1
EJERCICIOS RESUELTOS MODULO 1. TRANSFORMADA Z
1. Determine la restricciรณn que debe haber en ๐ = |๐| para que cada una de las siguientes sumas converja.
a) โ (๐
๐)๐+๐
โ๐=โ๐ ๐โ๐ b) โ (
๐
๐)โ๐+๐
โ๐=๐ ๐๐
c) โ {๐+(โ๐)๐
๐}โ
๐=๐ ๐โ๐ d) โ (๐
๐)|๐|
โ๐=โโ ๐๐๐(๐
๐๐)๐โ๐
Sol:
|๐| >๐
๐ |๐| <
๐
๐
|๐| > 1 ๐
๐< |๐| > 2
Resoluciรณn:
Se refiere a la restricciรณn del mรณdulo de la variable z, en definitiva nos estรก limitando su regiรณn de
convergencia. El procedimiento consiste en sustituir z por ๐๐๐๐. Y determinar para que valores de r la suma
converge.
Apartado a)
โ (๐
๐)๐+๐โ
๐=โ๐
๐โ๐ = โ (๐
๐)๐+๐โ
๐=โ๐
(๐๐๐๐)โ๐= โ (
๐
๐)๐+๐โ
๐=โ๐
๐โ๐๐โ๐๐๐ =1
2โ (
๐
๐๐โ๐)
๐โ
๐=โ๐
๐โ๐๐๐
Si observamos para que dicha serie geomรฉtrica converja en el infinito, debe ocurrir que:
๐
๐๐โ๐ < 1โ ๐โ๐ < 2โ ๐ >
๐
๐โ |๐| >
๐
๐
Fijaros que la igualdad no la incluido pues serรญa la suma de infinitos 1โs, suma que diverge.
Apartado b)
โ(๐
๐)โ๐+๐โ
๐=๐
๐๐ = โ(๐
๐)โ๐+๐โ
๐=๐
(๐๐๐๐)๐= โ(
๐
๐)โ๐+๐โ
๐=๐
๐๐๐๐๐๐ =1
2โ(๐๐)๐โ
๐=๐
๐๐๐๐
Si observamos para que dicha serie geomรฉtrica converja en el infinito, debe ocurrir que:
๐๐ < 1โ ๐ <๐
๐โ |๐| <
๐
๐
Apartado c)
โ{๐+ (โ๐)๐
๐}
โ
๐=๐
(๐๐๐๐)โ๐= โ{
๐โ๐ + (โ๐)โ๐
๐}
โ
๐=๐
๐โ๐๐๐ =1
2โ๐โ๐โ
๐=๐
๐โ๐๐๐ +1
2โ(โ๐)โ๐โ
๐=๐
๐โ๐๐๐
2
Donde se observa claramente que amabas series convergen si ๐ > 1โ|๐| > 1
Apartado d)
โ (๐
๐)|๐|โ
๐=โโ
๐๐๐ (๐
๐๐) ๐โ๐ = โ (
๐
๐)โ๐๐
๐=โโ
๐๐๐ (๐
๐๐) (๐๐๐๐)
โ๐+โ(
๐
๐)๐โ
๐=๐
๐๐๐ (๐
๐๐)(๐๐๐๐)
โ๐
= โ (๐
๐๐)
โ๐๐
๐=โโ
๐๐๐ (๐
๐๐)๐โ๐๐๐ +โ(
๐
๐๐โ๐)
๐โ
๐=๐
๐๐๐ (๐
๐๐)๐โ๐๐๐
La convergencia se producirรก en la intersecciรณn de cada serie.
La primera converge cuando ๐
๐๐ < 1โ ๐ < 2
La segunda converge cuando ๐
๐๐โ๐ < 1โ ๐ >
๐
๐
Con lo que, la suma de ambas converge para los valores de r tales que: ๐๐< ๐ > 2, o lo que es lo mismo ๐
๐<
|๐| > 2
2. Examine la seรฑal
๐[๐] = (๐
๐)๐
๐[๐ โ ๐]
Use la ecuaciรณn (10.3) para evaluar la transformada z de esta seรฑal, y especifique la regiรณn de convergencia
correspondiente.
Sol:
๐(๐ง) =1
125
๐งโ3
1โ15๐งโ1
, y su ROC |๐ง| >1
5
Resoluciรณn:
Usando la ecuaciรณn (10.3)
๐(๐ง) = โ (1
5)๐
๐ข[๐ โ 3]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ(1
5)๐โ
๐=3
๐งโ๐ = โ(1
5๐งโ1)
๐โ
๐=3
=
1125
๐งโ3 โ 0
1 โ15๐งโ1
=1
125๐งโ3
1
1 โ15๐งโ1
Pero esta serie converge, y por tanto es vรกlida la suma realizada si y sรณlo sรญ, 1
5๐งโ1 < 1
Por lo tanto cuando |๐ง| >1
5. Hemos colocado el mรณdulo ya que el signo no influye en la convergencia,
recuerda que las ROCโs son cรญrculos en el plano complejo.
3. Sea
๐[๐] = (โ๐)๐๐[๐] + ๐ถ๐๐[โ๐ โ ๐๐]
Determine las restricciones en el nรบmero complejo ๐ถ y el entero ๐๐, dado que la ROC de ๐ฟ(๐) es ๐ < |๐| <
2.
3
Sol:
|๐ถ| < 2, ๐๐ arbitrario
Resoluciรณn:
๐[๐] = (โ๐)๐๐[๐] + ๐ถ๐๐[โ๐ โ ๐๐]
Si obtenemos la TZ de cada tรฉrmino tenemos
๐(๐ง) = โ (โ1)๐๐ข[๐]๐งโ๐โ
๐=โโ
= โ(โ๐งโ1)๐ =1 โ 0
1 โ (โ๐งโ1)
โ
๐=0
=1
1 + ๐งโ1
Con ROC |๐ง| > 1
Por otro lado tenemos
๐(๐ง) = โ ๐ผ๐๐ข[โ๐ โ ๐0]๐งโ๐
โ
๐=โโ
= โ (๐ผ๐งโ1)๐ =0 โ (๐ผ๐งโ1)โ๐0(๐ผ๐งโ1)
1 โ ๐ผ๐งโ1
โ๐0
๐=โโ
=โ๐ผโ๐0+1๐ง๐0โ1
1 โ ๐ผ๐งโ1
Con ROC ๐ผ๐งโ1 > 1 โ ๐งโ1 >1
๐ผโ ๐ง < ๐ผ
Por tanto la de ambos tรฉrmino nos da la ROC de la secuencia ๐ฅ[๐], la cual vendrรก dada por
1 < |๐ง| < ๐ผ
Con lo que para que se cumpla el enunciado |๐ผ| < 2, y donde el valor del tรฉrmino ๐0 no influye en la ROC.
