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EJERCICIOS CAPITULO 1
Secciรณn 1.1
Ejercicio Nยบ 1
Sea S= ๐ โ(โ๐)๐
๐/๐ ๐บ ๐ต . Determinar sup S e Inf S.
Desarrollo.
Para determinar el Sup S e Inf S Probaremos cuando n es par y cuando n
es impar, para esto se harรก una tabla de valores.
1.- n es par 2.- n es impar
1 โ(โ1)๐
๐ 1 โ
(โ1)๐
๐
n par Sn n impar Sn
2 1 3 4/3
4 3/4 5 6/5
6 5/6 7 8/7
8 7/8 9 10/9
10 9/10 11 12/11
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
+โ +โ
Viendo la relaciรณn de la tabla anterior se puede determinar que el Sup S= 2 y el Inf S=1/2
Ejercicio Nยบ 2
Demostrar que el conjunto S = ๐ โ ๐น / ๐ โฅ ๐ tiene cotas inferiores pero no
superiores.
El conjunto S= ๐ฅ โ ๐ / ๐ฅ โฅ 0 tiene cotas inferiores y el conjunto de las cotas inferiores
es C= ๐ โ ๐ / ๐ โค 0
-โ 0 +โ
No estรก acotada superiormente por tanto no existe un ๐ โ ๐ / 0 โค ๐ฅ โค ๐ โ๐ฅ โ ๐
Ejercicio Nยบ 3
Sea๐บ โ ๐น ๐ ๐บ*= Sup de S suponiendo que ๐บโes y que ๐ โ S demostrar que el supremo
del conjunto S โช ๐ es el mayor de los dos nรบmeros ๐บ โy ๐.
Si ๐ โโ ๐ โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. Por hipรณtesis
Y ๐ โ = Sup S โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.. Por hipรณtesis
Sea ๐ โ ๐ โ ๐ > ๐ ^ ๐โ โ ๐ โ ๐ > ๐โ
Entonces 0โ ๐โ < ๐
De esta forma demostramos que S โช ๐ tiene un Sup el cual serรญa Sup S โช ๐ =๐ ya que
๐ > ๐โ
Ejercicio Nยบ 4
Sea ๐บ โ ๐น ๐ ๐ โ ๐บ es cota superior de S.
Demostrar que ๐ = ๐๐ข๐๐
0 ๐โ๐
Supongamos que ๐ โ ๐, como hipรณtesis ๐ es la cota superior de S, implica que
๐ > ๐ โ๐ โ ๐, lo cual contradice la hipรณtesis ya que ๐ es la cota superiorde S.
Por tanto: Si ๐ โ ๐ โ ๐ = ๐๐ข๐ ๐
Ejercicio Nยบ 5
Sea ๐บ โ ๐น, ๐บ โ โ Demostrar que ๐ โ ๐บ es la cota superior de
S โ ๐ โ ๐น, ๐ > ๐ โ ๐ก โ ๐
i) Si ๐ es cota superior de Sโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.por hipรณtesis
Si ๐ es cota superior de Sโ ๐ก โ ๐ , ๐ก > ๐ ^ ๐ก โ ๐ โฆ.por definiciรณn
Supongamos que ๐ก โ ๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.por hipรณtesis๐ es
cota superior.
Implica que ๐ก โ ๐ y esto contradice la hipรณtesis que ๐ก > ๐
ii) ๐ก โ ๐ , ๐ก > ๐ โ ๐ก โ ๐ โ ๐ es la cota superior de S
0 ๐๐ก
Ejercicio Nยบ 9
Sea ๐บ โ ๐น acotado, S0 โค ๐บ , S0โ โ . Demostrar que: inf S โค inf S0โค Sup S0โค Sup S
S0
0
S
El conjunto S tiene cotas inferiores y superiores tales que:
C= ๐พ โ ๐ / ๐พ โค 0 ๐ฆ ๐ = ๐ โ ๐ /๐ โฅ 0 El conjunto S0โ ๐ por lo tanto el conjunto de las cotas inferiores seria
N= ๐ฆ โ ๐ /๐ฆ โค 0 ^ ๐ฆ โฅ inf ๐
El conjunto de las cotas superiores seria
L= ๐ โ ๐ / ๐ โฅ 0 ^ ๐ โค 0 ๐๐ข๐ ๐ Si ๐ฆ = inf ๐0 ^ ๐ = ๐๐ข๐ ๐0 โ ๐ฆ โฅ inf ^ ๐ โค ๐๐ข๐ ๐
โ inf ๐0 โฅ inf ๐ ^ ๐๐ข๐ ๐0 โค ๐๐ข๐ ๐
โ inf ๐ โค inf ๐0 ^๐๐ข๐ ๐0 โค ๐๐ข๐ โค ๐๐ข๐๐
โ inf ๐ โค inf ๐0 โค ๐๐ข๐ ๐0 โค ๐๐ข๐ ๐
Ejercicio Nยบ 10
Sea ๐บ โ ๐น, ๐บ โ โ , S es acotado. Para un dado ๐ โ ๐น considรฉrese el conjunto ๐๐บ = ๐๐บ / ๐บ โ ๐บ
a) Demostrar que si ๐ > 0 โ inf ๐๐ = ๐ inf ๐, ๐๐ข๐ ๐๐ = ๐ ๐๐ข๐ ๐
=/ ๐ > 0 โ inf ๐๐ = ๐ ๐๐๐๐
Por el teorema 2, el infimo del conjunto a S existe probando que es ๐ inf ๐
Llamamos ๐ = inf ๐
๐ โค ๐, โ ๐ โ ๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆdefiniciรณn, teorema 2
๐๐ โค ๐๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.por ๐, ๐ > 0
๐๐ es cota inferior del conjunto ๐๐
Por tanto: ๐๐ โค inf ๐ ๐
Probemos ahora que ๐๐ es la mayor de las cotas de ๐๐, si V es cualquier cota inferior del
conjunto ๐ ๐ โ ๐ โค ๐๐๐
๐= ๐,
๐
๐โค inf ๐ โฆ โฆ โฆโฆ โฆ . . โฆ .. โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.sustituciรณn
Puesto que inf S es la mayor de las cotas inferiores de S ๐
๐โค inf ๐
๐
๐โค ๐ ๐ โค ๐๐ despejando ๐ > 0, ๐๐ es la cota mayor de las cotas inferiores del
conjunto ๐๐ ๐๐๐ = ๐๐ = ๐๐ = ๐ inf ๐.
Secciรณn 1.2
Ejercicio Nยบ 2
Si ๐ > 0 probar que existen ๐ โ ๐ต tal que ๐
๐๐ โฅ ๐
Por reducciรณn a lo absurdo 1
2๐โฅ ๐ฆ
2โ๐ โฅ ๐ฆ๐ฅ = ๐๐ฆ
๐๐๐22๐ โฅ ๐ฆ๐๐๐๐๐๐ฆ = ๐ฅ
โ๐ โฅ ๐๐๐2 ๐ฆ๐ฆ = ๐๐๐๐๐ฅ
(โ1)(๐) โฅ ๐๐๐2 ๐ฆ(โ1)
๐ โค โ๐๐๐2 ๐ฆ
Si y > 0โ โ๐๐๐2 ๐ฆ โ ๐ pero ๐ โ ๐ lo cual es una contradicciรณn ya que un nรบmero
natural es mayor que cualquier nรบmero real negativo.
Ejercicio Nยบ3
Si x es un numero racional diferente de cero y y es un numero irracional.
