ESPACIOS VECTORIALESESPACIOS VECTORIALES

Sea V un conjunto no vacío cuyos elementos llamamos vectores y un grupo

conmutativo.

Sea un cuerpo conmutativo. A los elementos de K los llamamos escalares.

Definición: es un espacio vectorial (E.V.) si se cumplen los siguientes

axiomas:

A) Axiomas de Clausura

1) existe, cumple unicidad y clausura.

2) existe, cumple unicidad y clausura.

B) Axiomas para

3) Conmutativa

4) Asociativa

5) Neutro

6) Simétrico

C) Axiomas para

7) Asociativa de los elementos de K

8) Distributiva de K en V

9) Distributiva de V en K

10) Neutro en K

Ejemplos:

1)

K = R

y usuales en P(x).

2) R2

3) R3

4) NO es E.V.

Teorema 1: Sean , es un espacio vectorial. neutro de V, .

Entonces se cumple que:

a)

b)

c) (siendo x’ es el opuesto de

x).

d) Si

e) Si

f) Si

g)

Dependencia e independencia linealDependencia e independencia lineal

Definición: Combinación Lineal (C.L.)

Sea un E.V. Sea , . Diremos que

es combinación lineal del conjunto U, si existen escalares tales

que .

Ejemplos:

A) Sea ,

Hallar un vector C.L. de U.

Basta tomar , , es C.L. de U.

B) Sea ,

Investigar cuáles de los siguientes vectores es C.L. de U:

Resolvemos simultáneamente los 3 sistemas:

Para x1 y x3 existen , para x2 el sistema es incompatible x1 y x3 son C.L. de

U y x2 no es C.L. de U.

C) Sea con las operaciones y usuales.

, y

Verificar si f, g y h son C.L. de U.

Dependencia Lineal Dependencia Lineal

2. +

-2. + 3.

-5. + 13.

Definición: Sea V un E.V. sobre un cuerpo K. A un conjunto / , .

Decimos que A es linealmente dependiente (L.D.) si existe una C.L. de los vectores de

A con los escalares no todos nulos que sea igual al vector nulo.

Caso particular: es L.D.

es L.D.

Independencia LinealIndependencia Lineal

Definición: V es E.V. y . Decimos que A es L.I. Si no es L.D.

Caso particular: es L.I.

Ejercicio:

,

Estudiar la dependencia lineal de A1 y A2.

Teorema 2: Sea V un E.V., , A es L.D.

Cualquier conjunto que incluya a A es L.D.

no todos nulos /

B es L.D.

Teorema 3: Sea V un E.V., / . A es L.I.

Cualquier conjunto incluido en A es L.I.

Demostración: Sea . Si A’ es L.D. A es L.D. Absurdo.

Teorema 4: Si un conjunto incluido en un E.V. contiene a la suma de dos de sus

vectores, entonces es L.D.

H) V es E.V. T) A es L.D.

/

Demostración:

S.C.I. con 1 grado de libertad A es L.D.

Teorema 5: Si a es un conjunto L.I. incluido en un espacio vectorial, y se forma un

nuevo conjunto con los elementos de A y un vector que no sea C. L de los elementos de

A, entonces este nuevo conjunto es L.I.

H) V es E.V. T) A’ es L.I.

Demostración: Sea , .

Considerando

Si , como A es L.I. A’ es L.I.

Si u es C.L. de los elementos de A

absurdo.

Ejercicio: Sean y dos vectores de R3.

i. Estudiar la dependencia lineal de

ii. Decir si es C.L. de A.

iii. Indicar si es L.I.

Teorema 6:

H) V es E.V. T) es L.D.

es L.I.

Ejercicio: Sean , V E.V. A y B son conjuntos L.I.

¿Es es L.I.?

¿Es es L.I.?

Teorema 7: Condición necesaria y suficiente de dependencia lineal.

A es L.D. siendo

Ejemplo: ,

, ,

es C.L. de A es L.D.

