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CapCapíítulo tulo VIIIVIII
FLUJO INTERNO VISCOSO FLUJO INTERNO VISCOSO INCOMPRESIBLEINCOMPRESIBLE
Texto guía:
Jairo A. Sandoval, Ms. Eng.
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ContenidoContenido
1. Introducción: Flujo laminar y turbulentoFlujo completamente desarrollado
2. Flujo laminar entre placas paralelas3. Flujo laminar en tuberías4. Distribución del esfuerzo cortante en tuberías
5. Perfil de velocidad turbulento en tuberías6. Consideraciones energéticas para flujo en tuberías7. Cálculo de las pérdidas de carga
8. Problemas típicos
Medición de flujo
9. Métodos directos de medición de flujo
10. Medición de flujo interno con restricciones
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Flujo interno vs. Flujo externo
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Flujo interno:
� Tuberías� Ductos� Toberas� Difusores� Contracciones� Expansiones� Válvulas� Accesorios
Incompresible: M < 0.3 →→→→ En Aire ~ 100 m/s
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8.1. Introducción: Flujo laminar y turbulento
νµρ DVDV
Re ==Tubería:Recritico ~ 2300
Región no viscosa
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Velocidad media: conservación de la masa →→→→ constante =m&
AVρρudAAρUmArea
≡== ∫0 &
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Longitud de entrada para flujo laminar:
D ReL ⋅≈ 06.0
Para Rec:
Para obtener información sobre el perfil de velocidad usaremos las ecuaciones diferenciales que desarrollamos (laminar).
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8.2. Flujo laminar entre placas paralelas
8.2.1. Placas estacionarias
8.2.2. Placas superior moviéndose a velocidad constante
© Fox, McDonald & Pritchard10
8.2.1. Placas estacionarias
Aplicación: pérdidas de aceite en un cilindro, por ejemplo.
Consideraciones:� Incompresible� Estable� Viscoso� No varía en z (2-D)� No varía en x,
completamente desarrollado
0
0
)(
===
w
v
yuu
1400≤=µ
ρ aVRe
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constantey
u
x
p =∂∂=
∂∂
2
2
µ gy
p ⋅−=∂∂ ρ
© Fox, McDonald & Pritchard12
constantedy
ud
y
u
x
p ==∂∂=
∂∂
2
2
2
2
µµ
x
p
dy
ud
∂∂=
2
2
µ 1cyx
p
dy
du +
∂∂=µ
212
2
1cy
cy
x
pu ++
∂∂=
µµ
20 c= ac
ax
p
µµ12
2
10 +
∂∂= a
x
pc
∂∂−=
2
11
La distribución de velocidades es:
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� Distribución de esfuerzos cortantes,� Flujo volumétrico,� Caída de presión como función del caudal,� Velocidad media,� Punto de velocidad máxima,
Ahora podemos calcular:
© Fox, McDonald & Pritchard14
� Distribución de esfuerzos cortantes:
∂∂+
∂∂==
y
u
x
vyxxy µττ
dy
duµ= 212
2
1cy
cy
x
pu ++
∂∂=
µµ
1cyx
p
dy
duyx +
∂∂== µτ
� Flujo volumétrico:
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� Caída de presión como función del caudal:
la
LQp
3
12µ=∆ ( )laVAVQ ⋅⋅==
� Velocidad media:
∫ ⋅=Area
AdVA
Vrr1
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� Punto de velocidad máxima:
� Transformación de coordenadas:punto medio
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�Ejemplo: pérdidas en pistón hidráulico
T = 50°C, Aceite SAE 10W
¿Cuál es la fuga de líquido?
� Análisis:
� Suposiciones:
(1) Laminar (3) Incompresible(2) Permanente (4) Totalmente desarrollado
© Fox, McDonald & Pritchard18
Verificar que sea laminar:
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8.2.2. Placas superior moviéndose a velocidad constante
1500≤=µ
ρ aVRe
Aplicación: Lubricación de cojinetes.
Similar al caso anterior, diferentes condiciones de borde:
© Fox, McDonald & Pritchard20
Reempezando:
Note que si ∂p/ ∂x = 0 →→→→ Variación lineal
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� Distribución de esfuerzos cortantes:dy
duyx µτ =
� Flujo volumétrico:
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� Velocidad media: ∫ ⋅=Area
AdVA
Vrr1
� Punto de velocidad máxima:
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� Distribución de Velocidades:
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�Ejemplo: Torque y potencia en un cojinete
Un cojinete que soporta el cigüeñal de un M.C.I. es lubricado con aceite SAE 30 a 210°F. El diámetro del cojinete es 3” con una holgura de 0.0025/2”; el eje rota a 3600 rpm, la longitud del soporte es 1.25”. El cojinete no tiene carga y la holgura es simétrica. ¿Cuál es el torque requerido para rotar en cojinete?, ¿Cuál es la potencia disipada?