Demostrar entonces que x+t, x-y, xy, x/y, y/x son todos irracionales
Sea ๐ฅ =๐
๐ ^ ๐ฆ = 2 donde ๐, ๐ โ ๐
โ ๐ฅ + ๐ฆ =๐
๐+ 2 =
๐ + ๐ 2
๐
โ ๐ฅ โ ๐ฆ =๐
๐โ 2 =
๐ โ ๐ 2
๐
โ ๐ฅ๐ฆ =๐
๐ 2
โ๐ฅ
๐ฆ=
๐/๐
2=
๐
๐ 2=
๐
๐ (
1
2)
โ๐ฅ
๐ฆ=
2๐
๐
=๐ 2
๐= 2
๐
๐
Ejercicio Nยบ4
ยฟCuรกl es la suma o el producto de dos nรบmeros irracionales, un numero irracional?
Sea ๐ฅ = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ ๐
๐ฆ = ๐ + ๐ 2 ๐, ๐ โ ๐
๐ฅ โ ๐ฆ = (๐ + ๐ 2)(๐ + ๐ 2)
= (๐๐ + ๐๐ 2 + ๐๐ 2 + 2๐๐)
= (๐๐ + 2๐๐) + (๐๐ + ๐๐) 2
๐ยด + bยด 2
๐ฅ + ๐ฆ = ๐ + ๐ 2 + ๐ + ๐ 2
= ๐ + ๐ + (๐ + ๐) 2
๐ยด + bยด 2
โด la suma y el producto de dos nรบmeros irracionales da un numero irracional.
Ejercicio Nยบ5
Un entero n se llama par si n=2m para cierto entero m y se llama impar si n=2m+1
para cierto entero m
Demostrar que:
a) Un entero impar no puede ser a la vez par e impar
Por contradicciรณn
Supongamos que un entero puede ser par e impar, implica n=2m para algรบn
๐ โ ๐, ๐๐๐๐ ๐ = 2๐ + 1, ๐ฆ๐ ๐๐ข๐ Tambiรฉn es impar por lo que se tiene 2๐ = 2๐ + 1 lo
que implica que 0=1 โดes una contradicciรณn.
c) La suma y el producto de dos enteros pares es par ยฟQuรฉ se puede decir acerca de
la suma o del producto de dos enteros impares?
Demostraciรณn: la suma de dos enteros pares es par.
i) Sean ๐ฅ ๐ฆ ๐ง dos enteros paresโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..hipรณtesis
x es par โ ๐ฅ = 2๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. ๐ โ ๐
z es par โ ๐ง = 2๐โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ. ๐ โ ๐.
๐ฅ = 2๐ ^ ๐ง = 2๐๐ โ ๐ฅ + ๐ฆ = 2๐ + 2๐ = 2(๐ + ๐)
โด ๐ฅ + ๐ง ๐๐ ๐๐๐ ๐ฆ๐ ๐๐ข๐ โ(๐ + ๐) โ ๐ง
ii) Sean ๐ฅ ๐ฆ ๐ง dos enteros paresโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..hipรณtesis
Sean ๐ฅ ๐ฆ ๐ง dos enteros pares
x es par โ ๐ง = 20โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.b โ ๐ง
๐ฅ = 2๐ ^ ๐ง = 2๐ โ ๐ฅ โ ๐ง = 2๐ โ 2๐
= 2(2๐๐)
โ ๐ฅ โ ๐ฆ es par ya queโ(2๐๐) โ ๐
Demostrar la suma de dos enteros impares es impar
Sea x y z dos enteros impares
x es impar โ ๐ฅ = 2๐ + 1 โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ . ๐ โ ๐ง
z es impar โ ๐ง = 2๐ + 1 โฆ โฆโฆ โฆ โฆ โฆ . . ๐ โ ๐ง
๐ฅ = 2๐ + 1 ^ ๐ง = 2๐ + 1 โ ๐ฅ + ๐ง = 2๐ + 1 + (2๐ + 1) =2(a+b)+2
=2(y)+2 y=(a+b) โ ๐ง
โด ๐ฅ + ๐ง no es un nรบmero impar ya que lo forma de un nรบmero impar es h=2m+1
Demostrar: el producto de dos enteros impares es impar
Sea a ^ b dos enteros impares
a es impar โ ๐ = 2๐ + 1 โฆ โฆโฆ . . ๐ โ ๐ง
๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ โ ๐ = 2๐ + 1 โฆ โฆ . โฆ ๐ โ ๐ง
๐ = 2๐ + 1 ^ ๐ = 2๐ + 1 โ ๐ โ ๐ = (2๐ + 1)(2๐ + 1)
= 4๐๐ + 2๐ + 2๐ + 1
= 2 2๐๐ + ๐ + ๐ + 1
โ ๐ โ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ฆ๐ ๐๐ข๐ โ(2๐๐ + ๐ + ๐) โ ๐
d) si ๐2es par, tambiรฉn lo es n
sea n un entero par
๐2 ๐๐ ๐๐๐ โ ๐2 = 2๐ โฆ โฆโฆ โฆ . ๐ โ ๐ง
โ ๐2 = 2๐ 2 โฆ . . โฆ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐๐
๐2 = 4๐2โฆโฆโฆโฆalgebra
๐2 = 2 ๐2 โฆ โฆ โฆ โฆ . ๐๐๐๐ก๐๐๐๐ง๐๐๐๐
Sea ๐2un entero par
๐2es par โ ๐2 = (2๐)2 โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ๐ โ ๐ง suponer n=2m+1
โ ๐22= (2๐)2 nโ 2๐ + 1 โ ๐2 = (2๐ + 1)
2
n =2m โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.simp. ๐2 = 4๐2 + 4๐ + 1
โด ๐ ๐๐ ๐ข๐ ๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐ ๐ฆ๐ ๐๐ข๐ โ ๐ โ ๐๐2 = 2 2๐2 + 2๐ + 1
๐2 = 2๐ + 1 lo cual contradice la hipรณtesis
e) Si๐2 = 2๐2, donde a y b son enteros, entonces a y b son ambos pares
Demostraciรณn:
๐2 = 2๐2 โ ๐ ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐
โ ๐ = 2๐ โฆโฆ โฆ โฆ โฆ โฆ ๐ โ ๐
๐ = 2๐ ^ ๐2 = 2๐2 โ ๐2 = 2๐2
โ (2๐)2 = 2๐2
โ 4๐2 = 2๐2
โ4๐2
2= ๐2
โ 2๐2 = ๐2
โ ๐2 = 2๐2
โ ๐ = ๐๐ ๐๐๐ โด ๐ ๐ฆ ๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐
f) Todo nรบmero racional puede expresarse de la forma ๐
๐ donde a y b son elementos uno
de los cuales por lo menos es impar.
Supongamos que a y b son pares
a=2n y b=2m โ ๐, ๐ โ ๐
โ๐
๐โ
๐
๐=
2๐
2๐ ๐๐๐๐ โ๐, ๐ = 0, 0 โ ๐ง 0 = 2(0)
2๐
2(0)=
2๐
0โ ๐๐ ๐๐๐ฃ๐๐ ๐๐๐ ๐๐๐ 0 ๐๐ ๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐ฆ ๐๐๐๐ ๐๐ข๐ ๐ ๐๐ ๐ข๐ ๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐
๐
๐= ๐ โ 0
โด ๐ ๐ฆ ๐ ๐ ๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐.
EJERCICIO Nยบ 6
Modificar el razonamiento empleado en la demostraciรณn del teorema 7 para
demostrar los siguientes enunciados
a) Existe un nรบmero real positivo y tal que ๐ฆ2 = 3
Si tres nรบmeros reales cualesquiera ๐ฆ2, ๐ฅ, 3/๐ฅ > 0 satisface que
3โค ๐ฆ2 โค 3 +๐ฅ
๐ โ๐ โ ๐ โ ๐๐
Demostraciรณn:
a) z<x
b) xโค ๐ง +๐ฆ
๐
a) zโค ๐ฅ
b) ๐ฅ โค ๐ง +๐ฆ
๐
Debemos demostrar que 3=๐ฆ2 por:
a) Ya sabemos que 3 โค ๐ฆ2 segรบn la ley de tricotomรญa para los nรบmeros 3 < ๐ฆ2 รณ 3=๐ฆ2
si 3=๐ฆ2 hemos llegado a la condiciรณn que deseamos.
