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Tratamiento de datos y azar. 05 /02/2014
1.0 Interpretacin de informacin.1.1Agrupa y grafica conjunto de datos cualitativos y cuantitativos conbase en la distribucin de frecuencias.
A. Descripcin e interpretacin de la estadstica descriptivaNaturaleza de la Estadstica.- Etapas de la investigacin estadstica.- Poblacin.- Muestra.- Tamao de la muestra.- Muestreo aleatorio.
- Variable estadstica.- Datos.- Experimento.- Parmetros de decisin.
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Naturaleza de la Estadstica.
La estadstica proporcionan formas para reflexionar acerca delcomportamiento de muchos fenmenos con los que se enfrenta el serhumano da a da.La base de la estadstica es poder considerar un conjunto de datos ycalcular valores estadsticos o trazar graficas, pero hay que tomar en
cuenta que es mucho ms importante comprender las circunstancias quese estn investigando, las variables implicadas, porque se estinvestigando el problema y se aprende a cuestionar los datos y losresultados estadsticos.La experiencia y situaciones de la vida diaria constituyen la base para
comprender la estadstica ya que esta trata sobre la descripcin delmundo que nos rodea y nos proporciona mtodos para analizar losresultados de experimentos efectuados, pero tambin indica cmo sepueden efectuar los experimentos de manera eficaz para disminuir losefectos de la variacin y tener mayor probabilidad de llegar a conclusionescorrectas.
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- Etapas de la investigacion estadstica.
PLANIFICACIN Planteamiento del problema Formulacin Objetivos- Hiptesis de trabajo Fundamento e importancia de la investigacin
Determinacin de la unidad de anlisis y variables Identificacin de las fuentes de informacin
RECOLECCION DE LOS DATOS
ORGANIZACIN: Tabulacin Consistencia Procesamiento Presentacin de datos
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ANLISIS E INTERPRETACIN DE RESULTADOS
Clculo e interpretacin de indicadores estadsticos
RESULTADOS Y CONCLUSIONES
Poblacin:El conceptode poblacin en estadstica va ms all de lo que comnmentese conoce como tal. Una poblacin se precisa como un conjunto finito oinfinito de personas u objetos que presentan caractersticas comunes."Una poblacin es un conjunto de todos los elementos que estamosestudiando, acerca de los cuales intentamos sacar conclusiones.
"Una poblacin es un conjunto de elementos que presentan unacaracterstica comn".
http://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos10/teca/teca.shtml -
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Muestra:
En estadstica una muestra estadstica (tambin llamada muestraaleatoriao simplemente muestra) es un subconjunto de casos o individuosde una poblacin estadstica.Las muestras se obtienen con la intencin de inferir propiedades de latotalidad de la poblacin, para lo cual deben ser representativas de la
misma. Para cumplir esta caracterstica la inclusin de sujetos en lamuestra debe seguir una tcnica de muestreo. En tales casos, puedeobtenerse una informacin similar a la de un estudio exhaustivo con mayorrapidez y menor coste (vanse las ventajas de la eleccin de una muestra,ms abajo).Por otra parte, en ocasiones, el muestreo puede ser ms exacto que el
estudio de toda la poblacin porque el manejo de un menor nmero dedatos provoca tambin menos errores en su manipulacin. En cualquiercaso, el conjunto de individuos de la muestra son los sujetos realmenteestudiados.
http://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Muestreo_en_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Poblaci%C3%B3n_estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica -
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El nmero de sujetos que componen la muestra suele ser inferior que el
de la poblacin, pero suficiente para que la estimacin de los parmetrosdeterminados tenga un nivel de confianzaadecuado. Para que el tamaode la muestrasea idneo es preciso recurrir a su clculo.
Tamao de una MuestraAl definir el tamao de la muestra, nosotros deberemos procurar que sta
informacin sea representativa, vlida y confiable y al mismo tiempo nosrepresente un mnimo costo. Por lo tanto, el tamao de la muestra estardelimitado por los objetivos del estudio y las caractersticas de lapoblacin, adems de los recursos y el tiempo de que se dispone.
Muestreo aleatorioConsideremos una poblacin finita, de la que deseamos extraer unamuestra. Cuando el proceso de extraccin es tal que garantiza a cadauno de los elementos de la poblacin la misma oportunidad de serincluidos en dicha muestra, denominamos al proceso de seleccin
muestreo aleatorio.
http://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://www.monografias.com/trabajos16/objetivos-educacion/objetivos-educacion.shtmlhttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Tama%C3%B1o_de_la_muestrahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianzahttp://es.wikipedia.org/wiki/Nivel_de_confianza -
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El muestreo aleatorio se puede plantear bajo dos puntos de vista: Sin reposicinde los elementos; Con reposicin.
variable estadstica
Una variable estadsticaes cada una de las caractersticas o cualidadesque
poseen los individuos de una poblacin.
Tipos de variable estadsticas
A.- Variable cualitativa
Las variables cualitativasse refieren a caractersticas o cualidadesquenopueden ser medidas con nmeros. Podemos distinguir dos tipos:Variable cualitativa nominalUna variable cualitativa nominal presenta modalidades no numricasque noadmiten un criterio de orden. Por ejemplo:
El estado civil, con las siguientes modalidades: soltero, casado, separado,divorciado y viudo.
http://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htmhttp://www.bioestadistica.uma.es/libro/node88.htm -
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Variable cualitativa ordinal o variable cuasicuantitativa
Una variable cualitativa ordinalpresenta modalidades no nmericas,en las que existe un orden. Por ejemplo:La nota en un examen: suspenso, aprobado, notable, sobresaliente.Puesto conseguido en una prueba deportiva: 1, 2, 3, ...
Medallas de una prueba deportiva: oro, plata, bronce.
B.- Variable cuantitativaUna variable cuantitativaes la que se expresa mediante un nmero, portanto se pueden realizar operaciones aritmticas con ella. Podemos
distinguir dos tipos:Variable discretaUna variable discretaes aquella que toma valores aislados, es decir noadmite valores intermediosentre dos valores especficos. Por ejemplo:El nmero de hermanos de 5 amigos: 2, 1, 0, 1, 3.