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� Suposiciones:
(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Semejante a 2 placas planas infinitas (ya que L/a =
1.25/0.0125 = 1000)(6) ∂p/ ∂x = 0, pues el flujo es simétrico en el cojinete
� Esquema y datos:
Lubricante: aceite SAE-30T = 210°F, ω = 3600 rpmµ = 9.6 × 10-3 N·s/m2 (Fig. A-2)
= 2.01 × 10-4 lbf ·s/ft2
© Fox, McDonald & Pritchard26
� Análisis:
( )2
DDLT yx ⋅⋅= πτ
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a
Dyx 2
ωµτ =
0≥yxτ Actúa hacia la izquierda sobre la placa
LDT yx2
2τπ ⋅=El torque será:
La potencia será:
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Verificación del flujo laminar:
< 1500
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8.3. Flujo laminar en tuberías
Consideraciones:� Incompresible� Estable� Viscoso
� No varía en x, completamente desarrollado
� No varía en θ, simétrico
2300≤=µ
ρ DVRe
© Fox, McDonald & Pritchard30
( ) 0== Rru
)(
0
0
ruvv
v
v
xz
r
====θ
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© Fox, McDonald & Pritchard31
Ecuación de continuidad: ( ) ( ) ( ) 011 =
∂∂+
∂∂+
∂∂
xr vx
vr
rvrr θθ
Navier-Stokes dirección x:
∂∂+
∂∂+
∂∂
∂∂+
∂∂−=
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂
2
2
2
2
2
11x
vv
rr
vr
rrx
pg
x
vv
v
r
v
r
vv
t
v
xxxx
xx
xxr
x
θµρ
θρ θ
constanter
vr
rrx
p x =
∂∂
∂∂=
∂∂ 1µ
1
2
2c
r
x
p
r
vr x +
∂∂=
∂∂µ
r
cr
x
p
r
vx 1
2+
∂∂=
∂∂µ
© Fox, McDonald & Pritchard32
r
cr
x
p
r
vx 1
2+
∂∂=
∂∂µ
21
2
ln4
crc
x
pruvx ++
∂∂==
µµ
c1 debe ser igual a cero pues de lo contrario u(0) no tendría un valor finito:
2
2
4c
x
pruvx +
∂∂==
µUsando la condición de frontera:
2
2
40 c
x
pR +
∂∂=
µ
∂∂−=x
pRc
µ4
2
2
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© Fox, McDonald & Pritchard33
� Distribución de esfuerzos cortantes,� Flujo volumétrico,� Caudal como función de la caída de presión,� Velocidad media,� Punto de velocidad máxima,
Ahora podemos calcular:
� Distribución de esfuerzos cortantes:
∂∂+
∂∂=
r
v
x
v xrrx µτ
dr
du
dr
dvxrx µµτ ==
© Fox, McDonald & Pritchard34
� Flujo volumétrico:
drrdA π2=
� Caudal en términos de la caída de presión:
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© Fox, McDonald & Pritchard35
� Velocidad media:
� Punto de velocidad máxima:
El perfil de velocidad se puede escribir en términos de U como:
© Fox, McDonald & Pritchard36
�Ejemplo: Viscosímetro de capilaridad
Es posible construir un viscosímetro simple y preciso a partir de un tramo de tubería capilar; si se miden el flujo y la caída de presión, y se conoce la geometría del tubo, la viscosidad de un fluido newtoniano puede calcularse a partir de la ecuación:
Una prueba de cierto líquido en viscosímetro capilar brindó los siguientes resultados:
Determine la viscosidad del líquido.
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© Fox, McDonald & Pritchard37
� Suposiciones:
(1) Laminar(2) Permanente(3) Incompresible(4) Totalmente desarrollado(5) Tubo Horizontal
� Esquema y datos:
© Fox, McDonald & Pritchard38
� Análisis:
Verificación del flujo laminar:
Asumiendo densidad similar a la del agua (999 kg/m3):
< 2300
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© Fox, McDonald & Pritchard39
Flujo en Tuberías y Ductos
� Tuberías� Ductos� Sistemas de flujo
∆p = ? en
Sin fricción → BernoulliCon fricción → Real
∆p → PérdidasMayores (tramos rectos)
Menores: Válvulas, accesorios, T’s, Y’s, codos …
© Fox, McDonald & Pritchard40
Tubos y ductos → sección circular Otras formas:diámetro hidráulico
Flujo laminar: Sección 8.3Flujo turbulento: sigue !