Debemos demostrar que la opiniรณn 3<๐ฆ2 no es factible.
Supongamos que 3<๐ฆ2
3 < ๐ฆ2 โ ๐ฆ2 โ 3 > 0 โฆ โฆ โฆ . . โฆ . . ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐
โ๐, ๐ โ ๐โ / ๐(๐ฆ2 โ 3) > ๐ฆ, ๐ฆ > 0, ๐ฆ โ ๐
โ ๐ฆ2 โ 3 >๐ฆ
๐
โ ๐ฆ2 > 3 +๐ฆ
๐ ๐๐๐๐ก๐๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐
EJERCICIO Nยบ7
Demostrar la densidad del conjunto Q en el caso en que xโค ๐
Si x<0, como x<y x*y<0
โ 0 > ๐ฅ โ ๐ฆ
โ ๐ฆ > ๐ฅ
โ ๐ฆ โ ๐ฅ > 0 Propiedad arquimidiana
โ๐ โ ๐โ / 1
๐< ๐ฆ โ ๐ฅ โ
1
๐ฆ โ ๐ฅ< ๐
1 < ๐๐ฆ โ ๐๐ฅ โ ๐๐ฅ + 1 < ๐๐ฆ Colonario al teorema 6, inciso(c) para nx, nx>0
โ๐ โ ๐โ / ๐ โ 1 โค ๐๐ฅ < ๐
mโค ๐๐ฅ + 1
mโค ๐๐ฅ + 1 < ๐๐ฆ
โ๐, ๐ โ ๐โ /
๐๐ฅ < ๐ < ๐๐ฆ
โ ๐ฅ <๐
๐< ๐ฆ
โ๐ =๐
๐/ ๐ฅ < ๐ < ๐ฆ , para x,y โ ๐
Secciรณn 1.3
EJERCCIO Nยบ1 Escribir por comprensiรณn los conjuntos dados y representarlos geomรฉtricamente en la
recta real.
a) V0.5(5)
= ๐ฅ โ ๐ / ๐ฅ โ 5 < 0.5 = ๐ฅ โ ๐ / โ0.5 < ๐ฅ โ 5 < 0.5 = ๐ฅ โ ๐ / 5 โ 0.5 < ๐ฅ < 5 + 0.5
= ๐ฅ โ ๐ / 4.5 < ๐ฅ < 5.5 = 4.5, 5.5
b) V0.25(-2)
= ๐ฅ โ ๐ / ๐ฅ + 2 < 0.25 = ๐ฅ โ ๐ / โ0.25 < ๐ฅ + 2 < 0.25 = ๐ฅ โ ๐ / โ0.25 โ 2 < 0.25 โ 2
= ๐ฅ โ ๐ / โ2.25 < โ1.75 = โ2.25, โ1.75
c) V2โ (a)
= ๐ฅ โ ๐ / ๐ฅ โ ๐ < 2 โ = ๐ฅ โ ๐ / โ2 โ< ๐ฅ โ ๐ < 2 โ = ๐ฅ โ ๐ / โ2 โ +๐ < ๐ฅ < 2 โ +๐
= โ2 โ +๐, ๐ + 2 โ
-2โ +๐ x a +2โ
EJERCICIO Nยบ5
Sean ๐จ โ ๐น ๐ ๐ฉ โ ๐น demostrar:
a) ๐ด โ ๐ต โ ยบ๐ด โโ ยบ๐ต
๐ โโ ๐ด โ โ๐ผ๐Ip abierto/ Ip CAโฆโฆโฆ def punto inferior
โ ๐ผ๐ ๐ถ๐ต โฆ โฆ โฆ โฆ โฆโฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆโฆ โฆ โฆ . ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐ด โ ๐ต
โ โ๐ผ๐ ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ / ๐ผ๐ ๐ถ๐ต. . . .....................def .punto interior
โ ๐ โ ยบ๐ต โฆโฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆโฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ def. ๐๐ ยบ๐ต
๐ โ ยบ๐ด โ ๐ โ ยบ๐ต
ยบAโยบBโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.def de inclusiรณn.
b) ยบA=ยบA
i) ยบยบAโยบA
ii) ยบAโยบยบA
Demostraciรณn:
i) ยบยบAโยบA
๐ โยบยบA โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ , ๐ผ๐ โยบAโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..Punto interior.
โ ๐ โยบA ya que Ip โยบA
โยบยบAโยบAโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.def de inclusiรณn
ii) ยบAโยบยบA
๐ โยบA โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ , ๐ผ๐ โยบAโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..Punto interior.
โ ๐ โยบยบA ya que Ip โยบยบA
โยบAโยบยบAโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.def de inclusiรณn
โด Por paso i, ii, ยบยบA=ยบA
c) ๐ด โฉ ๐ต =ยบAโฉยบB
i) ๐ด โฉ ๐ต โยบAโฉยบB
๐ โ ๐ด โฉ ๐ต โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โ ยบAโฉยบB โฆโฆโฆ.. Punto inferior
โ ๐ โยบA ^ P โยบB ya que Ip โยบA โฉยบB
โ ๐ด โฉ ๐ต โยบAโฉยบBโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.def de inclusiรณn
ii) ยบAโฉยบB โ ๐ด โฉ ๐ต
Pโ ยบAโฉยบB โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โ ๐ด โฉ ๐ต โฆโฆโฆ.. Punto inferior
โ ๐ โ ๐ด โฉ ๐ต ya que Ip โ ๐ด โฉ ๐ต
โ ยบAโฉยบB โ ยบ๐ด โฉ ยบ๐ต โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.por def i,ii ๐ด โฉ ๐ต =ยบAโฉยบB
d) ยบAโชยบB โ ๐ด โช ๐ต
๐ โ ๐ด โช ๐ต โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โ ยบAโชยบB โฆโฆโฆ.. Punto inferior
โ ๐ผ๐ โยบAโชยบBโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.Hipรณtesis.
โ โ ๐ผ๐, ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โยบAโชยบB โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..def punto int.
โ ๐ โ ยบA โช ยบBโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..def. uniรณn
โยบAโชยบB โฆโฆโฆโฆ...โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..def. uniรณn
๐ด โช ๐ต โยบAโชยบBโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆdef. Inclusiรณn
e) ๐ด โ ๐ด โ ๐ดยด
๐ท๐๐. de ๐ดยด acumulaciรณn
๐ โ ๐ , ๐ โ ๐ด โ (โ ๐ผ๐, ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โ ๐ โฉ ๐ด โ โ )
A-B= ๐ฅ ๐ฅ โ ๐ด ^ ๐ฅ โ ๐ต
Demostraciรณn:
Sea P โ ๐ด โ ๐ด โ ๐ โ ๐ด โฉ ๐ โ ๐ดโฆโฆโฆโฆโฆโฆdef. conjuntos
โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โ ๐ด โ 0 โฉ ๐ โ ๐ด โฆ โฆ โฆ . . def. ๐๐ ๐ด )
โ โ ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ โ ๐ผ๐ โ ๐ โฉ ๐ด โ 0
Ya que P โA
โ ๐ โ ๐ดยดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.def. de ๐ดยด
P โ ๐ด โ ๐ด โ ๐ โ ๐ดยดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..S.H.
๐ด โ ๐ด โ ๐ดยดโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆDef. de inclusiรณn
i) AโBโ ๐ด โ ๐ตโฆโฆโฆโฆ..โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆPโ ๐ด โ โ๐ผ๐, ๐ผ๐ ๐๐๐๐๐๐ก๐ ๐ผ๐ โฉ ๐ด โ โ
P โ ๐ผ๐ ^ ๐ โ ๐ดโฆโฆโฆโฆ.โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆdef. Intersecciรณn.