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Variable continuaUna variable continua es aquella que puede tomar valorescomprendidos entre dos nmeros. Por ejemplo:La altura de los 5 amigos: 1.73, 1.82, 1.77, 1.69, 1.75.En la prctica medimos la altura con dos decimales, pero tambin sepodra dar con tres decimales.Datos
Un dato es cada uno de los valores que se ha obtenido al realizar unestudio estadstico. Si lanzamos una moneda al aire 5 veces obtenemos 5datos: cara, cara, cruz, cara, cruz.Experimento.Un experimento es un procedimiento mediante el cual se trata de
comprobar (confirmar o verificar) una o varias hiptesis relacionadas conun determinado fenmeno, mediante la manipulacin y el estudio de lascorrelacionesde la(s) variablesque presumiblemente son su causa.
La experimentacin constituye uno de los elementos claves de lainvestigacin cientfica y es fundamental para ofrecer explicacionescausales.
http://es.wikipedia.org/wiki/Verificaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)http://es.wikipedia.org/wiki/Observaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Correlacionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Causahttp://es.wikipedia.org/wiki/Experimentaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Explicaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Investigaci%C3%B3n_cient%C3%ADficahttp://es.wikipedia.org/wiki/Experimentaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Causahttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_independientehttp://es.wikipedia.org/wiki/Correlacionhttp://es.wikipedia.org/wiki/Observaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Hip%C3%B3tesis_(m%C3%A9todo_cient%C3%ADfico)http://es.wikipedia.org/wiki/Verificaci%C3%B3n -
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En un experimento se consideran todas las variables relevantes queintervienen en el fenmeno, mediante la manipulacin de las quepresumiblemente son su causa, el control de las variables extraas y laaleatorizacinde las restantes. Estos procedimientos pueden variar muchosegn las disciplinas (no es igual en fsicaque en psicologa, por ejemplo),pero persiguen el mismo objetivo: excluir explicaciones alternativas(diferentes a la variable manipulada) en la explicacin de los resultados.
Este aspecto se conoce como validez interna del experimento, la cualaumenta cuando el experimento es replicado por otros investigadores y seobtienen los mismos resultados. Cada repeticin del experimento se llamaprueba o ensayo.Las distintas formas de realizar un experimento (en cuanto a distribucin
de unidades experimentales en condiciones o grupos) son conocidas comoprotocolo de investigacin.
Un parmetro estadsticoes un nmeroque se obtiene a partir de los datosde
una distribucin estadstica.
http://es.wikipedia.org/wiki/Aleatorizaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Protocolo_de_investigaci%C3%B3nhttp://es.wikipedia.org/wiki/Psicolog%C3%ADahttp://es.wikipedia.org/wiki/F%C3%ADsicahttp://es.wikipedia.org/wiki/Aleatorizaci%C3%B3n -
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Los parmetros estadsticossirven para sintetizar la informacin dadapor una tabla o por una grfica.
Tipos de parmetros estadsticosHay tres tipos parmetros estadsticos:
De centralizacin.
De posicin.
De dispersin.
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Tratamiento de datos y azar. 06 /02/2014
Medidas de centralizacin
Nos indican en torno a qu valor (centro) se distribuyen los datos.La medidas de centralizacinson:
Media aritmticaLa mediaes el valor promediode la distribucin.
MedianaLa medianaes la puntacinde la escala que separa la mitadsuperiorde la distribucin y la inferior, es decir divide la serie de
datos en dos partes iguales.
ModaLa modaes el valorque ms se repiteen una distribucin.
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_8.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_9.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_10.html -
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Tratamiento de datos y azar. 06 /02/2014
Medidas de posicin
Las medidas de posicindividen un conjunto de datos en grupos conel mismo nmero de individuos.Para calcular las medidas de posicines necesario que los datosestn ordenados de menor a mayor.
La medidas de posicinson:
CuartilesLos cuartiles dividenla serie de datos en cuatro partes iguales.
DecilesLos decilesdividen la serie de datos en diez partes iguales.
PercentilesLos percentilesdividen la serie de datos en cien partes iguales.
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_11.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_12.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_13.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_13.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_13.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_12.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_12.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_11.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_11.html -
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Tratamiento de datos y azar. 06 /02/2014
Medidas de dispersin
Las medidas de dispersinnos informan sobre cuanto se alejan delcentro los valores de la distribucin.Las medidas de dispersinson:
Rango o recorridoEl rangoes la diferenciaentre el mayory el menorde los datosde unadistribucin estadstica.Desviacin mediaLa desviacin mediaes la media aritmticade los valores absolutos
de las desviacionesrespecto a la media.VarianzaLa varianzaes la media aritmticadel cuadrado de las desviacionesrespecto a la media.Desviacin tpicaLa desviacin tpicaes la raz cuadradade la varianza.
http://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_14.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_16.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_15.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_14.htmlhttp://www.vitutor.com/estadistica/descriptiva/a_14.html -
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a) Dato de variable cuantitativaValor numrico de una variable.
b) Muestra
Subconjunto representativo de una poblacin.
c) ParmetroMedida descriptiva de una muestra poblacin.
d) Poblacin
Total de elementos en estudio que presentan caractersticas comunes.e) Datos
Es el resultado que se obtiene como resultado de un conteo.
f) Variable estadsticaCaractersticas de cada elemento de una muestra o poblacin.
g) EstadsticaEstudio de mtodos para manejar la obtencin, presentacin y anlisisde observaciones numricas, para tomar decisiones o realizar
generalizaciones acerca de las caractersticas de una poblacin
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Medidas de tendencia central.
La media aritmtica es la suma de los valores de cierto nmero decantidades dividido entre su nmero.
se expresa: X = SXi/ N
DondeN: es el nmero de observacionesX: el valor de cada observacinX : es la media aritmtica, media, o X barra.
La media es la nica de la medidas de tendencia central que puedeintervenir en operaciones algebraicas.
