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1 I.T.I. :MECANICA I
Departamento: INGENIERA MECNICA, ENERGTICA Y DE MATERIALES
TEMA N 6:STTICA
QUILIBRIO D CU RPOS
RGIDOS
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
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In"$e Punto 6.1 Intro$$"/n
Punto 6.- D"a!rama) e )/("o ("0re Punto 6.2.1 Idealizacin de apoyos y conexiones bidimensionales
Punto 6.2.2 Idealizacin de apoyos y conexiones tridimensionales
Punto 6. E2"("0r"o en o) "men)"one) Punto 6.3.1 Cuerpo de dos fuerzas (miembros de dos fuerzas)
Punto 6.3.2 Cuerpo de tres fuerzas (miembros de tres fuerzas)
Punto 6.3.3 eacciones !iperest"ticas y li#aduras parciales
Punto 6.3.$ esolucin de problemas
Punto 6.3 E2"("0r"o en tre) "men)"one)
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I.T.I 1:MECANICA I
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
En el captulo 4 se vio que, en el caso de un cuerpo rgido, el sistema de fuerzas ms
general se puede expresar mediante una fuerza resultante Ry un par resultante C.
Por tanto, para que est en equilibrio un cuerpo rgido debern anularse la fuerza
resultante Ry el par resultante C.
6.1 Introduccin
ectorialmente!
=++=
=++=
"
"
kMjMiMC
kFjFiFR
zyx
zyx
Escalarmente!
===
===
"""
"""
zyx
zyx
MMM
FFF
Estas #ltimas ecuaciones son condiciones necesariaspara el equilibrio de un cuerporgido. $uando a partir de estas ecuaciones se puedan determinar todas las fuerzas que
se e%ercen sobre el cuerpo, sern tambin condiciones suficientespara el equilibrio.
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I.T.I 1:MECANICA I
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Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
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& 'uerzas exteriores! 'uerza que sobre un cuerpo rgido e%erce otro cuerpo por contacto
directo o a distancia. E%.& Peso
& 'uerzas interiores! 'uerzas que mantienen unidas las partculas del cuerpo rgido o, si
el cuerpo de inters est compuesto de varias partes, las fuerzas que mantienen unidas
dic(as partes.
)as fuerzas exteriores pueden dividirse a su vez, en fuerzas aplicadas yfuerzas de reaccin:
& 'uerzas aplicadas! 'uerzas que sobre el cuerpo e%ercen agentes exteriores.
& 'uerzas de reacci*n! 'uerzas que sobre el cuerpo e%ercen los apoyos y las conexiones.
$omo las fuerzas interiores son, dos a dos, de igual m*dulo y recta soporte
pero de sentidos opuestos, no tendrn efecto sobre el equilibrio del cuerpo
rgido en su conjunto. Por tanto, en este capitulo solo nos ocuparemos de las
fuerzas exteriores y de los momentos que esta originan.
)as fuerzas y momentos que se e%ercen
sobre un cuerpo rgido pueden ser
exteriores o interiores!
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6. !iagramas de slido libre
)a me%or manera de identificar todas las fuerzas que se e%ercen sobre el cuerpo de
inters es seguir el mtodo del diagrama de s*lido libre.
Este diagrama de s*lido libre debe mostrar todas las fuerzas aplicadas y todas las
reacciones vinculares que se e%ercen sobre el cuerpo.
Repasamos de nuevo el procedimiento bsico
"rimer paso:+ecidir qu cuerpo o combinaci*n de cuerpos se va a consideraren el +).
#egundo paso:Preparar un dibu%o o esquema del perfil de este cuerpo aislado
o libre.
$ercer paso: eguir con cuidado el contorno del cuerpo libre e identificar
todas las fuerzas que e%ercen los cuerpos en contacto o en interacci*n que (an
sido suprimidos en el proceso de aislamiento.Cuarto paso: Elegir el sistema de e%es de coordenadas a utilizar en la
resoluci*n del problema e indicar sus direcciones sobre el +).