Pโ ๐ผ๐^ ๐ฅ โ ๐ตโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.................Hipรณtesis
Pโ ๐ผ๐ โฉ B โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆIntersecciรณn
๐ โ ๐ต โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ.def. Puntos adherentes
๐ด โ ๐ตโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..def. Inclusiรณn.
j) ๐ด = ๐ด
๐ด โ ๐ด
i) ๐ฅ โ ๐ด โ โ ๐บ๐ฅ, ๐บ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ก๐
Gx โฉ ๐ด โ 0
โ ๐ฅ โ ๐ด ya que ๐บ๐ฅ โฉ ๐ด โ โ
โ ๐ด = ๐ด โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..def. de inclusiรณn
ii) ๐ฅ โ ๐ด โ โ ๐บ๐ฅ, ๐บ๐ฅ ๐๐๐๐๐๐ก๐
โ ๐บ๐ฅ โฉ ๐ด โ โ
โ ๐ฅ โ ๐ด ya que ๐บ๐ฅ โฉ ๐ด โ โ
โ ๐ด โ ๐ด โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ..def. de inclusiรณn
โด ๐๐๐ ๐, ๐ ๐๐ ๐ด = ๐ด
EJERCICIO Nยบ7
Si A= 1
๐/๐ ํ ๐โ Entonces Determinar Fr A y Ext A.
Desarrollo
1.- A= 1
๐ .............................................................................................Por
Hipรณtesis
2.- A= 1,1/2, 1/3, โฆ .........................................................................
Sustituciรณn de valores en n
3.- Fr A= A...........................................................................................
Definiciรณn de Punto Frontera y paso 2
4.- Ext A= ] โ โ, 0 ๐ ยทยทยท ๐ 1/3,1/2 ๐ 1 +
โ[....................................Definicion de Punto exterior y paso 2 y 3
SECCIรN 1.4
EJERCICIO 1
Desarrollo
a) Compruebe que (๐ฎ๐ )n๐๐ตโ es una cubierta de A=]0,1[, donde ๐ฎ๐ = ๐
๐+๐,๐
๐ .
1.- Sea (๐บ๐ )n๐๐โ..........................................................................................Hipรณtesis
2.- ๐บ๐ = 1
๐+2,
1
๐ ..................................................................Dato
3.- ๐บ๐ = 1
3, 1 ,
1
4,
1
2 ,
1
5,
1
3 , โฆ ,
1
๐+2,
1
๐ โฆ......................... Sustituciรณn de Valores
4.- โด ๐ด = 0,1 = ๐๐โ = ๐บ๐............................................. Definiciรณn de Cubierta paso 1 y 3
b)Use a) para comprobar que A no es compacto
1.- Sea ๐บโ = ๐1, ๐1 , ๐2, ๐2 , โฆ , ๐๐ , ๐๐ ..............................Por parte a, dato
2.- si โ= ๐๐๐(๐1, ๐2, โฆ , ๐๐ )......................................................Por pasรณ 1
3.- โ> 0...................................................................................... Por paso 2
4.- ๐1, ๐1 , ๐2, ๐2 ๐ โฆ ๐ ๐๐ , ๐๐ โ] โ ,1[................................Uniรณn de paso 1 y 2
5.- 0, โ ๐ฆ โ ,1 Son disjuntos...................................................Definiciรณn de Uniรณn
(conjuntos disjuntos)
6.- ๐บโ no es un recubrimiento de A.............................................Definiciรณn de recubrimiento
paso 4 y 5
7.- โด ๐ด no es compacto.............................................................. .Definiciรณn de compacto y
paso 6
c) ยฟDe quรฉ otra manera se justifica que A no es compacto?
c) Del hecho de que A no es cerrado y por el Teorema de Heine Borel.
EJERCICIO 2
Si ๐ด1, โฆ , ๐ด๐ Son compactos de R, demostrar que
๐ด๐
๐
๐=1
es un compacto de R.
Dar un ejemplo que ilustre que la uniรณn infinita no siempre es un compacto.
Desarrollo
1.- Sea ๐ด๐ = ๐ด1, ๐ด2 , โฆ , ๐ด๐ compactos de Rโฆโฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆโฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ โฆ.Dato
2.- ๐ด๐ es Cerrado y Acotado โ๐= 1,2, โฆ , ๐...........................................................Por
definiciรณn de Compacto y paso 1
3.- โ โ๐/ ๐ด๐ โ ๐โ๐(0)............................................................................................Definicion
de Compacto
4.- Sea โ= ๐๐๐ฅ โ๐/๐ = 1,2, โฆ , ๐ ........................................................................Por paso 3
5.- ๐ด๐ โ ๐โ(0)๐๐=1 ...............................................................................................Definiciรณn
de conjunto acotado
6.- ๐ด๐๐๐=1 es acotado........................................................................................... Por ser
Acotado y paso 5
7.- ๐ด๐๐๐=1 es compacto.........................................................................................Teorema de
Heine Borel
Ejemplo
Sea ๐ด๐= ๐, ๐ + 1 , ๐ โ ๐โ entonces ๐ด๐๐๐=1 = 1, +โ
1, +โ No es acotado y por lo tanto no es compacto (Segรบn el teorema de Heine
Borel).
EJERCICIO 3
Justificar si el conjunto A es o no compacto, si
A= [0,1]U{2}.
Desarrollo
1.- A= [0,1]U{2} ........................................................................................Hipรณtesis
2.- R-A= ] โโ,0 [ U ]1,2[U]2,+โ[.............................Definiciรณn de punto exterior y paso 1
3.- R-A es abierto...........................................................................Por definiciรณn y paso 2
4.- A es Cerrado.............................................................................. por paso 1
5.- A esta acotado por ๐ํ(0)........................................................... Definiciรณn de Vecindario
6.- A es Compacto......................................................................... Teorema de Heine Borel
EJERCICIO 4
La familia de intervalos ๐บ๐ = 1
๐,
2
๐ es una cubierta de 0,1 . Demostrar sin hacer uso del
teorema de Heine-Borel que ninguna subfamilia finita de ๐บ๐ recubre el intervalo 0,1 .
Desarrollo
1.- Sea (๐บ๐ )n๐๐โ. .....................................................................................................Dato
2.- ๐บ๐ = 1
๐,
2
๐ ........................................................................................................Hipรณtesis
3.- ๐บ= 1,2 , 1
2, 1 ,
1
3,
2
3 , โฆ ,
1
๐,
2
๐ , โฆ .............................................................Sustitucion
de valores en paso 2
4.- si ๐บโ = 1
๐,
2
๐ ,
1
๐2,
2
๐2 , โฆ ,
1
๐๐,
1
๐๐ .............................................................Definicion de
๐บโ y paso 3
5.- ๐บโes una subcoleccion finita de G.................................................................Por paso 4
6.- โ/p=max ๐1, ๐2 , โฆ , ๐๐ .............................................................................. Definiciรณn de
Existencia
7.- 1
๐โ
1
๐๐,
2
๐๐ ๐๐๐๐๐ 1 โค ๐ โค ๐..................................................................... por paso 3,4 y
6
8.- 1
๐โ 0,1 ....................................................................................................... Definiciรณn
Cubierta de un conjunto
9.- โด โ subcoleccion finita de G que no recubre a 0,1 ...................................L.Q.Q.D
De modo que tampoco es compacto.