Obtener la media del precio del petrleo registrada en un mes, si sevendi en el mercado mundial en 28, 31, 29, 27, 26 dlares por barril
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Resolucin:
X = (28+31+29+27+26) 5 = 1415
X = 28.2
En un examen extraordinario las calificaciones obtenidas por un grupo de13 alumnos sobre un mximo de 10 puntos, fueron:
En matemticas: 4, 7, 3, 6, 2, 8, 4, 7, 0, 1, 7, 6, 4En fsica: 8, 4, 3, 6, 7, 5, 6, 2, 1, 7, 6, 7, 0
Calcular el promedio de matemticas, de fsica y el de ambas materias
Resolucin
X = (4+7+3+6+2+8+4+7+0+1+7+6+4) 13 = 59 13= 4.54matemticas
X = (8+4+3+6+7+5+6+2+1+7+6+7+0) 13 = 62 13 = 4.77 fsica
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
X = (4.5 + 4.7) 2 = 9.2 2 = 4.6 en ambas materias
Media aritmtica ponderada
Se aplica para calcular el valor promedio de cantidades a cada una delas cuales est asociado un nmero que lo pondera.
Si un comerciante en ropa compra dos partidas de camisas, una de 60 a$75, cada una, y otra de 30 en $83.5 cada prenda. Obtener el preciopromedio de cada camisa.
ResolucinPrecio promedio= 60(75) + 30(83.5) 60+30 = 4500 + 2505 90 =$77.83
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Tarea
La tendencia actual para ingresar a una licenciatura exige que elaspirante tenga un promedio de sus estudios de enseanza mediasuperior de 8.5 y apruebe el examen de admisin con 6 como mnimo.No todas las materias que se evalan en el examen tiene el mismo
peso; es decir, cada una tiene una ponderacin diferente.
Un aspirante obtuvo las calificaciones siguientes: matemticas 8,fsica 7, espaol 4, ingls 6; para averiguar si el alumno ingresa a launiversidad se tiene que calcular el promedio ponderado. Las
ponderaciones son: matemticas 7, fsica 7, espaol 3, ingls 5.
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
La mediana y la moda son medidas de tendencia central que por sus
propiedades destacan los valores individuales de un colectivo; en cambio,la media aritmtica, al promediar todos los valores igualando en su justoreparto todas las observaciones, suprime sus individualidades.
Mediana
La mediana se define como el valor que divide un conjunto de datospreviamente ordenados de menor a mayor, y es el punto intermedio entretodos ellos.
Si el nmero N de datos es impar, entonces hay un nmero intermedio; porejemplo, si tenemos cinco datos, 3,5,7, 9, 11 el nmero 7 es el puntointermedio. Si el nmero N de datos es par, entonces hay dos datosintermedios; por ejemplo, la media de los valores 8,10,16,19,23,25, haydos valores centrales que son 16 y 19; el valor equidistante entre ellos es
la mediana: (16 + 19) 2 = 35 2 = 17.5 es la mediana
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Moda
En un conjunto de datos de una distribucin de frecuencias, la moda esel valor que ocurre con mayor frecuencia; por ejemplo, en los valores:1,2,5,5,6,6,6,6,7,8,9,9,9, la moda es el 6. la moda es el valor msrepresentativo o tpico de una serie de valores, en el sentido que ocurrecon mayor frecuencia.
Ejercicio:Seala la moda de los valores siguientes:
12, 13, 15, 15, 16, 16, 16, 17,17,17,17, 18,18,18,18 19,19,19,19, 20,20,20, 20, 21, 21, 21, 22, 22, 22, 22, 22, 23, 23, 23, 23, 23, 23, 24, 25, 25,
25, 26, 27, 27, 28,
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Distribucin de frecuencias con datos no agrupados.
Una vez reunidos los datos de un colectivo para obtener a partir de ellosconclusiones, es necesario organizarlos en una tabla de distribucin defrecuencias.
La tabla de distribucin de frecuencias es una funcin, ya que cadamedida est relacionada con un nmero que es su frecuencia y como talse puede puede expresar: como una lista, una grfica o una regla; enestadstica se hace con una lista que es la tabla de frecuencias o conuna grfica, por ejemplo, un diagrama de frecuencia de puntos.
Las distribuciones de una sola variable se clasifican en tres tipos, segnel nmero de observaciones y el nmero de valores distintos que tomala variable.
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
A. Distribuciones del tipo Uno.
Son aquellas que constan de un reducido nmero de observacionesy en consecuencia de un reducido nmero de valores distintos quetoma la variable; para su presentacin no es necesaria una tcnicadeterminada, ya que adems casi no son susceptibles detratamiento estadstico, puesto que para que ste exista esnecesario un volumen considerable de observaciones.
B. Distribuciones del tipo DosSon las que el nmero de observaciones es grande, pero el nmero devalores distintos que toma la variable es pequeo; en este tipo, sedistribuyen o agrupan los resultados disponibles en dos columnas, una
para los valores distintos que toma la variable, y otra para la frecuenciade cada uno de ellos.
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Para determinar el grado de nutricin de 20 alumnos de secundaria se
toma la altura en centmetros de cada uno de ellos, y son:
Para facilitar su interpretacin se ordenan de forma ascendente odescendente, a este proceso se le llama orden de rango.
128 146 136 136 150
140 124 134 142 138
136 120 130 136 132
136 134 142 132 144
120 132 136 142
124 134 136 142
128 134 136 144
130 136 138 146
132 136 140 150
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Para proceder a organizar los datos se usa la tabla de frecuencia que
expresa el nmero de casos de cada categora ( es una distribucin deltipo Dos).