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6..1 Idealizacin de apoyos y
conexiones bidimensionales
- continuaci*n se indican los tipos (abituales de apoyos y conexiones
utilizados en cuerpos rgidos sometidos a sistemas bidimensionales de
fuerzas, %unto con las % y & que se utilizan para representar sus acciones
sobre el cuerpo rgido en el +).
'( 'traccin gra)itatoria
Peso de cuerpo *.Recta soporte! pasa por el centro de gravedad
del cuerpo y dirigida al centro de la ierra.
+( ,ilo- cuerda- cadena o cable flexible
E%erce siempre una fuerza R de traccin
sobre el cuerpo.Recta soporte! tangente al (ilo, cuerda,
cadena o cable flexible en el punto de amarre.
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C( Conexin rgida barra(
Puede e%ercer sobre el cuerpo una fuerza Rde
traccino de compresin.
Recta soporte! dirigida seg#n el e%e de
conexi*n.
!( +ola- rodillo o zapata
Pueden e%ercer sobre el cuerpo una fuerza R
de compresin.
Recta soporte! normal a la superficie deapoyo.
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/( #uperficie lisa plana o cur)a(
Puede e%ercer sobre el cuerpo una fuerza Rde
compresin.
Recta soporte! normal a la superficie lisa en
el punto de contacto del cuerpo con la
superficie.
%( "asador liso
Puede e%ercer sobre el cuerpo una fuerza Rde
m*dulo / y direcci*n 0 desconocidos.
+ebido a ello, la fuerza Rsuele representarse
en el +) mediante sus componentes
rectangulares Rxy Ry.
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0( #uperficie rugosa
Pueden resistir una fuerza tangencialde rozamiento Rt
as como una fuerza normal de compresinRn.
+ebido a ello, la fuerza R es de compresin dirigida
seg#n un ngulo 0 desconocido.
)a fuerza Rsuele representarse en el +) mediante sus
componentes rectangulares Rny Rt.
,( "asador en una gua lisa
olo puede transmitir una fuerza R
perpendiculara las superficies de la gua.
e supondr un sentido para R en el +)pudiendo ser (acia aba%o y a la izda o (acia
arriba y a la dc(a.
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I( Collar sobre un rbol liso
1$onexi*n con pasador2 1$onexi*n fi%a&soldada2
2( 'poyo fi3o empotramiento(
Puede e%ercer sobre el cuerpo una fuerza Ry un
momento &.
$omo no se conoce ni el m*dulo ni la direcci*nde R, esta suele representarse mediante sus
componentes rectangulares.
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4( Resorte elstico lineal)a fuerza Rque e%erce el resorte sobre el cuerpo
es proporcional a la variaci*n de longitud del
resorte.
!entido! dependiendo si el resorte est alargado
o acortado.
Recta soporte! coincide con el e%e del resorte.
5( "olea ideal
El pasador que conecta una polea ideal con un
miembro puede e%ercer sobre el cuerpo una
fuerza Rde m*dulo y direcci*n desconocidos.
$omo el pasador es liso, la tensi*n $del cableser constantepara satisfacer el equilibrio de
momentos respecto al e%e de la polea.
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9R;LEMA 6.1
+)
!ibu3ar el diagrama de slido libre de la )iga de la figura.
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9R;LEMA 6.-
+)
!ibu3ar el diagrama de
slido libre de la )iga de la
figura. !espreciar el peso
de la )iga.
D t t I " # M % " E &t" M t " (
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9R;LEMA 6.
+)3s
n cilindro se apoya sobre una superficie lisa formadapor un plano inclinado y una armadura de dos barras.
!ibu3ar el diagrama de slido libre para el cilindro-
para la armadura de dos barras y para el pasador en C.
D I " # M % " E & " M " (
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)
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9R;LEMA 6.3
+)3s
!ibu3ar el diagrama de slido libre para la polea- para
el poste '+ y la )iga C!.
D p t t I " # M % " E &t" M t " (
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9R;LEMA 6.13
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p ! , ! 'In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
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6.. Idealizacin de apoyos y
conexiones tridimensionales
- continuaci*n se indican los tipos (abituales de apoyos y conexiones
utilizados en cuerpos rgidos sometidos a sistemas tridimensionales de
fuerzas, %unto con las % y & que se utilizan para representar sus acciones
sobre el cuerpo rgido en el +).
