Estadística III. H Lamos 1
Estadística III.DISEÑO Y ANALISIS DE EXPERIMENTOS
2014Segundo semestre
HENRY LAMOS
Estadística III. H Lamos 3
Ejemplo a desarrollar en claseUna agencia gubernamental para la protección del medio ambiente ha establecido reglamentos muy estrictos para el control de desechos de las fábricas. Un empresa tiene cuatro plantas y sabe que la planta A satisface los requisitos impuestos por el gobierno pero quisiera determinar cuál es la situación de las otras tres. Para el efecto se toma cinco muestras de los líquidos residuales de cada una de las plantas y se determina la cantidad de contaminantes. Los resultados del experimento aparecen en la tabla.
Estadística III. H Lamos 4
Planta Cantidad de contaminante
A 1.65 1.72 1.50 1.37 1.6
B 1.7 1.85 1.46 2.05 1.8
C 1.4 1.75 1.38 1.65 1.55
D 2.1 1.95 1.65 1.88 2
Proporcionan los datos anteriores evidencia suficiente que indique que existe una diferencia en la cantidad media de contaminantes para las cuatro plantas?
Estadística III. H Lamos 5
One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D
Source DF SS MS F PFactor 3 0,4649 0,1550 5,20 0,011Error 16 0,4768 0,0298Total 19 0,9417
S = 0,1726 R-Sq = 49,37% R-Sq(adj) = 39,87%
1. Supuesto de NormalidadPara verificar el supuesto se puede usar una gráfica de probabilidad normal de los residuales. La gráfica debe tener una apariencia de línea recta. Una distribución de los errores que tienen colas considerablemente más gruesas o delgadas que la distribución normal es “grave”.
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Puntos atípicos
Error en cálculos
Error en codificación de
datos
Circunstancias experimentales
ijijij yye ˆ
Residuales
Estadística III. H Lamos 7
0,082 -0,072 -0,146 0,184
0,152 0,078 0,204 0,034
-0,068 -0,312 -0,166 -0,266
-0,198 0,278 0,104 -0,036
0,032 0,028 0,004 0,084
Planta A Planta B Planta C Planta D1,65 1,7 1,4 2,11,72 1,85 1,75 1,95
1,5 1,46 1,38 1,651,37 2,05 1,65 1,88
1,6 1,8 1,55 2
FITS1 FITS2 FITS3 FITS41,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,9161,568 1,772 1,546 1,916
Estadística III. H Lamos 8
Ordenar los residuales de menor a mayor Asignar valores crecientes espaciados
uniformemente entre 0 y 1 a . Una forma usual es asignar el valor de a
Después se grafican en papel probabilidad normal las parejas
Una gráfica de probabilidad normal también se construye en papel gráfico común graficando los valores normales estandarizados
2. Supuesto de IndependenciaPara verificar el supuesto se usa una gráfica de los residuales en secuencia del tiempo.Una tendencia a tener corridas de residuales positivos y negativos indican una correlación positiva entre los residuales.
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La aleatorización adecuada del experimento es importante para la independencia del error.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
-0.400
-0.300
-0.200
-0.100
0.000
0.100
0.200
0.300
0.400
Residuos
Residuos
3. Supuesto de HomocedasticidadUna manera de visualizar el cumplimiento del supuesto es a través de una gráfica de los residuales contra valores ajustados Si el modelo es correcto y se satisfacen los supuestos, los residuales deberán estar sin estructura.
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No deberán estar relacionados con ninguna otra variables, incluyendo la respuesta predicha.
GRA
FICA
.iy
• Prueba de Bartlett.
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iguales son todasNo :
....:2
1
22
21
2
i
ao
H
H
aN
SnS
aNna
cSnSaNq
c
q
a
iii
p
i
a
i
a
iiip
1
2
2
11
11
210
210
20
)1(
)()1()1(3
11 log)1(log)(
3026.2 g.l )1(con cudadrado-chi aleatoria variableuna es a-
La hipótesis Nula deberá rechazarse si:
1,22
0 a
• Prueba de Levene modificada
Prueba que las varianzas son iguales en todos los tratamientos utilizando la desviación de las observaciones de cada tratamiento de la mediana de los tratamientos.