AlturaX1
Frecuencian1
AlturaX1
Frecuencian1
AlturaX1
Frecuencian1
120 1 130 1 140 1
121 0 131 0 141 0
122 0 132 2 142 2
123 0 133 0 143 0
124 1 134 2 144 1
125 0 135 0 145 0
126 0 136 5 146 1
127 0 137 0 147 0
128 1 138 1 148 0
129 0 139 0 150 2
-
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Tratamiento de datos y azar. 19/02/2014
Frecuencia absoluta (para datos no agrupados).La frecuencia absoluta es el nmero de veces que aparece un
determinado valor enun estudio estadstico. Se representa por fi.Datos
XConteo Frecuencia
Absoluta
(fi)
Frecuencia
Absoluta
Acumulada
(Fi)
Frecuencia
Relativa
(fr)
Frecuencia
Relativa
Acumulada
Frecuencia
Relativa
Fr (%)
Frecuencia
Relativa
Acumulada
Fra (%)
0 III 3 3 3/30 = 0.100 0.100 10 10
1 IIII 4 7 4/30 = 0.133 0.233 13.3 23.3
2 IIIII III 8 15 8/30 = 0.267 0.500 26.7 50
3 IIIII III 8 23 8/30 = 0.267 0.767 26.7 76.7
4 IIII 4 27 4/30 = 0.133 0.900 13.3 90
5 III 3 30 3/30 = 0.100 1.000 10 100
n = 30 100
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
C. Distribucin del tipo TRES.Si el nmero de observaciones y el nmero de valores que toma lavariable son grandes para su manejo se agrupan las observaciones enintervalos Li-1Li, eligiendo entre ellos una amplitud fija o variable, mismosque se anotarn en una primera columna; en la segunda, se tabularn losvalores para facilitar su conteo; y en la tercera, se pondr el nmero defrecuencia (f) correspondiente a cada intervalo.
Los grupos o categoras que incluye Li-1Lise llaman intervalos de clase;los valores Li-1 son lmites inferiores, y Li los limites superiores de estosintervalos.
ClasesLi-1Li
Tabulaciones Frecuencias (f)n1
L0L1 n1L1L2 n2
L2L3 n3
Lk-1Lk nk
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
En un examen departamental de fsica se examinaron 50 alumnos con
los resultados siguientes:87 66 73 68 48
37 76 85 74 65
93 77 66 83 68
49 57 38 69 7889 96 78 97 74
76 68 63 70 81
64 83 67 61 90
77 88 74 75 8071 73 61 57 72
80 77 85 80 89
Expresar la tabla de frecuencias
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Resolucin
Expresamos los datos en forma ascendente:
37 65 73 78 85
38 66 73 78 85
48 66 74 78 8749 67 74 80 88
57 68 74 80 89
57 68 76 80 89
61 69 76 81 9061 70 77 83 93
63 71 77 83 96
64 72 77 85 97
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
ClasesL
i-1L
i
Tabulaciones Frecuencias (f)n
i
35 - 39 II 2
40 - 44 0
45 - 49 II 2
50 - 54 0
55 - 59 II 2
60 - 64 IIII 4
65 - 69 IIII II 7
70 - 74 IIII III 8
75 - 79 IIII III 8
80 - 84 IIII I 6
85 - 89 IIII II 7
90 - 94 II 2
95 - 100 II 2
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Al disponer los datos primarios en una distribucin del tipo TRES comoen la tabla de frecuencias, tiene lugar una prdida de informacin, ya queno se consideran los resultados obtenidos en forma exacta, sino poraproximacin: no se dir que dicho valor se encuentra entre Li-1y Li.Como lo que interesa es elegir una amplitud constante o variable losuficientemente pequea para que la prdida sea lo menos posible, y almismo tiempo lo suficientemente grande para que el agrupamiento
presente una distribucin de no demasiados valores, pues de lo contrario,el haber hecho el agrupamiento perder su finalidad, es decir, lacomodidad del manejo.
Para facilitar el calculo es recomendable escoger estos intervalos de
manera que sus puntos medios sean mltiplos de nmeros como el 5 ocomo el 10 y generalmente no debe haber menos de 7 intervalos ni msde 15, aunque no hay normas fijas.
No es necesario que los intervalos de clase sean iguales, tampoco aqu
hay reglas fijas y cada uno elige el intervalo de clase ms adecuado.
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Antes de aplicar a la informacin los mtodos estadsticos, es necesariosustituir cada intervalo por un nmero, a este nmero se le llama marcade clasey es el valor central de cada intervalo, es decir, la mediaaritmtica de los lmites inferior y superior.
Marca de clase = Xi= (Li-1+ Li)/2 se abrevia (m.c)
Para obtener las marcas de clase del ejemplo anterior tenemos:
(35 + 39)/2 = 37 (70 + 74)/2 = 72(40 + 44)/2 = 42 (75 + 79)/2 = 77
(45 + 49)/2 = 47 (80 + 84)/2 = 82(50 + 54)/2 = 52 (85 + 89)/2 = 87(55 + 59)/2 = 57 (90 + 94)/2 = 92(60 + 64)/2 = 62 (95 + 100)/2 = 97.5(65 + 69)/2 = 67
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
ClasesLi-1Li
Tabulaciones Frecuencias (f)ni
Marca de clase (m.c)Xi
35 - 39 II 2 37
40 - 44 0 42
45 - 49 II 2 47
50 - 54 0 52
55 - 59 II 2 57
60 - 64 IIII 4 62
65 - 69 IIII II 7 67
70 - 74 IIII III 8 72
75 - 79 IIII III 8 7780 - 84 IIII I 6 82
85 - 89 IIII II 7 87
90 - 94 II 2 92
95 - 100 II 2 975
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Tratamiento de datos y azar. 19/02/2014
Observa: al poner la marca de clase se comete un errorde agrupamiento
pues las ni( frecuencias f)no son las veces que se repite el valor X ide lavariable, sino que son las veces que aparecen valores de la variableconsiderados entre Li-1Li.
Aceptamos que la prdida de informacin a que nos referimos y este errorde agrupamiento son absolutamente necesarios para que las
distribuciones del tipo TRES puedan recibir un tratamiento estadstico.
Para obtener el rango de un serial de datos, hay que identificar el valorms pequeo de los datos (Xm) y el valor ms grande de los datos (XM),entonces el RANGO (R) = XMXm.
El nmero de intervalos lo podemos obtener utilizando la siguientefrmula(esta formula es valida si el nmero de datos es menor que 200)
K = n ,Donde:
K = nmero de clases o intervalos de clase
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Tratamiento de datos y azar. 1/02/2014
Para determinar la amplitud o ancho de clase que deber tener cada
intervalo, se aplica la siguiente formula:A = R/K
A = ancho del intervaloR = Rango de los datosK = nmero de clase o intervalo.
Limites reales o fronteras reales.