4. Considere la seรฑal
๐[๐] = {(๐
๐)๐
๐๐๐ (๐
๐๐) , ๐ โค ๐
๐ , ๐ > ๐
Determine los polos y la ROC para ๐ฟ(๐).
Sol:
Polos en ๐ =๐
๐๐ยฑ๐
๐ ๐, ROC: |๐| >
๐
๐
Resoluciรณn:
Apliquemos la ecuaciรณn para evaluar la TZ.
๐(๐ง) = โ (1
3)๐0
๐=โโ
๐๐๐ (๐
4๐) ๐งโ๐
Si aplicamos Euler ๐๐๐ (๐
4๐) =
๐๐๐ ๐๐+๐
โ๐๐ ๐๐
2, con lo que
4
๐(๐ง) =1
2โ (
๐๐๐ ๐
3๐งโ1)
๐0
๐=โโ
+1
2โ (
๐โ๐๐ ๐
3๐งโ1)
๐0
๐=โโ
Donde la ROC en ambos tรฉrminos (recuerda es el mรณdulo).
๐
3|๐ง|โ1 > 1โ |๐ง| <
1
3
Para averiguar los polos resolvemos la suma en la ROC
๐(๐ง) =1
2โ (
๐๐๐ ๐
3๐งโ1)
๐0
๐=โโ
+1
2โ (
๐โ๐๐ ๐
3๐งโ1)
๐0
๐=โโ
=1
2
โ1
1 โ๐๐
๐ ๐
3๐งโ1
+1
2
โ1
1 โ๐โ๐
๐ ๐
3๐งโ1
=1
2
โ1(๐๐
๐ ๐
3๐งโ1)
1 โ๐๐
๐ ๐
3๐งโ1
+1
2
โ1(๐โ๐
๐ ๐
3๐งโ1)
1 โ๐โ๐
๐ ๐
3๐งโ1
=1
2
1
1 โ 3๐โ๐๐ ๐๐ง+1
2
1
1 โ 3๐๐๐ ๐๐ง
Los polos son los valores que anulan al denominador
1 โ 3๐โ๐๐ ๐๐ง = 0 โ ๐ง =
๐
3๐๐
๐ ๐
1 โ 3๐+๐๐ ๐๐ง = 0 โ ๐ง =
๐
3๐โ๐
๐ ๐
5. Determine la transformada z de cada una de las siguientes secuencias. Trace el diagrama de polos y ceros
e indique la regiรณn de convergencia. Indique si existe o no la transformada de Fourier de la secuencia.
a) ๐น[๐ + ๐] b) ๐น[๐ โ ๐]
c) (โ๐)๐๐[๐] d) (๐
๐)๐+๐
๐[๐ + ๐]
e) (โ๐
๐)๐๐[โ๐ โ ๐] f) (
๐
๐)๐๐[๐ โ ๐]
g) ๐๐๐[โ๐] + (๐
๐)๐๐[๐ โ ๐] h) (
๐
๐)๐โ๐
๐[๐ โ ๐]
Resoluciรณn:
Apartado a)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐ฟ[๐ + 5]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐ฟ[๐ + 5]
โ
๐=โโ
๐ง5 = ๐ง5 โ ๐ฟ[๐ + 5]
โ
๐=โโ
== ๐ง5
Su ROC es todo el plano Z, menos el infinito. Por tanto al incluir al cรญrculo unidad existe su transformada de
Fourier.
5
Apartado b)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐ฟ[๐ โ 5]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐ฟ[๐ โ 5]
โ
๐=โโ
๐งโ5 = ๐งโ5 โ ๐ฟ[๐ โ 5]
โ
๐=โโ
== ๐งโ5
Su ROC es todo el plano Z, menos el cero. Vemos por tanto que tambiรฉn incluye al cรญrculo unidad por lo
tanto existe su transformada de Fourier.
Apartado c)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (โ1)๐๐ข[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ(โ1)๐โ
๐=0
๐งโ๐ = โ(โ๐งโ1)๐โ
๐=0
=1 โ 0
1 + ๐งโ1=
1
1 + ๐งโ1
La suma converge cuando |๐งโ1| < 1, por lo tanto su ROC es |๐ง| > 1. Esta regiรณn de convergencia no incluye
al cรญrculo unidad, en consecuencia, no existe transformada de Fourier de la secuencia.
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
polo de orden 5
en z=0
Zero de orden 5
en z=0
6
Apartado d)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
2)๐+1
๐ข[๐ + 3]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
2)๐+1โ
๐=โ3
๐งโ๐ =1
2โ (
๐งโ1
2)
๐โ
๐=โ3
=1
2
(๐งโ1
2)โ3
โ 0
1 โ๐งโ1
2
=4๐ง3
1 โ12 ๐ง
โ1
La suma converge para |๐งโ1|
2< 1, lo que implica que su ROC es |๐ง| >
1
2. Por tanto la transformada de Fourier
existe porque la ROC incluye el cรญrculo unidad.
Apartado e)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (โ1
3)๐
๐ข[โ๐ โ 2]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (โ1
3)๐โ2
๐=โโ
๐งโ๐ = โ(โ3๐ง)๐โ
๐=2
=9๐ง2
1 + 3๐ง
=9๐ง2
3๐ง (1 +13 ๐ง
โ1)=
3๐ง
1 +13 ๐ง
โ1
La suma converge para 3|๐ง| < 1, lo que determina que su ROC es |๐ง| <1
3. Por lo tanto no existe la
transformada de Fourier al no incluir al cรญrculo unidad.
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Zero de orden 4
Polo en z=0.5
7
Apartado f)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
4)๐
๐ข[3 โ ๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
4)๐3
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (4๐ง)๐ =
โ
๐=โ3
=4โ3๐งโ3
1 โ 4๐ง=
164 ๐ง
โ3
1 โ 4๐ง
La suma converge para 4|๐ง| < 1, lo que determina que su ROC es |๐ง| <1
4. Por lo tanto no existe la
transformada de Fourier al no incluir al cรญrculo unidad.