La prueba de Levene modificada evalúa entonces si la media de estas desviaciones es igual o no para todos los tratamientos.
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njaiyyd ijijij ,..2,1;,..2,1|,~|
• Cuando las desviaciones medias son iguales, las varianzas de las observaciones de todos los tratamientos serán iguales.Se prueba con el estadístico F ANOVA usual para probar la igualdad de medias que se aplica a las desviaciones absolutas..
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CME
CMTF0
INTERPRETACIÓN DE RESULTADOS
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Regresión Lineal.
Se desarrolla un modelo empírico para pronosticar y
optimizar.
Comparaciones gráficas de las
medias.
Se grafican las medias de los
niveles sobre el eje x.
Contrastes.Comparaciones de Pares de Medias de
los tratamientos.
Después de realizar el experimento el experimentador está listo para sacar conclusiones prácticas acerca del problema bajo estudio.
Las conclusiones pueden obtenerse mediante:
Análisis
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Individual 95% CIs For Mean Based on Pooled StDevLevel N Mean StDev -+---------+---------+---------+--------Planta A 5 1,5680 0,1366 (-------*--------)Planta B 5 1,7720 0,2160 (--------*-------)Planta C 5 1,5460 0,1592 (-------*-------)Planta D 5 1,9160 0,1689 (-------*-------) -+---------+---------+---------+-------- 1,40 1,60 1,80 2,00
1. ContrastesAl realizar el ANOVA en el modelo con efectos fijos se rechaza la Hipótesis Nula, y por lo tanto se desea conocer cuáles efectos son diferentes . Muchos métodos de comparaciones múltiples usan el concepto de contraste.Un contraste se define como una combinación de los parámetros medias
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a
ii
a
iii cc
11
0,
• Estadístico de prueba tEl contraste de interés en términos de los totales de los tratamientos:
Cuando los tamaños de muestra de los tratamientos son iguales:
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normal aleatoria variable una es
a
1i.ii yc
a
1i
2i
22a
1i.ii
ii
a
1i.ii
a
1i.ii
a
1i.iic
a
1i.ii
n/cn)ycnvar()cvar(
cn)y(Ecn
)y(Ec)yc(E)c(E
,ycc
Estadística III. H Lamos 19
La Hipótesis Nula deberá rechazarse si:
aNo tt ,2/
Estadístico de prueba t
• Estadístico de prueba FEl cuadrado de una variable aleatoria t con v grados de libertad, es una variable aleatoria F con un grado de libertad en el numerador y v grados de libertad en el denominador.
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La Hipótesis Nula deberá rechazarse si:
aNo FF ,1,
• Intervalos de confianzaPuede expresarse en términos de los promedios de los tratamientos.
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Si el intervalo de confianza incluye al cero no deberá rechazarse la Hipótesis Nula.
.1
i
a
ii ycC
1
2,2/
11
2,2/
a
ii
EaN
a
iii
a
ii
EaN c
N
MStCcc
N
MStCP
Método SchefféCompara todos los contrastes posibles entre las medias de los tratamientos.Si se tienen m contrastes a comprobar:
Prueba de hipótesis
El contraste correspondiente a los promedios de los tratamientos es:
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0: 0: 1 uuo HH
El error estándar de este contraste es:
Puede demostrarse que el valor crítico contra el quedeberá compararse Cu es :
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a
iiiuEC ncMSS
u1
2 /
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• Se rechaza la Hipótesis Nula si:
Para probar la hipótesis de que el contraste
difiere significativamente de cero, se compara Cu
con el valor crítico.
Contrastes Ortogonales
Dos contrastes con coeficientes {cᵢ} y {dᵢ} son ortogonales, si:
o para un diseño no balanceado
Para a tratamientos, el conjunto de a-1 con contrastes ortogonales hace la partición de la suma de cuadrados debida a los tratamientos en a-1 componentes independientes con un solo g.l. Por lo tanto, las pruebas que se realizan en este son independientes.
