Download - Estadistica Unas 3
-
Distribuciones de Probabilidad Discretas y
Continuas
-
Distribuciones de Probabilidades
117
Introduccin.
Las distribuciones de probabilidad se emplean el estudio de fenmenos aleatorios
en disciplinas como la ingeniera y las ciencias aplicadas o bien en negocios y la
economa. En este manual se desarrollar un mtodo para determinar las
distribuciones de probabilidad de una funcin de variable aleatoria.
La eleccin de una distribucin de probabilidad para representar un fenmeno de
inters prctico debe estar motivado tanto por la comprensin de la naturaleza del
fenmeno en s, como por la posible verificacin de la distribucin seleccionada a
travs de la evidencia emprica.
En todo momento debe evitarse aceptar de manera tcita una determinada
distribucin de probabilidad como modelo de un problema prctico.
Se evalan algunas distribuciones tanto discretas como continuas. En cada
caso se expondrn detalladamente las caractersticas distintas de las
distribuciones particulares de probabilidad y se establecern sus medias o
promedios y varianzas.
1. Variable aleatoria discreta 1(x).
Porque solo puede tomar valores enteros y un nmero finito de ellos.
Ejemplo:
x Variable que define el nmero de alumnos aprobados en la materia de
probabilidad en un grupo de 40 alumnos (1, 2 ,3 los 40).
1.1. Propiedades de una variable aleatoria discreta (X).
0 p (xi) 1: Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que
toma x deben ser mayores o iguales a cero y menores o iguales a 1.
p (xi) = 1: La sumatoria de las probabilidades asociadas a cada uno de los
valores que toma x debe ser igual a 1.
1 Los valores que toma la variable, (de tipo cuantitativo discreto), son enteros positivos.
-
Distribuciones de Probabilidades
118
Ejemplo
Se tiene una moneda que al lanzarla puede dar slo dos resultados: o cara
(50%), o cruz (50%).
La siguiente tabla muestra los posibles resultados de lanzar dos veces una
moneda:
Primer
lanzamiento
Segundo
lanzamiento
Nmero de caras en
2 lanzamientos
Probabilidad de los 4
resultados posibles
cara cara 2 0.5 x 0.5 = 0.25
cara cruz 1 0.5 x 0.5 = 0.25
cruz cara 1 0.5 x 0.5 = 0.25
cruz cruz 0 0.5 x 0.5 = 0.25
Al realizar la tabla de distribucin del nmero posible de caras que resulta de
lanzar una moneda dos veces, se obtiene:
NMERO DE
CARAS LANZAMIENTOS
PROBABILIDAD DE ESTE
RESULTADO
P(CARA)
0 (CRUZ, CRUZ) 0.25
1
(CARA, CRUZ)
+
(CRUZ, CARA)
0.50
2 (CARA, CARA) 0.25
NOTA: Esta tabla no representa el resultado real de lanzar una moneda dos
veces sino la del resultado terico es decir representa la forma en que se
espera se comporte el experimento de lanzar dos veces una moneda.
-
Distribuciones de Probabilidades
119
2. Variable aleatoria continua (x). Porque puede tomar tanto valores enteros
como fraccionarios y un nmero infinito de ellos dentro de un mismo intervalo.
Ejemplo:
x Variable que define la concentracin en gramos de plata de algunas
muestras de mineral (14.8 gr., 12.1, 42.3, 15.0, 18.4, 19.0, 21.0, 20.8, ,
)
2.1. Propiedades de una variable aleatoria continua (x).
p(x) 0 Las probabilidades asociadas a cada uno de los valores que toma
x deben ser mayores o iguales a cero. Dicho de otra forma, la funcin de
densidad de probabilidad deber tomar solo valores mayores o iguales a
cero.
El rea definida bajo la funcin de densidad de probabilidad deber ser de
1.
-
Distribuciones de Probabilidades
120
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES
El comportamiento de una variable aleatoria queda descrito por su distribucin de
probabilidad. Esta distribucin especifica su forma y sus parmetros.