'( RtulaPuede transmitir una fuerza Rpero no momentos. Esta fuerza suele representarse
mediante sus tres componentes rectangulares.
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)
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I.T.I 1:MECANICA I
epa ta e to e !e e a e$% $a, e !&t $a ' e ate a e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
p ! ! 'In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
-8
C( Co3inete de bolas
El co%inete de bolas ideal 1liso2 tiene por misi*n transmitir
una fuerza R en una direcci*n perpendicular al e%e del
co%inete.i el co%inete tiene la direcci*n del e%e y, la acci*n del
co%inete se representa en el +) por las componente Rxy Rz.
+( 0ozne +isagra(ormalmente destinado a transmitir una fuerza Ren una
direcci*n perpendicular al e%e del pasador del gozne.
u dise5o puede tambin permitir transmitir una componente de la fuerza a lo largo
del e%e del pasador.
$iertos goznes pueden transmitir peque5os momentos respecto a e%es perpendiculares
a e%es del pasador.
)as pare%as de goznes alineadas adecuadamente s*lo transmiten fuerzas en las
condiciones de utilizaci*n normales.
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)
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p ! , ! 'In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(aIn!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
-1
/( Co3inete de empu3e
6a de transmitir componentes de fuerza tanto
perpendiculares como paralelas al e%e del co%inete.
$iertos co%inetes de empu%e pueden transmitir peque5os
momentos respecto a e%es perpendiculares al e%e del rbol.
)as pare%as de co%inetes alineados adecuadamente s*lo
transmiten fuerzas en condiciones normales de
funcionamiento.
!( Co3inete de friccin C7umacera(6an de transmitir una fuerza R en una direcci*n
perpendicular a su e%e.
$iertas c(umaceras pueden transmitir peque5os momentos
respecto a e%es perpendiculares al e%e del rbol.
)as pare%as de c(umaceras alineadas adecuadamente s*lo
transmiten fuerzas perpendiculares al e%e del rbol.
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)I " "t M + "+ E t"+ t M t " ( S "(
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In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(aIn!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
--
%( 'rticulacin lisa de pasador6a de transmitir una fuerza R en una direcci*n
perpendicular al e%e del pasador, pero tambin
puede transmitir una componente de la fuerza
seg#n dic(o e%e.
ambin pueden transmitir peque5os momentos
respecto a e%es perpendiculares al e%e del pasador.
0( 'poyo fi3o /mpotramiento(
Puede resistir tanto una fuerza Rcomo un par C. e
desconocen los m*dulos y direcciones de fuerza y
par por lo que en el +) se representan las trescomponentes rectangulares de cada uno.
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)I " " M + "+ E "+ M " ( S "(
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t*a Me+an"+oa Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
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In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(aIn!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
-
9R;LEMA 6.4
+)
!ibu3ar el diagrama de slido libre de la barra cur)a soportada por una rtulaen '- un cable flexible en + y una articulacin de pasador en C. !espr8ciese el
peso de la barra.
Departamento e In!en"er#a Me$%n"$a, Ener!&t"$a ' e Mater"a(e)In!en"ar"t a Me+an"+oa Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
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9R;LEMA 6.-1
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In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(aIn!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a
-6
6.9 /quilibrio en dos dimensiones
Problema bidimensional! en l, las fuerzas que intervienen estn contenidas en un planoy los e%es de todos los pares son perpendiculares al plano que contiene las fuerzas.
)as ecuaciones de equilibrio se reducen 1vectorialmente2 a!
-s, tres de las seis ecuaciones escalares independientes del equilibrio se satisfacen
automticamente!
Por tanto, s*lo (ay tres ecuaciones escalares independientes para el equilibrio de un
cuerpo rgido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas!
)a tercera ecuaci*n se refiere a la suma de momentos de todas las fuerzas respecto a un
e%e z que pase por un punto cualquiera - perteneciente al cuerpo o no.Esta #ltimas ecuaciones constituyen las condiciones necesarias y suficientes para el
equilibrio de un cuerpo rgido sometido a un sistema bidimensional de fuerzas.