Estadística III. H Lamos 25
Ejemplo
Estadística III. H Lamos 26
Existen varias formas de elegir los coeficientes de los contrastes ortogonales para un conjunto de tratamientos. En general, algún elemento en la naturaleza del experimento sugiere las comparaciones de interés. Por ejemplo, si hay a=4 tratamientos, donde el tratamiento 1 es de control y donde los niveles del factor en los tratamientos 2, 3 y 4 son de interés para el experimentador, los contrastes ortogonales apropiados pueden ser:
Tratamiento Coeficiente de los contrastes
1 (control) -3 0 0
2 1 1 0
3 1 -1 1
4 1 0 -1
3. Comparaciones de pares de Medias de tratamientos
Útiles cuando el interés se centra en comparar los pares de medias de tratamientosQuiere probarse:
Algunos de los métodos para realizar dichas comparaciones son.
Estadística III. H Lamos 27
Prueba Tukey Método LSD Prueba Rango de Duncan DUNNET
• Prueba Tukey
Se hace uso del estadístico del rango estudentizado:
Para probar la hipótesis se obtiene el estadístico de prueba:
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n/MSE
yy
n/s
yyq
)yyvar(
)yy(Eyyq
minmax
2
minmax
minmax
minmaxminmax
Estadística III. H Lamos 29
E
v,k,
Ev,k,
MSv
q
n/MSq)v,k(T
de libertad de grados
ordenado. arreglo un en ostratamient de medias k de grupo un
para Student de adoestandariz oestadístic el es donde
Estadística III. H Lamos 30
Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba. Esto es, se rechaza la hipótesis nula si:
Tyy .j.i
Réplicas desiguales. Prueba Tukey-Kramer
Para probar la hipótesis se obtiene el estadístico de prueba:
Estadística III. H Lamos 32
E
vk
ji
Evk
MSv
q
nn
MSqvkT
de libertad de grados
ordenado. arregloun en tos tratamiende mediask de grupoun
paraStudent de adoestandariz oestadístic el es donde
11
2),(
,,
,,
El método de mínima diferencia significativa LSD Se hace uso del estadístico t para probar las hipótesis.
Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.
Estadística III. H Lamos 33
Prueba del Rango Múltiple de DUNCAN
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En este caso los promedio de los tratamientos deben ordenarse de menor a mayor.A continuación, en la tabla de Duncan de los rangos significativos, se obtienen los valores
p,frPara p = 2, 3, …, a donde α es el nivel de significación y f es el numero de grados de libertad del error.
• Prueba del Rango Múltiple de DUNCAN
Deben obtenerse los valoresEl error de cada promedio se determina como
Estadística III. H Lamos 35
p,fr
. Sp,frR
iyp
.
n
MSES
iy
Finalmente se empiezan a obtener las diferencias entre las medias, comenzado a comparar la más grande contra la menor y así sucesivamente, hasta obtener todas las diferencias posibles
Estas diferencias se comparan con los correspondientes, siendo p el número de pasos aparte que están dichas medias comparadas.
Dos pares de medias se consideran significativamente diferentes si
Estadística III. H Lamos 36
pR
pji Ryy ..
• DUNNET : Comparación de medias de un tratamiento con un control.Alguna de las medias de uno de los tratamientos es un control (a) y se está interesado en compararla con las medias de los tratamientos restante.Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.
Estadística III. H Lamos 37
aiEai nn
MSfadyy11
;1..
d debe leerse de la tabla correspondiente para dichos valores.a es el número de tratamientos.f son los Grados de Libertad de MSE.
Estadística III. H Lamos 38
Se trata de un experimento con un solo factor con a= 5 niveles del factor y n= 5 réplicas. Se tienen entonces 25 corridas que se corren de manera aleatoria.