Generadores, bases y dimensiónGeneradores, bases y dimensión

Generador:

Sea V un E.V. y . Decimos que A es generador de V si todo vector de V es

combinación lineal de A.

Notación:

Base

Un conjunto es base del espacio vectorial V si es generador y linealmente

independiente.

Notación:

A es L.I.

Dimensión

Si A es una base del E.V., la dimensión de V es el cardinal de A.

Notación: dim(V)

Ejemplos:

A) Sea

Probar que

B) Sean

i) Estudiar la dependencia lineal de

ii) Sabiendo que , , , hallar la dimensión de V.

Solución:

i) Eliminamos u:

Por el Teorema 4, T es L.D.

ii)

,

C) En R3, , .

Estudiar la dependencia lineal de e indicar si es posible completarlo de modo

de obtener una base de R3.

Teorema 8:

Si un conjunto A genera un E.V., entonces el conjunto que resulta de agregarle a A

nuevos vectores, también lo genera.

Teorema 9: En todo espacio vectorial se cumple que el cardinal de cualquier

generador es mayor o igual que el cardinal de cualquier conjunto L.I de dicho espacio.

Subespacios VectorialesSubespacios Vectoriales

Sea un E.V. y S . Decimos que S es un subespacio vectorial (S.E.V.) de V si: 1)

2) es un E.V.

dim(T) = 1

Ejemplo:

Sea

Investigar si S es un S.E.V.

Solución: Por definición, . Si

1) Unicidad y clausura en

S no es S.E.V. porque no es interna.

Si

2) Unicidad y clausura en

3) Conmutativa

, porque se cumple en V.

4) Asociativa: ídem

5) Neutro en

neutro:

6) Simétrico

7) Asociativa

8) Distributiva de R en R3.

9) Distributiva de R3 en R.

10) Neutro en R:

Finalmente, concluimos que si es S.E.V. de R3.

Teorema 12: Condición necesaria y suficiente para que un conjunto sea S.E.V.

Sea S un conjunto no vacío incluido en un E.V. V.

S es S.E.V. de V sobre K i)

ii)

iii)

iv)

H) S es S.E.V. de V sobre K.

T) i)

ii)

iii)

iv)

Demostración:

i) S es S.E.V. S es E.V. .

ii) por definición de S.E.V.

iii) S es E.V. por definición de operación (Axioma 1)

iv) Ídem (Axioma 2)

Ejercicio: Probar que es un S.E.V. de

.

Envolvente Lineal

Sea un E.V. , A finito, . Se llama envolvente lineal de A (L(A)) al

conjunto formado por todas las combinaciones lineales (finitas) de los elementos de A.

Teorema: L(A) es S.E.V.

directo

H) E.V. T) L(A) es S.E.V. de V.

, A finito,

Demostración:

i) por H), si .

y es C.L. de V

ii) es C.L. de A .

iii)

es C.L. de A

.

iv)

es C.L. de A

por C.N.S., L(A) es S.E.V. de V.

A la envolvente lineal de un conjunto A (L(A)) también se la llama Subespacio

Vectorial generado por A, ya que todos los vectores de L(A) se pueden generar a partir

de los de A.

Ejercicio: Demostrar que si A es L.I., A.

Teorema: Si

Si , x es C.L. de A

L(A) es S.E.V. de V

Definición: Sea E.V. . , . Luego,

.

A la n-upla se le llama VECTOR DE COORDENADAS de v en la

base A.

Teorema: Unicidad del vector de coordenadas en una base dada.

“El vector de coordenadas en una base es único para cada vector de V.”

Demostración:

Por absurdo: Sea

es base de V A es L.I.

.

Ejercicio: Indicar cuáles de los siguientes subconjuntos de R3 son un S.E.V. de R3 sobre

R.

i)

ii)

iii)

iv)

Sea

resto

a) Hallar dos bases para S.

b) Hallar el vector de coordenadas de cada uno de los siguientes vectores en cada una

de las bases halladas en a).