Espacio vectorial euclıdeo
Jose Vicente Romero Bauset
ETSIT-curso 2009/2010
Jose Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacio vectorial euclıdeo. 1
Introduccion
��
���
���HHj
6HH
U⊥
u
V
U
w v
f (x)≈ a0
2+
n
∑k=1
ak coskx +bksenkx
Jose Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacio vectorial euclıdeo. 2
Producto escalar
Sea V un espacio vectorial sobre C. Una aplicacion que asocia unnumero complejo < u,v > a cada pareja de vectores u y v en V ,se dice que es un producto escalar sobre V si satisface lassiguientes propiedades para cualesquiera u,v,w ∈ V y α ∈ C:
i) < u,v >= < v,u >.
ii) < u,v + w >=< u,v > + < u,w >.
iii) < αu,v >= α < u,v >.
iv) < u,u >≥ 0.
v) < u,u >= 0↔ u = 0.
A un espacio vectorial con un producto escalar se le denominaEspacio Euclıdeo.
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Producto escalarPropiedades
< 0,u >=< u,0 >= 0.
< u + v,w >=< u,w > + < v,w >
< u,αv >= α < u,v >
Ejemplos
Rn : < u,v >=n
∑i=1
uivi = utv.
Cn : < u,v >=n
∑i=1
uiv i = utv.
C([a,b]) : < f ,g >=∫ b
af (x)g(x)dx (funciones reales).
C([a,b]) : < f ,g >=∫ b
aw(x)f (x)g(x)dx , w : [a,b]→ R+ y
las funciones toman valores reales.
Pn : p(x) =n
∑k=1
akxk y q(x) =
n
∑k=1
bkxk , < p,q >=
n
∑k=1
akbk
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Norma y angulo
Sea V un espacio euclıdeo. Llamamos norma de un elemento u de V alnumero real positivo
‖u‖= +√< u,u >
Propiedades
‖u‖ ≥ 0.
‖u‖= 0⇔ u = 0.
‖αu‖= |α|‖u‖.‖u + v‖ ≤ ‖u‖+‖v‖ (Desigualdad triangular).
�����1
������
������
xy
�����1
��������
x + y
|< u,v > | ≤ ‖u‖‖v‖ (Desigualdad de Cauchy-Schwartz).
‖u + v‖2 +‖u−v‖2 = 2‖u‖2 + 2‖v‖2 (Ley del paralelogramo).
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Norma y angulo
Si V es un espacio vectorial real
−‖u‖‖v‖ ≤< u,v >≤ ‖u‖‖v‖
y para ‖u‖ 6= 0 y ‖v‖ 6= 0
−1≤ < u,v >
‖u‖‖v‖≤ 1.
Existe un unico θ ∈ [0,π] tal que
cosθ =< u,v >
‖u‖‖v‖.
A θ se le llama angulo entre u y v y se denota por θ = ang(u,v).
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Norma y angulo
Sea V un espacio euclıdeo. Dados u,v ∈ V se dice que sonortogonales si < u,v >= 0. Ademas, si u es ortogonal a cadavector de un conjunto W ⊂V , se dice que u es ortogonal a W .
Teorema de Pitagoras
Si u y v son dos vectores ortogonales en un espacio euclıdeo V ,entonces
‖u + v‖2 = ‖u‖2 +‖v‖2 .
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Proyecciones sobre subespaciosSubespacio ortogonal
Sea V un espacio euclıdeo y U un subespacio vectorial de V . Sellama ortogonal de U en W ,U⊥, al conjunto de todos losvectores de V ortogonales a cualquiera de U
U⊥ = {v ∈ V tal que < v,u >= 0 ∀ u ∈ U} .
Sea V un espacio euclıdeo y U un subespacio vectorial dedimension finita. Entonces todo vector v de V se puede expresarde forma unica como
v = u + w
donde u ∈ U y w ∈ U⊥.
��
���
���HHj
6HH
U⊥
u
V
U
w v
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Proyecciones sobre subespacios
Propiedades
U⊥ es subespacio vectorial de V .
U ∩U⊥ = 0.