Apartado g)
Consideramos dos secuencias, tales que:
๐ฅ1[๐] = 2๐๐ข[โ๐]
๐ฅ2[๐] = (1
4)๐
๐ข[๐ โ 1]
La primera tendrรก una TZ, tal que,
๐1(๐ง) = โ ๐ฅ1[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ 2๐๐ข[โ๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ 2๐0
๐=โโ
๐งโ๐ = โ(๐ง
2)๐
=
โ
๐=0
1
1 โ๐ง2
=2
2 โ ๐ง
La suma converge para |๐ง
2| < 1. Por lo que su ROC es |๐ง| < 2.
Por otro lado para la secuencia 2.
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Polo en z=-1/3
Zero de orden 2
Polo en z=1/4
Polo tercer orden en z=0
8
๐2(๐ง) = โ ๐ฅ2[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
4)๐
๐ข[๐ โ 1]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ(1
4)๐โ
๐=1
๐งโ๐ = โ(๐งโ1
4)
๐
=
โ
๐=1
๐งโ1
4 โ 0
1 โ๐งโ1
4
=1
4
๐งโ1
1 โ14๐งโ1
Donde la suma converge para |๐งโ1
4| < 1. Por tanto su ROC es |๐ง| >
1
4.
La TZ de la secuencia del apartado g), es la suma de cada uno de los sumandos, por tanto
๐(๐ง) =2
2 โ ๐ง+1
4
๐งโ1
1 โ14๐งโ1
=โ74๐งโ1
1 โ94๐งโ1 +
12๐งโ2
Con ROC la intersecciรณn por tanto 1
4< |๐ง| < 2. ROC que coge al cรญrculo unidad, por lo tanto existe
transformada de Fourier.
Apartado h)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
3)๐โ2
๐ข[๐ โ 2]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ(1
3)๐โ2โ
๐=2
๐งโ๐ == (1
3)โ2
โ(๐งโ1
3)
๐โ
๐=2
= 9
๐งโ2
9 โ 0
1 โ๐งโ1
3
=๐งโ2
1 โ13 ๐ง
โ1
Donde la suma converge para |๐งโ1
3| < 1. Por tanto su ROC es |๐ง| >
1
3. Con lo que estรก incluido el cรญrculo
unidad y si existe pues su transformada de Fourier discreta.
0.5
1
1.5
2
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
0.5
1
30
210
60
240
90
270
120
300
150
330
180 0
Polo en z=1/4
Polo en z=2
Zero simple en
z=0
Polo en z=1/3
Polo en z=0
9
6. Determine la transformada z de las siguientes secuencias. Exprese todas las sumas en forma cerrada.
Indique la regiรณn de convergencia. Indique si existe la transformada de Fourier de la secuencia.
a) (๐
๐)๐{๐[๐ + ๐] โ ๐[๐ โ ๐]} b) ๐(
๐
๐)|๐|
c) |๐| (๐
๐)|๐|
d) ๐๐๐๐๐ [๐๐ ๐
๐+๐
๐] ๐[โ๐ โ ๐]
Resoluciรณn:
Apartado a)
Se trata de una secuencia de duraciรณn finita entre la muestra -4 y la muestra 4.
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ (1
2)๐4
๐=โ4
๐งโ๐ = โ (๐งโ1
2)
๐4
๐=โ4
=(๐งโ1
2)โ4
โ (๐งโ1
2)5
1 โ๐งโ1
2
== (1
2)โ4
๐ง41 โ (
12)9
๐งโ9
1 โ12 ๐ง
โ1
Al ser una secuencia finita la ROC es todo el plano z, no incluye al infinito ni al cero, al tener potencias
positivas y negativas.
Diagrama (no lo voy a representar, pero sรญ indicar los polos y ceros)
Ademรกs tiene un cero de orden 4 en z=0 (debido al tรฉrmino ๐ง4), por otro lado parece que tiene un polo en
๐ง =1
2 (fรญjate anula el denominador), pero tambiรฉn anula al numerador (por tanto no es polo). Lo cual debe
ser asรญ, pues la ROC de una secuencia limitada es todo el plano z. Hemos pues observado que hay cero en
๐ง =1
2 de orden 9, pero como hay un polo en ๐ง =
1
2, acabamos diciendo que hay un cero en ๐ง =
1
2 de orden 8.
Como la ROC es todo el plano z, incluye al cรญrculo unidad y por tanto existe transformada de Fourier.
Apartado b)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐(1
2)|๐|โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐(1
2)โ๐0
๐=โโ
๐งโ๐ +โ๐(1
2)๐โ
๐=1
๐งโ๐ =
= โโ๐(๐ง
2)๐
โ
๐=0
+โ๐(๐งโ1
2)
๐โ
๐=1
๐งโ๐
Si recordamos la suma de la serie โ ๐๐๐โ๐=0 =
๐
(1โ๐)2 ; |๐| < 1
Por lo tanto y teniendo en cuenta que la suma es idรฉntica tanto si empieza en 0, como en -1.
Nos queda
๐(๐ง) = โโ๐(๐ง
2)๐
โ
๐=0
+โ๐(๐งโ1
2)
๐โ
๐=1
๐งโ๐ = โ
๐ง2
(1 โ๐ง2)
2 +
๐งโ1
2
(1 โ๐งโ1
2 )2
La primera serie converge para |๐ง|<2 y la segunda |๐ง| >1
2. Por tanto su ROC vendrรก dada por
10
1
2< |๐ง| < 2
En definitiva su transformada de Fourier existe.
Tiene un polo en ๐ง = 2 y en ๐ง =1
2.
