Ecuaciones DiferencialesPRACTICO 3

1. Calcular la transformada de Laplace de las siguientes funciones:a) t, b) tn, n ∈ N, c) eat cos(bt), eatsen(bt), d) sin(at) cos(bt).

2. Cuales de las siguientes funciones es de orden exponencial? Justificar.a) tn, b) sin(at), c) e

√t, d) et

2, e)

√t.

3. Calcular L{√t}. Sugerencia: usar el hecho que

∫ +∞0

e−x2dx =

√π2

.

4. Sea F (t) =∫ t0f(x)dx, con f de orden exponencial en [0,+∞). Calcular L{F}(s).

5. Demostrar:a) Si F = L{f}, entonces F ′(s) = −L{tf(t)}(s).b) Si f(t) es de orden exponencial, entonces F (s) = L{f}(s) tiende a cero paraRe(s)→+∞.

6. Hallar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones:a) 1

s(s2+4), b) s

(s+a)2+b2, c) s

s2−3s−12 .

Solucion 6b: Sabemos que L{cos(bt)} = ss2+b2

. Ademas sabemos que se cumple lasiguiente propiedad:

L{ectf(t)} = F (s− c), L{f} = F.

Luego

L{e−at cos(t)} =s+ a

(s+ a)2 + b2.

Por otra parte como L{ab

sin(bt)} = as2+b2

, resulta

L{e−atab

sin(t)} =a

(s+ a)2 + b2.

FinalmenteL{e−at(cos(t)− a

bsin(t))} =

s

(s+ a)2 + b2.

7. Resolver los siguientes problemas no-homogeneos de segundo orden:a) y′′ − 5y + 4y = e2t, y(0) = 1, y′(0) = −1,b) y′′ + y′ + y = t2, y(0) = 2, y′(0) = 0.

8. Mediante la substitucion φ(t) = y(t+ t0), resolver el problema,

y′′ − 3y′ + 2y = e−t, y(t0) = 1, y′(t0) = 0

9. a) Mostrar que L{f ′′′}(s) = s3F (s)− s2f(0)− sf ′(0)− f ′′(0), con F = L{f}.b) Resolver el siguiente problema,

y′′′ − 6y′′ + 11y′ − 6y = e4t, y(0) = y′(0) = y′′(0) = 0.

1

10. Resolver los siguientes problemas:a) y′′ + y = sent, y(0) = 1, y′(0) = 2,b) y′′ − 2y′ + y = tet, y(0) = 0, y′(0) = 0.

11. Determinar la transformada de Laplace inversa de las siguientes funciones: a) e−ss−2,b) e−3s

s2−2s−3 . Ayuda: probar que L{12

sinh 2t} = 1s2−22 .

c) 3s(s+1)4

, d) 1(s2+a2)(s2+b2)

, e) 1s(s+4)2

, f) 1(s2+1)2

.

Solucion 11b: Seguramente el ejercicio sale usando la ayuda. Una forma alternativamas simple es la siguiente:Primero descomponer en fr. simples:

1

s2 − 2s− 3=

14

s− 3−

14

s+ 1.

Luego recordar la propiedad: L{Hc(t)f(t−c)} = e−ctF (s), donde F = L{f}. Entonces,

L{H3(t)e3(t−3)} =

e−3s

s− 3, L{H3(t)e

−(t−3)} =e−3s

s+ 1.

Finalmente,

L{H3(t)1

4(e3(t−3) − e−(t−3))} =

e−3s

s2 − 2s− 3.

Ahora usando la ayuda:Completando cuadrados resulta,

e−3s

s2 − 2s− 3=

e−3s

(s− 1)2 − 4

Usando que L{ectf(t)} = F (s− c), con c = 1 y L{f} = F , resulta

L{et12senh(2t)} =

1

(s− 1)2 − 4.

Finalmente usando la propiedad L{Hc(t)f(t − c)} = e−ctF (s), aplicada a la funcionf(t) = et 1

2senh(2t), para c = 3, resulta:

L{H3(t)et−31

2senh(2(t− 3))} =

e−3s

(s− 1)2 − 4=

e−3s

s2 − 2s− 3.

Otra forma alternativa: Como e−3s = L{δ(t − 3)} y L{et 12senh(2t)} = 1

(s2−2s−3) , porel teorema de convolucion resulta:

L{δ3(t) ? et1

2senh(2t)} =

e−3s

s2 − 2s− 3.

Pero (δ3 ? G)(t) =∫ t0G(t− u)δ3(u)du, donde G(t) = et 1

2senh(2t). Entonces:

(δ3 ? G)(t) =

{G(t− 3), si 0 ≤ t < 3,0, caso contrario

= H3(t)et−31

2senh(2(t− 3)).

2

12. Resolver los siguientes problemas de valores iniciales:

a) y′′ + 2y′ + y = 2(t− 3)H3(t), y(0) = 2, y′(0) = 1.

b) y′′ + y′ + y = Hπ(t)−H2π(t), y(0) = 1, y′(0) = 0.

c) y′′ + y = f(t), y(0) = 1, y′(0) = 0, donde f(t) =

{sin(t), 0 ≤ t < π,cos(t), π ≤ t < +∞.

13. Calcular la convolucion de los siguientes pares de funciones:a) eat, ebt, a = b , a 6= b, b) cos(at), cos(bt), c) sin(at), sin(bt),d) t sin(t).

14. Usar la formula de la transf. de la convolucion para hallar la transf. de Laplace inversade las siguientes funciones:a) 1

s2(s2+1), b) s

(s+1)(s2+4), c) 1

s2(s+1)2.

15. Resolver las siguientes ecuaciones integrales mediante transf. de Laplace:a) y(t) = 4t− 3

∫ t0y(u) sin(t− u)du,

b) y(t) = 4t2 −∫ t0y(u)e−(t−u)du.

16. Calcular: a)∫ 3

0(1 + e−t)δ2(t)dt, b)

∫ 1

−2(1 + e−t)δ2(t)dt.

17. Dar una demostracion del siguiente hecho: L{δt0}(s) = e−st0 , ∀t0 ≥ 0, donde δt0 es laDelta de Dirac centrada en t0.

18. Resolver por transf. de Laplace:a) y′ + y = eiωt, u(0) = 1,b) y′ − iωy = δ(t), u(0) = 0,c) my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, m, c, k constantes no negativas.

19. Resolver los siguientes problemas:a) y′′ + y = sin t+ δπ(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.b) y′′ + y′ = e−t + 3δ3(t), y(0) = 1, y′(0) = 0.

20. Sea f(t) = 12, para t > t0, y f(t) = −1

2, para t < t0. Considerar el funcional K(φ) =∫∞

−∞ φ(t)f(t)dt. Mostrar que K ′(φ) = K(−φ′) = φ(t0). Concluir que δt0 = f ′.

21. Resolver por transf. de Laplace:a) y′ + y = eiωt, u(0) = 1,b) y′ − iωy = δ0(t), u(0) = 0,c) my′′ + cy′ + ky = 0, y(0) = 1, y′(0) = 0, m, c, k constantes no negativas.

22. Resolver los siguientes problemas:a) y′′ + y = sin t+ δπ(t), y(0) = 0, y′(0) = 0.b) y′′ + y′ = e−t + 3δ3(t), y(0) = 1, y′(0) = 0.

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