EJERCICIO Nยบ6
Dado el conjunto de intervalos abiertos G={]-(2-๐
๐),(2-
๐
๐)[\nโฌN
*}
Dado que G={]-(2-1
๐),(2-
1
๐) entoces
G1=]-(2-1
1 ), (2-
1
1 ) [ = ]-1,1 [
G2 =]-(2-1
2 ), (2-
1
2 ) [ = ]-
3
2 ,
3
2 [
G3 =]-(2-1
3 ), (2-
1
3 ) [ = ]-
5
3 ,
5
3 [
K = ]-2,2 [
EJERCICIO Nยบ9
Demostrar que una familia arbitraria de conjuntos compactos en R es compacta
sea AC R se dice que A es compacta si es cerrado y acotado
[0,2] es compacta
(2,4] no es compacta
Sea Ui compacto^ Vj compacto cerrados y acotados โ Ui ฮ Vj es compacto en R
EJERCICIOS CAPITULO II
Sucesiones de nรบmeros reales
EJERCICIO Nยบ 1
Encontrar los diez primeros tรฉrminos de la sucesiรณn dada por el criterio indicado.
a) (๐บ๐) = ๐๐
๐๐โ๐
๐ 1 = 2 1
5 1 โ 3 =
2
2= 1
๐ 2 = 2 2
5 2 โ 3 =
4
7
๐ 3 = 2 3
5 3 โ 3 =
6
12=
1
2
๐ 4 = 2 4
5 4 โ 3 =
8
17
๐ 5 = 2 5
5 5 โ 3 =
10
22=
1
11
๐ 6 = 2 6
5 6 โ 3 =
12
27=
4
9
๐ 7 = 2 7
5 7 โ 3 =
14
32=
7
16
๐ 8 = 2 8
5 8 โ 3 =
16
37
๐ 9 = 2 9
5 9 โ 3 =
18
43=
3
7
๐ 10 = 2 10
5 10 โ 3 =
20
47
b) ๐บ๐ = ๐ + โ๐ ๐
๐ 1 = 1 + โ1 1 = 1 โ 1 = 0๐ 6 = 1 โ1 6 = 1 + 1 = 2
๐ 2 = 1 + โ1 2 = 1 + 1 = 2๐ 7 = 1 โ1 7 = 1 โ 1 = 0
๐ 3 = 1 + โ1 3 = 1 โ 1 = 0๐ 8 = 1 โ1 8 = 1 + 1 = 2
๐ 4 = 1 + โ1 4 = 1 + 1 = 2๐ 9 = 1 โ1 9 = 1 โ 1 = 0
๐ 5 = 1 + โ1 5 = 1 โ 1 = 0๐ 10 = 1 โ1 10 = 1 + 1 = 2
c) ๐บ๐ = ๐ ๐ฌ๐ข๐ง๐ ๐
๐ 1 = 1 sin ๐(1) = 0.055๐ 6 = 6 + sin ๐(6) = 1.9385
๐ 2 = 2 sin ๐(2) = 0.219๐ 7 = 7 + sin ๐(7) = 2.16212
๐ 3 = 3 sin ๐(3) = 0.493๐ 8 = 8 + sin ๐(8) = 3.3997
๐ 4 = 4 sin ๐(4) = 0.219๐ 9 = 9 + sin ๐(9) = 4.2632
๐ 5 = 5 sin ๐(5) = 1.3537๐ 10 = 10 + sin ๐(10) = 5.2125
d) ๐บ๐ = ๐๐+๐
๐๐
๐1 = 21 + 1
๐1 =
3
๐๐6 =
26 + 1
๐6 =
65
๐6
๐2 = 22 + 1
๐2 =
5
๐2๐7 =
27 + 1
๐7 =
129
๐7
๐3 = 23 + 1
๐3 =
9
๐3๐8 =
28 + 1
๐8 =
257
๐8
๐4 = 24 + 1
๐4 =
17
๐4๐9 =
29 + 1
๐9 =
513
๐9
๐4 = 24 + 1
๐4 =
17
๐4๐9 =
29 + 1
๐9 =
513
๐9
๐5 = 25 + 1
๐5 =
33
๐5๐10 =
210 + 1
๐10 =
1025
๐10
e) ๐บ๐ = ๐; ๐บ๐ = ๐; ๐บ๐ + ๐ =๐บ๐+๐+๐บ๐
๐บ๐+๐โ๐๐
๐ = 1, ๐1 + 2 = ๐3 =๐1 + 1 + ๐1
๐1 + 1 โ ๐ 1=
2 + 1
2 โ 1=
3
1= 3
๐ = 2, ๐2 + 2 = ๐4 =๐2 + 1 + ๐2
๐2 + 1 โ ๐ 2=
3 + 2
3 โ 2=
5
1= 5
๐ = 3, ๐3 + 2 = ๐4 =๐3 + 1 + ๐3
๐3 + 1 โ ๐ 3=
5 + 3
5 โ 3=
8
2= 4
๐ = 4, ๐4 + 2 = ๐6 =๐4 + 1 + ๐4
๐4 + 1 โ ๐ 4=
4 + 5
4 โ 5=
9
โ1= โ9
๐ = 5, ๐5 + 2 = ๐7 =๐5 + 1 + ๐5
๐5 + 1 โ ๐ 5=
โ9 + 4
โ9 โ 4=
โ5
โ13=
5
13
๐ = 6, ๐6 + 2 = ๐8 =๐6 + 1 + ๐6
๐6 + 1 โ ๐ 6=
5
13+ (โ4)
5
132(โ9)
=โ56
61
๐ = 7, ๐7 + 2 = ๐9 =๐7 + 1 + ๐7
๐7 + 1 โ ๐ 7=
โ56
61+ (
5
13)
โ56
61โ
5
13
=423
1033
๐ = 8, ๐8 + 2 = ๐8 =๐8 + 1 + ๐8
๐8 + 1 โ ๐ 8=
423
1033+ (โ
56
61)
423
1033โ (โ
56
61)
= โ0.38
f) (๐บ๐) = ((๐ + ๐
๐)๐
m=1โ((1 +1
1)1 = 2
m=2โ((1 +1
2)2 = (
3
2)ยฒ= 9
4
m=3โ((1 +1
3)3 = (
4
3)ยณ=
64
27
m=4โ((1 +1
4)4 =(
5
4)4 = 625
256
m=5โ((1 +1
5)5 =(
6
5)4 = 7776
3125
g) (๐บ๐) =(1 - ๐
๐๐)
m =1โ(1 - 2
12) = -1
m =2โ(1 - 2
22 )= 1-
1
2 =
1
2
m =3โ(1 - 2
32 )= 1-
2
9 =
7
9
m =4โ(1 - 2
42 )= 1-
2
16 =
14
16 =
7
8
m =5โ(1 - 2
52 )= 1-
2
25 =
23
25
h) ((๐บ๐) = ๐โ๐
๐+๐ ------------- No tiene soluciรณn
i)๐บ๐ =1 ; ๐บ๐+๐ = 3๐บ๐ + 1
m = 1โ ๐2 = 3๐1 + 1
= 3(1) + 1
= 4
m = 2โ ๐3 = 3๐2 + 1
= 3(4) + 1
= 13
m =3 โ ๐4= 3๐3 + 1
= 3(13) + 1
= 40
m =4 โ ๐5= 3๐4 + 1
= 3(40) + 1
= 121
m =5 โ ๐6= 3๐5 + 1
= 3(121) + 1
= 364
j) ๐บ๐ =1 ; ๐บ๐ = ๐; ๐บ๐+๐ = ๐บ๐+๐+๐บ๐
๐บ๐+๐โ ๐บ๐
m= 1 โ ๐3=1+1+1
1+1โ1 = 3
m= 2 โ ๐4=2+1+2
2+1โ2 = 5
m= 3 โ ๐5=3+1+3
3+1โ3 = 7
m = 4 โ ๐6=5+1+5
5+1โ5 = 11
m = 5 โ ๐7=7+1+7
7+1โ7 = 15
k)๐บ๐ =3 ; ๐บ๐ = ๐; ๐บ๐+๐ = ๐บ๐+๐บ๐+๐
m =1 โ ๐3= 7
m =2 โ ๐4= 5 + 6 =13
m =3 โ ๐9= 7 + 8 =15
m =4 โ ๐13= 23
m =5 โ ๐7= 40
EJERCICIO Nยบ3
De las sucesiones del punto anterior seรฑale cuales de ellas corresponden a
sucesiones de nรบmeros racionales.