Apartado c)
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ |๐| (1
2)|๐|โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ โ๐(1
2)โ๐0
๐=โโ
๐งโ๐ +โ๐(1
2)๐โ
๐=1
๐งโ๐ =
= โ๐(๐ง
2)๐
โ
๐=0
+โ๐(๐งโ1
2)
๐โ
๐=1
๐งโ๐ =
๐ง2
(1 โ๐ง2)2 +
๐งโ1
2
(1 โ๐งโ1
2)2
Aplicando los mismos criterios apartado anterior, la ROC es la misma 1
2< |๐ง| < 2 y por tanto hay
transformada de Fourier, siendo los polos ๐ง = 2 y en ๐ง =1
2
Apartado d)
Aplicamos Euler al coseno y tenemos
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = ๐๐๐4 โ 4๐
โ1
๐=โโ
๐๐๐3๐๐งโ๐ + ๐โ๐
๐4 โ 4๐
โ1
๐=โโ
๐โ๐๐3๐๐งโ๐ =
= ๐๐๐4 โ (4๐๐
๐3๐งโ1)
๐โ1
๐=โโ
+ ๐โ๐๐4 โ (4๐โ๐
๐3๐งโ1)
๐โ1
๐=โโ
=
= ๐๐๐4 โ(4๐๐
๐3๐งโ1)
โ๐โ
๐=1
+ ๐โ๐๐4 โ(4๐โ๐
๐3๐งโ1)
โ๐โ
๐=1
=
= ๐๐๐4
(4๐๐๐3๐งโ1)
โ1
1 โ (4๐๐๐3๐งโ1)
โ1 + ๐โ๐๐
4
(4๐โ๐๐3๐งโ1)
โ1
1 โ (4๐โ๐๐3๐งโ1)
โ1
Donde la primera suma converge para |4๐๐๐3๐งโ1| > 1, por tanto |๐ง| < 4, si hacemos lo mismo en la segunda
suma nuevamente converge para |๐ง| < 4.
En consecuencia la ROC es |๐ง| < 4 y en consecuencia si existe transformada de Fourier.
11
7. Sea ๐ฑ[๐ง] una seรฑal absolutamente sumable con transformada z racional ๐(๐ณ). Si sabemos que ๐ฟ(๐) tiene
un polo en ๐ = ๐
๐. ยฟPodrรญa ๐[๐] ser
una seรฑal de duraciรณn finita?
una seรฑal izquierda?
una seรฑal derecha?
una seรฑal bilateral?
Sol:
No, b) No, c) Sรญ, d) No
Resoluciรณn:
No, debido a que toda secuencia de duraciรณn finita, la ROC es todo el plano z, excepto en posiblemente ๐ง =
0 ๐ฆ ๐ง = โ, los cuales son los dos รบnicos posibles valores de los polos
No. Si tenemos una secuencia definida a la izquierda significa que para obtener la TZ hemos de realizar el
sumatorio
๐(๐ง) = โ ๐ฅ[๐]
๐2
๐=โโ
๐งโ๐
Donde ๐2 puede ser positivo o negativo, para el primer caso ๐ง = 0 serรก un polo y la ROC no lo incluye, y en
el segundo la ROC incluye a ๐ง = 0. En definitiva su ROC es por lo general 0 < |๐ง| < ๐0.
Como en el enunciado se nos indica que es absolutamente sumable, implica que el cรญrculo unidad forma
parte de la ROC. Por tanto ๐ง =1
2, no puede ser un polo, ya que ese punto estรก dentro de la ROC.
Sรญ, es el caso contrario al del apartado b). En este caso la ROC es de |๐ง| > ๐0, como es absolutamente
sumable la ROC debe incluir al cรญrculo unidad y por ejemplo una ROC definida como |๐ง| >1
2, corresponderรญa
a una ROC de una secuencia definida a derecha con un polo en ๐ง =1
2.
Sรญ, tambiรฉn podrรญa ser una seรฑal bilateral, ya que su ROC serรก un anillo que ademรกs por ser absolutamente
sumable incluirรก al cรญrculo unidad. Por tanto podemos definir una secuencia cuya ROC sea 1
2< |๐ง| < ๐0. Y con
๐0 > 1, para que incluya al cรญrculo unidad. De esta forma hemos definido una secuencia bilateral con un polo
en ๐ง =1
2.
8. Suponga que la expresiรณn algebraica para la transformada z es
๐ฟ(๐) =๐ โ ๐
๐๐โ๐
(๐ + ๐๐๐โ๐)(๐ + ๐
๐๐โ๐ + ๐
๐๐โ๐)
ยฟCuรกntas regiones de convergencia diferentes corresponderรญan a ๐ฟ(๐)?
Sol:
3 regiones de convergencia
Resoluciรณn:
12
Para contestar adecuadamente a la pregunta, lo primero que debemos evaluar son los polos de la
Transformada z.
Polos de TZ.
1 +1
4๐งโ2 = 0โ
{
๐ง1 =1
2๐
๐ง2 = โ1
2๐
1 +5
4๐งโ1 +
3
8๐งโ2 = 0
8๐ง2 + 10๐ง + 3 = 0
๐ง =โ10 ยฑ โ100 โ 4 ยท 8 ยท 3
16=โ10 ยฑ โ100 โ 96
16=โ10 ยฑ 2
16= {
๐ง3 =โ12
16= โ
3
4
๐ง4 =โ8
16= โ
1
2
A partir de estos polos podemos determinar las siguientes ROC. Si observamos el mรณdulo de los polos
tenemos que corresponden a dos valores |๐ง| =1
2 (primer, segundo y cuarto polo) y |๐ง| =
3
4 (tercer polo).
Por tanto son posibles las 3 siguientes ROC.
La ROC comprendida entre 0 < |๐ง| <1
2.
La ROC anillo entre los dos polos 1
2< |๐ง| <
3
4
La ROC por encima del polo de mรณdulo mayor |๐ง| >3
4
9. Sea ๐[๐] una seรฑal cuya transformada z racional ๐ฟ(๐) contiene un polo en ๐ =๐
๐.
Dado que
๐๐[๐] = (๐
๐)๐
๐[๐]
Es absolutamente sumable y
๐๐[๐] = (๐
๐)๐
๐[๐]
no es absolutamente sumable, determine si ๐[๐] es izquierda, derecha o bilateral.
Sol:
Bilateral
Resoluciรณn:
Para su resoluciรณn debemos en primer lugar determinar quรฉ relaciรณn existe entre las ROC de la secuencia
๐ฅ[๐] y las secuencias ๐ฅ1[๐] y ๐ฅ2[๐].
Veamos supongamos que tenemos el siguiente par transformado
๐ฅ[๐]๐๐โ๐(๐ง) con ROC = ๐
Entonces nos preguntamos cuรกl serรญa la TZ y la ROC de una secuencia definida como
๐ฅ1[๐] = ๐๐๐ฅ[๐].
13
Si evaluamos su TZ.