Si v ∈ V es ortogonal a una base de U entonces v ∈ U⊥.
Si U ⊂W entonces W⊥ ⊂ U⊥.
U =(U⊥)⊥
.
Al vector u se le llama Proyeccion ortogonal de v sobre U y sedenota por proyU(v). El vector w = v −proyU(v) se conoce comoComponente de v ortogonal a U (en ocasiones se le llamatambien Proyeccion ortogonal de v sobre U⊥).
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Proyecciones sobre subespacios
Propiedades
proyU es una aplicacion lineal.
ker proyU = U⊥ e Im proyU = U
proyU ◦proyU = proyU
proyU deja invariantes a los elementos de U.
Teorema de la mejor aproximacion
Sea V un espacio vectorial euclıdeo y U ⊂ V un subespaciovectorial de dimension finita. Dado v ∈ V , se cumple
‖v−proyU(v)‖ ≤ ‖v−u‖ , ∀u ∈ U.
U
proyU(v)
v
u
v−u
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Bases ortogonales
Sea V un espacio euclıdeo. Un sistema de vectores no nulo de V ,{v1,v2, . . . ,vk} se dice que es un sistema ortogonal si cada vectordel sistema es ortogonal con todos los demas, es decir
< vi ,vj >= 0, i , j = 1,2, . . . ,k , i 6= j .
Si ademas los vectores del sistema son normales o unitarios, esdecir ‖vi‖= 1, i = 1,2, . . . ,k , se dice que es un sistemaortonormal.
Proposicion
Sea V un espacio euclıdeo. Todo sistema ortogonal es linealmenteindependiente.
Sea V un espacio euclıdeo de dimension n. Un sistema de vectores{v1,v2, . . . ,vn} es una base ortogonal (ortonormal) si es unabase y es ortogonal (ortonormal).
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Bases ortogonales
Sea {v1,v2, . . . ,vn} una base ortogonal de un espacio euclıdeo V .Dado v ∈ V
v = α1v1 + α2v2 + · · ·+ αnvn.ww�< vi ,vj >= 0, i 6= j
αi =< v,vi >
< vi ,vi >ww�v =
< v,v1 >
< v1,v1 >v1 +
< v,v2 >
< v2,v2 >v2 + · · ·+ < v,vn >
< vn,vn >vn.
Sea V un espacio euclıdeo y U un subespacio vectorial dedimension finita con una base ortogonal {u1,u2, . . . ,um}, entonces
ProyU(v) =m
∑i=1
< v,ui >
‖ui‖2ui .
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Series de Fourier
Se dice que la funcion f definida en R es periodica si existealgun valor T > 0, llamado periodo, tal que
f (x +T ) = f (x), x ∈ R.
Si f es periodica y existe un periodo T0 > 0 mınimo, a T0 sele llama periodo principal.
Ejemplos:
funcion periodo ppal
f (x) = senxf (x) = cosx
2π
f (x) = tanx π
f (x) = k,k ∈ R @Si f es periodica de periodo T entonces∫ T
0f (t)d t =
∫ T+a
af (t)d t,a ∈ R
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Series de Fourier
f (x)≈ a0
2+
n
∑k=1
ak coskx +bksenkx
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Series de Fourier
El sistema trigonometrico
{1,cosx ,senx ,cos2x ,sen2x , . . . ,cosnx ,sennx}
es ortogonal con respecto al producto usual definido enC([0,2π])(< f ,g >=
∫ ba f (x)g(x)dx)
sena senb =cos(a−b)
2− cos(a+b)
2
senacosb =sin(a−b)
2+
sin(a+b)
2
cosacosb =cos(a−b)
2+
cos(a+b)
2
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Series de Fourier
Si f ∈ C([0,2π]) la funcion mas proxima a f de las que pertenecena la envoltura lineal del sistema trigonometrico es
a0
2+
n
∑k=1
(ak coskx +bksenkx)
ak =1
π
∫ 2π
0f (x)coskxdx , k = 0,1,2, . . . ,n
bk =1
π
∫ 2π
0f (x)senkxdx , k = 1,2, . . . ,n
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Series de Fourier (periodo arbitrario)
Si f ∈ C([0,T ]) la funcion mas proxima a f de las que pertenecena la envoltura lineal del sistema trigonometrico es
a0
2+
n
∑k=1
(ak cos
2πkx
T+bksen
2πkx
T
)
ak =2
T
∫ T
0f (x)cos
2πkx
Tdx , k = 0,1,2, . . . ,n
bk =2
T
∫ T
0f (x)sen
2πkx
Tdx , k = 1,2, . . . ,n
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Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
Dado un sistema de vectores linealmente independientes {a1,a2, . . . ,an},vamos a obtener un sistema de vectores ortogonales (ortonormales) quegeneren el mismo subespacio
L(v1, . . . ,vk) = L(a1, . . . ,ak) k = 1, . . . ,n
v1 = a1
v2 = a2−< a2,v1 >
< v1,v1 >v1
v3 = a3−< a3,v1 >
< v1,v1 >v1−
< a3,v2 >
< v2,v2 >v2
...