R= a), f) y g)
EJERCICIO Nยบ3
Determine cuรกles de las siguientes sucesiones son nulas.
a) ๐
๐๐ =lim๐ฅโโ1
๐2= ๐ฅim๐ฅโโ
1
๐2
๐2
๐2
=lim๐ฅโโ0
1= ๐๐ข๐๐
b) ๐2
๐3+2 = lim๐ฅโโ
๐2
๐3+2= lim๐โโ
๐๐
๐๐
๐๐
๐๐ +๐๐๐
= lim๐ฅโโ
๐
๐+๐= 0 โ ๐๐ข๐๐
c) 1+๐
๐2 = ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐+๐
๐๐= ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ
๐
๐๐+๐
๐๐
๐๐
๐๐
=lim๐ฅโโ0
1= ๐๐ข๐๐
d) 1
๐2+1
lim๐โโ(1
๐2+1) = lim๐โโ(
๐
๐2
๐2
๐2 +1
๐2
)
= lim ๐โโ
1
๐
lim๐โโ
1โ lim๐โโ
1
๐2
= 0
1โ0
Es nula
EJERCICIO N 4
Comparar que ๐ฅ๐ข๐ฆ๐โโ๐+๐
๐๐=
๐
๐
๐๐ โ ๐ < ํ โ ๐+1
2๐โ
1
2 < ํ Sea ํ = 0.01
โ ๐ + 1 โ ๐
2๐ < ํ
1
2 0.01 < ๐
โ 1
2๐ < ๐ 50<n
โ1
2ํ< ๐
Los tรฉrminos se encuentran en el entorno del centro ๐ฆ2 y radio ํ, excepto los primeros
cincuenta.
EJERCICIO 5
Demostrar que las siguientes sucesiones de nรบmeros racionales son convergentes.
a) 2๐+1
3๐ =lim๐ฅโโ
2๐+1
3๐= lim๐ฅโโ
๐๐
๐+๐
๐
๐
= lim๐ฅโโ2+0
3=
2
3= 0.6
3๐ + 1
3๐ =
1
3< ํ โ
2๐ + 1 โ 2๐
3๐ < ํ โ
1
3๐< ํ โ
1
3ํ> ๐
Sea ํ = 0.01 1
3 0.01 < ๐
=33<n
b) 2๐2โ1
2๐2+1 =lim๐ฅโโ
2๐2โ1
2๐2+1= lim๐ฅโโ
๐๐๐
๐๐ โ๐
๐๐
๐๐๐
๐๐+๐
๐๐
= lim๐ฅโโ2โ0
2+0= 1
2๐2 โ 1
2๐2 + 1โ 1 < ํ โ
2๐2 โ 1 โ 2๐2 โ 1
2๐2 + 1 < ํ
โ2
2๐+1 < ํ =
2
3ํ2+1< ๐
EJERCICIO 8
Demostrar que (๐บ๐) no es convergente sรญ:
a) (๐๐ ) = 2๐ Supongamos que 2๐ โ ๐ฟ ๐ฆ ํ = 0.01 tenemos que
2๐ โ ๐ฟ < ํ
โ0.01 < 2๐ โ ๐ฟ < 0.01
โ0.01 + ๐ฟ < 2๐ < 0.01 + ๐ฟ; Para m=LL>0 obtenemos
2๐ฟ < 0.01 + ๐ฟ
๐ฟ log2) < log(0.01 + ๐ฟ
๐ฟ log2) โ log(0.01 + ๐ฟ) < 0, ; No existe nรบmero natural que contenga la
desigualdad
b) (๐๐ ) = โ1 ๐๐2
๐๐๐๐ ๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐ = โ๐2
๐๐ข๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐ โ๐2 โ ๐ฟ ๐ฆ ํ = 0.01 ๐ก๐๐๐๐๐๐ ๐๐ข๐ โ๐2 โ ๐ฟ < ํ
โ0.01 < โ๐2 โ ๐ฟ < 0.01
โ0.01+L<โ๐2 < 0.01 + ๐ฟ
0.01 โ ๐ฟ โ ๐2 > โ0.01 โ ๐ฟ para m=L L> 0.06 tenemos
0 > ๐ฟ2 +L 0.01โฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆโฆ...โฆ..no existe numero natural que verifique la
Desigualdad
0.2 para m por (๐๐ ) = m2 Supongamos que (๐2) โ ๐ฟ
๐2 โ ๐ฟ < ํ โ 0.01 < ๐2 โ ๐ฟ < 0.01โโ โ0.01 + ๐ฟ < ๐2
๐ฟ0.01 + ๐ฟ Para m=L L>0
๐ฟ2 < 0.01 + ๐ฟ
๐ฟ2 โ ๐ฟ โ 0.01 < 0; no existen nรบmeros reales que verifican la desigualdad
โด ๐๐๐ ๐๐๐๐๐ ๐ ๐. 1 ๐๐ ๐๐ ๐ข๐๐ ๐ ๐ข๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐๐๐๐ฃ๐๐๐๐๐๐ก๐
EJERCICIO 9
Si ๐ ๐ = ๐ + 1 โ ๐โ ๐๐ ๐โ Demostrar que entonces convergen las
sucesiones:
b) ( ๐๐ ๐ )
Soluciรณn:
lim๐โ ๐๐ = 0
limโโ ๐๐ ๐ = lim๐โโ ๐( ๐ + 1 โ ๐)
= lim๐โโ ๐ ๐ + 1 lim๐โโ ๐
= lim๐โโ ๐
๐
๐
๐+
1
๐โ lim๐โโ
๐
๐
= lim๐โโ 1 โ lim๐โโ ๐
๐+
1
๐ - lim๐โโ 1
= 1 โ 0-1
limโโ ๐๐ ๐ = 0
EJERCICIO 12
Demostrar que la sucesiรณn dada converge al lรญmite indicado
๐ +๐
๐
๐
โ ๐
lim๐โโ
1 +2
๐
2
= lim๐โโ
๐ + 2
๐
2
lim๐โโ
๐
๐+
2
๐๐
๐
2
= lim๐โโ
1 +
2
๐
1
2
lim๐โโ
1 + โ
1
2
= lim๐โโ
1 = 1
EJERCICIO 27
Estudiar si ๐ถ = ๐
๐๐+๐ ๐ ๐ท =
๐๐
๐+๐โ ๐ dan lugar a nรบmeros iguales
โ= ๐
๐๐ + ๐ ; ๐ท =
๐๐
๐ + ๐โ ๐
๐๐ ๐ ๐ธ๐ = 0
1
๐2 + 1 โ
2๐
๐ + 2โ 2 = 0
1
๐2 + 1 โ
2๐ โ 2๐ โ 4
๐ + 2 =
1
๐2 + 1 โ
โ4
๐ + 2 = 0
= 1
๐2 + 1+
4
๐ + 2 = 0 โโ
๐ + 2 + 4๐2 + 4
๐2 + 1 ๐ + 2
โโ4๐2 + ๐ + 6
๐2 + 1 ๐ + 2 โ lim
๐โโ
4๐2 + ๐ + 6
๐3 + 2๐2 + ๐ + 2
โ lim๐โโ
4๐2
๐3 +๐
๐3+6
๐3
๐3
๐3+2๐2
๐3 +๐
๐3+2
๐3
=0
1= 0
โด โ= ๐ฝ ๐๐๐ ๐๐ข๐๐๐ ๐ ๐๐ข๐๐๐๐๐ ๐๐๐ข๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐ .
EJERCICIO 22
Demostrar que la sucesiรณn ๐+๐
๐ ๐๐ฌ ๐ฎ๐ง๐ ๐ฌ๐ฎ๐๐๐ขรณn de cauchy
๐ โ ๐, ๐ โฅ ๐0 ๐๐, ๐๐ < ํ
๐ + 1
๐โ
๐ + 1
๐ < ํ
๐๐ + ๐ โ ๐๐ โ ๐
๐ โ ๐ < ํ
๐ โ ๐
๐ โ ๐ < ํ
1
๐โ
1
๐ < ํ por hipรณtesis
๐ > ๐0, ๐ > ๐0 1
๐<
1
๐0;
1
๐<
1
๐0
1
๐โ
1
๐ <
1
๐0+
1
๐0
1
๐โ
1
๐ <
2
๐0< ํ
โด ๐0 = 2
ํ
EJERCICIOS CAPITULO 3
EJERCICI Nยบ 1
Sean V= ๐ฟ๐, ๐ฟ๐ , V= ๐๐, ๐๐ โ ๐น๐
a) Verificar si la sig. Expresiรณn es un producto interno en ๐น๐
๐, ๐ = ๐, ๐, โ2๐1๐2 โ 2๐2๐1 + 5๐2๐2
๐, ๐ = ๐1, ๐1 โ 2๐2 + ๐2, โ2๐ฆ1 + 5๐2
๐1 + ๐2, ๐1 โ 2๐2 + โ2๐1 + 5๐2
๐1 + ๐2, ๐2 โ 2๐1 + โ2๐2 + 5๐2
๐ถ๐๐๐ ๐, ๐ = 4 = ๐1, ๐2 , ๐ = ๐1, ๐2
b) ยฟPara quรฉ valores de K es el siguiente un producto interno ๐น๐
๐, ๐ = ๐1๐1 โ 3๐1๐2 โ 3๐2๐1 + ๐พ๐2๐2
๐1, ๐1โ๐2 + ๐2, โ3๐1 + ๐พ๐2
๐1 + ๐2, ๐1 โ 3๐2 + โ3๐1 + ๐พ๐2
๐1 + ๐2, ๐13๐1 + โ3๐2 + ๐พ๐2
๐ถ๐๐๐ ๐2 = โ3๐2 + ๐พ๐2
๐2 + 3๐2 = ๐พ๐2
4๐2 = ๐พ๐2
4 = ๐พ
Por tanto por K=4 es un producto interno en ๐น๐
EJERCICIO 2
Sean X,Y โ ๐น๐ Demostrar que
b) ๐ฟ + ๐ ๐+) ๐ฟ โ ๐ ๐ = ๐ ๐ฟ ๐ + ๐ ๐ ๐ ๐ฐ๐๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐น๐ ๐๐๐๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐.
๐ + ๐, ๐ + ๐ + ๐ โ ๐, ๐ โ ๐
๐ฅ, ๐ฆ + 2 ๐ฅ, ๐ฆ + ๐ฆ, ๐ฆ + ๐ฅ, ๐ฅ โ 2 ๐ฅ, ๐ฆ + ๐ฆ, ๐ฆ
๐ฅ 2 + 2 ๐ฅ ๐ฆ + ๐ฆ 2 + ๐ฅ 2 โ 2 ๐ฅ ๐ฆ + ๐ฆ 2
๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 + ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2
2 ๐ฅ + 2 ๐ฆ 2
c) ||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 <x, y>
( ๐ฅ + ๐ฆ, ๐ฅ + ๐ฆ 2 )2 โ ( (๐ฅ โ ๐ฆ, ๐ฅ โ ๐ฆ))2
= ๐ฅ + ๐ฆ, ๐ฅ + ๐ฆ - ๐ฅ โ ๐ฆ, ๐ฅ โ ๐ฆ = ๐ฅ, ๐ฅ + ๐ฆ > + < ๐ฆ, ๐ฅ + ๐ฆ - [ ๐ฅ, ๐ฅ โ ๐ฆ > + < โ๐ฆ, ๐ฅ โ ๐ฆ ] = ๐ฅ, ๐ฅ + ๐ฅ, ๐ฆ + ๐ฆ, ๐ฅ + ๐ฆ, ๐ฆ - [ ๐ฅ, ๐ฅ - ๐ฅ, ๐ฆ - ๐ฆ, ๐ฅ ]
= x 2 + 2 ๐ง, ๐ฆ + y
2 - x
2+ 2 ๐ฅ, ๐ฆ - y
2
=4 ๐ฅ, ๐ฆ
||x + y||2 - ||x + y||2 = 4 ๐ฅ, ๐ฆ
EJERCICIOS 3.3-3.4
EJERCICIO Nยบ1
Sean A, B โ ๐น๐ demostrar que
a) AโBโ ๐จยฐ โ ๐ฉยฐ
i) AC๐ ๐ , Sea X un punto inferior de A si โํ, ํ > 0
Tal que ๐ดํ ๐ด โ ๐ด
Entonces ๐ดยฐ โ ๐ด
๐๐ )๐ต๐ถ๐ ๐ Sea un punto inferior de B si โํ, ํ > 0
Tal que ๐ตํ ๐ต โ ๐ด
Entonces ๐ตยฐ โ ๐ด
Si A โ B โ X que es punto inferior de A tambiรฉn lo es de
โ ๐ดํ ๐ด โ ๐ตํ ๐ต
โ ๐ดยฐ๐ถ๐ตยฐ
Por lo tanto A โ Bโ ๐ดยฐ โ ๐ตยฐ
i) A โ B โ ๐จ ๐ช ๐ฉ
A โ ๐ ๐ , X e ๐ ๐ Se llama punto adherente de A si VG, G,
Abierto tal que X โ G โ G โฉ A โ 0 โ X โ ๐ด
Si A โ B โ X tambiรฉn punto adherente de B y
โ๐บ ; G abierto tal que X โ G
โ G โฉ B โ 0
โ ๐ โ ๐ต
Como ๐ โ ๐ด ๐ฆ ๐ โ ๐ต
Entonces ๐ด โ ๐ต por lo tanto Aโ B โ ๐ด โ ๐ต
EJERCICIOS 3.5-3.15
EJERCICIO Nยบ 1
Demuestre haciendo uso de la definiciรณn del limite
a) ๐ฅ๐ข๐ฆ ๐,๐ =โ(๐,๐)๐๐+๐๐
๐๐+๐๐ = ๐
โํ > 0 โ๐ฟ > 0 ๐ก๐๐ ๐๐ข๐ ๐ฅ โ ๐, ๐ฅ = ๐ฅ1, ๐ฅ2
๐ฅ โ 0 2 + ๐ฆ + 0 2 < ๐ฟ โ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ โ 0 < ํ
Debemos probar que โ๐ฟ > 0 tal que
๐ฅ2 + ๐ฆ2 < ๐ฟ โ ๐ฅ < ๐ฟ ๐ฆ ๐ฆ < ๐ฟ
๐ฅ4 + ๐ฆ4
๐ฅ2 + ๐ฆ2 =
๐ฅ4 + ๐ฆ4
๐ฅ2 + ๐ฆ2โค
๐ฅ4 + 2๐ฅ2๐ฆ2 + ๐ฆ4
๐ฅ2 + ๐ฆ2
๐ฅ2 + ๐ฆ2 2
๐ฅ2 + ๐ฆ2 = ๐ฅ2 + ๐ฆ2 = ๐ฅ 2 + ๐ฆ 2 < ๐ฟ2 + ๐ฟ2 = 2๐ฟ2 = ํ
Entonces ๐ฟ2=ํ
2โ ๐ฟ =
ํ
2
b) ๐ฅ๐ข๐ฆ ๐,๐ โ(๐,๐) ๐๐๐๐๐
๐+ ๐๐๐๐
๐
๐ = ๐
(๐ฅ โ 0)2 + (๐ฆ โ 0)2 < ๐ฟ
(๐ฅ)2 + (๐ฆ)2 < ๐ฟ โ ๐ฅ๐ ๐๐1
๐ฆ+ ๐ฆ๐ ๐๐
1
๐ฅ < ํ
๐ฅ < ๐ฟ, ๐ฆ < ๐ฟ ๐ฅ + ๐ฆ < ํ
Entonces ๐ฟ = ํ
c) ๐ฅ๐ข๐ฆ ๐,๐ โ(๐,๐)๐โ๐
๐๐โ๐๐= ๐
(๐ฅ โ 2)2 + (๐ฆ โ 1)2< ๐ฟ ๐ ๐ฅ, ๐ฆ โ 1 <ํ (๐ฅ โ 2)2 + (๐ฆ โ 1)2<๐ฟ ๐ฅ โ 2 < ๐ฟ ๐ฆ โ 1 < ๐ฟ
๐ ๐ฅ, ๐ฆ โ 1 = (๐ฅ โ 2)
๐ฆ(๐ฅ โ 2)โ 1 =
1
๐ฆโ 1 =
1 โ ๐ฆ
๐ฆ <
๐ฟ
๐ฆ
๐ฟ โค 1
2โ ๐ฆ โ 1 < ๐ฟ <
1
2 ๐ฆ โ 1 < 1
2
1- ๐ฆ โค ๐ฆ โ 1 < 12
1 โ 12 < ๐ฆ
1
2 < ๐ฆ
2 >1
๐ฆ
- ๐ ๐ฅ, ๐ฆ โ 1 <๐ฟ
๐ฆ < ๐ง๐ฟ
zโ ๐ฟ = ํ โ ๐ฟ = ํ
๐ง
d)๐ฅ๐ข๐ฆ ๐,๐ โ(๐,๐) (๐ โ ๐)๐ + (๐ + ๐)๐ = ๐
*โ ํ > 0 , โ๐ฟ > 0 tal que (๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ + 2)2 < ๐ฟ
= ๐ฅ โ 1 < ๐ฟ ๐ฆ ๐ฅ + 2 < ๐ฟ = [(๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ + 2)2] < ํ -(๐ฅ โ 1)2 + (๐ฆ + 2)2 = ๐ฅ โ 1 2 + ๐ฆ + 2 2 < ๐ฟ2 + ๐ฟ2 = 2๐ฟ2 = ํ = ๐ฟ2 = ๐
2
= ๐ฟ = ํ2
EJERCICIO N2
Determinar si existen:
a) ๐ฅ๐ข๐ฆ(๐,๐)โ(๐,๐)๐๐โ๐+๐
๐+๐
La funciรณn estรก definida en ๐ = ๐ 2 โ { 0,0 }
Haciendo ๐1 = { ๐ฅ, 0 ๐ฅ โ ๐ , ๐ฅ โ 0, ๐๐ข๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐๐ x}
๐2 = { 0, ๐ฆ ๐ฆ โ ๐ , ๐ฆ โ 0, ๐๐ข๐๐ก๐๐ ๐๐ ๐๐๐ y}
๐, ๐ถ ๐ ^ ๐2 ๐ถ ๐ ๐๐๐ก๐๐๐๐๐ ๐น ๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐, ๐ฆ
๐น ๐ฅ, 0 =๐ฅ(0) โ ๐ฅ + (0)
๐ฅ + 0=
โ๐ฅ
๐ฅ= โ1
Como ๐ญ ๐, ๐ โ ๐ญ(๐, ๐) No existe el lรญmite
b) lim(๐ฅ ,๐ฆ)โ(0,0)๐ฅ๐ฆ2
๐ฅ2+๐ฆ4
F estรก definida en ๐ = ๐ 2 โ { 0,0 }
Si ๐1 = {(๐ฅ, 0) ๐ฅ โ ๐ , ๐ฅ โ 0}
๐2 = {(0, ๐ฆ) ๐ฆ โ ๐ , ๐ฆ โ 0}
Como ๐1๐2 ๐ถ ๐, ๐น ๐๐ ๐ก๐ ๐๐๐๐๐๐๐๐ ๐๐ ๐, ๐ฆ ๐2
๐น ๐ฅ, 0 =๐ฅ(0)2
๐ฅ2 + (0)4=
0
๐ฅ2= 0
๐น 0, ๐ฆ =(0)(๐ฆ)2
(0)2 + (๐ฆ)4=
0
๐ฆ2= 0
Como ๐น ๐ฅ, 0 = ๐น(0, ๐ฆ) el lรญmite existe y es igual a 0
c) ๐ฅ๐ข๐ฆ(๐,๐)โ(๐,๐)๐๐+๐
๐๐+๐๐
Si ๐1 = {(๐ฅ, 0) ๐ฅ โ ๐ ๐ฅ โ 0}
๐1 = {(0, ๐ฆ) ๐ฆ โ ๐ ๐ฆ โ 0 }
Como ๐1y ๐2 โ ๐, F estรก definida en ๐1 y ๐2
f ๐ฅ, 0 = ๐ฅ2+(0)
๐ฅ2+(0)2 =๐ฅ2
๐ฅ2 = 1
f 0, ๐ฆ =(๐)2+๐ฆ
(0)2+๐ฆ2 =๐ฆ
๐ฆ2 =1
๐ฆ= โ
Como f ๐ฅ, ๐ โ f ๐, ๐ฆ lรญmite no existe
d) lim(๐,๐)โ(๐,๐)
๐ฅ4+๐ฆ4
๐ฅ2+๐ฆ2 =0
๐๐= 1
๐, 0 ๐๐ = 0,
1
๐
f ๐๐ =1
๐4
1๐2
= ๐2
๐4 =1
๐2 โ 0
f ๐๐ = 1
๐4
1๐2
= ๐2 ๐4 = 1 ๐2 โ 0
Como f (๐๐), y f (๐๐) Convergen al mismo limite entonces el lรญmite existe y es igual a 0 EJERCICIO Nยบ 3
Identificar las superficies siguientes.
a) ๐2 + 4๐2 โ 16๐2 = 0
๐2 + 4๐2 = 16๐2
๐2
16+
4๐2
16= ๐2
๐2
16+
๐ฆ4
4= ๐2
Cono Cuadrรกtico
b) ๐ฅ2 + 4๐ฆ2 + 16๐ง2 = 12
๐ฅ2
12+
4๐ฆ2
12+
16๐ง2
12= 1
๐ฅ2
12+
๐ฆ2
3+
4๐ง2
3= 1
๐ฅ2
12+
๐ฆ2
3+
๐ง2
34
= 1 ELIPSOIDE
e) 5๐2 + 2๐2 โ 6๐210 = 0
5๐2 + 2๐2 โ 6๐2 = 10
5๐ฅ2
10+
2๐ฆ2
10โ
6๐ง2
10= 1
๐ฅ2
2+
๐ฆ2
5โ
๐ง2
53
= 1 Hiperboloide de
una hoja
g)๐2 + ๐2 + ๐2 โ 4 = 0
๐2 + ๐2 + ๐2 = 4
๐2
4+
๐2
4+
๐2
4= 1 Hiperboloide de una hoja
h)5๐2 + 2๐2 โ 6๐2 + 10 = 0Hiperboloide de 2 hojas
5๐2 + 2๐2 โ 6๐2 = โ10
5๐2
10+
2๐2
10โ
6๐2
10= โ1
๐2
2+
๐2
5โ
๐2
53
= โ1
i)๐ฅ2 + 2๐ฆ2 โ 4๐ง = 0Paraboloide hiperbรณlico
๐ฅ2 + 2๐ฆ2 = 4๐ง
๐ฅ2 +๐ฆ2
12
= 4๐ง