Los lmites reales son valores que unen a las clases y se formannicamente de nmeros enteros, estos se obtienen al restar 0.5 a los
limites de la izquierda y sumar 0.5 a los limites de la derecha; cuando lasclases tengan un decimal, habr que restar 0.05 a los limites de laizquierda y sumar 0.05 limites de la derecha y as sucesivamente.
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Tratamiento de datos y azar. 19/02/2014
Pasos para la elaboracin de tablas de distribucin de frecuencias
Recopilacin de datos. Clasificacin de los datos de menor a mayor(opcional) Especificacin del nmero de clases. Clculo del tamao exacto del ancho de clase. Determinacin del tamao ajustado del ancho de clase. Identificacin de los limites de clase.
Conteo de los datos.
Los siguientes valores corresponden a la produccin mensual, en toneladas,de una empacadora de pltanos. Clasifique estos datos en clases de tamaouniforme: 782, 1333, 515, 1475, 696, 832, 1052, 700, 987, 542, 1296, 704,814, 1482, 1023, 739, 643, 956, 1023 y 784.
515 542 643 696 700
704 739 782 784 814
832 956 987 1023 1023
1052 1296 1333 1475 1482
Datos ordenados
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Tratamiento de datos y azar. 19/02/2014
Determinacin del nmero de clases:
Nmero de clases = nmero de datos =20 = 4.47 = 5
Tamao del intervalo o ancho de clase:
Intervalo exacto = (Valor mayorValor menor) Nmero de clases
= (1482515) 5 = 193.4 se ajusta el tamao a 194
Determinacin de los limites de clase:Limite inferior de la clase = limite inferior de la clase anterior + tamao del intervalo
Limite inferior de la clase A = 515Limite inferior de la clase B = 515 + 194 = 709Limite inferior de la clase C = 709 + 194 = 903Limite inferior de la clase D = 903 + 194 = 1097Limite inferior de la clase E = 1097 + 194 = 1291
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Tratamiento de datos y azar. 19/02/2014
Limite superior de la clase = limite inferior de la clase + intervalounidad de variacin.
Limite superior de la clase A = 515 + 1941 = 708Limite superior de la clase B = 709 + 1941 = 902Limite superior de la clase C = 903 + 1941 = 1096Limite superior de la clase D = 1097 + 194 - 1 = 1290Limite superior de la clase E = 1291 + 1941 = 1484
La tabla siguiente muestra los lmites de cada clase, as como el conteo de los datos.
Clase Limite inferior(toneladas)
Limite superior(toneladas)
Frecuencia(meses)
A 515 708 IIII II 6
B 709 902 IIII I 5C 903 1096 IIII I 5
D 1097 1290 0
E 1291 1484 IIII 4
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Soluciones alternativas:
Considerando cinco clases con intervalos uniformes de 200, y que stasdeben incluir todos los valores, puede seleccionarse a 500 como lmiteinferior de la primera clase, y a partir de este lmite identificar los dems.
Lmite inferior de la clase = lmite inferior de la clase anterior + tamao del intervalo.
Limite inferior de la clase A = 500Limite inferior de la clase B = 500 + 200 = 700Limite inferior de la clase C = 700 + 200 = 900Limite inferior de la clase D = 900 + 200 = 1100Limite inferior de la clase E = 1100 + 200 = 1300
Limite superior de la clase = limite inferior de la clase + intervalounidad de variacin.
Limite superior de la clase A = 500 + 2001 = 699Limite superior de la clase B = 700 + 2001 = 899Limite superior de la clase C = 900 + 2001 = 1099Limite superior de la clase D = 1100 + 200 - 1 = 1299
Limite superior de la clase E = 1300 + 2001 = 1499
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La siguiente tabla muestra los limites de cada clase, as como el conteo de los datos.
Lmites reales o Fronteras reales de clase.
El lmite inferior real de cada clase se calcula restando la mitad de la diferencia entreel lmite inferior de la clase siguiente y el lmite superior de la clase, esto es, la mitadde la unidad de variacin de los datos.
El lmite superior real de cada clase se calcula sumando la mitad de la diferenciaentre el lmite inferior de la clase siguiente y el lmite superior de la clase, esto es, la
mitad de la unidad de variacin de los datos.
ClaseLmite inferior(toneladas) Lmite superior(toneladas) Frecuencia(meses)
A 500 699 IIII 4
B 700 899 IIII III 7
C 900 1099 IIII I 5
D 1100 1299 I 1E 1300 1499 III 3
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Ejemplo.Determine los lmites reales o fronteras y la marca de clase de cada una delas clases de la siguiente tabla, en la que se presenta el peso, en libras, delos nios de una escuela primaria.
Clase Lmite Inferior(Lb)
Lmite superior(Lb)
A 101 115
B 116 130
C 131 145
D 146 160
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Tratamiento de datos y azar. 19/02/2014
Solucin.Una formula para calcular el lmite inferior real de cada clase es la
siguiente:
Lmite inferior real de la clase = lmite inferior de la clase (lmite inferior de la clase siguiente
lmite superior de clase) 2Nota: el lmite inferior de la clase siguiente a la ltima es el lmite superior de la ltima clase,
ms la diferencia entre el lmite inferior de la ltima clase y el lmite superior de la penltimaclase.
A 101 - 115
B 116 - 130
C 131 - 145
D 146 - 160
161
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Lmite inferior real de la clase A = 101(116 115)/2 = 100.5
Lmite inferior real de la clase B = 116(131 130)/2 = 115.5
Lmite inferior real de la clase C = 131(146 145)/2 = 130.5
Lmite inferior real de la clase D = 146(161 160)/2 = 145.5
Lmite superior real de la clase = lmite superior de la clase + (lmite inferior de la clasesiguientelmite superior de clase) 2
Lmite superior real de la clase A = 115 + (116 115)/2 = 115.5
Lmite inferior real de la clase B = 130 + (131 130)/2 = 130.5
Lmite inferior real de la clase C = 145(146 145)/2 = 145.5
Lmite inferior real de la clase D = 160(161 160)/2 = 160.5
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Marca de la clase = (Lmite inferior de clase + Lmite superior de clase) 2
Marca de la clase A = (101 + 115)/2 = 108
Marca de la clase B = (116 + 130)/2 = 123
Marca de la clase C = (131 + 145)/2 = 138
Marca de la clase D = (146 + 160)/2 = 153
Clase Lmiteinferior
(lb)
LmiteSuperior
(lb)
Lmite inferiorReal
(lb)
Lmite superiorReal
(lb)
Marca declase
(lb)
A 101 115 100.5 115.5 108
B 116 130 115.5 130.5 123
C 131 145 130.5 145.5 138
D 146 160 145.5 160.5 153
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Construccin e interpretacin de grficas.