๐1(๐ง) = โ ๐๐๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
๐งโ๐ = โ ๐ฅ[๐]
โ
๐=โโ
(๐ง
๐)โ๐
= ๐ (๐ง
๐)
Con lo cual hemos encontrado una relaciรณn entre sus TZโs, si ademรกs la ROC de ๐(๐ง) es R, ahora la ROC de
๐1(๐ง) serรก ๐๐ . Es decir, si por ejemplo R era ๐ง1 < |๐ง| < ๐ง2, ahora la nueva ROC debe cumplir ๐ง1 < |๐ง
๐| < ๐ง2
lo que implica que la ROC serรก ๐๐ง1 < |๐ง| < ๐๐ง2
Con este planteamiento previo, ya estamos en condiciones de responder a la pregunta del enunciado.
En primer lugar tenemos
๐ฅ[๐]๐๐โ๐(๐ง) con ROC = ๐
(1
4)๐
๐ฅ[๐]๐๐โ๐(4๐ง) con ROC =
๐
4
(1
8)๐
๐ฅ[๐]๐๐โ๐(8๐ง) con ROC =
๐
8
Como ๐ง =1
2 es un polo, para ๐ฅ1[๐] el polo estarรก en ๐ง =
1
8 y como es absolutamente sumable su ROC debe
incluir el cรญrculo unidad. Por tanto la ROC de ๐ฅ[๐] debe incluir el circulo unidad, es decir, su ROC de
momento debe ser |๐ง| >1
2. (Extendiรฉndose hacia el infinito)
Por otro lado para ๐ฅ2[๐] el polo estarรก en ๐ง =1
16, pero no es absolutamente sumable con lo que su ROC no
incluye al cรญrculo unidad, por tanto la ROC de ๐ฅ[๐] no se puede extender hacia el infinito, debe ser un anillo,
entre 1
2< |๐ง| > ๐0 y un cierto valor ๐0, tal que
๐0
4> 1 (incluya el cรญrculo unidad) y
๐0
8< 1 (no incluya el cรญrculo
unidad).
Como lo que nos preguntan es cรณmo es la seรฑal y no su valor exacto de ROC, responderemos BILATERAL, ya
que su ROC es un anillo.
10. Valiรฉndose de la expansiรณn en fracciones parciales y del hecho de que:
๐๐๐[๐]๐ป๐โ
๐
๐ โ ๐๐โ๐, |๐| > |๐|
Determine la TZ inversa de
๐ฟ(๐) =๐ โ ๐
๐๐โ๐
(๐ โ ๐โ๐)(๐ + ๐๐โ๐), |๐| > |๐|
Sol:
๐[๐] =๐
๐๐[๐] +
๐
๐(โ๐)๐๐[๐]
Resoluciรณn:
Hemos de descomponer ๐(๐ง) en fracciones simples, es decir, resolver el sistema
14
๐(๐ง) =1 โ 1
3๐งโ1
(1 โ ๐งโ1)(1 + 2๐งโ1)=
๐ด
1 โ ๐งโ1+
๐ต
1 + 2๐งโ1
Por tanto
๐ด(1 + 2๐งโ1) + ๐ต(1 โ ๐งโ1) = 1 โ1
3๐งโ1
Para ๐งโ1 = 1, tenemos
๐ด(1 + 2) + ๐ต(1 โ 1) = 1 โ1
3โ๐ด =
2
9
Para ๐งโ1 = โ1
2, tenemos
๐ด(1 โ 1) + ๐ต (1 +1
2) = 1 + (
1
3) (
1
2) โ ๐ต =
7
9
Por tanto tras la descomposiciรณn en fracciones simples tenemos:
๐(๐ง) =
29
1 โ ๐งโ1+
79
1 + 2๐งโ1, |๐ง| > |2|
Por tanto la secuencia serรก
๐ฅ[๐] =2
9๐ข[๐] +
7
9(โ2)๐๐ข[๐]
11 A continuaciรณn mostramos varias transformadas z Para cada una de ellas determine la transformada z
inversa usando tanto el mรฉtodo basado en la expansiรณn en fracciones parciales.
a) ๐ฟ(๐) =๐โ๐โ๐
๐โ๐
๐๐โ๐, |๐| >
๐
๐
b) ๐ฟ(๐) =๐โ๐โ๐
๐โ๐
๐๐โ๐, |๐| <
๐
๐
c) ๐ฟ(๐) =๐โ๐โ
๐
๐
๐โ๐
๐๐โ๐, |๐| >
๐
๐
d) ๐ฟ(๐) =๐โ๐โ
๐
๐
๐โ๐
๐๐โ๐, |๐| <
๐
๐
e) ๐ฟ(๐) =๐โ๐โ
๐
๐
(๐โ๐
๐๐โ๐)
๐ , |๐| >๐
๐
f) ๐ฟ(๐) =๐โ๐โ
๐
๐
(๐โ๐
๐๐โ๐)
๐ , |๐| <๐
๐
Resoluciรณn:
Apartado a)
Si resolvรฉis obtenรฉis la descomposiciรณn
15
๐(๐ง) =1 โ ๐งโ1
1 โ14๐งโ2
=โ12
1 โ12๐งโ1
+
32
1 +12๐งโ1
Como la ROC es |๐ง| >1
2, se trata de una seรฑal derecha, y recordando que:
1
1 โ ๐๐งโ1โ ๐๐๐ข[๐]
Entonces la secuencia serรก
๐ฅ[๐] = โ1
2(1
2)๐
๐ข[๐] +3
2(โ
1
2)๐
๐ข[๐]
Apartado b)
Se trata de la misma transformada z, a diferencia de su ROC, por tanto su descomposiciรณn serรก la misma.