En muchas tareas o anlisis de aplicacin estadstica, se busca determinar una
distribucin de probabilidad o modelo de probabilidad que satisfagan un conjunto
de supuestos, para estudiar los resultados observados de un experimento
aleatorio.
I. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
DISCRETAS
Muchos de los acontecimientos cotidianos, pueden ser representados
mediante funciones probabilsticas tericas, que son tiles en la toma de
decisiones bajo condiciones de incertidumbre que contribuyen al desarrollo
de la ciencia. Veamos algunos de ellos:
1. DISTRIBUCIN DE BERNOULLI. Consiste en realizar un experimento
aleatorio una sola vez y observar si cierto evento ocurre o no.
Caractersticas:
1. La prueba tiene 1 de 2 resultados mutuamente excluyentes (xito o
fracaso).
2. Las probabilidades de xito (E) y fracaso (F) se denotan con " p(E)=p " y
" p(F)=1-p = q" respectivamente.
3. X: es el nmero de xitos x = 0,1.
4. Distribucin de probabilidad de Bernoulli.
La variable aleatoria X tiene una distribucin de Bernoulli con parmetro
p y denotado por: XBer(p). La distribucin de probabilidad de la
variable aleatoria Bernoulli es:
FUNCIN DE CUANTIA:
valoresotrospara
xqpxXpxf
xx
0
1,0,)()(
1
-
Distribuciones de Probabilidades
121
Donde p es la probabilidad de conseguir un xito y f define una funcin de
cuanta con parmetro p.
FUNCIN DE DISTRIBUCION.
Si x tiene una distribucin de probabilidad de bernoulli de parmetros p, entonces
la media y la varianza de la variable aleatoria es respectivamente: = p
= p q
a) pxppxxE 1)1(0)(
b) pqppPppXE 2222222 )()1()1()0()(
PROBLEMA: Un experimento aleatorio consiste en seleccionar un artculo
defectuoso de un lote 1000 artculos que contiene 20 defectuosos.
a) Construir la cuanta y
ii) distribucin asociados a dicho experimento.
iii) Calcule esperanza matemtica y
iv) varianza de la variable de la variable con distribucin de Bernoulli.
v) Calcule )5.10( xP
Solucin:
p= (20/1000)=0.02 Probabilidad de xito.
1-p=q=1-0.02=0.98
i) CUANTA
valoresotrospara
xxXpxf
xx
0
1,0,98.002.0)()(
1
1:1
10:1
0;0
)()(
x
xp
x
xXPxF
-
Distribuciones de Probabilidades
122
ii) DISTRIBUCIN
1:1
10:98.0
0;0
)()(
x
x
x
xXPxF
Si X~Bernoull(x; 0.02), entonces:
iii) Esperanza matemtica = p=0.02
iv) Varianza = p q=0.02(0.98)=0.0196
v) )5.10( xP =F(1.5)-F(0)=1-0.98
2. DISTRIBUCIN BINOMIAL
Consiste en realizar un experimento aleatorio de n repeticiones o pruebas
independientes y repetitivas de Bernoull y observar si cierto evento ocurre o no.
Caractersticas:
Una variable aleatoria X cuyos valores posibles son discretos (0, 1, 2, 3, 4,, n) y
esta es asociada al nmero de aciertos en n ensayos sigue una distribucin de
probabilidad Binomial de importante uso los negocios; si al realizar un
determinado experimento se cumple que:
1
0
1
0.98
x
F(x)
-
Distribuciones de Probabilidades
123
La totalidad del experimento se puede describir en funcin de una
secuencia de n experimentos idnticos conocidos como ensayos.
Experimento que consiste en n pruebas o ensayos Bernoulli idnticos.
En cada uno de los ensayos, son posibles solamente dos resultados.
Nos referimos a uno de ellos como xito (acierto) y al otro como
fracaso.
Las probabilidades de los dos resultados no se modifican de un
ensayo al siguiente. La p(xito)= p y p(Fracaso)= (1-p)=q se mantienen
constantes a lo largo de todas las pruebas o ensayos.
