Download - Ejercicios Resueltos Kassimali Grupo 231
DINÁMICAIC - 244
UNVIERSIDAD NACIONAL DE SAN CRISTÓBAL DE HUAMANGAINGENIERÍACIVIL
MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS
SOLUCIONARIO DE EJERCICIOS
RESPONSABLES
GÓMEZ CHUCHÓN, ESTEBAN
CORONADO SAAVEDRA, JUAN CARLOS
DAS / KASSIMALI / SAMI
AYACUCHO - PERÚ
II PRÁCTICA DOMICILIARIA
Indice
1. Cinetica de las partıculas: 2
1.1. Segunda ley del movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . 2
2. Cinetica de las partıculas: 5
2.1. Trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
3. Cinematica de los cuerpos rıgidos 7
3.1. Velocidades absoluta y relativa . . . . . . . . . . . . . . . . 7
4. Cinematica de los cuerpos rıgidos 10
4.1. Ecuacion del trabajo y energıa para un sistema de partıculas 10
5. Cinetica plana de un cuerpo rıgido 12
5.1. Impulso y cantidad de movimiento . . . . . . . . . . . . . . 12
6. Cinetica de las partıculas 15
6.1. Trabajo y energıa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
7. Cinetica de las partıculas 17
7.1. Segunda ley del movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . 17
8. Cinetica de las partıculas 20
8.1. Impulso y momentum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9. Cinetica de las partıculas 22
9.1. Segunda ley del movimiento de Newton . . . . . . . . . . . . 22
Ingenierıa Civil
1. Cinetica de las partıculas:
1.1. Segunda ley del movimiento de Newton
Ejercicio 1.
Un grupo de dos carros y remolcador, que estan inicialmente enreposo, comienzan a moverse hacia abajo de un plano inclinado a100 como se ilustra. Despreciando la friccion entre las ruedas de loscarros y la superficie, determine:
1 La aceleracion de los carros.
2 Las tensiones en los coples que unen los carros.
10º
325kg
200kg
450kg
Solucion
1 La aceleracion de los carros.
i. Haciendo el diagrama de cuerpo libre (D.C.L.) en los carros yremolque.
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Ingenierıa Civil
10º
carros
remolque
ii. Para que los carros se pongan en marcha, el remolcador debe desa-rrollar una fuerza F = m3g sin θ, entonces hallamos la aceleracionde los carros: ∑
F = mTa (1)
Donde : mT
= m1 +m2 +m3
iii. Reemplazando datos:∑F = m
Ta
(450)(9.81) sin 10 = (200 + 225 + 450)a
a =766.570
875
a = 0.876 [m
s2]
2 Las tensiones en los coples que unen los carros.
i. Calculamos las tensiones con∑F = F − T
i= ma (2)
ii. Para T1 .
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Ingenierıa Civil
m3g sin θ − T1 = 450(0.875)
T1 = 372.37 [N ]
iii. Para T1 .
T2 = m1a
T2 = 200(0.876)
T2 = 175.2 [N ]
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2. Cinetica de las partıculas:
2.1. Trabajo y energıa
Ejercicio 2.
En un carro carbonero que pesa 60 toneladas parte del reposoen la posicion que se ilustra y se mueve en descenso sobre unapendiente de 20. La resistencia de las ruedas al rodamiento es de0.001 por la componente normal del peso. Determine la constantede resorte que se requiere en el, parachoques para detener el carrodespues de un desplazamiento de 15 pulg.
100pies
k
2º
Solucion
i. Se ilustra el diagrama de cuerpo libre del tren.
100pies
2º
ii. Suponemos que en el punto B el tren se detiene, entonces: VBFINAL= 0
iii. Entonces utilizaremos la relacion Trabajo y Energıa, es decir∑UA→B = TB − TA (3)
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DondeTB =: Energıa cinetica en B.TA =: Energıa cinetica en A.
iv. Como el bloque parte del seporo en el punto A y llega tambien al reposoen el punto B. Por tanto la energıa cinetica es cero.
TB − TA = 0 (4)
Entonces la expresion sera:∑UA→BTOTAL
= 0
UA→BFRICCION+ UA→BRESORTE
+ UA→BNORMAL= 0
NOTA a. El trabajo que realiza la friccion es negativo, porque es opuesto almovimiento.
b. De igual forma el trabajo que realiza la fuerza elastica.
c. El trabajo que realiza la normal es cero, puesto que es perpendicularal movimiento.
v. Entonces tenemos:
mg sin θ(10 + 1.25)− µmg cos θ(10 + 1.25) =1
2κ(1.25)2
Con:
θ = 20, mg = w = 60, µ = 0.001
Reemplazando los datos, tenemos:
60 · sin 20(10 + 1.25)− (0.001)(6)(cos 20)(100 + 1.25) =1
2κ(1.25)2
Resolviendo y despejando κ, se tiene:
κ = 193.71 [ton
pies]
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3. Cinematica de los cuerpos rıgidos
3.1. Velocidades absoluta y relativa
Ejercicio 3.