๐(๐ง) =1 โ ๐งโ1
1 โ14 ๐ง
โ2=
โ12
1 โ12 ๐ง
โ1+
32
1 +12 ๐ง
โ1
En este caso, la ROC me define una secuencia a izquierda y en este caso hemos de tener en cuenta que: 1
1 โ ๐๐งโ1โ โ๐๐๐ข[โ๐ โ 1]
En consecuencia
๐ฅ[๐] =1
2(1
2)๐
๐ข[โ๐ โ 1] โ3
2(โ
1
2)๐
๐ข[โ๐ โ 1]
Apartado c)
Si evaluamos su descomposiciรณn, tenemos,
๐(๐ง) =๐งโ1 โ
12
1 โ12 ๐ง
โ1 = โ2 +
32
1 โ12 ๐ง
โ1
Definida a derecha, por tanto
๐ฅ[๐] = โ2๐ฟ[๐] +3
2(1
2)๐
๐ข[๐]
Apartado d)
Si evaluamos su descomposiciรณn, tenemos,
๐(๐ง) =๐งโ1 โ
12
1 โ12 ๐ง
โ1 = โ2 +
32
1 โ12 ๐ง
โ1
Definida a izquierda, por tanto
๐ฅ[๐] = โ2๐ฟ[๐] โ3
2(1
2)๐
๐ข[โ๐ โ 1]
16
Apartado e)
Realizando la descomposiciรณn en fracciones simples tenemos:
๐(๐ง) =๐งโ1 โ
12
(1 โ12๐งโ1)
2 =
32
(1 โ12๐งโ1)
2 +โ2
1 โ12 ๐ง
โ1
Donde sabemos que si la secuencia estรก definida a derecha, entonces (esto ahora no lo deberรฉis saber, ya
que se obtiene aplicando propiedades, os lo doy,)
1
(1 โ ๐๐งโ1)2โ (๐ + 1)๐๐๐ข[๐ + 1]
Por tanto, nos queda
๐ฅ[๐] =3
2(๐ + 1) (
1
2)๐
๐ข[๐ + 1] โ 2 (1
2)๐
๐ข[๐]
Apartado f) Lo mismo pero teniendo en cuenta a izquierda, por tanto
1
(1 โ ๐๐งโ1)2โ โ(๐ + 1)๐๐๐ข[โ๐ โ 2]
Y por tanto
๐ฅ[๐] = โ3
2(๐ + 1) (
1
2)๐
๐ข[โ๐ โ 2] + 2 (1
2)๐
๐ข[โ๐ โ 1]
12 Determine la transformada z inversa de
๐ฟ(๐) =๐
๐๐๐๐[๐๐๐๐ โ ๐โ๐๐
๐ โ ๐๐๐โ๐
], |๐| > 0
Sol:
๐[๐] = (๐
๐)๐[๐[๐] โ ๐[๐ โ ๐๐]], secuencia de duraciรณn finita
Resoluciรณn:
En primer lugar la ROC nos indica que se trata de una secuencia de duraciรณn finita, ademรกs si observamos la
expresiรณn se corresponde a la suma de una serie geomรฉtrica de razรณn 1
2. Es decir,
โ(1
2)๐
๐
๐=0
๐งโ๐ =1 โ (
12)
๐+1
๐งโ(๐+1)
1 โ12 ๐ง
โ1=1 โ
11024๐ง
โ10
1 โ 12๐งโ1
De la igualdad determinamos que ๐ = 9, verificando ademรกs que (1
2)10=
1
1024
17
Por tanto ๐ฅ[๐] = (1
2)๐[๐ข[๐] โ ๐ข[๐ โ 10]]
13. Calcule la secuencia asociada con cada una de las siguientes transformadas z.
a)
๐ฟ(๐) =๐ โ ๐๐โ๐
๐ โ๐๐๐
โ๐ + ๐โ๐, ๐ฒ ๐[๐] ๐๐๐ฌ๐จ๐ฅ๐ฎ๐ญ๐๐ฆ๐๐ง๐ญ๐ ๐ฌ๐ฎ๐ฆ๐๐๐ฅ๐
b)
๐ฟ(๐) =๐
๐ โ๐๐โ๐๐๐โ๐
, ๐ฒ ๐[๐] ๐๐๐ฌ๐จ๐ฅ๐ฎ๐ญ๐๐ฆ๐๐ง๐ญ๐ ๐ฌ๐ฎ๐ฆ๐๐๐ฅ๐
Resoluciรณn:
Apartado a)
Descomposiciรณn en fracciones parciales, hemos de encontrar las raรญces del denominador:
1 โ5
2๐งโ1 + ๐งโ2 = 0
2๐ง2 โ 5๐ง + 2 = 0
๐ง =5 ยฑ โ25 โ 4 ยท 2 ยท 2
4=5 ยฑ โ9
4=5 ยฑ 3
4= {
๐ง1 = 2
๐ง2 =1
2
Con lo que
๐(๐ง) =1 โ 2๐งโ1
1 โ52 ๐ง
โ1 + ๐งโ2=
1 โ 2๐งโ1
(1 โ 2๐งโ1) (1 โ12 ๐ง
โ1)
Que observamos se puede simplificar. Con lo que ya queda en fracciones simples, es decir:
๐(๐ง) =1
(1 โ12 ๐ง
โ1)
Como el enunciado nos dice que es absolutamente sumable, nos estรก diciendo que tiene transformada de
Fourier, en consecuencia su ROC debe ser |๐ง| >1
2 (este es el รบnico polo que queda, el otro ha sido
simplificado y por tanto no es un polo). En definitiva es una secuencia a derecha, cuya secuencia sabemos
serรก de la forma
๐ฅ[๐] = (1
2)๐
๐ข[๐]
Apartado b) Nos piden hagamos la divisiรณn larga, recuerda tenemos dos posibilidades de hacer la divisiรณn, de
ahรญ, que nos digan es a derecha, luego hemos de hacer la divisiรณn colocando el numerador y el denominador
en orden decreciente de z.
Por tanto en este caso:
1 โ1
2๐งโ1 [1 +
1
2๐งโ1
Al hacer la divisiรณn obtenemos
18
Apartado b)
Obtengamos las raรญces del denominador
๐ง โ1
4โ1
8๐งโ1 = 0
8๐ง2 โ 2๐ง โ 1 = 0
๐ง =2 ยฑ โ4 โ 4 ยท 8 ยท (โ1)
16=2 ยฑ โ36
16=2 ยฑ 6
16= {
๐ง1 =1
2
๐ง2 = โ1
4
De esta forma y operando, para que quede en funciรณn de las fracciones simples conocidas, tenemos
๐(๐ง) =3
๐ง โ14โ18๐งโ1
=3๐งโ1
(1 +14๐งโ1) (1 โ
12๐งโ1)
La cual vamos a descomponer en:
3๐งโ1
(1 +14 ๐ง
โ1) (1 โ12 ๐ง
โ1)=
๐ด
1 +14 ๐ง
โ1+
๐ต
1 โ12 ๐ง
โ1
Donde resolviendo obtenemos ๐ด = โ4 y ๐ต = 4.
Con lo que la secuencia pedida, ya que es absolutamente sumable por tanto su ROC |๐ง| >1
4, serรก
๐ฅ[๐] = โ4(1
4)๐
๐ข[๐] + 4 (1
2)๐
๐ข[๐]
14. Considere las siguientes funciones de sistema para sistemas LTI estable. Sin utilizar la transformada z
inversa, determine en cada caso si el sistema correspondientes es causal o no.
a)
๐ โ ๐๐๐โ๐+
๐๐๐โ๐
๐โ๐ (๐ โ๐๐๐
โ๐) (๐ โ๐๐๐
โ๐)
b)
๐ โ๐๐
๐๐ +๐๐๐ โ
๐๐๐
c) ๐ + ๐
๐ +๐๐ โ
๐๐๐
โ๐ โ๐๐๐
โ๐
Sol:
a) No causal b) Causal c) No causal
19
Resoluciรณn:
Para que un sistema sea causal la ROC de la transformada z de su respuesta impulsional es el exterior de un
cรญrculo, incluyendo el infinito.
Por otro lado, como el enunciado nos dice que el sistema ademรกs es estable la ROC debe incluir al cรญrculo
unidad.
En definitiva debemos evaluar la ROC de cada caso y responder a si es o no causal.
Para obtener la ROC hemos de obtener los polos.
Apartado a)
En este primero se observa que ๐งโ1 = 0 serรก un polo, es decir ๐ง = โ. Por tanto al tener un polo en el
infinito es un sistema NO CAUSAL, y ya no hace falta seguir.
Apartado b)
Si resolvemos
๐ง2 +1
2๐ง โ
3
16= 0
Obtenemos como polos ๐ง1=1
4 y ๐ง2=โ
3
4. Como ademรกs es estable la ROC incluye al cรญrculo unidad luego su
ROC es |๐ง| >1
4, incluyendo el infinito, por tanto es CAUSAL.
Apartado c)
๐ง +4
3โ1
2๐งโ2 โ
2
3๐งโ3 = 0
Si resolvemos (aplicar Ruffini) encontramos un polo en ๐ง=4
3, como es estable debe incluir al cรญrculo unidad
luego su ROC |๐ง| <3
4 (para que lo incluya), y por tanto es la ROC de un sistema NO CAUSAL.
15. Suponga que se nos proporciona los siguientes cinco datos acerca de un sistema LTI S particular con
respuesta al impulso ๐[๐] y transformada z ๐ฏ(๐);
๐[๐] es real.
๐[๐] es derecha. ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐ฏ(๐) = ๐
๐ฏ(๐) tiene dos ceros.
๐ฏ(๐) tiene uno de sus polos en una ubicaciรณn no real en el cรญrculo definido por |๐| =๐
๐.
Responda a las siguientes preguntas:
ยฟEl sistema S es causal?. b) ยฟEs estable?
Sol:
a)Sรญ, b) Sรญ
20
Resoluciรณn:
La condiciรณn 3, nos indica que en ๐ง = โ, ๐ป(๐ง) es una cantidad finita, por tanto no tiene un polo en el
infinito, en consecuencia PUEDE ser CAUSAL.
Si a la condiciรณn 3, le aรฑadimos la condiciรณn 2, es a derecha, su ROC es el exterior de un cรญrculo que por 3,
incluye al infinito por tanto ES CAUSAL.
Por ser causal y por 3, los polinomios en z del numerador y del denominador, tiene que tener el mismo
grado. Por tanto, si 4 nos dice que tenemos dos ceros, necesariamente tendremos dos polos.
Por 1, se nos dice que la respuesta impulsional es real, luego los polos y los ceros deben ser pares
conjugados. En definitiva tendrรกn el mismo mรณdulo, por tanto, si conocemos que un polo estรก en el cรญrculo
de |๐ง| =3
4, el otro tambiรฉn, por tanto, su ROC teniendo en cuenta las condiciones anteriores es |๐ง| >
3
4, por
tanto incluye al cรญrculo unidad y serรก ESTABLE.
16. Considere una seรฑal ๐[๐] que estรก relacionada con dos seรฑales ๐๐[๐] y ๐๐[๐] mediante
๐[๐] = ๐๐[๐ + ๐] โ ๐๐[โ๐ + ๐]
Donde
๐๐[๐] = (๐
๐)๐
๐[๐] ๐ฒ ๐๐[๐] = (๐
๐)๐
๐[๐]
Dado que:
๐๐๐[๐] ๐ป๐โ
๐
๐ โ ๐๐โ๐, |๐| > ๐
use las propiedades de la transformada z para determinar la transformada z ๐(๐) de ๐[๐]
Resoluciรณn:
Teniendo en cuenta los datos conocemos la TZ de las secuencias ๐ฅ1[๐] y ๐ฅ2[๐], a saber:
๐1(๐ง) =1
1 โ12 ๐ง
โ1, |๐ง| >
1
2
๐2(๐ง) =1
1 โ13 ๐ง
โ1, |๐ง| >
1
3
Aplicando la propiedad de desplazamiento tenemos
๐ฅ1[๐ + 3]๐๐โ ๐ง3๐1(๐ง) =
๐ง3
1 โ12 ๐ง
โ1, |๐ง| >
1
2
Para obtener ๐ฅ2[โ๐ + 1], primero desplazamos ๐ฅ2[๐ + 1], por tanto su TZ, seรก
๐ฅ2[๐ + 1]๐๐โ๐(๐ง) = ๐ง๐2(๐ง) =
๐ง
1 โ13 ๐ง
โ1, |๐ง| >
1
3
Y a continuaciรณn invertir, que por propiedades sabemos que:
21
๐ฅ[โ๐]๐๐โ ๐(๐งโ1), |๐ง| <
1
๐
Por tanto en nuestro caso
๐ฅ2[โ๐ + 1]๐๐โ ๐(๐งโ1) =
๐งโ1
1 โ13๐ง, |๐ง| < 3
La TZ de la convoluciรณn es el producto de las TZโs de cada una de las secuencias que intervienen y ademรกs su
ROC es la intersecciรณn, por tanto, el resultado pedido es:
๐(๐ง) = (๐ง3
1 โ12๐งโ1
)(๐งโ1
1 โ13๐ง) =
๐ง2
(1 โ12๐งโ1) (1 โ
13๐ง)
Con ROC 1
2< |๐ง| < 3
17. Considere un sistema LTI con respuesta al impulso
๐[๐] = {๐๐, ๐ โฅ ๐๐, ๐๐๐๐๐
y la entrada
๐[๐] = {๐, ๐ โค ๐ โค ๐ตโ ๐๐, ๐๐๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐
Determine la salida ๐[๐] mediante la evaluaciรณn explicita de la convoluciรณn discreta de ๐[๐] y ๐[๐]
Determine la salida ๐ฒ[๐ง] mediante el cรกlculo de la TZ inversa del producto de las transformadas z de la
entrada y la respuesta a la muestra unitaria.
Resoluciรณn:
Apartado a)
Resolviendo la convoluciรณn discreta:
๐ฆ[๐] = โ ๐ฅ[๐]โ[๐ โ ๐]
โ
๐=โโ
= โ [๐ข[๐] โ ๐ข[๐ โ ๐]]๐๐โ๐๐ข[๐ โ ๐]
โ
๐=โโ
== โ ๐๐โ๐๐ข[๐ โ ๐]
๐โ1
๐=0
De tal forma que
๐ฆ[๐] =
{
0 ๐ < 0
โ๐๐โ๐๐
๐=0
0 โค ๐ โค ๐ โ 1
โ ๐๐โ๐๐โ1
๐=0
๐ > ๐ โ 1
Realizando las sumas
22
๐ฆ[๐] =
{
0 ๐ < 0๐๐ โ ๐โ1
1 โ ๐โ10 โค ๐ โค ๐ โ 1
๐๐ โ ๐๐โ๐+1๐โ1
1 โ ๐โ1=๐๐(1 โ ๐โ๐)
1 โ ๐โ1๐ > ๐ โ 1
Apartado b)
Tenemos
๐ป(๐ง) =1
1 โ ๐๐งโ1, |๐ง| > |๐|
Por otro lado la secuencia de entrada es de duraciรณn finita, su ROC todo el plano
๐(๐ง) = โ ๐งโ๐๐โ1
๐=0
=1 โ ๐งโ๐+1๐งโ1
1 โ ๐งโ1=1 โ ๐งโ๐
1 โ ๐งโ1
Por tanto
๐(๐ง) = ๐ป(๐ง)๐(๐ง) = (1
1 โ ๐๐งโ1)(1 โ ๐งโ๐
1 โ ๐งโ1) , |๐ง| > |๐|
Se trata pues de una secuencia definida a derecha, operando tenemos:
๐(๐ง) = ๐ป(๐ง)๐(๐ง) =1
(1 โ ๐๐งโ1)(1 โ ๐งโ1)โ
๐งโ๐
(1 โ ๐๐งโ1)(1 โ ๐งโ1), |๐ง| > |๐|
Si llamamos ๐(๐ง) =1
(1โ๐๐งโ1)(1โ๐งโ1), entonces ๐(๐ง) = ๐(๐ง) โ ๐งโ๐๐(๐ง), y la secuencia ๐ฆ[๐], vendrรก dada
por ๐ฆ[๐] = ๐[๐] โ ๐[๐ โ ๐] (hemos aplicado la propiedad de desplazamiento de la TZ.
Por tanto hemos de obtener la transformada de Fourier inversa de ๐(๐ง). Si descomponemos en fracciones
simples, obtenemos:
๐(๐ง) =
1(1 โ ๐)โ
1 โ ๐งโ1+
1(1 โ ๐โ1)โ
1 โ ๐๐งโ1
Entonces tenemos
๐[๐] =1
(1 โ ๐)๐ข[๐] +
1
(1 โ ๐โ1)๐๐๐ข[๐]
Simplificando, nos queda
๐[๐] = โ๐โ1
(1 โ ๐โ1)๐ข[๐] +
1
(1 โ ๐โ1)๐๐๐ข[๐] =
1
(1 โ ๐โ1)[๐๐ โ ๐โ1]๐ข[๐]
En definitiva
๐ฆ[๐] = ๐[๐] โ ๐[๐ โ ๐] ==1
(1 โ ๐โ1)[๐๐ โ ๐โ1]๐ข[๐] โ
1
(1 โ ๐โ1)[๐๐โ๐ โ ๐โ1]๐ข[๐ โ ๐]
En definitiva
23
Para ๐ < 0 , la salida serรก cero.
Para 0 โค ๐ โค ๐ โ 1, serรก el valor 1
(1โ๐โ1)[๐๐ โ ๐โ1]
Para ๐ > ๐ โ 1, la salida vendrรก dada por 1
(1โ๐โ1)[๐๐ โ ๐โ1] โ
1
(1โ๐โ1)[๐๐โ๐ โ ๐โ1] =
1
(1โ๐โ1)[๐๐ โ ๐โ1 โ ๐๐โ๐ + ๐โ1]=
๐๐(1โ๐โ๐)
1โ๐โ1
En resumen (por tanto coinciden)
๐ฆ[๐] =
{
0 ๐ < 0๐๐ โ ๐โ1
1 โ ๐โ10 โค ๐ โค ๐ โ 1
๐๐(1 โ ๐โ๐)
1 โ ๐โ1๐ > ๐ โ 1
18. Determine la funciรณn del sistema para el sistema LTI causal con ecuaciรณn en diferencias
๐[๐] โ๐
๐๐[๐ โ ๐] +
๐
๐๐[๐ โ ๐] = ๐[๐]
Resoluciรณn:
Sea ๐(๐ง), la transformada z de ๐ฆ[๐], entonces y aplicando la propiedad de desplazamiento tenemos que:
๐(๐ง) โ1
2๐งโ1๐(๐ง) +
1
4๐งโ2๐(๐ง) = ๐(๐ง)
๐(๐ง) (1 โ1
2๐งโ1 +
1
4๐งโ2) = ๐(๐ง)
Como en un sistema LTI ๐(๐ง) = ๐ป(๐ง)๐(๐ง), entonces se verifica que
๐ป(๐ง) =๐(๐ง)
๐(๐ง)
Por tanto en nuestro caso
๐ป(๐ง) =๐(๐ง)
๐(๐ง)=
1
1 โ12 ๐ง
โ1 +14 ๐ง
โ2
Para acabar de responder al apartado a) sรณlo nos falta determinar la ROC, para ello hemos de obtener los
polos, si resolvemos los polos vienen dados por:
๐ง =1
4ยฑ ๐
โ3
4
Tomando su mรณdulo
|๐ง| = โ1
16+3
16= โ
1
4=1
2
Como el enunciado nos dice que la respuesta impulsional es causal, se nos estรก indicando que la ROC debe
incluir el infinito, por tanto su ROC es |๐ง| >1
2