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Estadística y Probabilidades
1. El valor de la expresión (n+2)!n! es:
Recordemos la de�nición de factorial
n! = 1� 2� 3� � � � � n
aplicando esta de�nición al numerador la expresión resulta
(n+ 2)!
n!=
(n+ 2) (n+ 1)n!
n!= (n+ 2) (n+ 1)
= n2 + 3n+ 2
2. Dada la ecuación�102
�x2 � 2
�102
�+�102
�= 0, entonces el valor de x es:
Recordando la de�nición de combinatorio tenemos�n
r
�=
n!
r! (n� r)!
calculamos entonces los coe�cientes�10
2
�=
10!
2! (10� 2)!
=10� 9� 8!2!� 8!
=90
2= 45
traduciendo la ecuación
45x2 � 2 (45) + 45 = 0
45x2 � 90 + 45 = 0
resolvemos la ecuación cuadrática, primero dividimos todo entre 45
x2 � 2 + 1 = 0
(x� 1) (x� 1) = 0
x = 1 _ x = 1
1
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3. Sabiendo que �8
4
�=
�7
3
�+
�7
x
�que valor debe tener x :
Aplicando nuevamente la de�nición de combinatorio tenemos, para cadatérmino �
8
4
�=
8� 7� 6� 5� 4!4!� 4!
=1680
24= 70
ahora para el combinatorio�73
��7
3
�=
7!
3! (7� 3)!
=7� 6� 5� 4!
3!� 4!
=210
6= 35
podemos replantear la ecuación como
70 = 35 +
�7
x
�35 =
�7
x
�entonces se trata de encontrar un combinatorio cuyo resultado sea 35; ya cono-cemos uno, a saber,
�73
�: Recordemos la siguiente propiedad de los números
combinatorios �n
r
�=
�n
n� r
�de aquí podemos deducir que
35 =
�7
x
�=
�7
3
�=
�7
7� 3
�=
�7
4
�de donde x = 4:
4. Un domador de �eras desea acomodar en �la a 5 tigres y 4 leones de modoque no queden dos tigres o dos leones juntos. Considerando que cada �eraes distinta a las otras. ¿De cuántas formas distintas puede acomodar sus�eras?
2
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Considere el siguiente esquema, donde T representa a un tigre y L a un león
T L T L T L T L T
como cada tigre y león se consideran distintos entonces, el primero se puedeelegir de 5 formas distintas, el segundo de 4, el tercero de 3, el cuarto 2 y elquiento de 1 en el arreglo anterior y de forma análoga para los tigres, como enel siguiente esquema
T L T L T L T L T5 4 4 3 3 2 2 1 1
por el principio fundamental del conteo las formas de elección estaria dadopor
5� 4� 4� 3� 3� 2� 2� 1� 1 = 5� 42 � 32 � 22 � 1= 5� 16� 9� 4� 1= 2880
5. El promedio de cinco números es 40. Al eliminar dos de ellos el nuevopromedio es 36. ¿cuál es el promedio de los dos números eliminados?
x1 + x2 + x3 + x4 + x55
= 40
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5 (40)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 200
Ahora consideremos el promedio de tres números
x1 + x2 + x33
= 36
x1 + x2 + x3 = 3 (36)
x1 + x2 + x3 = 108
Bien, ahora nos interesa saber el promedio de los dos números restantes, esdecir
x4 + x52
3
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entonces
x1 + x2 + x3 + x4 + x55
= 40
x4 + x5 = 200� (x1 + x2 + x3)x4 + x5 = 200� (108)x4 + x5 = 92x4 + x52
=92
2x4 + x52
= 46
6. Los padres de Julio tienen una edad media de 49 años. El padre tiene ochoaños más que la madre. Si la media entre la edad de Julio y la de su padrees 27 años, ¿Cuál es la edad de julio?
