CAPÍTULO II.- ANÁLISIS DE UNA CARACTERÍSTICA (DISTRIBUCIONES
UNIDIMENSIONALES)
ESTADÍSTICA (GRUPO 12)
TEMA 6.- MEDIDAS DE FORMA: ASIMETRÍA Y CURTOSIS. MOMENTOS.
DIPLOMATURA EN CIENCIAS EMPRESARIALES
UNIVERSIDAD DE SEVILLA
2© Antonio Pajares Ruiz
1. LOS MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN.
Concepto
Son un conjunto de valores de la distribución, no necesariamenteobservados, que caracterizan la misma.
Dos distribuciones son iguales si todos sus momentos son iguales y, tanto más parecidas, cuanto mayor número de momentos iguales presenten.
Tipos de momentos
Momentos respecto al origen o momentos ordinarios (ar).
Momentos centrales o respecto a la media (mr).
3© Antonio Pajares Ruiz
1. LOS MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN.
MOMENTOS RESPECTO AL ORIGEN
Momento respecto al origen de orden r (r = 0, 1, 2, ...):
kri i
i 1r
x na
N=
⋅=∑
k0i i
i 1o
x na
N=
⋅=∑
k1i i
i 11
x na
N=
⋅=∑
k2i i
i 12
x na
N=
⋅=∑
k3i i
i 13
x na
N=
⋅=∑
k4i i
i 14
x na
N=
⋅=∑
Principales momentos respecto al origen
oa 1= 1a x=
4© Antonio Pajares Ruiz
1. LOS MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN.
MOMENTOS CENTRALES
Momento central o respecto al la media orden r (r = 0, 1, 2, ...):
( )k
r
i ii 1
r
x x nm
N=
− ⋅=∑
( )k
0
i ii 1
0
x x nm
N=
− ⋅=∑ ( )
k1
i ii 1
1
x x nm
N=
− ⋅=∑
( )k
2
i ii 1
2
x x nm
N=
− ⋅=∑
Principales momentos centrales
om 1= 1m 0=
22 xm s=
5© Antonio Pajares Ruiz
1. LOS MOMENTOS DE UNA DISTRIBUCIÓN.
MOMENTOS CENTRALES
( )k
3
i ii 1
3
x x nm
N=
− ⋅=∑ ( )
k4
i ii 1
4
x x nm
N=
− ⋅=∑
Principales momentos centrales
22 2 1m a a= − 3
3 3 2 1 1m a 3 a a 2 a= − ⋅ ⋅ + ⋅
Relaciones entre los momentos
Cualquier momento central puede expresarse en función de los momentos respecto al origen.
2 44 4 3 1 2 1 1m a 4 a a 6 a a 3 a= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅
k2i i
2 2i 1x
x ns x
N=
⋅= −∑
6© Antonio Pajares Ruiz
2. LA FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN.
Concepto
Forma de la representación gráfica de la distribución de frecuencias de una variable.
Nuestra pretensión
Determinar diversas medidas o indicadores que cuantifiquen las características más relevantes de la forma de la distribución:
Asimetría:Grado de similitud de las áreas de la representación gráfica de una distribución de frecuencias respecto de un punto cental.
Curtosis:Grado de concentración en torno a los valores centrales de la distribución.
7© Antonio Pajares Ruiz
2. LA FORMA DE UNA DISTRIBUCIÓN.Algunas formas habituales de las distribuciones
En forma de J ó L:
En forma de U:
En forma de campana:
8© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.Concepto
Una distribución es simétrica si en la representación gráfica de su polígono de frecuencias se puede trazar un eje vertical de tal forma que éste quede dividido en dos partes idénticas, tanto en forma como en superficie.
0
2
4
6
8
10
12
14
16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
aaa
i j i ja x x a; n n− = − =
( )k
i ii 1
x a n 0=
− ⋅ =∑
a x Me= =
9© Antonio Pajares Ruiz
Distribución simétrica, campaniforme y unimodal:
Distribución asimétrica a la derecha (ó positiva), campaniforme y unimodal:
Distribución asimétrica a la izquierda (ó negativa), campaniforme y unimodal:
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
x Me Mo= =
x Mo 0− ≥x Me Mo≥ ≥
x Mo 0− ≤x Me Mo≤ ≤
10© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.MEDIDAS PARA DISTR. CAMPANIFORMES Y UNIMODALES
Coeficiente de Asimetría de Pearson
( )x Mo 3 x Me− ≈ ⋅ −
Px
x MoA
s−
=
Su interpretación:
Viene derivada del signo que presente el numerador.Sus valores:
APROXIMACIÓN( )
Px
3 x MeA
s⋅ −
≈
PA 0> Distrib. asimétrica a la derecha (asimétrica positiva)
PA 0= Distrib. simétrica
PA 0< Distrib. asimétrica a la izquierda (asimétrica negativa)
11© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.MEDIDAS PARA DISTRIBUCIONES MÁS GENERALES
Coeficiente de Asimetría de Fisher
( )k
3i i
i 1
3x
x x n
N1 s
g=
− ⋅∑=
31 3
x
mg
s=
FundamentoDeben existir igual número de observaciones inferiores a la media (eje de simetría), que superiores a ésta.
Interpretación de sus valores:
1g 0> Distrib. asimétrica a la derecha (asimétrica positiva)
1g 0= Distrib. simétrica
1g 0< Distrib. asimétrica a la izquierda (asimétrica negativa)
12© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un conjunto de 25 personas.
18
16
15
24
63
42
71
30
nixi
Distribución asimétrica a la derecha
0 1 2 3 4 5 6 8
3
21
4
6
ni
En primer lugar, valoramos su representación gráfica:
13© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un conjunto de 25 personas.
Distribución asimétrica a la derecha
Procedemos a determinar los pertinentes coeficientes de asimetría, comenzando por el de Pearson:
2346025TOTAL252423222014103Ni
6481865818870
xi·ni
362532541670
xi2 ·ni
16152463427130nixi
Mo 1 hijo=60x 2,4 hijos
25= =
xs 1,8974 h.=2 2x
234s 2,4 3,6
25= − =
PA 0,7379=
Px
x Mo 2,4 1A
s 1,8974− −
= =
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3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un conjunto de 25 personas.
Distribución asimétrica a la derecha
Finalmente, calculamos el coeficiente de asimetría de Fisher:
33
1182 234m 3 2,4 2 2,4
25 25= − ⋅ ⋅ + ⋅
33 3 2 1 1m a 3 a a 2 a= − ⋅ ⋅ + ⋅
31 3
x
mg
s=
3m 7,536=
1g 1,1033=
1 3
7,536g
1,8974=
23464362532541670
xi2 ·ni
118260TOTAL
512882161251281623270
xi3 ·ni
665584183827100
xi·nixi
15© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.
En primer lugar, valoramos su representación gráfica:
3190-195
1185-190
1180-185
2175-180
4170-175
2165-170
2160-165
niLi-1 -Li
Distribución asimétrica a la derecha
16© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.
Distribución asimétrica a la derecha
Seguidamente calculamos el coeficiente de Pearson:
Mo 172,5 cm.=
2652,5x 176,83 cm.
15= =
xs 10,14 cm.=
2 2x
470593,75s 176,83
15= −
PA 0,42=
Px
x MoA
s−
=
153112422ni
470593,752652,5TOTALES577,5187,5182,5355690335325xi·ni
111168,7535156,2533306,2563012,511902556112,552812,5
xi2 ·ni
192,5190-195187,5185-190182,5180-185177,5175-180172,5170-175167,5165-170162,5160-165
xiLi-1 -Li
P
176,83 172,5A
10,14−
=
17© Antonio Pajares Ruiz
3. LA ASIMETRÍA Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar el grado y tipo de asimetría en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.
Distribución asimétrica a la derecha
Finalmente, calculamos el coeficiente de Fisher:
3
3
83767578,13m
15470593,75
3 176,83152 176,83
= −
− ⋅ ⋅ +
+ ⋅
33 3 2 1 1m a 3 a a 2 a= − ⋅ ⋅ + ⋅
33x
m1 s
g =3m 339,41=
1g 0,32=
3339,41
1 10,14g =
470593,75111168,7535156,2533306,2563012,511902556112,552812,5
xi2 ·ni
83767578,1321399984,386591796,8756078390,62511184718,7520531812,59398843,758582031,25
xi3 ·ni
2652,5TOTAL577.5187.5182.5355690335325xi·ni
190-195185-190180-185175-180170-175165-170160-165Li-1 -Li
18© Antonio Pajares Ruiz
4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Concepto
Es el grado de apuntamiento o deformación, en sentido vertical, de la distribución respecto de una distribución tipo.Es el grado de concentración existente en la distribución en la zona central de la misma, respecto de una distribución de referencia.
( )2x x1 i22
ix
1f = e
s 2
−− ⋅
σ⋅⋅ π
Consideraciones para su determinaciónSólo se estudia en distribuciones campaniformes, unimodales y simétricas o moderadamente asimétricas.Trata de analizar la forma de la distribución de frecuencias en la zona donde los valores de la variable se agrupan en torno a la media aritmética.Para describirla, se compara el polígono de frecuencias de la distribución analizada con la representación de una distribución tipo conocida como normal:
19© Antonio Pajares Ruiz
4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.
Distribución normal
Distribución apuntada
Distribución aplastada
20© Antonio Pajares Ruiz
4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Coeficiente de Curtosis de Fisher
44x
m3
s=En la distribución normal:
Interpretación de sus valores:
2g 0> Distribución apuntada o leptocúrtica
2g 0= Distribución normal o mesocúrtica
2g 0< Distribución achatada o platicúrtica
( )k
4i i
i 1
4x
x x n
N2 s
g=
− ⋅∑=
42 4
x
mg 3
s= − 2g 2≥ −
21© Antonio Pajares Ruiz
4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.
Ej.: Analizar la curtosis en la distribución de la variable “Número de hijos”, definida sobre un conjunto de 25 personas.
Distrib. apuntadao leptocúrtica
Determinamos el coeficiente de curtosis de Fisher:
4
2 4
7086 1182m 4 2,4
25 25234
6 2,4 3 2,425
= − ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ − ⋅
4 4 3 1
2 42 1 1
m a 4 a a
6 a a 3 a
= − ⋅ ⋅ +
+ ⋅ ⋅ − ⋅
42 4
x
mg 3
s= −
4m 53,5008=
2g 1,1281=2 4
53,5008g 3
1,8974= −
11825122161251281623270
xi3 ·ni
2511126473ni
708623460TOTAL64362532541670
xi2 ·ni
409612966255124866470
xi4 ·ni
8865818870
xi·ni
6543210xi
22© Antonio Pajares Ruiz
4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Ej.: Analizar la curtosis en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.Para determinar el coeficiente de curtosis de Fisher, procedemos a realizar en primera instancia los cálculos necesarios:
2 44 4 3 1 2 1 1m a 4 a a 6 a a 3 a= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅4
2 4x
mg 3
s= −
83767578,1321399984,386591796,8756078390,62511184718,7520531812.59398843,758582031,25
xi3 ·ni
470593,75111168,7535156,2533306,2563012,511902556112,552812,5
xi2 ·ni
1496067683641194966992123596191411093062891985287578354173765615743063281394580078
xi4 ·ni
2652,5TOTAL577.5187.5182.5355690335325xi·ni
190-195185-190180-185175-180170-175165-170160-165Li-1 -Li
23© Antonio Pajares Ruiz
4. LA CURTOSIS Y SU MEDIDA.Ej.: Analizar la curtosis en la distribución de la variable “Altura en centímetros”, definida sobre un conjunto de 15 personas.
Calculados los correspondientes momentos, determinamos el coeficiente de curtosis de Fisher:
2 44 4 3 1 2 1 1m a 4 a a 6 a a 3 a= − ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ − ⋅4
2 4x
mg 3
s= −
4m 19713,85=4
2 4
14960676836 83767578,13m 4 176,83
15 15470593,75
6 176,83 3 176,8315
= − ⋅ ⋅ +
+ ⋅ − ⋅
2g 1,14= −2 4
19713,85g 3
10,14= − Distrib. achatada
o platicúrtica