==
=+=
"
"
kMC
jFiFR
z
yx
=== """yxz MMF
=== """ "yx MFF
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I.T.I 1:MECANICA I
In!en"ar"t*a Me+an"+oa, Ener!et"+oa eta Mater"a(een Sa"(a! , !
-5
En la primera figura se aprecian la resultante R y el par
resultante C de un sistema bidimensional cualquiera de fuerzas
que se e%ercen sobre un cuerpo rgido.
)a resultante puede expresarse mediante sus componentes
rectangulares 1figura 72.
i se cumple la condici*n!
i adems se cumple que!
Para todo punto 8 del cuerpo o exterior a l, que no se (alle en el
e%e y, la ecuaci*n s*lo puede satisfacerse si
-s pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio
en problemas bidimensionales es!
en donde los puntos - y 8 (an de tener coordenadasxdiferentes.
"" == C"M == jFF yx R"
= "#M = "yF
=== """ #"x MMF
6ay otras dos maneras de expresar las
ecuaciones de equilibrio de un cuerpo sometido
a un sistema bidimensional de fuerzas.
1
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
!e a t a e a oa, e !et oa eta ate a ee Sa a
-
)as ecuaciones de equilibrio para unsistema bidimensional de fuerzas se
pueden escribir tambin utilizando tres
ecuaciones de momentos.i se cumple la condici*n!
-dems para un punto 8 del e%e x que pertenezca o no al cuerpo
1excepto en el punto -2, la ecuaci*n podr satisfacerse
s*lo si
-s pues,Para todo punto $, perteneciente al cuerpo o no, que no est sobre
el e%e x, la ecuaci*n solo podr satisfacerse si
-s pues, otro sistema de ecuaciones escalares para el equilibrio en
problemas bidimensionales es!
donde -, 8 y $ son tres puntos cualesquiera no alineados.
"" == C"M
= iFxR
= "#M = "yF
=== """ C#" MMM
= "CM = "xF
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! , !
-7
6.9.1 Cuerpos miembros( de fuerzas
El equilibrio de un cuerpo sometido a dos fuerzas se presentacon bastante frecuencia por lo que se le presta especial atenci*n.
E%emplo! barra de conexi$n de peso despreciable1figura2.
)as fuerzas que sobre la barra e%ercen los pasadores lisos
situados en - y 8 se pueden descomponer en componentes
seg#n el e%e de la barra y perpendicular a l. -plicado
ecuaciones de equilibrio!
)as fuerzas -yy 8yforman un par que debe ser nulo si la barra
est en equilibrio, por tanto!
-s pues, en los miembros de dos fuerzas, el equilibrio exige
que las fuerzas sean de igual mdulo y recta soporte, peroopuestas. )a forma del miembro no influye en este sencillo
requisito. )os pesos de los miembros deben ser despreciables.
yyyyy
xxxxx
#"#"F
#"#"F
===
===
""
""
"== yy #"
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I.T.I 1:MECANICA I
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8
6.9. Cuerpos miembros( de 9 fuerzas
El equilibrio de un cuerpo ba%o la acci*n de tres fuerzas constituye tambin unasituaci*n especial.
E%emplo!
i un cuerpo est en equilibrio ba%o la acci*n de tres fuerzas las rectas soportes de
8stas deben ser concurrentes1pasar por un punto com#n2.
i no fuera as, la fuerza no concurrente e%ercera un momento respecto al punto de
concurso de las otras dos fuerzas.
$aso particular! 9n cuerpo sometido a tres fuerzas paralelas. El punto de concurso es
el infinito.
+) de -8
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I.T.I 1:MECANICA I
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1
6.9.9 Reacciones 7iperestticas y
ligaduras parciales
enemos un cuerpo sometido a un sistema de fuerzas coplanarias. Este puede sustituirsepor uno equivalente formado por una fuerza que pase por un punto arbitrario - y un par.
Para que el cuerpo est en equilibrio, los apoyos deben poder e%ercersobre el cuerpo un sistema fuerza&par igual y opuesto 1ligaduras2.