Fibras
Peso % de algodón
PROCESO Resistencia a la Tensión (Y)
Estadística III. H Lamos 39
En la siguiente tabla se registran los datos obtenidos:
Peso porcentual del algodón
ObservacionesTotal Promedio
1 2 3 4 515 7 7 15 11 9 49 9,820 12 17 12 18 18 77 15,425 14 18 18 19 19 88 17,630 19 25 22 19 23 108 21,635 7 10 11 15 11 54 10,8
376 15,04.iy.iy
Para los datos tabulados se obtienen:•Total de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.•Promedio de las observaciones bajo el tratamiento i-ésimo.•Gran total de todas las observaciones.•Promedio de todas las observaciones.
..y ..y
Anova
Estadística III. H Lamos 40
Análisis de Varianza
Fuente de variación Suma de cuadrados
Grados de libertad
Cuadrados
Medios
Entre tratamientos SSTrat= 475,76 a-1= 4 MSTrat=
118,94
Dentro de los tratamientos SSE=161,2
N—a
=20
MSE= 8,06
Total SST=636,96 N-1=24
84,2
76,14
20,4,05.0
F
MS
MSF
E
Trato
Se rechaza la hipótesis Nula con un nivel de significancia de 0.05
aNao FF ,1,
Estadística III. H Lamos 41
Prueba de Levene modificadaEn la siguiente tabla se registran las desviaciones:
Peso porcentua
l del algodón
Desviaciones
1 2 3 4 5 total15 2 2 6 2 0 1220 5 0 5 1 1 1225 4 0 0 1 1 630 3 3 0 3 1 1035 4 1 0 4 0 9
179 2401
ijy 2 2ijy96.82SCT
78
96.4
SCE
SCTrat
84.2
32.020/78
4/96.4
20,4,05.0
F
Fprueba
Estimación de parámetros% 15 -5,2420 0,3625 2,5630 6,5635 -4,24
Estadística III. H Lamos 42
ijiijy i04,15.. y
• Intervalo de confianza para la media del tratamiento 4
5
06,8086,206,21
5
06,8086,206,21 4
• Residuales
• Gráfica de Probabilidad Normal
Estadística III. H Lamos 43
Verificación de los supuestos del ANOVA
% Residuales15 -2,8 -2,8 5,2 1,2 -0,820 -3,4 1,6 -3,4 2,6 2,625 -3,6 0,4 0,4 1,4 1,430 -2,6 3.4 0.4 -2.6 1.435 -3.8 -0.8 0.2 4.2 0.2
-15 -10 -5 0 5 10 15
-2.5
-1.5
-0.5
0.5
1.5
2.5
RESIDUALES
• Prueba de Bartlett.
Estadística III. H Lamos 44
iguales son los todosNo :
....:2
1
222
21
i
ao
H
H
06,8
0,94 3026.2
1,1)525()15()15(3
11 0,45 log)15()06,8(log)525(
2
20
115
1
5
1
21010
p
iii
S
c
q
cSq
Se acepta la hipótesis Nula ya que:
1,22
0 a
%
15 11
20 9,8
25 4,3
30 6,8
35 8,2
2iS
49,94;05,02
Varianza Muestral
Estadística III. H Lamos 45
Prueba de Levene modificadaEn la siguiente tabla se registran las desviaciones:
Peso porcentua
l del algodón
Desviaciones
1 2 3 4 5 total15 2 2 6 2 0 1220 5 0 5 1 1 1225 4 0 0 1 1 630 3 3 0 3 1 1035 4 1 0 4 0 9
179 2401
ijy 2 2ijy96.82SCT
78
96.4
SCE
SCTrat
84.2
32.020/78
4/96.4
20,4,05.0
F
Fprueba
• Contraste
Estadística III. H Lamos 46
Interpretación de resultados
25
0: 0:
.5.4.3.1
11
1
YYYYC
cHcHa
iii
a
iiio
aNo FF ,1,
25,31)5*4(
)25( 2
CSS
35,4 88,306.8
35,3120,1%,5 FFo
La Hipótesis Nula debe aceptarse puesto que
• Scheffé
Estadística III. H Lamos 47
5.5.4.3.1 yyyyC
54,25/)1111(06,81 SS
69,10)43,4(454,2 1,01.0 F
La Hípotesis Nula debe aceptarse puesto que
0: 0: 1 uuo HH
- 54311
• Comparaciones entre pares de medias de los tratamientos
• Tukey
Estadística III. H Lamos 48
38,55
06,823,4%5 T
Comparación Diferencia1 Vs 2 -5,61 Vs 3 -7,81 Vs 4 -11,81 Vs 5 -12 Vs 3 -2,22 Vs 4 -6,22 Vs 5 4,63 Vs 4 -43 Vs 5 6,84 Vs 5 10,8
Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.