Edad del padre: x+ 8Edad de la madre: xLuego el promedio de estas edades es 49, es decir
(x+ 8) + x
2=
2x+ 8
2x+ 4 = 49
x = 49� 4x = 45
Edad de Julio y
y + (x+ 8)
2= 27
y + (x+ 8) = 54
y + (45 + 8) = 54
y + 53 = 54
y = 54� 53y = 1
7. En un conjunto de 5 números, el promedio de los primeros tres es 15 y elpromedio de los últimos dos es 10. ¿Cuál es el promedio de los cinconúmeros?
4
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Solución.
Denotemos los cinco número en cuestión por
x1; x2; x3; x4; x5
luego podemos escribir
x1 + x2 + x33
= 15
x1 + x2 + x3 = (15) (3)
x1 + x2 + x3 = 45
x4 + x52
= 10
x4 + x5 = 20
Entonces el promedio de los cinco números será
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 45 + 20
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 65x1 + x2 + x3 + x4 + x5
5=
65
5x1 + x2 + x3 + x4 + x5
5= 13
8. En un examen un estudiante responde correctamente 15 de las 20 primeraspresguntas y solo 1
3 de las restantes.Si la nota �nal es 50, y considerando
que todas las preguntas son equiprobables. ¿cuántas preguntas tiene elexamen?
Solución.
Denotemos por x el número de preguntas del examen, después de responder20 (15 fueron correctas), las restantes serán x � 20; como son equiprobables ysu cali�cación �nal fue 50 podemos deducir entoneces que respondio el 50% del
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examen o para nuestros �nes la mitad x2 ; así podemos plantear la ecuación lineal
15 +1
3(x� 20) =
x
2
15 +x
3� 203
=x
225
3+x
3=
x
225
3=
x
2� x3
25
3=
x
6
x =
�25
3
�(6)
x = 50
9. La media de tres números x; y; z es a; a su vez la media de los cuadrados deesos mismos números es b: ¿cuál será la media aritmética de los productosdos a dos de esos números expresada en función de a y b?
solución.
Usemos la de�nición de media aritmética
x+ y + z
3= a (1)
x2 + y2 + z2
3= b (2)
Como nos preguntan por elproedio del producto dos a dos, entonces debemoscalcular
xy + xz + yz
3
Consideremos la ecuación (1)
x+ y + z
3= a
x+ y + z = 3a
(x+ y + z)2= (3a)
2
x2 + 2xy + 2xz + y2 + 2yz + z2 = 9a2�x2 + y2 + z2
�+ (2xy + 2xz + 2yz) = 9a2 (3)
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consideremos ahora la ecuación (2)
x2 + y2 + z2
3= b
x2 + y2 + z2 = 3b
sustituyendo en la ecuación (3) y reacomodando para optener los productosnecesarios tenemos
3b+ (2xy + 2xz + 2yz) = 9a2
3b
2+(2xy + 2xz + 2yz)
2=
9a2
2
xy + xz + yz =9a2
2� 3b2
xy + xz + yz =9a2 � 3b
2
xy + xz + yz =3�3a2 � b
�2
ya hemos conseguido los productos necesarios, ahora como se trata de el prome-dio, entonces dividimos por 3
xy + xz + yz
3=
3�3a2 � b
�2
xy + xz + yz
3=
3�3a2 � b
�3 � 2
xy + xz + yz
3=
�3a2 � b
�2
10. La altura media de los jugadores de un equipo de baloncesto que hay en uncierto momento en la cancha es 197cm. El entrenador sienta a julio Ortíz(208cm) y saca a la pista a Miguel López (203cm). ¿Cuál es la alturamedia del equipo que está en la cancha?
Solución.
Teniendo presente que un equipo de baloncesto tiene 5 jugadores, podemosplantear lo siguiente
x1 + x2 + x3 + x4 + 208
5= 197
Para el equipo que está en la cancha, luego
x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = (197) (5)
x1 + x2 + x3 + x4 + 208 = 985
x1 + x2 + x3 + x4 = 985� 208x1 + x2 + x3 + x4 = 777
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luego para el relevo de 203cm tendriamos una media dada por
x1 + x2 + x3 + x4 = 777777 + 203
5= 196
R. a)
11. La cali�cación media que obtuvo una clase de veinte 20 estudiantes es 60.Ocho de ellos reprobaron con una cali�cación de 30 y el resto superó el60. ¿Cuál es la nota media de los estudiantes aprobados?