Los n ensayos o pruebas son independientes, es decir el resultado de
un ensayo no afecta los siguientes o anteriores
FUNCIN DE CUANTIA:
casootrospara
nxppxXpXf
xnxn
x
0
,.......,2,1,0,)1()()(
Permite obtener la probabilidad simple de obtener x aciertos en un total de
n ensayos
FUNCIN DE DISTRIBUCION.
x
xnxn
x ppxXPXF0
)1()()(
Permite obtener la probabilidad acumulada de obtener hasta x aciertos en
un total de n ensayos.
Donde:
p : Probabilidad de xito
q = (1 -p) : Probabilidad de fracaso
n : nmero de pruebas
x : nmero de xitos en n pruebas
Si x es variable aleatoria con distribucin Binomial B(X; n, p) entonces: La
esperanza matemtica es =E(X) = np , y la varianza es =V(X) = np(1 p)
-
Distribuciones de Probabilidades
124
La variable aleatoria X, nmero de xitos en n ensayos de Bernoull se puede
escribir como una suma de n variables aleatorias independientes de Bernoull.
Esto es:
i
n
i
Xx
1
Siendo iX de Bernoull con: pXE i )( y ).1()var( ppX i Luego:
a) .)var()(11
1
1
nppXXEXEn
i
i
n
i
n
i
b) ).1()1()var(var)var(111
2 pnpppXi
Xn
i
i
n
i
n
i
X
NOTA. Si p=1/2, la distribucin binomial B(n,p) es simtrica. Adems, si p1,
la distribucin tiene asimetra negativa (cola a la izquierda), y si p0, la
distribucin tiene asimetra positiva (cola a la derecha).
PROBLEMA: Una mquina selladora de bolsas se desajusta durante el proceso
de envasado de leche, aunque el operador esta alerta existe una probabilidad de
0.08 que el artculo producido sea defectuoso.
i) Cul es la probabilidad que en una muestra de 12 artculos producidos
ninguno sea defectuoso?
ii) Cul es la probabilidad que al menos uno sea defectuoso en un lote de 15
artculos?
iii) Cul es el nmero promedio de artculos defectuosos en un lote de 1000
artculos producidos? y Cul es su desviacin tpica?
solucin
i) p (x = 0) = f (0) = b( 0 ; 12, 0.08 ) =
0
12(0.,08)0 (0.92)12
= 0.9212
Usando la tabla:
B(0 ; 12 , 0.08) = B (0 ; 12 ,0.08) = 0.3677
ii) p( X 1 ) = 1 - p(x 1) = 1 - p (x = 0) = 1 - 0.9215
-
Distribuciones de Probabilidades
125
Usando tablas:
p( X 1) = 1 - p(X 1) = 1 - p(X = 0) = 1 - B (0 ; 15 , 0.08)
= 0.7137
= np = 1000(0.08) = 80
= 579.8)92.0)(08.0(1000p) - (1 np
PROBLEMA: La probabilidad que un rayo impacte en un poste o cable de energa
elctrica de la red de distribucin de la Regin, en una noche de lluvia tormentosa
es 0.15. Encontrar la probabilidad que de 20 noches de lluvia:
i) Ocurra exactamente un impacto
ii) Ocurra a lo sumo de 3 impactos
iii) Ocurran de 2 o ms impactos
solucin:
x b(x ; 20 , 0.15)
USO DE LA TABLA
i) P(x =1) = f(1) = b(1 ; 20 , 0.15) = B(1 ; 20 , 0.15) - B(0 ; 20 , 0.15)
= 0.1756 - 0.0388 = 0.1368
ii) P(x 3) = B(3 ; 20 , 0.15) = 0.6477
iii) P(x 2) = 1 - P(x < 2) = 1 - P(x 1)
= 1 - B(1 ; 20 , 0.15)
= 1 - 0.1756 = 0.8244
USO DE LA TABLA
a) b (5 ;15 ,0.40) = 0.1859 Tabla de probabilidades simples
b) B(8 ; 12 , 0.70) = 0.5075 Tabla de probabilidad acumulada. Verifique que:
B(8 ; 12 , 0.70) = 1 - B(3 ; 12 , 0.30) = 1 - 0.4925 = 0.5075
c) b(8 ; 12 , 0.70)= 0.2312 Tabla de probabilidades simples
Verifique que:
-
Distribuciones de Probabilidades
126
b(8 ; 12 , 0.70) = B(4 ; 12 , 0.30) = B(4; 12, 0.30)-B(3;12,0.30)
= 0.7237 - 0.4925 = 0.2312
d) Para n=20 p=0.10 Calcular i) P(5 x 9); ii) P )95( x :
i) P(5 x 9) =
8
6x
0.10) 20, ;b(x =0.009+0.002+0.000=0.011
ii) P )95( x =
8
6x