vn = an−< an,v1 >
< v1,v1 >v1−
< an,v2 >
< v2,v2 >v2−·· ·−
< an,vn−1 >
< vn−1,vn−1 >vn−1
q1 = v1/‖v1‖q2 = v2/‖v2‖
...
qn = vn/‖vn‖
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Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
Ejemplo
Calcular una base ortogonal que genere el mismo subespacio queL(1,x ,x2) en el intervalo [−1,1]. Calcular a partir de la baseanterior una base ortonormal.
v1 = 1, < x ,1 >=∫ 1
−1x dx = 0, ‖v1‖2 =
∫ 1
−11dx = 2,
v2 = x−< x ,1 >
< 1,1 >1 = x , < x2,1>=
∫ 1
−1x2 dx =
[x3
3
]1
−1
=2
3, < x2,x >= 0,
‖v2‖2 =< x ,x >=2
3, v3 = x2−< x2,1 >
< 1,1 >1−< x2,x >
< x ,x >x = x2− 1
3,
q1 =v1
‖v1‖=
1√2, q2 =
v2
‖v2‖=
√3√2x , q3 =
v3
‖v3‖=
√45√8
(x2− 1
3
)Jose Vicente Romero Bauset Tema 3.- Espacio vectorial euclıdeo. 19
Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
v1 = 1, ‖v1‖2 =∫ 1
−11dx = 2, q1 =
v1
‖v1‖=
1√2, < x ,
1√2>=
∫ 1
−1
x√2
dx = 0,
v2 = x− < x ,q1 >
< q1,q1 >q1 = x , ‖v2‖2 =< x ,x >=
2
3, q2 =
v2
‖v2‖=
√3√2x ,
< x2,1√2>=
∫ 1
−1
x2
√2
dx =
[x3
3√
2
]1
−1
=
√2
3, < x2,x >= 0,
v3 = x2− < x2, q1 >
< q1,q1 >q1−
< x2,q2 >
< q2,q2 >q2 = x2− 1
3,
‖v3‖2 =< x2− 1
3,x2− 1
3>=
8
45, q3 =
v3
‖v3‖=
√45√8
(x2− 1
3
)
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Matrices ortogonales. Factorizacion QR
Una matriz A ∈Mn×n(K) se dice que es ortogonal si sus columnasson vectores ortonormales.
Propiedades
AtA = I
AAt = I
A−1 = At
A conserva el producto escalar canonico, es decir
< Ax,Ay >=< x,y >, ∀ x,y ∈ Rn.
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Matrices ortogonales. Factorizacion QR
Cualquier matriz A con columnas linealmente independientes puedefactorizarse en un producto A = QR. Q es una matriz del mismo ordenque A con columnas ortonormales y R es triangular e invertible. Si lamatriz original A es cuadrada, tambien lo son sus factores Q y R, yentonces Q sera una matriz ortogonal.
