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8/12/2019 Ejercicios Resueltos Calculo III
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Ejercicios Resueltos de Clculo III.
1.- Considere y .
a) Demuestre que las rectas dadas se cortan. Encuentre el punto de interseccin.Solucin:
b) Encuentre una ecuacin del plano que contiene a esas rectas.Solucin:
Como las rectas de cortan resulta que determinan un plano. Consideremos el punto de
interseccin que pertenecer al plano buscado. Necesitamos el vector normal al plano.
Lo podemos hallar con:
2.- Demuestre, usando el producto triple escalar, que los cuatro puntos
, son coplanarios.
Solucin:
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3.- Demuestre que la distancia entre planos paralelos y
viene dada por la frmula:
Solucin:
La distancia entre ambos planos y vendr dada por la distancia de a , donde:
4.- Considere el plano dado por y la recta de ecuacin
. Determine el valor de tal que el plano y la recta sean paralelas.
Solucin:
5.- Determine un punto que equidista (es decir, que se encuentra a la misma distancia) del
plano y el punto .
Solucin:
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6.- Calcule el volumen de la regin limitada por el cono y el paraboloide
.
Solucin:
7.- Determine el valor de , si y .
Solucin:
8.-Obtenga el trabajo realizado por la fuerza , para mover una
partcula desde el punto al a lo largo de la curva .
Solucin:
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9.- Calcule la integral de lnea , siendo el contorno de la
regin rectangular cerrada, con vrtices en los puntos y .
Solucin:
10.- Demuestre que:
Solucin:
11.- Encuentre un vector perpendicular al plano determinado por y
. Encuentre el rea del triangulo .
Solucin:
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12.- Considere los planos . Encuentre las
ecuaciones paramtricas, si existen, para la interseccin.
Solucin:
13.- Sean y , las ecuaciones de una recta y un
plano respectivamente.
a) EncontrarSolucin:
b) Determinar la ecuacin de la recta contenida en , que pasa por , y esperpendicular a .
Solucin:
14.- Encontrar sabiendo que: y .
Solucin:
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15.- Dados los planos Encuentre la ecuacin
vectorial de la recta determinada por la interseccin de los planos y
Solucin:
16.- Dada la curva y el punto . Hallar la ecuacin de la
recta tangente en dicho punto.
Solucin:
17.- Dados los vectores . Encuentre el volumen del
paraleleppedo con lados adyacentes .
Solucin:
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Derivando implcitamente respecta a :
Derivando implcitamente respecto a x de nuevo:
Cuando e :
As, reemplazando en la frmula:
22.- La masa de un cuerpo laminar se describe por , donde se
muestra en la figura:
a) Usando el cambio de variables: , graficar el dominio del planoSolucin:
Haciendo el cambio de variable, tenemos:
Observe que la transformacin dada es la inversa de .
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b) Aplicando el teorema del cambio de variables, calcular usando las variablesSolucin:
23.- Encontrar el volumen del slido limitado por:
Solucin:
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24.- Sea . Demuestre que es independiente de
la trayectoria que pasa por dos puntos dados.
Solucin:
25.- Use coordenadas cilndricas para hallar el volumen de la regin encima del plano y el
cilindro .
Solucin:
26.- El rea de una hoja es de . Se desea escribir un texto, el cul debe estar centrado
con mrgenes de a ambos lados y arriba y abajo. Determine cules son el largo y
el ancho que maximizan el rea del texto.
Solucin:
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27.- Sea . Calcule .
Solucin:
28.- Determine el volumen del slido acotado por las curvas , ,
.
Solucin:
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29.- Si , donde ; y tiene derivadas parciales continuas de segundo
orden, pruebe que:
Solucin:
30.- Calcule el mximo de la funcin sobre la curva de interseccin
del plano con el cilindro .