0.10) 20, ;b(x =
9
0x
4
0
0.10) , ;20b(x - 0.10) , ;20b(x x
=B(9 ; 20 , 0.10) - B(4 ; 20 , 0.10) = 1- 0.9568 = 0.0432
e)
8
5
0.20) , ;16b(x x
=
4
0
8
0x
0.20) , ;16b(x 0.20) , ;16b(x x
=
=B(8;16,0.20)-B(4;16,0.20)
=0.9985-0.7982=0.2003
NOTA: Observe que, en general, B(n ; n , p) = 1
-
Distribuciones de Probabilidades
127
3. DISTRIBUCIN DE POISSON
Frecuentemente enfrentamos problemas como, llegadas o arribos a un sistema
real, por ejemplo: El nmero de automviles a una estacin de servicios en el
tiempo de una hora, el nmero de reparaciones que se necesitan en 10 kilmetros
de las carreteras, el nmero de personas que llegan a usar el cajero automtico
de un banco en una hora de tiempo, etc., en general procesos relacionados con
servicios prestados por ciertas dependencias pblicas, casetas de peaje, y el
nmero de accidentes efectuados en cierta rea de gran congestin. El modelo
Poisson es utilizado para describir estos tipos de procesos y resulta aplicable,
siempre y cuando se cumplan las siguientes dos condiciones:
La probabilidad de ocurrencia de un evento es la misma para cualesquiera
de dos intervalos de igual longitud
La ocurrencia o no ocurrencia del evento en cualquier intervalo es
independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo.
Los eventos son independientes entre s.
Caractersticas:
1. El experimento en que el nmero de xitos ocurre durante una unidad de
tiempo rea o volumen.
2. La probabilidad de que un evento ocurra en una unidad dada de tiempo,
rea o volumen es la misma para todas las unidades.
3. El nmero de xitos que ocurren en una unidad de tiempo, rea o volumen
es independiente del nmero que ocurren en otras unidades.
4. El nmero medio de eventos en cada unidad se denota por Lambda ().
Su creador fue el francs Simen Denisse Poisson (1781-1840)
!
)(x
exXP
x , x = 0, 1, 2,
donde:
: Nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o
volumen
x : nmero de xitos
e : base neperiano el cual equivale a 2.71828
x : factorial de x
-
Distribuciones de Probabilidades
128
La media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson
son respectivamente: = y =
MODELO
Experimento binmico en que la probabilidad de xito es bastante pequea
(p0) en tanto que la muestra es grande (n), su parmetro es =np
parmetro
CUANTA
,...3,2,1,0;!
)()(
xx
exXPxf
x
Donde:
: nmero medio de xitos de eventos en una unidad dada de tiempo, rea o
volumen
x : nmero de xitos
e : base neperiano el cual equivale a 2.71828
x : factorial de x
DISTRIBUCIN
00
;!
)()( Zxx
exXPxF
x
x
x
Si X es una variable aleatoria con distribucin de Poisson P(x,), entonces la
media y la varianza de la variable aleatoria de la distribucin de Poisson son
respectivamente: = y =
E(X) = V(X) = .
USO DE LA TABLA:
a) Sea X variable aleatoria con distribucin de Poisson, calcular:
f(0; 3) = F(0; 2) = 0.0498
f(6; 2.6) = 0.032
=F(6; 2.6) - F(5; 2.6) = 0.9828 0.9510 = 0.0318
Si =5.4 P(X8) = F(8; 5.4) = 0.9026
Si =6.8 P(X5)=1-P(X5)=1- P(X4) = 1 0.1920 = 0.808
-
Distribuciones de Probabilidades
129
PROBLEMA: El nmero de tornillos producidos por minuto con una mquina
automtica es una variable aleatoria que tiene la distribucin de Poisson con =
5.6. Si la mquina aumenta la velocidad se desajusta cuando produce por lo
menos 13 tornillos por minuto Cul es la probabilidad de desajuste de la
mquina?