Solución.
Según los datos podemos escribir:
x1 + x2 + :::+ x2020
= 60 (1)
Como x1 = x2 = ::: = x8 = 30
Y x9; x10;:::; x20 > 60
x1 + x2 + :::+ x8 = (30)(8)
x1 + x2 + :::+ x8 = 240
Sustituyendo esta última igualdad en (1) y calculando el promedio de x9;x10; :::;x20resulta:
240 + x9 + x10 + :::+ x20 = 1200
x9 + x10 + :::+ x20 = 1200� 240x9 + x10 + :::+ x20 = 960x9 + x10 + :::+ x20
12=
960
12x9 + x10 + :::+ x20
12= 80
R. c)
12. En una urna hay 10 bolas enumeradas del 0 al 9. Se extrae una, se anotael número y se introduce de nuevo en la urna. Esta operación se repitetres veces hasta formar un número de tres cifras. Si la media de las trescifras es 6 y la moda 8, ¿cuál es el mayor número y el menor número quese puede formar?
Solución.
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Denotemos las 10 cifras por x0; x2; : : : ; x9; el promedio de las tres cifrasque se sacan es 6; digamos sin perdida de generalidad que se sacaron las cifrasx0; x1; x2; entonces
x0 + x1 + x23
= 6
y la moda de éstos mismos numeros es 8; por de�nición de moda resultan doscasos posibles, primero que x0 = x1 = x2 = 8; lo que no es posible, porque deser cierto el promedio no sería 6. El segundo caso es x0 = x1 = 8 6= x2; de aquíresulta que
8 + 8 + x23
= 6
16 + x23
= 6
16 + x2 = 18
x2 = 18� 16x2 = 2
luego el mayor número que se puede formar es 882 y el menor 288:
13. En la clase de matemática, un grupo de estudiantes de secundaria tieneuna cali�cación media de 62.5. Las mujeres tienen un promedio de 67.5,en cambio los varones tienen 52.5. ¿Cuál es la razón de mujeres y varonesen la clase?
Solución
Según los datos del problema:
x = 62:5 la media de todo el grupo
xm = 67:5 media del grupo de mujeres
xv = 52:5 media del grupo de varones
n = n�+ n��, n�número de mujeres y n��el de varones
Podemos plantear las siguientes relaciones:
x1 + x2 + :::+ xnn
= 62:5
x1 + x2 + :::+ xn = n(62:5) (1)
Aplicando la de�nición de media al grupo de mujeres y al de varones tenemos:
x�1 + x�2 + � � �+ x�n� = n�(67:5)
x��1 + x��2 + � � �+ x��n� = n��(52:5)
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Como n = n�+ n��, entonces podemos sumar las dos igualdades anteriores yresulta que es exactamente la igualdad (1), es decir:
n�(67:5) + n��(52:5) = n(62:5)
n�(67:5) + n��(52:5) = n0(62:5) + n��(62:5)
n0(67:5� 62:5) = n��(62:5� 52:5)n�(5) = n00(10)
n0
n00=
10
5n0
n00= 2
n0 = 2n00
Lo que signi�ca que las alumnas son el doble de los alumnos.
14. En los tres primeros sistemáticos de matemáticas, Pablo obtuvo una cali-�cación media de 76 ¿Qué cali�cación debe obtener en las dos próximasevaluaciones para que la nota media total ascienda a 80?
Solución.
De la de�nición de media aritmética podemos plantear
x1 + x2 + x33
= 76
x1 + x2 + x3 = (3) (76)
x1 + x2 + x3 = 228
luego calculamos la nota que debe obtener para terminar con 80
x1 + x2 + x3 + x4 + x55
= 80
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5 (80)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 400
228 + x4 + x5 = 400
x4 + x5 = 400� 228x4 + x5 = 172x4 + x52
=172
2x4 + x52
= 86
como mínimo deberá obtener 86 en cada evaluación.