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© Fox, McDonald & Pritchard41
8.4. Distribución del esfuerzo cortante en tuberías con flujo completamente desarrollado
costante
Esfuerzovs
Presión
Caída.
Apliquemos la ecuación de momentum componente x:
Consideraciones:1. Tubo horizontal, FBx = 02. Permanente
3. Incompresible4. Totalmente desarrollado
0 (1) 0 (2) 0 (3,4)
© Fox, McDonald & Pritchard42
0, =xSF
0222
22, =⋅+
∂∂+−
∂∂−= rdxr
dx
x
ppr
dx
x
ppF rxxS πτππ
022, =⋅+
∂∂−= rdxrdxx
pF rxxS πτπ x
prrx ∂
∂=2
τ
Varía lineal con r
El cortante en la pared, w:
[ ]x
pRRrrxw ∂
∂−=−= = 2ττ 0 si 0 <
∂∂>x
pwτ
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© Fox, McDonald & Pritchard43
x
pRw ∂
∂−=2
τ
Note que para nada se tocó la relación τ-u. Esta relación aplica para régimen laminar o turbulento.
Si se conoce la relación entre τ y u. (p.e. laminar newtoniano) se puede determinar la caída de presión analíticamente.
Para caso turbulento no es simple →→ resultados experimentales
=
→
×
adyacentes
capas entre
momentum
Transporte
aturbulenci
velocidad
nesFluctuacioPuede verse como un Esfuerzo extra (aparente)
© Fox, McDonald & Pritchard44
y → distancia desde la pared del tubou → velocidad mediau’, v’ → componentes fluctuantes de la velocidad en x y yu’v’ →media en el tiempo del producto u’ v’
: Esfuerzo de Reynolds, cortante turbulento
Cerca de la pared: es dominante el esfuerzo constante laminar (viscoso)
Cerca del centro: es dominante el cortante turbulento
Cortante turbulento
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© Fox, McDonald & Pritchard45
8.5. Perfil de velocidad turbulento en tuberías
En flujo turbulento, el perfil de velocidades puede aproximarse como:
Donde n varía con Re, y U es la velocidad en el centro.
© Fox, McDonald & Pritchard46
Otras expresiones útiles son:
Donde ReU es el número de Reynolds calculado con la velocidad máxima U, y V trazo es la velocidad media.
Para n = 6, ReV (con Vmedia) ≈ 15000.Para n = 10, ReV ≈ 2.7 × 106
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© Fox, McDonald & Pritchard47
8.6. Consideraciones energéticas para flujo en tuberías
Conservación de la energía:
© Fox, McDonald & Pritchard48
Consideraciones:1. Wshaft = 0, Wother = 02. Wshear= 0 pues aunque
hay esfuerzos en las paredes, la velocidad es cero allí.
3. Permanente4. Incompresible
5. Energía interna y presión uniformes en las secciones (1) y (2)
0 (1) 0 (1)0 (2)
0 (3)
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© Fox, McDonald & Pritchard49
∫ ⋅
+++=
SCgz
VpuQ AdV
2
2 rr& ρ
ρ
∫∫
++++
+++−=
21
VdA2
VdA2
22
AAgz
Vpugz
VpuQ ρ
ρρ
ρ&
∫∫
∫∫
+
+++
−
++−=
22
11
22
22
2222
2
11
21
1111
1
dAV2
dAV
dAV2
dAV
AA
AA
Vgz
pu
Vgz
puQ
ρρρ
ρρρ
&
m&
© Fox, McDonald & Pritchard50
Para no usar las integrales, definimos el coeficiente de energía cinética, α, de tal forma que:
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© Fox, McDonald & Pritchard51
En flujo laminar α = 2.0; en flujo turbulento:
Para n = 6, α = 1.08. Para n = 10, α = 1.03. Al incrementar la turbulencia, α→ 1.0
© Fox, McDonald & Pritchard52
Entonces la ecuación de energía puede escribirse como:
o,
Reorganizando tenemos:
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© Fox, McDonald & Pritchard53
Energía mecánica por unidad de masa en la sección transversal
Diferencia en la energía mecánica entre las secciones (1) y (2).
Conversión irreversible de la energía mecánica en energía térmica no
deseada (u2-u1) y calor.
A este último término lo llamaremos la energía total perdida por unidad de masa, hl,T, o pérdidas de carga.
© Fox, McDonald & Pritchard54
[L 2/t2][FL/M]
� Pérdidas de carga:
Energía total perdida por unidad de masa:
Energía total perdida por unidad de peso del fluido:
[L]
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© Fox, McDonald & Pritchard55
8.7. Cálculo de las pérdidas de carga
+
=
...) ,accesorios (entradas,
menores
Pérdidas
rectos) (tramos
mayores
Pérdidas
carga
de total
Pérdida
mT lll hhh +=
© Fox, McDonald & Pritchard56
8.7.1. Pérdidas mayores: Factor de FricciónEn general tenemos que:
Donde:
[L 2/t2][FL/M]
Flujo desarrolladoen tubería de
sección constante
mT lll hhh +=
0=mlh
22
22
_
2
21
_
1
VV αα =
( ) lhzzgpp =−+−
2121
ρ
^
Entonces,
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© Fox, McDonald & Pritchard57
( ) lhzzgpp =−+−
2121
ρ
Si el tubo es horizontal, z1 = z2, y
La pérdida de carga mayor equivale a la caída de presión ( / ρ) en flujo completamente desarrollado a través de una tubería horizontal de área constante.
La pérdida de carga es independientede la orientación de la tubería.
© Fox, McDonald & Pritchard58
a) Caso flujo laminarDe la ecuación 8.13c
Despejamos la caída de presión que podemos reemplazar en la ecuación 8.32 para las pérdidas mayores:
Por lo que las pérdidas mayores son:
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© Fox, McDonald & Pritchard59
Es práctico expresarlas en términos de Re:µ
ρ DVRe
_
=
Otra forma de expresar las pérdidas mayores es:
© Fox, McDonald & Pritchard60
b) Caso flujo turbulento: Experimentalmente
rugosidad
Aplicando análisis dimensional,
De experimentación, la pérdida de carga adimensional es directamente proporcional a L/D, entonces
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© Fox, McDonald & Pritchard61
* ½, da
Factor de fricción (de Darcy):
Energía cinética por unidad de masa
Consecuentemente,
© Fox, McDonald & Pritchard62 (1944)
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© Fox, McDonald & Pritchard63
¿Esto significa que las pérdidas mayores son siempre proporcionales a la velocidad al cuadrado?
→ ¡CLARO QUE NO!Pero si son proporcionales a la velocidad, no al cuadrado claro.
� Factor de fricción flujo laminar: Re< 2300
© Fox, McDonald & Pritchard64
� Factor de fricción flujo turbulento: Re> 2300
Hay varias correlaciones.
� Ecuación de Colebrook (1938):
Se recomienda usar en la primera iteración (error ≈ 1%):
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© Fox, McDonald & Pritchard65
� Rugosidades de diferentes tuberías (nuevas):
- Acero remachado
- Estaca de madera- Hierro fundido
- Hierro forjado- Tubo estirado
� Ecuación de Blasius (1938): para tubería lisa
510Re<<2300
© Fox, McDonald & Pritchard66
� Nota sobre el factor de fricción:
A números de Reynolds muy grandes la mayor parte de los elementos rugosos de la pared del tubo sobresalen a través de la subcapa viscosa;El arrastre y por tanto la pérdida de presión, dependen sólo del tamaño de los elementos rugosos. Lo anterior recibe el nombre de flujo completamente rugoso. En éste régimen el factor de fricción depende sólo de e / D.