• LSD
Estadística III. H Lamos 49
75,35
)06,8(2086,220,025.0 t
Comparación Diferencia1 Vs 2 -5,61 Vs 3 -7,81 Vs 4 -11,81 Vs 5 -12 Vs 3 -2,22 Vs 4 -6,22 Vs 5 4,63 Vs 4 -43 Vs 5 6,84 Vs 5 10,8
Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.
• Duncan
Estadística III. H Lamos 50
Dos pares de medias se consideran significativamente diferentes si
Número % Media1 15 9,85 35 10,82 20 15,43 25 17,64 30 21,6
Los promedio de los tratamientos deben ordenarse de menor a mayor.
P R2 2,95 3,753 3,1 3,944 3,18 4,045 3,25 4,13
p,frtabla de Duncan de los rangos significativos
Comparación Diferencia 4 Vs 1 11,8 > R54 Vs 5 10,8 > R44 Vs 2 6,2 > R34 Vs 3 4 > R23 Vs 1 7,8 > R43 Vs 5 6,8 > R33 Vs 2 2,2 < R22 Vs 1 5,6 > R32 Vs 5 4,6 > R25 Vs 1 1 < R2
pji Ryy ..
• DUNNETT: Se asume al tratamiento 5 como tratamiento control
Estadística III. H Lamos 51
76,45
)06,8(265,2)20,4(05.0 d
Dos medias son significativamente diferentes si el valor absoluto de sus diferencias muestrales excede el estadístico de prueba.
aiE nn
MSfad11
;1
Comparación Diferencia
1 Vs 5 -12 Vs 5 4,63 Vs 5 6,84 Vs 5 10,8
Contrastes Ortogonales
Estadística III. H Lamos 52
543120
310
54310
540
4:H
:H
:H
:H
C1=291.60
C2=31.25
C3=152.10
C4=0.81
Ejemplo 2.2. Se quiere evaluar la eficacia de distintas dosis de un fármaco contra la hipertensión arterial, comparándola con la de una dieta sin sal. Para ello se seleccionan al azar 25 hipertensos y se distribuyen aleatoriamente en 5 grupos. Al primero de ellos no se le suministra ningún tratamiento, al segundo una dieta con un contenido pobre en sal, al tercero una dieta sin sal, al cuarto el fármaco a una dosis determinada y al quinto el mismo fármaco a otra dosis. Las presiones arteriales sistólicas de los 25 sujetos al finalizar los tratamientos son:
Estadística III. H Lamos 53
Estadística III. H Lamos 54
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5
180 172 163 158 147
173 158 170 146 152
175 167 158 160 143
182 160 162 171 155
181 175 170 155 160
Estadística III. H Lamos 55
Grupo 1 Grupo 2 Grupo 3 Grupo 4 Grupo 5
180 172 163 158 147
173 158 170 146 152
175 167 158 160 143
182 160 162 171 155
181 175 170 155 160
Y1. = 178.2 Y2. = 166.4 Y3. = 164.6 Y4. = 158 Y5. = 151.4
Estadística III. H Lamos 57
Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de
libertadCuadrado
medio Fₒ
Tratamientos 2010.64 4 502.66 11.24
Error 894.4 20 44.72
Total 2905.04 24
Como F0,05(4,20) =2,87 y 11,24>2,87 rechazamos la hipótesis nula y concluimos que los resultados de los
tratamientos son diferentes.
Consideremos que se lleva a cabo un experimento para comparar el tiempo que tardan tres marcas de portátiles HP, Dell, Toshiba en cargar un mismo sistema operativo.Se toma una muestra de cuatro portátiles de la marca HP,es decir, se mide el tiempo (en segundos) que tardan en cargar el sistema operativo cuatro portátiles de HP. De Dell se toman seis medidas y cinco de la Toshiba. La tabla siguiente registra los resultados del experimento:
Estadística III. H Lamos 59
Estadística III. H Lamos 60
Yi.
HP 10.7 11.2 12.0 15.5 12.35
Dell 13.4 11.5 11.2 15.1 13.3 12.9 12.90
Toshiba 11.5 12.7 15.4 16.1 15.2 14.18
H0: todas las medias son iguales:µ1 = µ2 = µ3
H1: no todas las medias son iguales
La media de la muestra global seria:
Estadístico de prueba
Estadística III. H Lamos 62
Anova
Fuente de variación Suma de cuadrados Grados de
libertadCuadrado
medio Fₒ
Tratamientos 39.80 2 4.113 1.24
Error 8.226 12 3.32
Total 48.026 14
Estadística III. H Lamos 63
F0,05;2;12 = 3,89, Por lo tanto no rechazamos la hipótesis nula.
Estadística III. H Lamos 64
One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D
Level N Mean GroupingPlanta A (control) 5 1,5680 APlanta D 5 1,9160Planta B 5 1,7720 APlanta C 5 1,5460 A
Means not labeled with letter A are significantly different from control level mean.
Dunnett's comparisons with a control
Family error rate = 0,05Individual error rate = 0,0196
Critical value = 2,59
Control = Planta A
Intervals for treatment mean minus control mean
Level Lower Center Upper --+---------+---------+---------+-------Planta B -0,0790 0,2040 0,4870 (----------*----------)Planta C -0,3050 -0,0220 0,2610 (----------*----------)Planta D 0,0650 0,3480 0,6310 (----------*----------) --+---------+---------+---------+------- -0,25 0,00 0,25 0,50
Grouping Information Using Tukey Method
N Mean GroupingPlanta D 5 1,9160 APlanta B 5 1,7720 A BPlanta A 5 1,5680 BPlanta C 5 1,5460 B
Means that do not share a letter are significantly different.
Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons
Individual confidence level = 98,87%
Planta A subtracted from:
Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta B -0,1087 0,2040 0,5167 (--------*--------)Planta C -0,3347 -0,0220 0,2907 (--------*--------)Planta D 0,0353 0,3480 0,6607 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35
Planta B subtracted from:
Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta C -0,5387 -0,2260 0,0867 (--------*-------)Planta D -0,1687 0,1440 0,4567 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35
Planta C subtracted from:
Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta D 0,0573 0,3700 0,6827 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35
Estadística III. H Lamos 65
One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D
Grouping Information Using Tukey Method
N Mean GroupingPlanta D 5 1,9160 APlanta B 5 1,7720 A BPlanta A 5 1,5680 BPlanta C 5 1,5460 B
Means that do not share a letter are significantly different.
Tukey 95% Simultaneous Confidence IntervalsAll Pairwise Comparisons
Individual confidence level = 98,87%
Estadística III. H Lamos 66
One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D
Planta A subtracted from:
Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta B -0,1087 0,2040 0,5167 (--------*--------)Planta C -0,3347 -0,0220 0,2907 (--------*--------)Planta D 0,0353 0,3480 0,6607 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35
Estadística III. H Lamos 67
One-way ANOVA: Planta A. Planta B. Planta C. Planta D
Planta B subtracted from:
Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta C -0,5387 -0,2260 0,0867 (--------*-------)Planta D -0,1687 0,1440 0,4567 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35
Planta C subtracted from:
Lower Center Upper +---------+---------+---------+---------Planta D 0,0573 0,3700 0,6827 (--------*--------) +---------+---------+---------+--------- -0,70 -0,35 0,00 0,35