E%emplo! $onsideremos los apoyos de la figura 1a2
El pasador en - puede e%ercer fuerzas en x y en y que eviten la
traslaci*n del cuerpo pero no puede e%ercer un momento que impida la
rotaci*n entorno a -. )a barra 8 origina una fuerza en y generando as
un momento respecto a - que impida la rotaci*n del cuerpo.
$uando las ecuaciones de equilibrio sean suficientes para determinar lasfuerzas inc*gnitas en los apoyos el cuerpo est determinado
estticamente con ligaduras adecuadas 1isostticas2.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
-
res reacciones vinculares para un cuerpo
sometido a un sistema de fuerzas coplanario no
siempre garantizan que el cuerpo est determinado
estticamente con ligaduras isostticas.
E%emplo :! El pasador en - puede e%ercer fuerzas en xy enyque eviten la traslaci*n
del cuerpo, pero como la recta soporte de +x pasa por -, no e%erce el momento
necesario para evitar la rotaci*n en torno a -.
El cuerpo est ligado parcialmente 1insuficientemente2 y las ecuaciones deequilibrio no son suficientes para determinar todas las reacciones inc*gnitas.
)o mismo ocurre en el siguiente e%emplo!
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
E%emplo 7! us tres conexiones pueden evitar la rotaci*n en torno a un punto
cualquiera y la traslaci*n del cuerpo en la direcci*n ypero no la traslaci*n del cuerpo
en la direcci*nx.
9n cuerpo con un n#mero adecuado de reacciones est insuficientemente ligado
cuando las ligaduras estn dispuestas de tal manera que las fuerzas en los apoyos
sean concurrenteso paralelas.
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I.T.I 1:MECANICA I
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3
)os cuerpos ligados parcialmente pueden estar
en equilibrio ba%o la acci*n de sistemas de
fuerzas especficos.
E%emplo! )as reacciones R-y R8de la viga se pueden determinar usando
in embargo, la viga est insuficientemente ligada ya que se movera en la direcci*n x
si cualquiera de las cargas aplicadas tuviera una peque5a componente seg#n x.
=
=
"
"
"
y
M
F
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
4
-s, las ; ecuaciones independientes de equilibrio no proporcionan suficienteinformaci*n para determinar las 4 inc*gnitas.
)os cuerpos ligados con apoyos de ms estn indeterminados estticamente ya que
sern necesarias relaciones referentes a propiedades fsicas del cuerpo 1sistemas
7iperestticos2. )os apoyos que no son necesarios para mantener el equilibrio del
cuerpo se llaman superabundantes. E%emplos!
i en vez de una conexi*n rgida en 8
colocamos un pasador, se obtiene una reacci*n
adicional +x que no es necesaria para evitar el
movimiento del cuerpo.
+)+)
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
6
6.9.; Resolucin de problemas
"asos para analizar y resol)er problemas de equilibrio!:. )eer atentamente el enunciado.
7.
-
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
5
9R;LEMA 6.6
+)
na armadura conectada mediante pasadores est cargada y apoyada en laforma que se indica en la figura. /l cuerpo * tiene una masa de 1
-
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
9R;LEMA 6.5
+)
na )iga est cargada y apoyada en la forma que se indica en la figura.!eterminar las componentes de las reacciones en los apoyos ' y +.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
7
9R;LEMA 6.
+)
na )iga est cargada y
apoyada en la forma que
se indica en la figura.
!eterminar las compo>
nentes de las reacciones
en los apoyos ' y +.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
38
9R;LEMA 6.7
+)
n entramado conectado mediante pasadores est cargado y apoyado seg?n seindica en la figura. !eterminar las reacciones en los apoyos ' y +.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
31
9R;LEMA 6.18
+)3s
n entramado de dos barras conectado porpasadores est cargado y apoyado seg?n se
indica en la figura. !eterminar las reacciones
en los apoyos ' y +.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
3-
9R;LEMA 6.11
+)
na barra que pesa 1@< A est soportada por un poste y un cable seg?n seindica en la figura. #e suponen lisas todas las superficies. !eterminar la tensin
del cable y las fuerzas que se e3ercen sobre la barra en las superficies de contacto.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
3
9R;LEMA 6.1-
n cilindro de masa @< =g se apoya sobre
un plano inclinado y un entramado
de dos barras articulado por pasador.