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8.7.2. Pérdidas menores:
Dos opciones:� Coeficiente de pérdida� Longitud equivalente
� Coeficiente de pérdida:
� Longitud equivalente de tubería recta:
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A continuación veremos:a. Entradas y salidas d. Válvulas y accesoriosb. Aumentos y contracciones e. Ductos no circularesc. Codos
a. Entradas y salidas:
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b. Aumentos y contracciones:
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� Para difusores: Coeficiente de recuperación de presión, Cp
El coeficiente de recuperación de presión, Cp , se relaciona con la pérdida de carga mediante:
donde, Cp i es el coeficiente de recuperación de presión en un fluido ideal (no viscoso):
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c. Codos:
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d. Válvulas y accesorios:
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Diámetro hidráulico:
donde,A = Área de la sección transversalP = Perímetro mojado
e. Ductos no circulares:
En un ducto circular:
En un ducto rectangular, b*h:
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En un ducto rectangular, b*h:
Definiendo la relación proporcional, ar, cómo ar = h/b, entonces:
El diámetro hidráulico puede usarse para
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8.7.3. Bombas y Ventiladores:
Balance de energía para el fluido en una bomba, despreciando la transferencia de calor:
La carga (o cabeza) de la bomba, ∆hpump, es la energía suministrada al fluido por unidad de masa:
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En muchas situaciones los diámetros de entrada y salida son similares (y por tanto las velocidades) y la elevación despreciable. Entonces:
Si multiplicamos por
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La energía consumida dependerá de la eficiencia de la bomba:
Por otro lado, si aplicamos la 1ª Ley a un tramo que contiene una bomba (o ventilador), la cabeza de la bomba puede verse como una pérdida negativa:
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� Diámetros de tubería comercial:
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�Energy Equation
8.8. Problemas típicos
Resumen:
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�Major Losses
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�Minor Losses
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� Single Patha) Find Dp for a given L, D, and Q
Use energy equation directly
b) Find L for a given Dp, D, and QUse energy equation directly
Cómo solucionar problemas:
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� Single Path (Continued)c) Find Q for a given Dp, L, and D
1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to find V (or Q), or
2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction factor formula using (for example) Excel
d) Find D for a given Dp, L, and Q1. Manually iterate energy equation and friction factor formula to
find D, or2. Directly solve, simultaneously, energy equation and friction
factor formula using (for example) Excel
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� Multiple-Path SystemsExample:
Cómo solucionar problemas:
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� Multiple-Path Systems• Solve each branch as for single path
• Deben usarse estas dos reglas para determinar las restricciones qua acotan el problema:1. En los nodos no se acumula fluido (Qin = Quot)2. La presión en cada nodo es única
• To complete solution of problem1. Manually iterate energy equation and friction factor for
each branch to satisfy all constraints, or2. Directly solve, simultaneously, complete set of equations
using (for example) Excel
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� Suposiciones:
(1) Permanente(2) Incompresible(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) En turbulento α ≈ 1
� Análisis: Balance de energía
�� EJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE UNA VÍÍ AA
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� Pérdidas mayores:
� Pérdidas menores:
Además:
Simplificando:
Despejando d:
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Cómo conocemos el caudal:
Determinemos f y K:
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51070.1 ×=Re
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???
???
==
W
L&
� Suposiciones:
(1) Permanente(2) ρ y µ constantes(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) Tubo horizontal
(6) Sin pérdidas menores
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� Análisis: Balance de energía en volúmenes de control 1 y 2
Para el CV1:
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Para el CV2:
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� Suposiciones:
(1) Permanente(2) V1 ≈ 0, α2 ≈ 1(3) Totalmente desarrollado(4) Viscoso(5) ρ y µ constantes
???=Q
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� Análisis: Balance de energía
Iterar
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Despejando V:
Como primera iteración, tomemos f de la región completamente rugosa:
03.0≈f
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???=D
� Suposiciones:
(1) Permanente(2) V1 = V2 0; α1 ≈ α2; z1 = z2
(3) Totalmente desarrollado
(4) Viscoso e Incompresible(5) Pérdidas menores despreciables
∆∆∆∆pmax →→→→ Dmin
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� Análisis: Balance de energía
Necesitamos poner todo en términos de D: Re, f, V, …
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Ahora debemos suponer un diámetro de tubería, por ejemplo 4”con un diámetro interno de:
Ahora debemos calcular Re y e / D para determinar f y poder despejar D, e iterar nuevamente.
inD 026.4=
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Resolviendo para D encontramos: D= 5.54” (OJO CON LAS UNIDADES). Indicando que si f = 0.012 entonces el diámetro mínimo deberá ser el valor calculado.Tomemos entonces una tubería con diámetro nominal 6” y miremos si ∆∆∆∆P es menor que ∆∆∆∆Pmax. El diámetro interno es:
inD 065.6=
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![Page 53: Ejercicios. Flujo Interno Viscoso Incompresible](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022050805/55cf94f5550346f57ba59384/html5/thumbnails/53.jpg)
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�� EJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS VEJEMPLOS DE SISTEMAS DE VARIAS V ÍÍ ASAS
Caídas de presión, h:
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2
_2V
D
Lfh
pl ==∆
ρ
Despreciando las pérdidas menores:
Toca ayudarse con el computador, sino ¿cuándo terminamos?
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Flow Measurement
�Direct Methods• Examples: Accumulation in a Container; Positive
Displacement Flowmeter
�Restriction Flow Meters for Internal Flows• Examples: Orifice Plate; Flow Nozzle; Venturi;
Laminar Flow Element
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� Linear Flow Meters• Examples: Float Meter (Rotameter); Turbine;
Vortex; Electromagnetic; Magnetic; Ultrasonic
Flow Measurement
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�Traversing Methods• Examples: Pitot (or Pitot Static) Tube; Laser
Doppler Anemometer
Flow Measurement