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15. ¿Cuál de los números de la siguiente lista debería quitarse para que la mediade los que quedaran fuera 15.25?
7; 12; 15; 21; 27
Solución
La media de los números dados en la lista es:
7 + 12 + 15 + 21 + 27
5= 16:4
Denotamos los números de la lista en la forma: x1; x2; x3; x4; x5, así se tiene:
x1 + x2 + x3 + x4 + x55
= 16:4
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = (5)(16:4)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 82
x1 = 82� (x2 + x3 + x4 + x5) (1)
Si la media de los números restantes debe ser 15.25, se tiene que:
x2 + x3 + x4 + x54
= 15:25
x2 + x3 + x4 + x5 = (4)(15:25)
x2 + x3 + x4 + x5 = 61
Sustituyendo esta última ecuación en (1), se tiene:
x1 = 82� 61x1 = 21
16. Cuando un profesor lleva corregidos los seis primeros exámenes de unaclase, la nota media es 84 puntos. Al corregir el séptimo, la nota mediase incrementa a 85 puntos. ¿Qué cali�cación se obtuvo en el séptimoexamen?
Solución.
Por de�nición de media aritmética tenemos
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x66
= 84
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = (6) (84)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 504
11
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despues del séptimo examen tenemos una media de
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x77
= 85
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = (7) (85)
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 595
luego la nota del séptimo examen es
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7 = 595
x7 = 595� (x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6)x7 = 595� (504)x7 = 91
17. En un examen de matemática aprobó el 60% de los estudiantes de una clase.A un examen de recuperación se presentan la mitad de los reprobados. Deéstos, el 50% aprueban. Si en total aprobaron 28 alumnos, ¿Cuántos hanreprobado?
Solución
Sea x el número de los estudiantes de la clase. Entonces planteamos lassiguientes relaciones:
(0:6)(x) : estudiantes aprobados
(0:4)(x) : estudiantes reprobados(0:4)(x)
2: van a examen de recuperación�
(0:4)(x)
2
�(0:5) : aprueban el examen de recuperación
Establecemos la siguiente ecuación y resolvemos:
(0:6)(x) +
�(0:4)(x)
2
�(0:5) = 28
(0:6)(x) + (0:1)(x) = 28
(0:7)(x) = 28
x =28
0:7x = 40
El número de reprobados sería: el número de reprobados en la clase menos elnúmero de aprobados en el examen de recuperación, así planteamos y resolvemos
12
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la ecuación:
(0:4)(x)� (0:1)(x) = (0:3)(x)
= (0:3)(40)
= 12
18. Considere los puntos (x; y) sujeto a las condiciones 0 � x � 3;�2 � y � 0:Determine la probabilidad de que d = x� y > 3:
Solución.
Consideremos que x y y toman sólo valores enteros, entonces
X = f0; 1; 2; 3gY = f�2;�1; 1; 0g
Al hacer el producto X � Y; resulta
X�Y = f(0; 2) ; (0;�1) ; (0; 0) ; (1;�2) ; (1;�1) ; (1; 0) ; (2;�2) ; (2;�1) ; (2; 0) ; (3;�2) ; (3;�1) ; (3; 0)g
Luego los que cumplen con la condición d = x� y > 3; son los puntos
f(2;�2) ; (3;�2) ; (3;�1)g
Al aplicar le de�nición de probabilidad clásica resulta que
P (E) =3
12=1
4
19. En una prueba de matemáticas, 18 estudiantes respondieron correctamentea la primera pregunta, 23 respondieron correctamente a la segunda, 8respondieron correctamente a las dos preguntas y 11 respondieron incor-rectamente a las dos preguntas. ¿Cuántos estudiantes participaron en laprueba?
Solución.
Resumimos los datos del problema en la siguiente tabla
Correcto Incorrecto1ra pregunta 182da Pregunta 23ambas 8 11
13
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Primero necesitamos determinar cuántos contestan únicamente la primeray la segunda pregunta, es decir eliminar las personas que contestaron ambaspreguntas para no contar dos vees a un estudiante, como sigue
18 + 23 = 41
41� 8 = 33
33 estudiantes respondieron correctamente una de las dos preguntas, ahorasumamos quienes no respondieron ninguna correcta.
33 + 11 = 44
20. Supongamos que A y B son eventos con P (A) = 0:7; P (B) = 0:5 y P (A \B) = 0:4: ¿Cuál es la probabilidad que ocurra A pero no ocurra B?
Solución.
Recordemos el teorema sobre la probabilidad de que ocurra cualquiera dedos eventos esto es
P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)
Luego ésta probabilidad es
P (A [B) = 0:7 + 0:5� 0:4P (A [B) = 0:8
0:8 es probabilidad de la ocurrencia de uno de los dos eventos, pero no nos dicecuál de los dos, así que la probabilidad de que ocurra A; será la probabilidad deambos menos la probabilidad de B; es decir
P (A [B)� P (B) = 0:8� 0:5= 0:3
21. Tenemos un dado cargado en el que la probabilidad de obtener un númeroes proporcional a ese número. ¿Cuál es la probabilidad de obtener unnúmero impar?
Solución
14
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Recordemos que la suma de las probabilidades siempre debe ser 1, es decir
nXi=1
P (Ei) = 1
Como cada número es proporcional a sí mismo el espacio muestral (S) será:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21
De la de�nición de probabilidad y considerando que cada número es propor-cional a sí mismo, se tiene que:
P (1) = 1(1
21) =
1
21
P (3) = 3(1
21) =
3
21
P (5) = 5(1
21) =
5
21
Finalmente la probabilidad de obtener un número impar es:
P (1 [ 3 [ 5) =1
21+3
21+5
21
=9
21
=3
7
22. En un grupo de diez personas, dos tienen un peso de 60 kg, tres tienenun peso de una vez y media más que el de los anteriores y cuatro tienenun peso 1
5 menor que la media del grupo. ¿Cuál es el peso de la décimapersona si el peso medio del grupo es de 70 kg?
Solución
Del grupo dos pesan 60 kg;tres pesan 90 kg ya que es una vez y media másque 60 kg: Los otros cuatro pesan 1
5 (70) = 14: Así que:
60 + 60 + 90 + 90 + 90 + 14 + 14 + 14 + 14 + x1010
= 70
614 + x1010
= 70
614 + x10 = 700
x10 = 700� 614x10 = 86
15
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23. Sean A y B dos sucesos tales que P (A) = 38 ; P (B) =
12 y P (A \ B) =
14 :
Entonces P (A \B) vale:
Solución
Por el teorema de la probabilidad el complemento se tiene:
P (A) + P (A) = 1
P (A) = 1� P (A)
P (A) = 1� 38
P (A) =8� 38
P (A) =5
8
P (B) + P (B) = 1
P (B) = 1� P (B)
P (B) = 1� 12
P (B) =1
2
Por la probabilidad de uno de dos eventos, se tiene:
P (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)
=3
8+1
2� 14
=3 + 4� 2
8
=5
8
Teniendo presente las leyes de D�Morgan, podemos escribir:
A [B = A \BP (A [B) = P (A) + P (B)� P (A \B)P (A \B) = P (A) + P (B)� P (A [B)
Calculamos ahora P (A[B) utilizando las leyes de D�Morgan (A [B = A\B)
16
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y la probabilidad del complemento, se tiene:
A [B = A \BP (A \B) = 1� P (A \B)
= 1� 14
=3
4
Finalmente:
P (A \B) = P (A) + P (B)� P (A [B)
=5
8+1
2� 34
=3
8
24. De una caja que contiene 3 mangos, 2 naranjas y 4 jocotes se extrae unafruta al azar. La probabilidad que sea mango o naranja es:
Solución.
En total son 9 frutas, es decir que el espacio muestras S = 9; denotemosmango (M), naranjas (N) y jocote (J), luego las probabilidades serán,
P (M) =3
9=1
3
P (N) =2
9
P (J) =4
9
luego la probabilidad que sea mango o naranja es
P (M [N) = 1
3+2
9=5
9
25. Entre 5 profesores y 4 estudiantes se tiene que formar un grupo ambiental-ista de 3 miembros. ¿Cuál es la probabilidad de que los 3 sean estudiantes?
Solución.
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Tenemos en total 9 personas, las cuales serán seleccionadas en grupos detres, entonces las formas de hacer estas elecciones está dado por la combinación�
9
3
�=
9!
3! (9� 3)! = 84
con los cuatro estudiantes se pueden formar exactamente�4
3
�=
4!
3! (4� 3)! = 4
luego por de�nición de probabilidad resulta que
P (E) =4
84=1
21
26. Se tiran dos dados al aire una sola vez. La probabilidad que la suma de lospuntos sea 8 es:
Solución
Construyamos el espacio muestral como sigue
1 2 3 4 5 61 (1; 1) (1; 2) (1; 3) (1; 4) (1; 5) (1; 6)2 (2; 1) (2; 2) (2; 3) (2; 4) (2; 5) (2; 6)3 (3; 1) (3; 2) (3; 3) (3; 4) (3; 5) (3; 6)4 (4; 1) (4; 2) (4; 3) (4; 4) (4; 5) (4; 6)5 (5; 1) (5; 2) (5; 3) (5; 4) (5; 5) (5; 6)6 (6; 1) (6; 2) (6; 3) (6; 4) (6; 5) (6; 6)
Las parejas que suman 8 son
(2; 6) ; (3; 5) ; (4; 4) ; (5; 3) ; (6; 2)
y de la de�nición de probabilidad tenemos
P (E) =5
36
27. En una distribuidora, el 75% de las compras hechas en un día cualquierasupera C$ 200.00. Se sabe que el 56% de las compras son hechas pormujeres y además superan C$200.00; y también que el 30% de las comprasson hechas por hombres. La información en una tabla queda de la siguientemanera.
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Solución.
Analizando la información y organizándola en una tabla de doble entradaresulta
Hombres Mujer TotalSuperior a los C$ 200 0.19 0.56 0.75Inferior a los C$ 200 0.11 0.14 0.25Total 0.30 0.70 1
28. Tres autos A,B y C compiten en una carrera; A tiene el doble de probabil-idad de ganar que B, y B tiene el doble de probabilidad de ganar que C.¿Cuál es la probabilidad que B o C ganen?
Solución.
Si cada auto tuviera la misma probabilidad de ganar, ésta sería de: 13 : Con
estas condiciones, A tiene 4 posibilidades de ganar, B dos y C una posibilidadde ganar, luego el espacio muestral es el conjunto de todas las posibilidades,es decir: 4 + 2 + 1 = 7: De la de�nición de eventos mutuamente excluyentestenemos que:
P (B [ C) =2
7+1
7
P (B [ C) =3
7
29. Seis parejas casadas se encuentran en una habitación. Dos personas seeligen al azar. ¿Cuál es la probabilidad que uno sea hombre y la otramujer?
Solución.
Para el espacio muestral debemos calcular todas las combinaciones posiblesde parejas que pueden hacerse, esto es el combinatorio:�
12
2
�= 66
Luego, cada hombre puede emparejarse con cada una de las seis mujeres,es decir, cada hombre puede formar seis parejas distintas y son seis hombre,en total habrán 36 parejas distintas de hombre y mujeres, luego aplicando lade�nición de probabilidad tenemos que:
P (E) =36
66=6
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30. En una caja se depositan dos �chas con el número 12 inscrito encima, dos con
el 1 y dos con el 2. El experimento consite en extraer una �cha, escribir elprimer número extraído que servirá como coe�ciente principal de un poli-nomio cuadrático y luego devolverla a la caja, extraer una segunda �chay utilizarla como coe�ciente del término lineal; el último número extraídoserá el término independiente. La probabilidad de formar el polinomio12x
2 + 2x+ 1:
Solución.
Cada coe�ciente del polinomio dado tiene tres posibilidades de ser elegido,luego el espacio muestral es 27. Como el polinomio 1
2x2 + 2x + 1 sólo puede
formarse de una manera y por la de�nición de probabilidad se tiene:
P (E) =1
27
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