#uponiendo lisas todas las superficies-
determinar:
a( 5as fuerzas que sobre el cilindro
e3ercen las superficies de contacto.
b( 5as reacciones en los apoyos ' y C
del entramado de dos barras.
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9R;LEMA 6 1- 0"
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I.T.I 1:MECANICA I
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33
9R;LEMA 6.1- 0")
+)3s
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I.T.I 1:MECANICA I
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34
9R;LEMA 6.41
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
36
R/C/R!':
Resultante de un sistema de fuerzas cualesquiera
)a resultante de un sistema tridimensional de fuerzas cualesquiera 1figura :2 sepuede determinar descomponiendo cada fuerza del sistema en una fuerza igual y
paralela que pase por un punto dado 1A origen de coordenadas2 y un par. 1figura 72
El sistema dado se sustituye por dos sistemas 1figura ;2 ! 9n sistema de fuerzas no coplanarias concurrentes en A con m*dulo,
direcci*n y sentido igual a los de las fuerzas del sistema original.
9n sistema de paresno coplanarios.
6.; /quilibrio en tres dimensiones
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
35
$ada una de las fuerzas y cada uno de los pares
de los dos sistemas se pueden descomponer en
componentes seg#n los e%es de coordenadas
1figuras : y 72
)a resultante del sistema de fuerzas concurrentes es un
fuerza R que pasa por el origen y la resultante del
sistema de pares no coplanarios es un par C.
$asos particulares! / B " $ B " / B " y $ B " 1istema en equilibrio2
"or tanto- la resultante de un sistema de fuerzas cualquiera puede ser o
una fuerza R o un par C o una fuerza ms un par.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
3
6.; /quilibrio en tres dimensiones
Continuacin(
Por tanto y como ya se (a dic(o, un sistema genrico, tridimensional, de n fuerzas y npares puede sustituirse por un sistema equivalente constituido por fuerzas concurrentes
no coplanarias y un sistema de pares no coplanarios cuyas resultantes se pueden
expresar as!
++=
++=
kMjMiMC
kFjFiFR
zyx
zyx
)a fuerza resultante R, %unto con el par resultante C, constituyen la resultante del
sistema genrico tridimensional de fuerzas.
-s pues, un cuerpo rgido sometido a un sistema genrico tridimensional de fuerzas
estar en equilibrio si RB CB ", lo que exige que
===
===
"""
"""
zyx
zyx
MMM
FFF> ec. escalares de equil. indep.
Estas son las condiciones necesarias y suficientes para el equilibriodel cuerpo.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
37
9R;LEMA 6.1
+)
na placa que pesa -@ =A est soportada por un rbol '+ y un cable C. /n '
7ay un co3inete de bolas y en + un co3inete de empu3e. 5os co3inetes estn
alineados adecuadamente de forma que solo trasmiten fuerzas. !eterminar las
reacciones en los co3inetes ' y + y la tensin en el cable C cuando se apliquen a la
placa las tres fuerzas indicadas.
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9R;LEMA 6 13
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
48
9R;LEMA 6.13
+)
n poste y un soporte sostienen una
polea. n cable que pasa sobre la polea
transmite una carga de @
-
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
41
9R;LEMA 6.14
+)
5as masas de las ca3as que descansan sobre la plataforma son 9
-
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
4-
9R;LEMA 6.16
+)
/l tablero de la figura tiene una masa de @ =g y lo mantienen en posicin
7orizontal dos goznes y una barra. 5os goznes estn alineados adecuadamente de
forma que solo e3ercen reacciones de fuerza sobre el tablero. #upngase que el
gozne en + resiste toda fuerza dirigida seg?n el e3e de los pasadores de los goznes.
!eterminar las reacciones en los apoyos '- + y !.
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
4
9R;LEMAS Re$omenao):Lo) e>er$"$"o) e (a) 9a!"na) -45-4
De( 65- a( 61
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9R;LEMA 6 5
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
43
9R;LEMA 6.5
-
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I.T.I 1:MECANICA I
I.T.I 1:MECANICA I
44
9R;LEMA 6.53