas hacia el
exterior a través de orificios de áreas x1s y x2s, lo cual se muestra en la Figura 2.1. Esto trae
como consecuencia que en lazo cerrado la acción de control U se estabilice en un valor tal
que las presiones en las cámaras del cilindro, que como consecuencia se establezcan,
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 15
provoquen el equilibrio de fuerzas del sistema cuando la posición no varía; en ese momento
los flujos másicos hacia y desde el cilindro son nulos: q1 = q2 = 0.
q1e q1s
Figura 2.1. Representación de la Válvula (Pat: Presión Atmosférica)
Bajo esas condiciones y teniendo como posible perturbación una fuerza externa Fext, del
balance de fuerzas se llega a:
)()()()()( 22211 sYsfMssFsPAsPA vext +=+− EC 2.1
Donde:
P1, P2: Presiones en las cámaras del cilindro (Pa).
A1, A2: Área del pistón para cada cámara (m2).
Fext: Fuerza externa (N).
M: Masa de la carga y el pistón (kg).
fv: Constante de fricción viscosa (N / m/s).
Y: Posición de la masa (m).
Despejando la masa de la ecuación de estado de los gases ideales y derivando respecto a la
presión y el volumen, las variaciones del flujo másico quedan:
Pat
Pat
Ps q2
q1 x1e(u)
x2e(u)
x1s(u) p1
p2 x2s(u)
q2e q2s
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 16
)()()()(
)()()(
222
22
111
11
ssYRTpA
ssPRT
yLAsQ
ssYRTpA
ssPRT
yAsQ
oo
oo
−−
=
+= EC 2.2
Donde:
R: Constante de los gases (J/kgºK).
T: Temperatura del gas en las cámaras (ºK).
L: Largo del cilindro (m).
Yo: Posición de operación (m).
P1o, P2o: Presión de operación en las cámaras (Pa).
A1, A2: Área del pistón para cada cámara (m2).
Las ecuaciones EC 2.2 pueden abreviarse haciendo:
RTpA
KRT
yLAK
TRpA
KTRyAK
oy
op
oy
op
222
22
111
11
)(=
−=
⋅=
⋅=
EC 2.3
K1p, K2p en (kg/Pa) y K1y, K2y en (kg/m). Quedando:
)()()(
)()()(
2222
1111
ssYKssPKsQ
ssYKssPKsQ
yp
yp
−=
+= EC 2.4
Los flujos másicos hacia las cámaras del cilindro; linealizando la EC 2.4 y aplicando
transformada de Laplace; atendiendo a la Figura 2.1, resultan:
)()()()()()(
2222
1111
sPCsXGsQsPCsXGsQ
−−=−=
EC 2.5
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 17
Donde las constantes G1, G2 (kg/sm2) y C1, C2 (kg/sPa) son las derivadas parciales del flujo
másico evaluadas en el punto de operación para cada caso:
02
2
02
22
01
1
01
11
s
s
e
e
s
s
e
e
xq
xqG
xq
xqG
∂∂
+∂∂
=
∂∂
+∂∂
=
EC 2.6
02
2
02
22
01
1
01
11
pq
pq
C
pq
pq
C
se
se
∂∂
+∂∂
−=
∂∂
+∂∂
−=
EC 2.7
Igualando EC 2.4 y EC 2.5, despejando P1 y P2:
( ) ( )
( ) )()()(
)()()(
22
2
22
22
11
1
11
11
sYCsK
sKsX
CsKGsP
sYCsK
sKsX
CsKGsP
p
y
p
p
y
p
++
+−=
+−
+=
EC 2.8
La función de transferencia global del sistema puede obtenerse sustituyendo EC 2.8 en EC
2.1 y agrupando Y(s) y X(s):
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
++
++
++
+=
1/
1/
1/
1/
)()(
2
222
1
111
2
222
1
111
sCKA
sCKA
fMss
sCGA
sCGA
sXsY
yyv ττ
ττ EC 2.9
Donde:
2
22
1
11 y
CK
CK pp == ττ EC 2.10
que son las constantes de tiempo de cada cámara que se promedian para llegar al modelo
ideal (Brun, Mazouz et al. 2000).
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 18
Manipulando algebraicamente, EC 2.9 resulta ser una función de cuarto orden con uno de
sus polos en el origen y un cero:
( )sasasasabsb
sXsY
012
23
3
01
++++
=)()(
EC 2.11
Donde:
2211120
1222111
GACGACb
KGAKGAb pp
+=
+= EC 2.12
vyy
pypy
vpvp
ppvpp
pp
fCCCKACKAa
KKAKKA
fKCfKCMCCa
MKCMKCfKKa
MKKa
211222110
122211
1221211
2112212
213
++=
++
++=
++=
=
EC 2.13
Sustituyendo EC 2.3, EC 2.8 y EC 2.9 en EC 2.14 y EC 2.15 se puede observar que estos
coeficientes, al igual que sucede con los del modelo de Brun, una vez definido el punto de
operación de la válvula quedan exclusivamente dependientes de la posición alrededor de la
cual se encuentre trabajando el sistema, puesto que el resto de los parámetros son
constantes.
Con datos reales de un sistema electro-neumático, Rubio (Sartorius, Rubio et al. 2006),
presentes en la Tabla 2.1 , se procede a calcular el modelo según EC 2.11 variando la
posición (Yo) de un extremo a otro del cilindro.
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 19
Tabla 2.1. Datos reales de un sistema electro-neumático.
Pto operación Datos físicos Constantes
uo = -1.73% M = 4.1 Kg rc = 0.3
x1eo = 0.22*10-6 m2 Fv=0.12*103N/m/s K = 0.03Kg/sm2Pa
x1so = 0.42*10-6 m2 T = 293 ºK Ps = 7*105 Pa
x2eo = 0.27*10-6 m2 A1 = 1256*10-6 m2 Pa = 1*105 Pa
x2so = 0.36*10-6 m2 A2 = 1056*10-6 m2 R = 287.2 J/KgºK
p1o = 4.77*105 Pa L = 400*10-3 m
Para ello, con los valores de las áreas efectivas de los agujeros de la válvula para el punto
de operación, determinados experimentalmente según el método de Kawashima
(Kawashima, Funaki et al. 2003), se calculan las constantes C y G según EC 2.8 y EC 2.9,
estas, junto con EC 2.3 y el resto de los datos, se sustituyen en EC 2.14 y EC 2.15
quedando todos los coeficientes en función de la posición:
6-0
0-9-7
1
1041.1
103.71-1059.1
⋅=
⋅⋅⋅=
b
yb EC 2.14
130
140
151
160
1520
142
0-162
016
3
1036.3
105.74 10.885
1007.3 100349 10-2.24
103.07 10-7.67
−
−−
−−−
−
⋅=
⋅+⋅⋅=
⋅+⋅⋅+⋅⋅=
⋅⋅+⋅⋅=
a
ya
yya
yya
EC 2.15
Sustituyendo EC 2.14 y EC 2.15 en EC 2.11 y variando la posición desde 30 hasta 370
mm, se obtiene la variación de los polos y ceros que se muestra en la Figura 2.2.
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 20
-30 -20 -10 0 10-60
-40
-20
0
20
40
60 y=30
y=370 -8 -6
-5
0
5
Figura 2.2. Variación de los polos y ceros para posición (Yo) de 30 a 370 mm.
Donde se puede apreciar que el cero prácticamente compensa la dinámica introducida por
el polo real, por lo que el sistema se comporta como uno de tercer orden, así lo indica la
mayoría de la literatura consultada, que puede representarse por la función de transferencia
siguiente:
( )22 2)(
nnsssbsGyx
ωϕω ++= EC 2.16
Donde ωn y φ son la frecuencia natural de oscilación y razón de amortiguamiento del
sistema respectivamente y b representa la ganancia del sistema.
2.3 Identificación y obtención del modelo de la plataforma
Teniendo en cuenta los resultados obtenidos en el modelado analítico de un actuador
neumático, analizando el subdimensionamiento de la válvula, apreciando además que el
modelo obtenido es uno de tercer orden con un polo en el origen pero que responde con
mayor veracidad a la planta real en cuestión, pasamos a la identificación experimental de la
plataforma de simulación.
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 21
2.3.1 Datos técnicos fundamentales de la plataforma El simulador de conducción, desarrollado por SIMPRO y ampliamente utilizado en
entrenamiento del personal cliente de esta empresa, consta de una cabina con todos los
mandos reales a los que se enfrenta el conductor en un vehículo, que puede ser ligero o
pesado, y un monitor a través del cual puede ver el mundo virtual por el que se mueve. La
cabina pivotea sobre una columna central mediante una articulación cardánica y se
estabiliza en un plano mediante la acción de los cilindros neumáticos que, ubicados en dos
de sus extremos perpendiculares, le imprimen al conductor las sensaciones de ladeo y
cabeceo producto de las pendientes del mundo virtual en que se mueve Figura 2.3.
Figura 2.3. Estructura mecánica y sistema electro-neumático del simulador de conducción.
Los datos mecánicos más importantes de la plataforma del simulador se ofrecen en la Tabla
2.2 (Quintana 2000). El origen de coordenadas para las medidas de longitud y ubicación del
centro de masa (CM) se establece en el pivote central, como se muestra en la Figura 2.3,
con la cabina en horizontal.
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 22
Tabla 2.2. Datos mecánicos del Simulador
Masa total de la cabina* 510 Kg
Posición del CM en Z 480 mm
Posición del CM en X 100 mm
Posición del CM en Y 60 mm
Distancia del origen a cada cilindro 500 mm
Elongación de los cilindros ±150 mm
Ángulos de ladeo y cabeceo ±0.26 rad
(*) Para un conductor promedio de 70 Kg
Cada articulación electro-neumática está formada por un cilindro FESTO DNC-100-400
gobernado por una válvula proporcional de flujo FESTO MPYE-5-3/8 y cuya posición se
mide con un potenciómetro lineal FESTO MLO-POT-450.
2.3.2 Identificación experimental Producto del integrador propio del sistema y la dependencia del modelo de su posición, el
proceso de identificación debe hacerse en lazo cerrado Figura 2.4 pues de otra forma no
podría lograrse variaciones estables alrededor de la posición central que es la que determina
la dinámica más crítica del sistema. El lazo se cierra con un regulador proporcional cuya
ganancia es conocida (Kp) (Sartorius, Rubio et al. 2006).
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 23
Posicion
PRBS Kp Volt mm
Sistema Electro-neumatico
Figura 2.4. Esquema del proceso de identificación.
Dado que se conoce perfectamente el regulador, y siempre que no se sature la mejor forma
de obtener el modelo es mediante la Identificación Indirecta (Ljung 1999).
Aplicando los métodos de estimación, se determina primeramente la función de
transferencia del lazo cerrado (Glc) a partir de las señales de salida (Y) y entrada (PRBS).
Con ella se tiene la siguiente relación:
)()(
)(1)()()(
zdenGlcznumGlc
zGsisKpzGsisKp
PRBSzYzGlc =
⋅+⋅
== EC 2.17
De EC 2.17, como Kp es conocida, se puede despejar y obtener, finalmente, la función de
transferencia del sistema en lazo abierto (Gsis) EC 2.18:
( ) )()(
)(
)(1)(
)()()(
znumGlczdenGlcKp
znumGlc
zGlcKpzGlc
zUzYzGsis
−=
−== EC 2.18
La identificación experimental se realiza durante 10 segundos, muestreando a 1ms
excitando el sistema con una señal PRBS y una ganancia proporcional tal que el sistema
quede persistentemente excitado (Zorlu, Özsoy et al. 2003).
A partir del modelo obtenido en lazo cerrado y obviando algunos elementos que no
corresponden a la estructura esperada se determina el modelo de lazo abierto según EC
2.18 y se transforma al dominio continuo del tiempo.
Dado que la plataforma del simulador es un sistema más complejo que una simple
articulación electro-neumática con masa constante, se estiman modelos ARMAX de
diferentes órdenes. El que mejor ajusta su salida a la respuesta real del sistema, con más del
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 24
65%, y cuyo análisis de la correlación de sus residuos con la señal de entrada está dentro
del intervalo de confianza para el caso, resultó ser el de 5to orden EC 2.19.
( ) 88263645
108273445
5 102311031210391092328761051210114101221088402240210
.........s.
++++++++−−
=sssss
sssssG EC 2.19
Para facilitar el método de diseño del controlador se procede a reducir el modelo G5 a su
equivalente de tercer orden, semejante a la EC 2.16 con un polo en el origen y un par
complejo conjugado. Para esto se toma del original su ganancia estática y los polos
complejos dominantes, teniéndose como resultado el modelo siguiente:
( ) ( )2.587.12.588.101)( 2
012
0
+⋅+⋅⋅
=+⋅+⋅
⋅=
sssasassaksGr EC 2.20
El cual tiene una representación en espacio estado de la siguiente forma:
UU
DXCYBXAX
+=+=
•
EC 2.21
Donde las matrices tienen los siguientes valores:
,..
,.. ⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
258810100
712580100010
BA [ ] 0DC == ,001 EC 2.22
Pudiéndose apreciar de la manera siguiente:
[ ] 0DCBA ==⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
−−= ,,, 001
b00
w2w0100010
d2
d ζ EC 2.23
En la Figura 2.5 se comparan los gráficos de respuesta de frecuencia de los modelos G5 y
Gr, en ella puede apreciarse que son diferentes para las bajas y altas frecuencias; en el caso
de las bajas frecuencias esto es debido a que se ha puesto el polo del reducido justo en el
origen eliminando de este modelo el efecto de la fricción y el subdimensionamiento de la
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 25
válvula, para las altas frecuencias la diferencia es producto de la discretización del sistema;
y puede verse que alrededor de la frecuencia natural no amortiguada los modelos son
prácticamente iguales por lo que la dinámica principal de estos sistemas es lo
suficientemente próxima como para proceder al diseño del controlador con el modelo Gr
anteriormente obtenido.
10-2
100
102
-100
-50
0
50
100
Magnitud (dB) vs Frecuencia (rad/s)
G5
Gr
Figura 2.5. Gráfico de Bode para el modelo en lazo abierto de 5to orden y su equivalente
reducido.
2.4 Conceptos básicos de diseño
El diseño de controles por asignación de polos mediante la realimentación de estados es
algo análogo al método del lugar geométrico de las raíces ya que se colocan los polos en
lazo cerrado en las posiciones deseadas. La diferencia básica es que en el diseño en el lugar
geométrico de las raíces se sitúan los polos dominantes, mientras que en el diseño por
asignación de polos se colocan todos los polos en lazo cerrado.
En el enfoque convencional del diseño de un sistema de control con una sola entrada y una
salida, se diseña un controlador (compensador) tal que los polos dominantes en lazo
cerrado tengan una razón de amortiguamiento ξ y una frecuencia natural no amortiguada
wn deseada. En este método, el orden del sistema aumenta en 1 o 2, a menos que ocurra una
cancelación de polos o ceros. Obsérvese que en este método se supone que los efectos sobre
la respuesta de los polos de lazo cerrado no dominantes son despreciables.
En lugar de especificar sólo los polos dominantes en lazo cerrado (enfoque del diseño
convencional), el enfoque de asignación de polos por realimentación de estados especifica
todos los polos de lazo cerrado. Sin embargo hay un costo asociado con colocar todos los
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 26
polos de lazo cerrado, porque hacerlo requiere tener buenas medidas de todas las variables
de estado, o bien incluir un observador de estado en el sistema. También existe un requisito
por parte del sistema para que los polos de lazo cerrado se puedan situar en posiciones
elegidas de forma arbitraria. La exigencia es que el sistema sea de estado completamente
controlable (Ogata 2002).
El primer paso en el método de diseño es escoger la ubicación de los polos en lazo cerrado
deseados. El método más utilizado es elegir tales polos basándose en la experiencia que se
tiene del diseño mediante el lugar geométrico de las raíces, colocando un par de polos
dominantes en lazo cerrado y eligiendo los otros polos de forma que estén suficientemente
alejados a la izquierda de los dominantes en lazo cerrado.
Es importante señalar que la sintonía del control no es única para un sistema dado sino que
depende de las posiciones deseadas de los polos de lazo cerrado seleccionados, siendo este
un criterio que puede variar con el diseñador. Note que la elección de la ecuación
característica del sistema es un compromiso entre la rapidez del sistema y la sensibilidad
ante perturbaciones y ruidos en la medida. Por tanto es conveniente al determinar la matriz
de ganancias de realimentación del estado hacerlo con varios criterios y mediante la
simulación comparar los resultados obtenidos y elegir así el mejor criterio de sintonía del
controlador.
2.4.1 Diseño de sistemas por asignación de polos mediante la realimentación estados
La técnica de diseño empieza con la elección de la ubicación de los polos de lazo cerrado a
partir de la respuesta transitoria y/o las especificaciones de la respuesta en frecuencia, tales
como velocidad, razón de amortiguamiento, o ancho de banda, al igual que los requisitos en
estado estacionario.
Supóngase que se decide que los polos de lazo cerrado deseados estén
en . Seleccionando una matriz de ganancias apropiada para la
realimentación del estado, es posible hacer que el sistema tenga los polos de lazo cerrado en
las posiciones deseadas.
n21 µs,,µs,µs === K
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 27
A continuación se describe el método de diseño:
Sea un sistema de control de la forma:
XCYUBXAX
=+=
•
EC 2.24
Donde
X=vector de estado (vector de dimensión n).
Y=señal de salida (escalar).
U= señal de control (escalar).
A=matriz de coeficientes constantes n x n.
B=matriz de coeficientes constantes n x 1.
C=matriz de coeficientes constantes 1 x n.
Se selecciona la señal de control
XK−=U EC 2.25
La determinación de la matriz K se puede realizar utilizando el método de sustitución
directa. La sustitución directa de la matriz K en el polinomio característico deseado nos
brinda una simple solución para lograr la ubicación deseada de los polos de lazo cerrado.
Por ejemplo considere un sistema de orden 3, escriba la matriz de ganancias de
realimentación de estados K como
[ ]321 kkk=K EC 2.26
Sustituya EC 2.26 en el polinomio característico deseado KBAI +−s e iguálelo
con ( ) ( ) ( 321 )µµµ −−− sss , o
KBAI +−s = ( ) ( ) ( )321 µµµ −−− sss EC 2.27
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 28
Como ambos miembros de EC 2.27 son polinomios en “s”, igualando en ellos los
coeficientes de las potencias iguales de “s” es posible determinar los valores de la
matriz K . Este sistema en lazo cerrado no posee entrada, siendo su objetivo mantener la
salida a cero y es conocido como un sistema regulador. A continuación explicaremos la
aplicación de esta técnica a sistemas de control con entrada de referencia.
2.5 Diseño de sistemas de control mediante la asignación de polos
En la práctica existen dos métodos de diseño, el primero cuando la planta posee un
integrador puro el cual garantiza cero error en estado estable ante entrada de referencia no
así ante disturbio y el segundo cuando la planta no posee un integrador puro y por lo tanto
hay que incluirle uno para lograr que el error ante referencia sea cero en estado estable. Es
de interés exponer ambos métodos de diseño puesto que serán usados en las próximas
secciones de este trabajo.
2.5.1 Diseño de sistema de control cuando la planta posee integrador
Considere el sistema descrito por EC 2.24 en el cual mediante la correcta selección de las
variables de estado se hace posible que la salida del mismo sea igual al estado . 1x
La Figura 2.6 muestra la configuración general del sistema cuando la planta posee un
integrador. Se supone que y que la entrada de referencia es una función escalón. 1xY =
K2
Kn
K3
K1R Y=CXdx/dt=AX+BU Y=X1
X1
X2
X3
Xn
Error
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 29
Figura 2.6. Sistema de control cuando la planta tiene un integrador.
En este sistema se implementa el siguiente esquema de control mediante la realimentación
de estado:
EC 2.28
Donde .
Supóngase que la entrada de referencia se aplica en
[ ] ( ) RkxRk
x
xx
kkkU
n
n 1112
1
320 +−=−+
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−= XKM
K
[ ]nkkkk K321=K
0=t . Así, para 0>t , la dinámica del
EC 2.29
El sistema será diseñado de manera que los polos de lazo cerrado se ubiquen en las
posiciones deseadas. El sistema será un sistema asintóticamente estable,
sistema se puede describir mediante la EC 2.24, o bien como
( ) RkU 1BXKBABXAX +−=+=•
( ) RY =∞
y . Observe que, en estado estacionario, se tiene que
BXKBA EC 2.30
( ) 0=∞U
( ) ( ) ( ) ( )∞+∞−=∞•
RkX 1
Considerando que ( )tR es una entrada escalón, se tiene ( ) ( ) rtRR ==∞ (constante) para
todo .
Restando la EC 2.29 de la EC 2.30, se obtiene lo siguiente
La EC 2.32 define la dinámica del error.
0>t
( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]∞−−=∞−••
XXKBAXX tt EC 2.31
Si se define ( ) ( ) ( )tt EXX =∞− la EC 2.31 se convierta en
( )EKBAE −=•
EC 2.32
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 30
El diseño del sis a se convierte aquí en el dise tema regulador
asintó m
tem ño de un sis
tica ente estable tal que ( )tE tiende a cero, para cualquier condición inicial ( )0E . Si
letamente controlable, entonces
especificando los valores propios deseados para la matriz , la matriz
el sistema definido mediante la EC 2.24 es de estado comp
n21 µ,,µ,µ K KBA −
K se determina mediante la técnica de asignación de polos vista en la sección 2.2.
2.5.2 Diseño del sistema de control cuando la planta no posee un integrador
l principio básico del diseño es insertar, en la
trayectoria directa entre el comparador de error y la planta, un integrador como se muestra
Si la planta no posee un integrador, e
en la Figura 2.7. A partir de este diagrama se obtiene:
UBXAX +=•
EC 2.33
XC=Y EC 2.34
ξIkU +−= XK EC 2.35
=
U= señal de control (escalar).
A=matriz de coeficientes constantes n x n.
B=matriz de coeficientes constantes n x 1.
C=matriz de coeficien s constantes 1 x n.
ξξ C−=−•
RYR EC 2.36
Donde
X=vector de estado (vector de dimensión n).
Y=señal de salida (escalar).
te
ξ =salida del integrador (variable de estado del sistema).
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 31
R=señal de entrada de referencia (escalar).
K1
Kn
K2
KiR Y=CXdx/dt=AX+BU1s
Y=X1
X1
X2
X3
Xn
Error
Figura 2.7. Sistema de control cuando la planta no posee integrador.
btiene mediante
EC 2.37
Para evitar la posibilidad de que el integrador se cancele con un cero en el origen se supone
que EC 2.37 no pose un cero en el origen.
Supóngase que la entrada de referencia se aplica en
La función de transferencia de la planta se o
( ) ( ) BAIC 1G −−= ssP
0=t . Así, para , la dinámica del
sistema se puede describir mediante una ecuación que es la combinación de EC 2.33 y la
EC 2.36:
( )
0>t
( )( ) ( ) ( ) ( )tRtU
t
t
t ⎤⎡+
⎤⎡+
⎤⎡⎤⎡=⎥
⎤
⎢⎢⎣
⎡•
•0BX0AX
ξ
EC 2.38
e
t ⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣−⎥⎦
100C ξ
Se diseñará un sistema asintóticamente estable, tal qu ( ) ( ) ( )∞∞∞ UX ,, ξ tiendan,
respectivamente, a valores constantes. Así, en estado y se
obtiene .
estacionario, 0=•
ξ
( ) RY =∞
Obsérvese que en estado estacionario, se tiene que:
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 32
( )( )
( )( ) ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦∞
EC 2.39
Considerando que es una entrada escalón, se tiene
( ) ( )∞⎥⎤
⎢⎡
+⎥⎤
⎢⎡
+⎥⎤
⎢⎡
∞∞
⎥⎤
⎢⎡−
=⎥⎥⎤
⎢⎢⎣
⎡ ∞•
•
RtU10
00BX
C0AX
ξξ
( )tR ( ) ( )tRR ==∞ r (constante) para
todo . Restando la EC 2.39 de la EC 2.38, se obtiene:
)]∞⎥⎢⎥⎢ ∞−⎥⎢−⎥
⎤
⎢
⎡
t 00C ξξ
EC 2.40
Se define
0>t
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ([ −⎦
⎤
⎣
⎡+
⎦
⎤
⎣
⎡ ∞−
⎦
⎤
⎣
⎡=
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎣ ∞−
∞−••
••
UtUt
t
t BXX0AXX
ξξ
( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )tUUtU
tttXXtX
e
e
e
=∞−=∞−=∞−ξξξ
Entonces la EC 2.40 se puede escribir como
( )tt
ee
e
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣
⎥⎦
⎢⎣−⎥
⎥⎦⎢
⎢⎢
⎣
⎡
•
•
00CX
ξξ
EC 2.41
Donde
( ) ( ) ( )tUtt ee
⎤⎡+
⎤⎡⎤⎡=⎥
⎤BX0A
( )
( ) ( ) ( )tkttU eIee ξ+−= XK EC 2.42
Se define un nuevo vector de error ( )tE de dimensión ( )1+n mediante
EC 2.43
Así sustituyendo EC 2.43 en la EC 2.41 se tiene que
EC 2.44
( ) ( )( ) ( )1dimencióndevector +→⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= n
ttX
tEe
e
ξ
eUBEAE ˆˆ +=•
CAPÍTULO 2. CONCEPTOS BÁSICOS DE DISEÑO 33
Donde y la EC 2.42 se convierte en
EC 2.45
Donde . La ecuación de estado del error se puede obtener sustituyendo la
EC 2.45 en la EC 2.44 obteniéndo e así
EC 2.46
Si los valores de la matriz se especifican com
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0
ˆ,0
ˆ BB
C0A
A
EK̂−=eU
[ ]IkMKK =ˆ
s
( )EKBAE ˆˆ −=•
KBA ˆˆ − o 121 ,,,, +nn µµµµ K , entonces la
matriz de ganancias de realimentación de estado K y la constante integral pueden
os visto en la sección 2.4.1.
2.6 Conclusiones parciales
ste momento se ha an controladores. De los
métodos vistos el primero es el propuesto por la mayoría de los autores en el control punto
a punto de los actuadotes neumáticos con una masa fija acoplada. El segundo método,
según la teoría, es utilizado en las plantas que no poseen integrador. Puesto que el sistema
en este trabaj
adición de una acción integral en la trayectoria
directa para garantizar cero error en estado estable ante disturbio. Es por ello que se explica
el método de diseño cuando la planta no posee integrador pues se logra con su uso la
adición de una acción integral en la trayectoria directa. Hasta este momento se considera
dispon
tados del
stema.
Ik
determinarse mediante el método de asignación de pol
Hasta e alizado el modo de diseño de estos
tratado o es más complicada que un simple pistón con una masa fija, se
propone, como elemento novedoso, la
que los estados se encuentran ibles para su realimentación lo que no siempre es así.
En el próximo capítulo se realizará el cálculo de dichos controles con su correspondiente
análisis ante disturbio además de proponer un método para la obtención de los es
si
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 35
CAPÍTULO 3. DISEÑO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS
Hasta este momento se supuso que todas las variables de estado estaban disponibles para su
realimentación. Sin embargo, en la práctica no todas las variables de estado están accesibles
para poder realimentarse. Entonces se necesita estimar las variables de estado que no están
disponibles. La estimación de variables de estado no medibles se denomina normalmente
observación. A continuación se hace un breve bosquejo sobre el estado del arte en cuanto al
diseño de observadores y se analizará un método de diseño para un observador de orden
completo y su efecto al adicionarlo a la acción de control en un sistema determinado. En
una segunda parte se calcularán los controles ya mencionados haciendo un análisis ante
disturbio. Luego se diseñará un algoritmo de seguimiento de trayectoria y por último se
realizará el análisis económico del método propuesto.
3.1 Estado del arte de las técnicas de observación en actuadores neumáticos
En los años recientes investigadores han estudiado extensivamente la teoría del observador
en el diseño de observadores de velocidad y fuerza para los manipuladores de robots
eléctricamente actuados y los de presión y de perturbaciones para los actuadores
hidráulicos.
El problema del observador para actuadores neumáticos no ha recibido mucha atención
hasta ahora en la literatura. En (Bourdat, Richard et al. 1991) se ha considerado el diseño de
un observador lineal para la estimación del signo de la velocidad. En este trabajo los
resultados están inconclusos con respecto a la superioridad del observador a la
diferenciación numérica para obtener las estimaciones de velocidad y aceleración.
Noritsugu y Takaiwa (Takaiwa and Noritsugu 2005) ha usado a un observador para estimar
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 36
las perturbaciones de la fricción y de la interacción de fuerzas. Su diseño es basado en la
dinámica linealizada y requiere de sensores de velocidad y presión. En (Pandian, Takemura
et al. 2002) se implementa un observador para estimar la presión en las cámaras del cilindro
usando las variables medidas, dígase velocidad y posición, además es necesario el uso de
un sensor de presión debido a que las dos presiones no pueden ser simultáneamente
observadas. En ambos casos el diseño se ve encarecido por el uso de sensores de presión.
Mas recientemente en (Bigras 2005) se propone un observador no lineal en modo deslizante
el cual presenta el mismo problema que los anteriores.
En (Igor and German 2006) se propone el diseño de un observador basado en un filtro de
Kalman-Buce el cual brinda muy buenos resultados en cuanto a exactitud en la estimación
de la velocidad y aceleración. Este método usa solamente un sensor de posición lo que
reduce enormemente los costos del diseño. Debido a las facilidades del método es que se
emplea un algoritmo similar en este trabajo, con la salvedad de cambiar el criterio del filtro
por el de ubicación de polos, algoritmo que aparece muy bien detallado en (Ogata 2002).
3.1.1 Observador de estado de orden completo
Los requerimientos básicos del sistema con observador son que ambos el “observador” y el
“objeto” tengan elementos dinámicos con las mismas propiedades y aproximadamente los
mismos parámetros. La técnica del observador se construye en ecuaciones matemáticas que
proporcionan un recurso computacional capaz de estimar el estado de un proceso de manera
que minimiza la media del error cuadrado. El observador es muy poderoso en muchos
aspectos: capaz de estimar el pasado, el presente e incluso estados futuros, esto lo pude
hacer también cuando la naturaleza del sistema modelado es desconocida (Ogata 2002). El
actuador y el observador poseen ambos la misma señal de entrada y operan en modo
sincronizado y coherente que permite la estimación de las variables de estado (Igor and
German 2006).
Considere el sistema descrito por la EC 2.24 y que el modelo del observador se define
mediante la siguiente ecuación:
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 37
( ) ( ) ( )XXCKAXCXCKXAXAXX ~~~~ −−=−−−=−••
ee EC 3.1
Se define la diferencia entre XX ~y como el vector de error E, o bien
( )ECKAE e−=•
EC 3.2
A partir de la EC 2.46 se ve que el comportamiento dinámico del vector de error esta
determinado por los valores propios de la matriz CKA e− . Si la matriz es
estable, el vector de error convergerá a cero para cualquier vector de error inicial
CKA e−
( )0E . Es
decir, ( )tX~ convergerá a sin tomar en cuenta los valores de ( )tX ( )0~X y . Si se eligen
los valores propios de la matriz
( )0X
CKA e− de tal forma que el comportamiento dinámico
del vector de error sea asintóticamente estable y suficientemente rápido, entonces cualquier
vector de error tenderá a cero con una velocidad adecuada.
En (Ogata 2002) se demuestra que el problema de diseño del observador puede ser tratado
por el método de sustitución directa para obtener la matriz de ganancias del observador de
estado igualando los coeficientes de igual orden de la ecuación siguiente:
( ) ( ) ( ) ( )nssss µµµ −−−=−− K21CKAI e EC 3.3
La elección de un conjunto de nµµµ ,,, 21 K en muchos casos no es única. Como regla
general los polos del observador deben ser de dos a cinco veces más rápidos que los polos
del controlador para asegurarse de que el error de observación converge a cero
rápidamente.
En el diseño de un observador de estado es conveniente determinar algunas otras matrices
de ganancia del observador basándose en diferentes ecuaciones características deseadas y
mediante la simulación determinar entonces la mejor matriz de ganancia desde el punto de
vista del comportamiento general del sistema.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 38
3.1.2 Efectos de la adición del observador sobre el sistema en lazo cerrado
A continuación se examinan los efectos del uso del estado observado ( )tX~ en el lugar del
estado real en la ecuación característica de un sistema en lazo cerrado. Considere el
sistema descrito por la EC 2.24. Para el control mediante la realimentación de estado
observado
( )tX
( )tX~ se elige la señal de control:
XK ~−=U EC 3.4
Con este control la ecuación de estado resulta
( ) ( )XXKBXKBAXKBXAX ~~ −+−=−=•
EC 3.5
La diferencia entre el estado real ( )tX y el estado observado ( )tX~ se define el error ( )tE como:
( ) ( ) (ttt XXE )~−= EC 3.6
La sustitución del vector en la EC 3.5 da ( )tE
( )ECKAE e−=•
EC 3.7
Obsérvese que la ecuación del error del observador viene dada por la EC 3.2 combinando
esta con la EC 3.7, se obtiene:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
−=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡•
•
EX
CKA0KBKBA
EX
e
EC 3.8
La EC 3.8 describe la dinámica del sistema de control mediante la realimentación del
estado observado siendo su ecuación característica:
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 39
CKAIKBAI eSS +−+− EC 3.9
Observe que los polos en lazo cerrado del sistema de control mediante realimentación del
estado observado consisten en los polos debidos sólo al diseño mediante asignación de
polos del controlador y al diseño del observador. Esto significa que el diseño de estos dos
elementos son independientes uno del otro.
3.2 Síntesis del controlador
En (Igor and German 2006) se propone la síntesis de un controlador utilizando el método
expuesto en el epígrafe 2.5.1 donde utilizando un modelo como el de la EC 2.22 y
planteando una ley de control de la forma:
( )•••
++−= XKXKXXKU 32d1 EC 3.10
Logrando la dinámica deseada del sistema utilizando el criterio industrial de la forma:
( )2lclclc
2
d
wsw2st1s ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ζ EC 3.11
Donde:
ζ
ζ
lcd
lc
dlc
w51t
7070w51w
=
==
..
conociendo lo explicado en el epígrafe 3.1.2 se procede al diseño por separado del
controlador y del observador teniendo en cuenta que la dinámica del observador debe ser de
5 a 10 veces más rápida que la del sistema (Ogata 2003) por lo que se propone la siguiente:
ζlcob
ob wt
ts
101 donde 1
3
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ EC 3.12
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 40
Resolviendo la EC 2.27 y la EC 3.3 para las dinámicas deseadas EC 3.11 y EC 3.12
respectivamente se obtienen los siguientes vectores de ganancias para el controlador y el
observador:
[ ]009301228089410 ...=K ; ⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
48295019170
240
eK
Con estos valores de ganancias se implementó el esquema de control de la Figura 3.1 al que
se le agregó un filtro que tiene como objetivo el no permitir el paso de frecuencias
superiores a las de 80 Hz y una saturación de -5 a 5 volt que es lo permitido por la válvula
FESTO MPYE-5-3/8. Además se le añade una entrada disturbio, de forma de voltaje,
simulando así un disturbio en la masa, esta señal se aplica a los 5 seg y posee un valor de 1
volt. Este sistema se simuló en una PC de escritorio con la ayuda del Simulink obteniéndose
los siguientes resultados ante una entrada paso. En la Figura 3.2 se muestra la salida del
sistema en color verde al responder ante el paso de color azul de valor 50 mm se aprecia
que el sistema posee un sobreimpulso del 4% con tiempo de establecimiento de 2.35 seg.
En esta gráfica se aprecian además unas pequeñas oscilaciones al empezar la respuesta del
sistema las que son provocadas por la inclusión del filtro. Note cómo este controlador no
garantiza cero error en estado estable ante disturbios lo que lo hace un método no fiable
para controlar un sistema que esta sujeto a grandes disturbios, como es la plataforma de
simulación de conducción. En la Figura 3.3 se puede apreciar el error ante la entrada paso y
en la Figura 3.4 se observa la señal de control.
posiciòn
U
Y
x3ob
x2ob
observador
k3k2
k1 PlantaR Filtro
SaturatiònDisturbio
Error
Figura 3.1. Sistema de control.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 41
Figura 3.2. Salida del sistema ante entrada paso.
Figura 3.3. Error ante entrada paso.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 42
Figura 3.4. Señal de mando.
Como la planta tratada en este trabajo no es un cilindro neumático con una simple masa
acoplada sino que es una plataforma de simulación de conducción en la cual los parámetros
como la masa del conductor, fuerza externa y de fricción pueden experimentar variaciones
que pueden ser valoradas como perturbaciones se hace necesario el garantizar con el
control, cero error en estado estable ante disturbio. Para lograr cumplir este objetivo basta
con adicionar una acción integral en la trayectoria directa. En el epígrafe 2.2.6 se analizó el
método que nos permite resolver este problema.
Con la adición de la acción integral nuestro sistema aumenta en uno su orden teniendo
ahora que resolver la siguiente ecuación:
( )( ) ( )n21 ssss µµµ +++=+− KKBAI ˆˆ EC 3.13
donde
para resolver esta ecuación proponemos la siguiente
dinámica deseada:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−
=0
ˆ,0
ˆ BB
C0A
A
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 43
( )2lclc
22
d
wsw2st
s ++⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+ ζ/ EC 3.14
siendo los parámetros de diseño los mismos del caso anterior.
Al resolver EC 3.13 para la dinámica EC 3.14 se obtiene el siguiente juego de ganancias
para el controlador:
[ ] [ 814214012803225020373KKKKK i321 .... ]−=−=
Con este juego de ganancias se configura el esquema de control de la Figura 1.1 el cual se
simula en las mismas condiciones que el anterior con la diferencia de que se le incluye una
acción de disturbio antes de la planta.
posiciòn
U
Y
x3ob
x2ob
observador
k2 k3k2
ki PlantaR Filtro
Saturatiòn
1s
IntegratorDisturbio
Figura 3.5. Esquema de control con acción integral.
En la Figura 3.6 se muestra la salida de este sistema ante una entrada paso aplicándole un
acción de disturbio paso unitario a los 5 seg. Se observa como con esta acción integral se
elimina el error ante el disturbio además de lograr un máximo sebreimplulso del 4.8% y un
tiempo de establecimiento de 2.5 seg.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 44
Figura 3.6. Salida del sistema ante entrada paso con una perturbación a los 5 seg.
En la Figura 3.7 se aprecia también lo anteriormente dicho respecto al disturbio
apreciándose cero error en estado estable.
Figura 3.7. Error ante entrada paso y disturbio.
A continuación se presenta la señal de mando para esta acción en específico en la que se
puede apreciar que el sistema se satura al empezar la respuesta al paso aplicado debido al
cambio tan brusco experimentado en el mismo.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 45
Figura 3.8. Señal de mando.
Por ser el sistema tratado una plataforma de simulación es necesario incorporar al sistema
un algoritmo de seguimiento de trayectoria que permita la reducción de los errores de
seguimiento, para lo cual hemos decidido aplicar el algoritmo descrito por Slotine (Slotine
1993). Este algoritmo consiste en prealimentar las derivadas de la señal de entrada
multiplicadas por unas ganancias específicas para cancelar la dinámica del sistema
logrando así que el mismo responda lo más próximo a su entrada. Esto es posible puesto
que la señal de referencia de posición de la plataforma es suave y derivable como mínimo
cuatro veces.
La dinámica de nuestro sistema es conocida y es de la forma de la EC 3.9 siendo la parte
dominante la correspondiente al control puesto que la del observador es diez veces más
rápida. Nuestro objetivo es entonces el de cancelar esta dinámica con la prealimentación de
las derivadas de la entrada. Para esto se calculan las ganancias de prealimentación de.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 46
Se parte de la dinámica del sistema:
87771s18981s1969s78s 234 ++++ EC 3.15
Se normalizan los coeficientes de la EC 3.15 dividiendo por el término independiente,
siendo los coeficientes normalizados los siguientes:
a0=0.00001, a1=0.0009, a2=0.0224, a3=0.2163, y a4=1
Como se aprecia los coeficientes a0 y a1 se pueden despreciar, esto quiere decir que hace
falta nada más la prealimentación de las dos primeras derivadas de la salida multiplicadas
por los coeficientes a3 y a2 respectivamente.
La implementación de este algoritmo se aprecia a continuación en la Figura 3.9.
posición
a3
a2
U
x1=Y
x3ob
x2ob
observador
Tr
x1
x2
x3
Out1
U
controlador
Planta
Posición
Velocidad
Aceleración
Disturbio
Figura 3.9. Sistema con algoritmo de seguimiento.
En la Figura 3.10 se observa la salida del sistema ante una escalera de pasos filtrada con un
filtro de Butterworth de orden 8 lo que da como resultado una señal suave derivable hasta
de orden 5.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 47
Figura 3.10. Salida del sistema ante seguimiento.
En la Figura 3.11 se puede apreciar el error ante seguimiento del sistema. Los picos de
errores son del orden de los 7.8 mm lo que representa menos de un grado de inclinación en
este sistema.
Figura 3.11. Error ante seguimiento.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 48
En la Figura 3.12 tenemos la señal de control lograda con este algoritmo de seguimiento. Se
puede apreciar cómo responde el mando ante el disturbio que se aplica a los 10 seg. siendo
este corregido casi instantáneamente.
Figura 3.12. Señal de mando ante seguimiento.