Ortogonalizacion de Gram-Schmidt
v1 = a1
v2 = a2−< a2,v1 >
< v1,v1 >v1
v3 = a3−< a3,v1 >
< v1,v1 >v1−
< a3,v2 >
< v2,v2 >v2
...
vn = an−< an,v1 >
< v1,v1 >v1−
< an,v2 >
< v2,v2 >v2−·· ·−
< an,vn−1 >
< vn−1,vn−1 >vn−1
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Matrices ortogonales. Factorizacion QR
q1‖v1‖ = a1
q2‖v2‖ = a2−< a2,q1 > q1
q3‖v3‖ = a3−< a3,q1 > q1−< a3,q2 > q2
...
qn‖vn‖ = an−< an,q1 > q1−< an,q2 > q2−·· ·−< an,qn−1 > qn−1
ww�A= (a1 a2 . . .an) = (q1 q2 . . .qn)
‖v1‖ < a2,q1 > · · · < an,q1 >
0 ‖v2‖ · · · < an,q2 >...
.... . .
...0 0 · · · ‖vn‖
=QR
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Matrices ortogonales. Factorizacion QR
Ejemplo
Calcular la factorizacion QR de la matriz
A =
1 1 11 −1 11 1 10 1 1
v1 = a1 =
1110
, ‖v1‖=√
3, q1 =v1
‖v1‖=
1√3
1√3
1√3
0
< a2,q1 >=
1√3
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Matrices ortogonales. Factorizacion QR
v2 = a2−< a2,q1 > q1 =
1−1
11
− 1√3
1√3
1√3
1√3
0
=
1
3
2−4
23
‖v2‖=
√33
3, q2 =
v2
‖v2‖=
1√33
2−4
23
< a3,q1 >=
3√3, < a3,q2 >=
3√33
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Matrices ortogonales. Factorizacion QR
v3 = a3−< a3,q1 >q1−< a3,q2 >q2 =
1−111
− 3√3
1√31√31√30
− 3√
33
2√33
− 4
332
333
33
=
1
33
−612−624
‖v3‖=2√22
11, q3 =
v3
‖v3‖=
1√22
−12−14
Q =
1√3
2√33
− 1√22
1√3− 4√
33
2√22
1√3
2√33
− 1√22
03√33
4√22
, R =
√3
1√3
√3
0
√33
3
3√33
0 02√22
11
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Resumen Fourier
Objetivo
Aproximar una funcion periodica de periodo T por combinacionesde senos y cosenos de periodo T
{1, sen
2π
Tx , cos
2π
Tx , sen
4π
Tx , cos
4π
Tx , . . . , sen
2πn
Tx , cos
2πn
Tx
}Estas funciones son ortogonales con el producto escalar
< f ,g >=∫ a+T
af (x)g(x)dx , a∈R
(usualmente a = 0 o a =−T
2
).
La mejor aproximacion es la proyecccion ortogonal sobre elsubespacio generado por las funciones anteriores
l
∑i=1
< f ,ui >
< ui ,ui >ui
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Resumen Fourier
f (x)≈ < f ,1>
< 1,1>1+
n
∑k=1
(< f ,sen 2πkx
T >
< sen 2πkxT ,sen 2πkx
T >sen
2πkx
T+
< f ,cos 2πkxT >
< cos 2πkxT ,cos 2πkx
T >cos
2πkx
T
)
Como < 1,1>=∫ T
0dx =T , < sen
2πkx
T,sen
2πkx
T>=
T
2, < cos
2πkx
T,cos
2πkx
T>=
T
2
f (x)≈∫ T
0 f (x) dx
T1+
n
∑k=1
(2∫ T
0 f (x)sen 2πkxT dx
Tsen
2πkx
T+
2∫ T
0 f (x)cos 2πkxT dx
Tcos
2πkx
T
)que se puede reescribir como
f (x)≈ a0
2+
n
∑k=1
(bk sen
2πkx
T+ak cos
2πkx
T
)con
ak =2
T
∫ T
0f (x)cos
2πkx
Tdx , k = 0,1,2, . . . ,n
bk =2
T
∫ T
0f (x)sen
2πkx
Tdx , k = 1,2, . . . ,n
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