SOLUCIN
Cuanta: X Poisson (x; 5.6)
,...3,2,1,0;!
6.5)()6.5;(
6.5
xx
exXPxf
x
P (x 13) = 1 - P (x < 13) =
12
0
6.5
!
6.51)12(1
x
x
x
exP
= 1 - 0.9949 = 0.0055
PROBLEMA: Se sabe que el 2% de de la produccin mensual de queso es
defectuoso. Se desea obtener una muestra de manera que el mximo nmero de
quesos defectuosos sea de 6 con una probabilidad de 0.95 Cul ser el tamao
de dicha muestra?
Solucin:
X b (x; n, p), donde p = 0.02 P(x 6) = 0.95
Como p es pequeo se aproxima a Poisson X
poisson (x;), donde: = np = 0.02 n. Por
interpolacin lineal:
1642.164
3.302.0
3.32.3
9490.095.0
9490.09554.0
n
n
Nota: Para casos en que n es grande y p es muy pequeo se puede utilizar la
distribucin de Poisson para aproximar la distribucin binomial.
np
x 3.2 =0.02n 3.3
6 0.9554 0.95 0.9490
-
Distribuciones de Probabilidades
130
II. PRINCIPALES DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS
CONTINUAS
4. DISTRIBUCIN NORMAL
Quizs la distribucin de probabilidad ms importante utilizada para describir
una variable aleatoria continua es la distribucin de probabilidad normal; es
aplicable en gran cantidad de situaciones de problemas prcticos. La
distribucin normal es la de mayor importancia en la Estadstica porque:
1. Muchas variables aleatorias continuas se distribuyen normalmente o se
supone que siguen la ley de probabilidad normal.
2. Sirve como una buena aproximacin de muchas distribuciones discretas,
como la binomial y la de Poisson.
3. Las distribuciones de muchos estadsticos muestrales se aproximan a la
distribucin normal.
La distribucin normal, o tambin conocida como distribucin Gaussiana,
debido a que su autor fue Karl Gauss durante el siglo XIX. Tiene algunas
propiedades que la hacen aplicable en un gran nmero de situaciones en las
que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.
Definicin.-
Sea X una variable aleatoria continua con media y varianza Entonces la
funcin de densidad es
La variable aleatoria X sigue una distribucin normal con parmetros , 2;
se denota por : );;(2 x
CARACTERSTICAS:
La curva f (x) es una distribucin unimodal.
Tiene forma de campana.
La forma de la curva f (x) es simtrica con respecto a la media .
Su media cae en centro de la curva, lo que nos lleva a la conclusin de
que su mediana y su moda estn en el mismo punto.
Adems sus extremos se extienden indefinidamente.
La curva f(x) tiene dos puntos de inflexin, situados a una distancia de
a cada lado de la media .
Las reas comprendidas bajo la curva normal son:
+ = 68.3%
-
Distribuciones de Probabilidades
131
+ 2 = 95.5%
+ 3 = 99%
DENSIDAD
Su funcin de densidad de probabilidad, tiene la forma de una campana
como la figura siguiente:
La funcin matemtica que nos da la densidad de probabilidad f(x) para este
modelo de distribucin es:
Parmetros : media 2: varianza
Si X es una variable aleatoria con distribucin normal (x; ,2), entonces
E(x)= y V(x)=2
En esta ecuacin:
f(x) :funcin de densidad de probabilidad normal
:Desviacin estndar de la variable aleatoria
2 : Varianza de la variable aleatoria
:Valor medio o esperanza matemtica de la variable aleatoria
e :Base de los logaritmos naturales, e = 2.71828
:Nmero Pi , 3.14159
x :variable aleatoria que puede varan entre - x
Esta funcin f(x) es muy sensible a los valores de (la desviacin estndar),
por cuanto para igual valor de esperanza matemtica , la curva tiende a
aplastarse y a ensancharse a medida que aumenta la desviacin estndar,
x
x
exf ;
2)(2
1
2
1)(
-
Distribuciones de Probabilidades
132
por el contrario, menores valores de tienden a comprimir la curva
alrededor del valor de la esperanza matemtica , aumentando el valor de la
curva.