Solucin:
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As,
31.- Cambie el orden de integracin y calcule la siguiente integral:
Solucin:
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32.- Escriba en coordenadas rectangulares, cilndricas, esfricas la integral:
Solucin:
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33.- Encuentre el valor de la derivada direccional de la funcin en el
punto en la direccin que va desde hasta el punto .
Solucin:
34.- Si , determine el valor de la expresin:
Solucin:
35.- Calcule el ngulo entre los gradientes de las funciones y
en el punto .
Solucin:
36.- Determine la ecuacin del plano tangente a la superficie en el
punto .
Solucin:
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37.- Encuentre los valores extremos de la funcin si est en la elipse
.
Solucin:
38.- Use integrales triples para calcular el volumen del slido que est dentro del cilindro
y en el elipsoide .
Solucin:
39.- Considere la funcin . Determine el o los mximos y
mnimos si es que existen de la funcin dada.
Solucin:
Puntos crticos:
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Evaluando:
40.- Verifique el Teorema de Green para , donde es la
frontera, tomada con orientacin positiva, de la regin acotada por las grficas y
.
Solucin:
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41.- La ecuacin de estado de un Gas Ideal est dada por , donde y son
constantes. Considere el volumen como una funcin de la tempratura y la presin .
a) CalculeSolucin:
b) Demuestre queSolucin:
42.- Sea . Calcule la integral usando el
cambio de variable .
Solucin:
As, el cambio de variable transformar la regin del plano , encerrada por las rectas
dadas en la regin del plano encerrada por .
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43.- Hallar el volumen de la regin slida formada por la interseccin de la esfera
con el cilindro .
Solucin:
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44.- Demuestre que:
Solucin:
45.- Calcular el rea de la superficie dada por:
Solucin:
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46.- Si y entonces:
Solucin:
47.- Hallar la mxima distancia al origen de la recta obtenida al interceptar los planos
.
Solucin:
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48.- Determine el volumen del slido limitado por las curvas
.
Solucin:
49.- Encuentre el volumen de la regin limitada por el plano y el paraboloide
.
Solucin:
50.- Calcular el rea comprendida entre las curvas
Solucin:
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51.- Sea , donde y . Determinar
el valor de la integral.
Solucin:
52.- Determinar el rea de la superficie de la esfera interior a
.
Solucin:
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53.- Sea . Encuentre el plano tangente, si existe, a la
superficie en el punto .
Solucin:
Como y son funciones diferenciables en , entonces es
diferenciable en (sus derivadas parciales existen y son continuas).
Luego es diferenciable en y:
As, el plano tangente a en est dado por:
54.- Encontrar la derivada direccional de la divergencia de en el punto en la
direccin de la normal exterior a la esfera , donde
.
Solucin:
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55.- Permutar el orden de integracin de:
Solucin:
56.- Sea un campo escalar y un campo vectorial dado por
. Suponga que existen las derivadas parciales y que stas son
continuas. Demuestre que:
Solucin:
57.- Use coordenadas polares para combinar la suma dentro de una integral doble y
resuelva:
Solucin:
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58.- Utilice el Teorema de Green para evaluar la integral de lnea a lo largo de la curva
orientada de manera positiva:
Donde consiste del segmento de recta que va desde a y de la curva
con .
Solucin:
Se tiene, usando el Teorema de Green en el plano:
Aqu:
Se tiene:
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59.- Determine el volumen del slido que est encima del cono y debajo de la esfera
.
Solucin:
60.- Demuestre que la integral de lnea dada es independiente de la trayectoria y evale la
integral.
Donde es cualquier trayectoria que va desde hasta .
Solucin:
Es decir, existe con . As, la integral es independiente de la trayectoria se tiene:
Integrando con respecto a se tiene:
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Se tiene:
61.- Dadas las funciones . Demostrar que las ecuaciones diferenciales
y se pueden escribir en coordenadas polares como:
Solucin:
62.- Calcular la derivada direccional de en el en la mxima direccin.