Un eslabon CD esta guiado por dos bloques A y B que se muevenen ranuras, como se muestra. El bloque A se muestra hacia aladerecha a 5 m/s. Determine la velocidad de la punta C del eslabonen el instante en que θ = 350.
8m
2m
1m
35º
Solucion
i. Como el movimiento del bloque A esta definido completamente comoVA = 5i, la velocidad del punto C puede expresarse con la ecuacion:
VC = VA + VC/A
VC = 5i+ ω · rC/A (5)
En donde rC/A = (10 cos 350)i+ (10 sin 350)j
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ii. Para hallar la velocidad angular ω necesitamos hallar VB, entoncespodemos escribir ası:
VB = VA + VB/A
VB = VA + ω × rB/A
VBj = 5i+ ωk × [(8 cos 350)i+ (8 sin 350)j]
VBj = (5− 8ω sin 350)i+ (8ω cos 350)j (6)
Como la velocidad del bloque B no tiene componente x, se tiene porlas componentes y
5− 8ω sin 350
Y resolciendo para la velocidad angular ω
ω =5
8 sin 350= 1.09
rad
s
ω = 1.09rad
s
A
D
BC
iii. Sustituyendo ω en la ecuacion (5) se obtiene la velocidad del punto Ccomo:
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VC = 5i+ 1.09k × [(10 cos 350)i+ (10 sin 350)j]
VC = 5i+ (8.93j − 6.25i)
VC = −1.25i+ 8.93j
iv. Ası, la magnitud de la velocidad en el punto C es
VC = (1.252 + 8.932)1/2
VC = 9.02 [m
s]
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4. Cinematica de los cuerpos rıgidos
4.1. Ecuacion del trabajo y energıa para un sistema de partıculas
Ejercicio 4.
Un tren de seis carros de la montana rusa se mueve a lo largode un tramo de vıa horizontal. Cada carro pesa 500 lb. Determinela altura h de elevacion del punto A al punto B que el tren puedeascender si transita en el punto A a una velocidad de 50 pies/s.
1 Si es despreciable la friccion en la vıa.
2 Si las perdidas debidas a la friccion de rodamiento y tiro, entre
A y B, son aproximadamente iguales a 10000 pies · lb.
MONTAÑA RUSA CIVIL #1
MONTAÑA RUSA CIVIL
#1
MONTAÑA RUSA CIVIL #2
MONTAÑA RUSA CIVIL
#2
MONTAÑA RUSA CIVIL #3
MONTAÑA RUSA CIVIL#3
MONTAÑA RUSA CIVIL #4
MONTAÑA RUSA CIVIL #4
MONTAÑA RUSA CIVIL #5
MONTAÑA RUSA CIVIL #5
MONTAÑA RUSA CIVIL #6
MONTAÑA RUSA CIVIL #6
50pies/sA
B
Solucion
1 Si es despreciable la friccion en la vıa.
i. El tren llegara a pasar por el punto B si la velocidad de su sucentro de masa llega al valor cero en B, ası, VB = 0. Por lo tanto,la energıa cinetica del sistema de seis carros es, en A.
TA =1
2
6∑i=1
miv2i
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TA =1
2
6∑i=1
Wi
gv2A
y en B (vB
= 0),
TB = 0
ii. el trabajo efectuado por el peso total del sistema es.
UA→B = −(1
2
6∑i=1
Wi)h = −6Wh
La ecuacion de trabajo-energıa cinetica (TA +UA→B = TB) para elsistema se convierte en
1
2[6W
g]v2
A− 6Wh = 0
Eliminando W y resolviendo para h,
h =v2A
2g=
502
2(32.2)
h = 38.8 [pies]
2 Si las perdidas debidas a la friccion de rodamiento y tiro, entre A y B,
son aproximadamente iguales a 10000 pies · lb.
i. El trabajo efectuado entre A y B incluira tambien al trabajo delas fuerzas de friccion que se oponen al movimiento, Ası,
UA→B = −6Wg − 10000
ii. y la ecuacion del trabajo-energıa cinetica se convierte en
1
2[6W
g]v2
A− 6Wh− 1000 = 0
ii. y se encuentra que
h =v2A
2g− 10000
6W=
502
2(32.29− 10000
6(500)
h = 35.5 [pies]
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5. Cinetica plana de un cuerpo rıgido
5.1. Impulso y cantidad de movimiento
Ejercicio 5.
La barra de 10 lb esta colgada de pasador en A, Tal como semuestra. Si se lanza una bola B de 2 lb contra la barra y chocacon su centro a una velocidad de 30 pies/s, determine la velocidadangular de la barra justo despues del impacto. El coeficiente derestitucion es e = 0.4.
1.5pies
A
30pies/s
1.5pies
Solucioni. Por conservacion de la cantidad de movimiento angular, considerando
la bola y la barra como un sistema como en la Figura (b). Sabemos quela cantidad de movimiento en el punto A se conserva, porque la fuerzaimpulsadora es interna, entonces haciendo
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Ay
A
10lb
Ax
1.5pies
2lb
(b)
(HA)1 = (HA)2
mB(vB)1(1.5pies) = mB(vB)2(1.5pies) +mR(vG)2(1.5pies) + IGω2
(2lb
32.2pies/s2)(30pies/s)(1.5pies) = (
2lb
32.2pies/s2)(vB)2(1.5pies)+
10lb
32.2pies/s2(vG)2(1.5pies) + [
1
2
10lb
32.2pies/s2(3pies)2]
ii. Como (vG)2(1.5ω2) entonces
2.795 = 0.09317(vB)2 + 0.9317ω2 (7)
iii. Hallando el coeficiente de restitucion de la Figura (c), despues del cho-que tenemos.
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e =(vG)2 − (vB)2(vB)1 − (vG)1
0.4 =(1.5pies)ω2 − (vB)2
90pies/s− 0
12.0 = 1.5ω2 − (vB)2
1.5pies
A
=30pies/s
2
GB
(vB)1
(vB)2
(vG)2
(c)
iv. Al resolver, tenemos
(vB)2 = −6.52pies/s = 6.52pies/s
ω2 = 3.65[rad
s]
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6. Cinetica de las partıculas
6.1. Trabajo y energıa
Ejercicio 6.
Una caja de carton con peso W se separa de una banda trans-portadora con una velocidad v y para sobre una transicion lisa dearco circular a una superficie lisa inclinada 450, como se muestra.Determine la velocidad v que se requiere en el transportador paraque se mueva la caja hacia arriba de la superficie inclinada unadistancia H. La velocidad v debera expresarse en funcion de H, Ry g.
Solucion
i. Hallando A:
A = Rsin 450
sin 67.50
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ii. Aplicando la conservacion de la energıa mecanica en M y N :
EMM = EMN
1
2mv2 = mg(
H√2
+ A sin 22.50)
v2 = 2 · g(H√
2+
sin 450
sin 67.50R sin 22.50)
v2 = 2 · g(H√
2+R sin 450 tan 22.50)
v =
√2g(
H√2+R · 0.293)[ m
s]
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7. Cinetica de las partıculas
7.1. Segunda ley del movimiento de Newton
Ejercicio 7.
Determine el angulo α de la inclinacion del banco de una carre-tera curva de 180 m de radio que se necesita para que un vehıculopueda transitar a velocidad constante de 100 km/h sin tendencia adeslizarse lateralmente .
r
ra a
Solucion
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R
i. Aplicando∑
Fy = 0
N cos θ −mg = 0
N =mg
cosα(8)
ii. Aplicando la segunda ley de Newton para el movimiento:
∑F = ma
N sinα = mv2
R(9)
iii. Reemplazando, tenemos
mg
cosαsinα = m
v2
R
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tanα =v2
gR
α = arctan(v2
gR)
α = arctan(1002
9.8 · 180)
α = 79.9960
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8. Cinetica de las partıculas
8.1. Impulso y momentum
Ejercicio 8.
Un automovil de 2000 lb que viaja hacia el este choco con otroauto de 3000 lb que iba hacia el norte. El choque de los dos autosocurrio a una velocidad que da la expresion v = 30i + 20j (pies/s).Determine la velocidad de cada uno de los autos antes del choque.
Solucion
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i. Por propiedad de choques2000vxi+ 3000vyj = 5000 · (30i+ 20j)
ii. Igualando miembro a miembro
vx · 2000 = 5000 · 30i
vx = 75i
iii. Resolviendo para vy
vy · 3000 = 5000 · 20j
vy =100
3j
∴
vA = 75i [pies
s]
vAB = 733.333j [pies
s]
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9. Cinetica de las partıculas
9.1. Segunda ley del movimiento de Newton
Ejercicio 9.
El remolque B se esta subiendo por un plano inclinado a 100 pormedio de la camioneta A a la velocidad de constante de 65 km/h,cuando se rompe subitamente el cable de tiro. Determine la velo-cidad del remolque despues de 5 s. Desprecie la friccion.
10º
AB
Solucion
i. En primer lugar tenemos
∑F = ma⇒ a =
−w sin 100
m=−mg sin 100
m
a = −g sin 100 [m
s]
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10º
AB
10º
ii. Aplicando ecuaciones diferenciales para encontrar la velocidad de los 5soportes
x =
∫f(t)
mdt
x =
∫ 5
0
−g sin 100dt
x = −g sin 100
∫ 5
0
dt
x = −g sin 100[t]|50
x = −g sin 100[5− 0]
x = −g sin 100[5]
x = −9.98(0.174)(5)
x = −8.683 [m
s]
x = −31.25 [km
h]
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