DISTRIBUCIN
dxt
x
etxF
2)(2
1
2
1)(
Esperanza matemtica
dx
x
xexE
2)(2
1
2
1)(
Varianza
dx
x
exxV
2)(2
1
2)(2
1)(
Afortunadamente cuando utilicemos la distribucin normal para describir una
variable aleatoria continua, nunca tendremos que utilizar la funcin de
densidad de probabilidades f(x) F(x). En su defecto, utilizaremos una
modificacin de la misma, denominada Distribucin Normal Estndar de
aplicacin general para cualquier valor de esperanza matemtica y
desviacin estndar.
DISTRIBUCIN NORMAL ESTNDAR
DENSIDAD
Mediante la transformacin z = (x-)/ se obtiene la distribucin normal estndar cuya densidad de la variable estandarizada es:
xeZf Z ;2
1)( 2/
2
El valor esperado y varianza de Z son:
E(Z) = 0 V(Z) = 1
-
Distribuciones de Probabilidades
133
CARACTERSTICAS
Si X es una variable aleatoria continua distribuida normalmente con
media y varianza , lo denotamos por N(,).
Aplicando esta notacin a la variable normal estandarizada Z, escribimos
N (0,1), esto es, Z es normal con media cero (0) y varianza uno (1).
La superficie bajo la curva normal estandarizada es igual a 1. por
consiguiente, las probabilidades pueden representarse como superficies
bajo la curva normal estandarizada entre dos valores distintos.
f(x)
x
z=0
Area o
Probabilidad
z
Si z es una variable con distribucin normal (z; 0, 1), entonces E(z)=0 y V(z)=1
DISTRIBUCIN NORMAL ESTANDAR
t
Z dzetZf 2/2
2
1)(
1/2
F(z)
1
0 z
-
Distribuciones de Probabilidades
134
USO DE TABLAS
Si X ~ n(x; 23, 9) calcular: a) P(X > 25) b) 5 XP c) 2620 XP Solucin
a)
3
23252525 ZP
XPXP
67.0167.0 ZPZP
= 1 0.7486 = 0.2514
b)
3
5
3
5555
XPXPXP
= )67.1()67.1(67.167.1 ZPZPZP
= 0.9525-0.0475=0.905
Tambin se cumple:
= 2 )67.1( ZP 1 = 2 (0.9525) 1 = 0.905
c) )1()1(3
3
3
3
3
2326
3
2320
ZPZPZP
XP
=0.8413-0.1587=0.6826
Tambin se cumple =2 )67.1( ZP -1= 0.6826
PROBLEMA: La estatura media de escolares varones de 10 14 aos de edad
es 123cm con una desviacin tpica de 10.7cm, se sabe que la estatura se
distribuye normalmente. Si se selecciona al azar uno de estos nios Cul es la
probabilidad que su estatura sea:
a) Mayores que 132.34cm? b) Menores de 100cm?
Solucin
a)
7.10
12334.13234.132
XPXP = P (Z > 0.87)
= 87.01 ZP = 1 0.8078 = 0.1922
b) 15.27.10
123100100
ZP
XPXP
= 0.0158
-
Distribuciones de Probabilidades
135
PROBLEMA: Una planta de elaboracin de productos lcteos es abastecida de
leche cada 2 das, el consumo en volumen de leche para la produccin tiene una
distribucin normal con media de 2000 litros y desviacin tpica 500 litros. (Se
entiende el consumo cada dos das). Se trata de hallar la capacidad de su tanque
de leche para que sea de solo 0.05, la probabilidad que en un periodo de 2 das,
la leche no sea suficiente para satisfacer toda la demanda.
Solucin:
x el valor de la v.a.