Solucin:
63.- Una caja rectangular descansa sobre el plano con un vrtice en el origen. Determinarel volumen mximo de la caja si su vrtice opuesto al origen pertenece al plano
.
Solucin:
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64.- Sea
a) Demuestre que es un campo conservativoSolucin:
b) Encuentran el potencial escalarSolucin:
c) Calcule donde est dada por:
Solucin:
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65.- Calcule , donde es la frontera de la regin situada entre las
grficas de y .
Solucin:
66.- Un alambre de longitud se divide en dos trozos de modo que con el primer trozo se
construye un cuadro y con el segundo una circunferencia. Determine la longitud de cada
trozo de modo que la suma de las reas de las figuras geomtricas sea mnima.
Solucin:
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67.- Sea . Determine el valor de , si existen, de modo que:
Solucin:
68.- Utilice el Teorema de Green para calcular la integral , donde
es la frontera de la regin situada en el interior del rectngulo limitado por
y en el exterior del cuadrado limitado por .
Solucin:
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69.- Calcular para , y la regin slida acotada por
los planos coordenados y el plano .
Solucin:
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70.- Calcular para y la porcin del
primer octante del plano .
Solucin:
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73.- Determine el volumen del slido cuya base es la regin del plano que limitan la
parbola y la recta , mientras que su tejado es el plano .
Solucin:
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74.- Al expresar el volumen situado por debajo del plano en cierta regin del
plano se obtuvo la siguiente suma de integrales iteradas:
Dibuje la regin y exprese mediante una integral iterada, en la cual se haya invertido el
orden de integracin.
Solucin:
75.- Calcular , siendo y la superficie
del cono encima del plano .
Solucin:
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76.- Calcular la integral , donde pertenece a
.
Solucin:
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77.- Determinar el exponente constante , de modo que:
Sea independiente de la trayectoria, si la funcin est definida en una regin simple
convexa.
Solucin:
Para que la integral sea independiente de su trayectoria es necesario que:
78.- Calcular , en que y es la frontera de la
regin .
Solucin:
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Por teorema de la divergencia:
Pero:
Aplicando coordenadas esfricas:
79.- Sea en que y , demuestre que:
Solucin:
Por teorema de Stokes:
Pero:
Anlogamente:
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80.- Dada la funcinbyaxeyxuz
+= ),( y 02
=
yx
u, halle los valores de la constante a y b,
tales que 02
=+
zy
z
x
z
yx
z.
Solucin:
byaxbyaxbyaxbyax
byaxbyax
byaxbyax
ey
uae
yx
uex
ubeyxabu
yx
z
ey
ueyxub
y
z
ex
ueyxua
x
z
++++
++
++
+
+
+=
+=
+=
22
),(
),(*
),(*
Por lo tanto
]
+
++=
+
+
+=
+
+
+=
+
+
+
++++++++
y
ua
x
ububaabe
uy
ubux
uauy
uax
ubabue
ueey
ubuee
x
uauee
y
uae
x
ubabue
zy
z
x
z
yx
z
byax
byax
byaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyaxbyax
)1()1()1(
)(
2
Por lo tanto,
01)1()1()1)(1(1
1
1
=+=+
=
=
baab
b
a
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81.- Determine los valores extremos de la funcin xzyzxyzyxf ++=),,( sobre la esfera
.3222 =++ zyx
Solucin:
Sea )3( 222 +++++= zyxxzyzxyF
(i.) 02 =++=
xzy
x
F
(ii.) 02 =++=
yzx
y
F
(iii.) 02 =++=
zxy
z
F
(iv.) 03222 =++=
zyx
F
De (i.) (ii.):
yx
Sixy
yxxy
=
=
=+
021;0)21()21(
022
De (i.)-(iii.)