Una grfica vale ms que mil palabras, dice el refrn. Esto esparticularmente cierto en el caso de los anlisis estadsticos, donde losdatos al natural e incluso tabulados pueden ser abrumadores, difciles decomprender.
Grfica circular (de pastel).Las grficas circulares o grficas de pastel son figuras que representan,por medio de segmentos de crculo, la frecuencia, absoluta o relativa deuna tabla de distribucin de frecuencias.La presentacin de datos en esta forma es impresionante, sobre todo
cuando se les aaden efectos visuales tales como color y grosor a lossegmentos, o se separa alguno de ellos del centro.Estas grficas se preparan con base en el ngulo que resulta demultiplicar 360(los grados de un circulo) por la frecuencia relativa de cadaclase, por lo que su clculo es muy sencillo.
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Diagrama de barras:
Un grfico de barras es aquella representacin grfica bidimensional enque los objetos grficos elementales son un conjunto de rectngulosdispuestos paralelamente de manera que la extensin de los mismos
es proporcional a la magnitud que se quiere representar.Los rectngulos o barras pueden estar colocados horizontal overticalmente. En ste ltimo caso reciben tambin el nombre de grficosde columnas.
Utilizacin.Tpicamente se utilizan para
comparar magnitudes entre varias categoras o la evolucin en eltiempo (el cambio)de una determinada magnitud.La comparacin de la evolucin en el tiempo de varias categoras,
esto es, se suelen usar tambin para la mezcla de las dos utilidadesanteriores.
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Histograma.A modo de resumen un histograma es una grfica de barras que nospermite describir el comportamiento de un conjunto de datos, pero eneste caso las diferentes observaciones de una misma variable se graficanalrededor de un valor medio o central.
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Polgono de frecuencias.
Un polgono de frecuencias se forma uniendo los extremos de las barras de undiagrama de barras mediante segmentos.
Tambin se puede realizar trazando los puntos que representan las frecuencias y
unindolos mediante segmentos.
HoraTemperatura
6 7
9 12
12 14
15 11
18 1221 10
24 8
T t i t d d t 19/02/2014
http://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.htmlhttp://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.htmlhttp://www.vitutor.net/2/11/graficas_estadistica.html -
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Polgonos de frecuencia para datos agrupados
Para construir el polgono de frecuenciase toma la marca de claseque coincidecon el punto mediode cada rectngulode un histograma.
Ejemplo
El peso de 65 personas adultas viene dado por la siguiente tabla:
ci fi Fi
[50, 60) 55 8 8[60, 70) 65 10 18
[70, 80) 75 16 34
[80, 90) 85 14 48
[90, 100) 95 10 58
[100, 110) 110 5 63
[110, 120) 115 2 65
65
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Ojivas.La ojiva es el polgono de frecuencias acumuladas, es decir, que en ella sepermite ver cuntas observaciones se encuentran por encima o debajo deciertos valores, en lugar de solo exhibir los nmeros asignados a cadaintervalo.
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Grfica de tallo y hojas.
El Diagrama de Tallo y Hoja, a pesar de no ser un grfico definitivo para lapresentacin de datos, es fcil y rpido para realizar a mano, con el sepuede dar una mirada no pulida de los datos. Una ventaja de estediagrama sobre la distribucin de frecuencias consiste en que no pierde la
identidad de cada observacin. Es una tcnica estadstica para laprestacin de un conjunto de datos. Cada valor numrico se divide en 2partes. El dgito principal se convierte en el tallo y los dgitos secundariosen las hojas. El tallo se localiza a lo largo del eje vertical y los valores delas hojas se apilan unos contra otros a lo largo del eje horizontal.
Como construirlo? En un grfico de tallo y hoja cada valor de datos espartido en "un tallo" "y una hoja". "La hoja" es por lo general el ltimo dgitodel nmero y los otros dgitos a la izquierda "de la hoja" forman "el tallo".Por ejemplo, el nmero 136 sera partido como:TALLO: 13HOJA: 6
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1. Puede ordenar los datos de menor a mayor, esto ayudara a laorganizacin de los datos (Opcional)
2. Separe cada nmero en un tallo y una hoja.3. Agrupe los nmeros con los mismos tallos. Ponga los tallos en una listaen orden creciente.Veamos un Ejemplo con los siguientes 15 datos:35, 36, 38, 40, 42, 42, 44, 45, 45, 47, 48, 49, 50, 50, 50
Algunos software como SPSS o MINITAB pueden separar el Tallo en una
parte inferior(hojas desde el cero al 4) y otra superior (hojas desde el 5 al 9)
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Media aritmtica de una distribucin de frecuencias
agrupadas
Para calcular la media aritmtica de una distribucin de frecuenciasagrupadas consideramos que todos los valores que hay dentro de unintervalo de clase se les considera de un mismo valor igual a la marca de
clase, y las frecuencias son las ponderaciones de los valores encorrespondencia con las marcas de clase y la suma de las frecuencias es eltotal de veces que se tiene registro.
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Tratamiento de datos y azar. 12/02/2014
Ejemplo:Calcular la media aritmtica de la distribucin de frecuencias agrupadas dela tabla de frecuencias que obtuvimos anteriormente
ClasesLi-1Li
Tabulaciones Frecuencias (f)ni
Marca de clase (m.c)Xi
35 - 39 II 2 37
40 - 44 0 42
45 - 49 II 2 47
50 - 54 0 52
55 - 59 II 2 57
60 - 64 IIII 4 62
65 - 69 IIII II 7 67
70 - 74 IIII III 8 72
75 - 79 IIII III 8 77
80 - 84 IIII I 6 82
85 - 89 IIII II 7 87
90 - 94 II 2 92
95 - 100 II 2 975
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Intervalos Marca X Frecuencia ( f ) f( X )
35 - 39 37 2 74
40 - 44 42 0 0
45 - 49 47 2 94
50 - 54 52 0 0
55 - 59 57 2 114
60 - 64 62 4 248
65 - 69 67 7 469
70 - 74 72 8 576
75 - 79 77 8 616
80 - 84 82 6 49285 - 89 87 7 609
90 - 94 92 2 184
95 - 100 97.5 2 195
Suma 50 3671
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fi= 50 fiXi = 3671
Sustituimos en
X = fiXifi= 3671 50 = 73.4
El valor de media obtenida da la frecuencia agrupada es suficientementeaproximado para trabajos de estadstica.
Mediana
La mediana de una distribucin de frecuencias para datos agrupadosinicialmente se calcula N 2A continuacin determinamos cul de las clases est a la mitad, y lellamaremos clase de la media, dentro de ella se localiza la mediana conuna interpolacin lineal en la forma siguiente:
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Calcula la mediana de la distribucin de frecuencias.
Clases Frecuencias28.533.5 7
33.538.5 13
38.543.5 20
43.548.5 1148.553.5 5
Total 56
Resolucin
Como N = 56 N 2 = 56 2 = 28
En este ejemplo la clase de mediana es ( 38.543.5)
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Al observar la columna de las frecuencias y sumando 7 + 13 = 20 vemosque hay 20 frecuencias antes del valor de la clase media, los 8 que faltan
se interpolan en el ancho de la clase de la mediana, que en este ejemploes de 5; ( la diferencia de 43.538.5).
Interpolamos con la relacin proporcional (razones y proporciones); paraobtener el valor de 8 razonamos as:
20 es a 5 como 1 es a X
20:5::1:X20X = 5(1)
X = 5 / 20Como al 1 corresponden 5/20Para los 8 que faltan tenemos: 8(5/20) = 40/20 = 2Entonces 38.5 + 2 = 40.5 es el valor de la mediana
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La moda de datos agrupadosLa moda en una distribucin de datos agrupados, es la marca del intervalo
de clase que contiene la mayor frecuencia. la moda variar segn la formade agrupar.Seala la moda de los valores siguientes
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X f12 1
13 1
14 0
15 2
16 3
17 4
18 4
19 5
20 4
21 3
22 5
23 624 1
25 3
26 1
27 2
28 1
Total 46
Valores sin agrupar
Clases Frecuencia
11.5 - 14.5 2
14.5 - 17.5 9
17.5 - 20.5 13
20.5 - 23.5 14
23.5 - 26.5 5
26.5 29.5 3
Total 46
Valores agrupados en 6 clases
En 4 clases
Clases Frecuencia11.5 - 16.5 716.5 - 21.5 20
21.5 - 26.5 16
26.5 - 31.5 3
Total 46
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la moda en los datos sin agrupar es 23, por corresponderle la mayor
frecuencia que es 6.Para valores agrupados:En el agrupamiento de 6 clases, la moda es 22, que es la marca de clasede 20.5 - 23.5 clase que contiene la mayor frecuencia ( 14 ).
En el agrupamiento de 4 clases, la moda es 19, que es la marca de clasede 16.5 - 21.5 clase que contiene la mayor frecuencia ( 20 ).
Al fin de atender la demanda salarial de un grupo de 11 trabajadores, seanaliza su ingreso en pesos y que son : 32, 40, 40, 45, 50, 55, 200, 300.
Media = X = (32+40+40+45+50+55+200+300)8 = $95.25Mediana = (45 + 50) 2 = $ 47.5Moda = $ 40.0
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Media Geomtrica.
la media, mediana y moda son las medidas de tendencia central msfciles de calcular y las de mayor aplicacin. otras dos medidas detendencia central se aplican en determinadas problemas y por ello, esconveniente conocerlas; stas son:Media Geomtrica.Media Armnica.
Media Geomtrica.se define como la raz n del producto de n trminos. su uso permite elclculo de tasas de crecimiento.
Media Geomtrica = nX1X2....Xnel crecimiento de las ventas de petrleo fue en los ltimos cuatro aos de8%, 16%, 17%, 19%.Calcula la media geomtrica anual de crecimiento.
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Resolucin
1 + 8 100 = 1.08 primer ao.1 + 16 100 = 1.16 segundo ao.1 + 17 100 = 1.17 tercer ao.1 + 19 100 = 1.19 cuarto ao.Media geomtrica = 41.08(1.16)(1.17)(1.19) = 41.742 = 1.15
1.15 - 1 = 0.15Media anual de crecimiento = 0.15(100) = 15%
Media armnica
la media armnica H de una serie de nmeros es el reciproco de la mediaaritmtica de los recprocos de los nmeros de la serie
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Calcular la media armnica de los nmeros 2,5,7.
Resolucin.
1/H = (1/2 + 1/5 + 1/7) 3 = (35 + 14 + 10)/70 3 = (59/70) 3 =59/210
1/H = 59/210
La media armnica es H = 210/59 = 3.559
Medidas de dispersin.
anteriormente estudiamos las medidas de tendencia central: mediaaritmtica, la mediana, la moda; y tambin la media geomtrica y lamedia armnica, que describen el comportamiento de los datos en unadistribucin de frecuencias.
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Estas medidas no proporcionan informacin sobre la forma en que estndistribuidos o dispersos los valores con relacin a la tendencia central, y
poco informan sobre un dato especifico con relacin a los otros en ladistribucin de frecuencias.
En un examen extraordinario de 40 alumnos que reprobaronmatemticas y fsica calificados sobre 30 puntos, obtuvieron las
calificaciones que se expresan en el cuadro de frecuencias agrupadasque se citan. Juan obtuvo 16 puntos en los dos exmenes que present,calcula qu resultado debe esperar en su calificacin.
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Clases
(calificaciones)
Frecuencias
Matemticas
Frecuencias
Fsica
0.5 - 3.5 2 3
3.5 - 6.5 4 3
6.5 - 9.5 9 0
9.5 - 12.5 10 1
12.5 - 15.5 8 2
15.5 - 18.5 4 2
18.5 - 21.5 0 7
21.5 - 24.5 2 924.5 - 27.5 1 12
27.5 - 30.5 0 1
Total 40 40
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Juan obtuvo 16 puntos en ambos exmenes. en matemticas sucalificacin ser bastante alta ya que slo hay 3 calificacionesmejores, y en el examen de fsica su resultado no es bueno porquehay 29 mejores que la suya.para la interpretacin de los resultados individuales de estosexmenes se necesita ms informacin que permita apreciar ladispersin de los valores en el entorno de la tendencia central.
RangoEn toda distribucin hay valores extremos, uno menor y otro mayor, ladiferencia entre estos valores se llama Rango y en l estndistribuidos todos los dems valores, por eso tambin se le llama
recorrido.
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Desviacin media.La desviacin media de los valores absolutos de las desviaciones de cada
uno de los valores de la variable, respecto a la media aritmtica, es ladesviacin media.La desviacin media es una medida de dispersin muy objetiva, y cuantomayor sea su valor mayor es la dispersin de los datos.Pero no proporciona una relacin matemtica precisa entre su magnitud y
la posicin de un dato dentro de la distribucin; adems, al tomarse losvalores absolutos, mide la desviacin de una observacin sin mostrar siest por encima o por debajo de la media aritmtica.
Se expresa:
desviacin media = DM = X-X N
Y para una distribucin frecuencias agrupadas:
DM = fX-X N
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y
Ejemplo:Calcular la DM de los nmeros: 6, 3, 4,12, 10, 2, 7, 5.
Inicialmente calculamos el valor de X (media aritmtica):
X = XN = (6+3+4+12+10+2+7+5)/8 = 6.12
Ahora, obtenemos la desviacin media
DM = XXN =(6-6.12+3-6.12+4-6.12+12-6.12+10-6.12+2-6.12+7-6.12+5-6.12) 8 = 21.24 8 = 2.655 es la desviacin media.
Calcula la desviacin media(DM) de la distribucin de frecuenciasagrupadas que citamos a continuacin.
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Clases
(estatura)
Frecuencias
(alumnos)
121.5126.5 2
126.5131.5 3
131.5136.5 8
136.5141.5 23
141.5146.5 27
146.5151.5 20
151.5156.5 16
156.5161.5 3
161.5166.5 2
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Clases(intervalos)
Marca(X)
f fX X-X fX-X
121.5126.5 124 2 248 20.62 41.24
126.5131.5 129 3 387 15.62 46.86
131.5136.5 134 8 1072 10.62 84.96
136.5141.5 139 23 3197 5.62 129.26141.5146.5 144 27 3888 0.62 16.74
146.5151.5 149 20 2980 4.38 87.60
151.5156.5 154 16 2464 9.38 150.08
156.5161.5 159 3 477 14.38 43.14
161.5166.5 164 2 328 19.38 38.76
Totales 104 15041 638.64
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Los datos numricos para llenar el cuadro para calcular la desviacinmedia (DM) se obtuvieron as:
a) Las clasestambin se suelen citar como intervalos.b) La marca o marca de clase es el punto medio entre los extremos de
un intervalo, en el ejemplo son:
(121.5 + 126.5) 2 = (248.0) 2 = 124
(126.5 + 131.5) 2 = (258.0) 2 = 129Y as se calculan las dems.c) Frecuencias (f), es el nmero de elementos que hay en el intervalo, setomaron del cuadro donde se organizaron las estaturas de los alumnosen forma ascendente.
d) f(X) es el resultado del producto de la marca de clase por la frecuencia(124)(2) = 248(129)(2) = 387
Y as se calcularon las dems.
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e) XXes el valor absoluto de la diferencia de X y X.El valor de X est dentro del intervalo correspondiente, por esotomamos el de la marca que lo representa.
El de X = fXN = 15041 104 = 144.62Operaciones para obtener los resultados de XX
124144.62 = 20.62
129144.62 = 15.62
134144.62 = 10.62
139144.62 = 5.62
144144.62 = 0.62
149142.62 = 4.38
154142.62 = 9.38
159142.62 = 14.38
164142.62 = 19.38
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f) Hechos los clculos necesarios para obtener los valores del cuadro,tenemos que la
Desviacin media DM = fXXN
DM = 638.64 104 = 6.14
Varianza
La varianza (S2) es la media aritmtica de los cuadrados de desviacionesrespecto a la media aritmtica.
Al calcular la desviacin media fue necesario no tomar en consideracin
los signos negativos y tomar los valores absolutos de las desviacionesrespecto a la media aritmtica.Si elevamos al cuadrado las desviaciones, logramos que todas lasdesviaciones den resultado positivo, sumando los cuadrados de lasdesviaciones y dividiendo entre N obtenemos la varianza.
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La varianza sirve de base para calcular la desviacin estndar o desviacintpica que es la ms importante de todas las medidas de dispersin.
La varianza (S2) para datos no agrupados se obtiene con:
S2= (XX)2N
Para datos agrupados:
S2= f(XX)2N
Calcula la desviacin media DM y la varianza de la serie de nmeros9, 11, 1, 8, 14, 5, 6, 7, 11, 9.
ResolucinCalculamos la media X
X = XN = (9 + 11 + 1 + 8 + 14 + 5 + 6 + 7 + 11 + 9) 10= 8110 = 8.1
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DM = XX N
= (9-8.1+11-8.1+1-8.1+8- 8.1+ 14 -8.1+5-8.1+6-8.1+7-8.1+11-8.1+9-8.1)10
= ( 0.9+2.9+7.1+0.1+5.9+3.1+2.1+1.1+2.9+0.9) 10 = 27 10
DM = 2.7
Para obtener la varianza, y como X = 8.1 sustituimos en
S2= (X - X )2N
=[(9-8.1)2+ (11-8.1)2+ (1-8.1)2+ (8-8.1)2+ (14-8.1)2+ (5-8.1)2+ (6-8.1)2+(7-8.1)2+ (11-8.1)2+(9-8.1)2]10
= [(0.9)2+ (2.9)2+ (7.1)2+(0.1)2+ (5.9)2+(3.1)2+(2.1)2+(1.1)2+(2.9)2+ (0.9)2
] 10 11 89