X: representa, el volumen de consumo de leche cada dos das.
X ~ n(x; 2000, 5002)
C : Capacidad del tanque
P(X > C) = 0.05
05.0500
2000
CXP
05.0500
2000
C
ZP
05.0500
20001
C
ZP
95.0500
2000
C
ZP
2822.5 C ; 3645.1500
2000
C
Capacidad del tanque es de 2822.5 litros.
DISTRIBUCIN JI CUADRADA () .
Sea n un nmero natural. Una variable aleatoria continua X se denomina
distribuida 2(), con n grados de libertad, si la densidad de probabilidad fx tiene la
forma.
0 ; para x 0,
f(x) = 1
(
2)2
2
[()]
21
[()]
2 ; > 0
-
Distribuciones de Probabilidades
136
FUNCIN DE DISTRIBUCIN O ACUMULATIVA.
() = 1
(2) 2
2
0
[()]2
1 [()]
2 2
Donde n: nmero de grados de libertad.
Ejemplo.
a) Sea el percentil x2 (29) = 11.0, Calcular [2(29) 11.0]
Solucin.
[2(29) 11.0] = . . La probabilidad es de 0.001.
Ejemplo
Sea el percentil x2 (45) = 80.1, Calcular [2(45) 80.1]
Solucin.
[2(45) 80.1] = 0.999. La probabilidad es de 0.999
Ejemplo.
[2(10) ] = 0.0005, entonces x = 1.26
[2(15) ] = 0.999, entonces x = 37.7
DISTRIBUCIN t STUDENT t(n).
Teorema. Sea Z una variable aleatoria normal estndar y X una variable aleatoria
chi-Cuadrado con n grados de libertad. Si Z y X son independientes, entonces la
variable aleatoria
=
Tiene una distribucin t de Student con n grados de libertad y una funcin de
densidad de probabilidad dada por
(; ) = (
+ 12 )
(2)
[1 +2
]
(+1)/2
-
Distribuciones de Probabilidades
137
Donde n = grados de libertad.
La distribucin t es una distribucin simtrica.
El uso de la tabla t es semejante a la tabla de la Ji-Cuadrada.
La funcin de probabilidad en trminos acumulativos est dada por:
( (1 ,)) = (, )(1 ,)
= 1 , 0 1
Ejemplo.
Calcular [(20) 1.725] = ?
Solucin.
[(20) 1.725] = . . La probabilidad es de 0.95.
Calcular [(20) 1.725] = ?
Solucin.
[(10) 0.879] = . . La probabilidad es de 0.80.
Ejemplo.
[(15) ] = . . Entonces t = - 0.879.
[(14) ] = . . Entonces t = 1.761.
Tambin se puede representar de la siguiente manera:
[ (0.90 , 15)] t =1.341 y [ 1.341] = 0.90.
[ (0.95 , 15)] t =1.753 y [ 1.753] = 0.95.
[ (0.99 , 15)] t =2.602 y [ 2.602] = 0.99.
-
Distribuciones de Probabilidades
138
Dado que la distribucin t es simtrica con respecto al cero, para > 0.5, los
valores cuantiles (1 ,), sern negativos pero sus magnitudes sern las mismas
que las
de los correspondientes valores que se encuentran en el lado derecho. De esta
forma:
[ (0.10 , 15)] t = -1.341 y [ 1.341] = 0.10.
[ (0.05 , 15)] t = -1.753 y [ 1.753] = 0.05.
[ (0.01 , 15)] t = -2.602 y [ 2.602] = 0.01.
DISTRIBUCIN F SNEDECOR (FISHER).
La distribucin F se caracteriza completamente por los grados de libertad v1 y v2.
La distribucin F tiene asimetra positiva para cualesquiera valores de v1, v2, pero
sta va disminuyendo conforme v1 y v2 toman valores cada vez ms grandes.
Ejemplo.
[ (0.90 ,5,10)] t = 2.52y [ 2.52] = 0.90.
[ (0.95 ,5,10)] t = 3.33y [ 3.33] = 0.95.
[ (0.99 ,5,10)] t = 5.64y [ 5.64] = 0.99.