3.3 Análisis económico
La empresa SIMPRO en estos momentos tiene implementado el algoritmo de control en un
hilo de programación en C++ que se encuentra funcionando paralelo al mundo virtual en
una de las PC que se encargan de esta tarea. Como consecuencia de esta implementación el
control de la plataforma esta sujeto a las latencias de Windows y no se encuentra, por lo
tanto, ejecutándose en tiempo real. Además de que dicho algoritmo no es el más idóneo
para lograr las prestaciones necesarias, de velocidad y de precisión, ya que es un PID
clásico, que debido a la complejidad de la planta, presenta problemas como defasaje entre
el mundo virtual y las sensaciones de movimientos impresas por los actuadores al sistema.
A pesar de su ineficacia antes abordada el costo de dicho algoritmo es muy bajo y
asequible, puesto que sólo necesita de una interfase electrónica desarrollada a base de
operacionales, para acoplar las señales de control dadas por el puerto paralelo de la PC a los
sistema de control de la plataforma lo que representaría un costo de unos $50 dólares.
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 49
Sumando lo anteriormente dicho a los elementos relacionados en la Tabla 3.1, siendo estos
el total de componentes necesarios para el control de los actuadores, el costo final será de
$1093.4 dólares.
Tabla 3.1. Elementos usados en los actuadores.
Cantidad Descripción Marca Serie Precio $
2 Cilindro lineal Festo DNC-100-400 128.50
2 Válvula proporcional Festo MPYE 5 -3/8 346.40
2 Potenciómetro lineal Festo MLO-PTO-450 46.80
Los algoritmos de control propuestos por la literatura en el mundo mejoran notablemente
las prestaciones de estos sistemas pues son algoritmos complejos que en muchos casos
realimentan las presiones de las cámaras o velocidad y aceleración, para hacer más robusto
los controles. Esto implica el uso de sensores de presión con un costo de $250 por unidad o
el uso de unidades inerciales con un costo de $3000 dólares cada una. Como se puede
apreciar estos algoritmos encarecerían enormemente la producción de las plataformas de
simulación no siendo así viable el uso de los mismos.
Con el algoritmo de control propuesto en este trabajo y utilizando los medios de la Tabla
3.1 además de un controlador empotrado Flashlite186, con un costo de $150 dólares, se
logra que el control este fuera de la PC y por tanto pueda ser ejecutado en tiempo real.
Debido al uso de un observador no es necesario utilizar la unidad inercial para poder medir
velocidad y aceleración lo que ahorra, comparado con los algoritmos que usan este
elemento de medición, unos $3000.
El costo total de la implementación de este algoritmo asciende a los $1193.4 representando
un aumento de un 9.1% comparado con lo implementado por SIMPRO. Aunque
cuantitativamente el sistema de SIMPRO es más barato que la propuesta de esta
investigación, cualitativamente se demuestra mediante la simulación, que con el uso del
control por asignación de polos mediante la realimentación de estados observados, mejora
CAPÍTULO 3. DISENO Y ANÁLISIS DE LOS RESULTADOS 50
ampliamente las prestaciones del mismo, elevando las velocidades de respuesta y
reduciendo los errores de seguimientos a menos de un grado de inclinación. Permitiendo
con estas nuevas prestaciones que el simulador pase a ser de una categoría superior,
aumentando así su cotización en el mercado.
3.4 Conclusiones parciales
Con el algoritmo de seguimiento de trayectoria propuesto se logra el control desacoplado
de los actuadores de la plataforma garantizando el cumplimiento de los requerimientos de
velocidad y precisión necesarios para estos sistemas. Este supera con creces el sistema, a
base de PID clásico, utilizado por SIMPRO en el control de las plataformas; pues a pesar de
incrementar los costos de producción en un 9.1%, cualitativamente se demuestra mediante
la simulación que con su uso el sistema mejora enormemente sus prestaciones, mejorando
las velocidades de respuesta y reduciendo los errores de seguimiento a menos de un grado
de inclinación.
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 51
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
Conclusiones
Los objetivos de la presente investigación fueron cumplidos a cabalidad. Se comprobó la
veracidad de la hipótesis planteada en el trabajo demostrando la existencia de un algoritmo
de control que mejora en gran medida las prestaciones del sistema sin modificar mucho su
costo de producción.
Se asimiló el método de control por realimentación de estados propuesto por (Igor and
German 2006) para actuadores lineales electro-neumáticos, comprobándose sus
prestaciones mediante la simulación. Aunque este algoritmo no garantiza cero error en
estado estable ante disturbio ni está diseñado para seguimiento de trayectorias, se
demuestra que puede establecer de forma sencilla los índices de funcionamiento en lazo
cerrado a partir del modelo de la planta.
En este trabajo se propone introducir en la trayectoria directa, del controlador de (Igor and
German 2006), una acción integral para eliminar el error ante disturbio y agregar la
prealimentación de velocidad y aceleración para mejorar el seguimiento de trayectorias. Las
modificaciones anteriores logran aumentar las prestaciones del control ante disturbio,
disminuyen los errores de seguimiento a menos de un grado de inclinación e incrementan
considerablemente las velocidades de respuesta del sistema.
La implementación de este método de control en las plataformas de simulación, aunque
aumenta ligeramente el costo de producción por la incorporación del controlador
empotrado, mejoraría enormemente su desempeño. Con las nuevas prestaciones estos
CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 52
simuladores pasarían a una categoría superior y por tanto se podrían cotizar a un mayor
precio en el mercado, hecho que amortizaría los costos adicionales debido al uso de los
controladores empotrados.
Recomendaciones
Como recomendaciones investigativas se propone que el algoritmo de control expuesto en
el capítulo anterior, sea implementado en la práctica y en la medida que se cumplan los
objetivos se analice la posibilidad de incorporar el mismo a las plataformas de simulación
de conducción desarrollas por SIMPRO. Además es de interés que se continúe investigando
lo referido al control de actuadores neumáticos puesto que es un tema novedoso con un
amplio campo de aplicaciones que permitirá el desarrollo de sistemas robóticos con una
tecnología limpia y barata.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFIAS 53
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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