xz
Sixz
zxxz
=
=
=+
021,0)21()21(
022
Reemplazando en (iv.): 03222 =++ xxx
1
1
1
=
=
=
z
y
x
Max: 3)1,1,1( =F
Min: 2)1,1,1( =F
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83.- Calcule la integral S
dSnF
* con )2,,( zyxF=
y Ses la superficie externa del slido
acotado por .0122 ==+ zyzyx
Solucin:
==
=++=
=
S R R
dvdvFdsnF
zyxzyx
F
4
4211)2,,(),,(
=
=
=
=
=
= =
=
24
1
2
18
)1()2(4
4
1
0
2
2
0
1
0
1
0
2
d
dddzz
84.- Calcule la integral de lnea +C
xyxydyxedxye , donde Ces la curva formada por los
siguientes segmentos de rectas:
Punto Inicial )1,2()2,1()2,1()1,2()1,2()2,1()2,1()1,2(
Punto Final
Solucin:
Como el campo asociado al diferencial es conservador, ya que
),()( xyxyxyxy yey
xyeexex
=+=
se tiene que la integral de lnea es independiente de la
trayectoria, y por lo tanto:
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2
2
1
1
2 12
e
edte
dyxedxyedyxedxye
t
xy
C
xy
C
xyxy
+==
+=+
+
Donde 11),,2()(:* = tttC
85.- Qu puede decir de
+*
,CC
xyxydyxedxye donde .11,2)(:* += tjtitrC
Solucin:
La integral de lnea es nula, ya que
0)(
* rConservadoCampoDdeGreenTeorema
xy
CC
xydAy
P
xdyxedxye =
=+
Donde D es la regin plana limitada por la curva cerrada *CC yxyxy xeyxQyeyxP == ),(,),(
86.- Calcular C dsnF
donde kxyjxyixzF
32 ++= y Ces la frontera de la parte del
plano 33 =++ zyx que est en el primer octante.
Solucin:
Por Teorema de Stokes, se tiene que:
dARy
gQ
x
gPdsnFrotdrF
C S D
+
==
Donde ),(33: yxgyxzS == orientada hacia arriba limitada por la curva C en el primer
octante. D es la proyeccin de S en el plano xy
RQP
kyjyxixFrot
2)3(3 ++=
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)92339(2
1)9
3
69
2
78(
2
1
)96978(2
1)91896060(
2
1
)2
)9189(3030()2
)33()33(10(
)2
10()10(
)10(
3232
1
0
1
0
222
1
0
221
0
2
1
0
21
0
33
0
xxxxxx
dxxxdxxxxx
dxxxxxdxxxx
yxydxdyyx
dAyxdrF
x
C D
==
=+=
+==
==
=
2
7)92339(
2
1==
87.- Determinar el valor de la integral , donde es la regin limitada por el
cilindro y los planos , arriba del plano .
Solucin:
88.- Evaluar, usando algn tipo de coordenadas, la integral:
Solucin:
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89.- Dado el campo vectorial . Es posible
afirmar que es nula si , definida por es una curva simple cerrada?
Solucin:
90.- Si calcule el trabajo realizado por al desplazar una particula a
lo largo del segmento de recta que va desde el punto al punto . Evale sin
utilizar una funcin de potencial.
Solucin:
91.- Si y , donde es constante, mostrar que:
Solucin:
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93.- Calcular:
Solucin:
94.- Determinar el volumen del slido limitado superiormente por , lateralmente
por , y debajo por el plano .
Solucin:
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95.- Calcular la integral para y .
Solucin:
Usando el teorema de la divergencia, se tiene:
96.- Hallar el plano tangente a la recta normal a la superficie en el punto
.
Solucin:
Sea . Entonces, el vector es normal a
la superficie . En particular, el vector normal a la superficie dada en el punto
, es .
97.- Dada , hallar el valor de la expresin .
Solucin:
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98.- Resolver la integral doble .
Solucin:
99.- Determinar el valor de la integral , donde es la frontera de
la regin encerrada por .
Solucin:
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100.- Hallar el valor de la integral , donde
y es la superficie de la esfera de centro el origen y radio .
Solucin: