Grupo Matagalpino de matemáticas: Los Karamasov 2011 1. Grupo de Orden 8 Consideremos el plano 𝑃 = 𝑥,𝑦 : 𝑥 ,𝑦 𝑠𝑜𝑛 𝑟𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 y las aplicaciones 𝑓,𝑔 ∈ 𝐴(𝑃) definidas por

𝑓 𝑥,𝑦 = −𝑥,𝑦 y 𝑔 𝑥,𝑦 = −𝑦, 𝑥 . 𝑓 es la reflexión respecto al eje 𝑦 y 𝑔 es la rotación de

90° en sentido opuesto a las manecillas del reloj respecto del origen. Definiendo

𝐺 = 𝑓𝑖𝑔𝑗 : 𝑖 = 0,1; 𝑗 = 0, 1, 2, 3 y sea * en G el producto de elementos de 𝐴(𝑃). Se tiene como

aplicación identidad

𝑓2 = 𝑔4.

2. Sea 𝐺 el conjunto de todas las aplicaciones 𝑇𝑎 ,𝑏 :ℝ → ℝ definidas por 𝑇𝑎 ,𝑏 𝑟 =

𝑎𝑟 + 𝑏 para todo número real r, donde 𝑎, 𝑏 son números reales 𝑎 ≠ 0. La pareja

(G,*) es un grupo, estando * definida como sigue:

𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑇𝑐 ,𝑑 = 𝑇𝑎𝑐 ,𝑎𝑑+𝑏

Defínanse H y K como sigue,

𝐻 = 𝑇𝑎 ,𝑏𝜖𝐺|𝑎 𝑒𝑠 𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙 , 𝑏 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 y

𝐾 = 𝑇1,𝑏𝜖𝐺|𝑏 𝑒𝑠 𝑐𝑢𝑎𝑙𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟 𝑟𝑒𝑎𝑙 .

Las parejas (H,*) y (K,*) son grupos. El primero no abeliano, el segundo abeliano.

2.1 Demuéstrese que 𝑻𝒂,𝒃𝝐𝑮,𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑻𝒂,𝒃 ∗ 𝑽 ∗ 𝑻𝒂,𝒃−𝟏𝝐𝑯 𝒔𝒊 𝑽𝝐𝑯.

Prueba

() Primero probamos que 𝑠𝑖 𝑇𝑎 ,𝑏𝜖𝐺 𝑦 𝑉𝜖𝐻, entonces 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐻.

* 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3

𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3

𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔0 𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2

𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1

𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔0

𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3

𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2

𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔2 𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔0 𝑓0𝑔1

𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔3 𝑓1𝑔0 𝑓1𝑔1 𝑓1𝑔2 𝑓0𝑔1 𝑓0𝑔2 𝑓0𝑔3 𝑓0𝑔0

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Si 𝑉𝜖𝐻, entonces tiene la forma 𝑇𝑎′ ,𝑏′ 𝑐𝑜𝑛 𝑎′ ∈ ℚ 𝑦 𝑏′ ∈ ℝ, luego

𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑇𝑎 ′ ,𝑏 ′ = 𝑇𝑎𝑎 ′ ,𝑎𝑏 ′ +𝑏 ; luego el inverso de 𝑇𝑎 ,𝑏 es 𝑇𝑎 ,𝑏−1 = 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0, luego

𝑇𝑎𝑎 ′ ,𝑎𝑏 ′ +𝑏 ∗ 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 = 𝑇𝑎 ′ ,𝑎 ′ 𝑏+𝑎 ′ 𝑏+𝑏 = 𝑇𝑎 ′ ,𝑏(2𝑎 ′ +1) ; como 𝑎′ ∈ ℚ 𝑦 𝑏(2𝑎′ +

1) 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑟𝑒𝑎𝑙 entonces 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐻.

() Ahora probamos que 𝑠𝑖 𝑇𝑎 ,𝑏𝜖𝐺 𝑦 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐻 , entonces 𝑉𝜖𝐻.

𝑆𝑖 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐻 entonces 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏

−1 = 𝑇𝑎′ ,𝑏′ con 𝑎′ ∈ ℚ, 𝑏 ∈ ℝ ,

además el inverso tiene la forma 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 ∈ 𝐻, luego tenemos que

𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1 = 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 ∗ 𝑇𝑎′ ,𝑏′ de donde

𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1 = 𝑇𝑎′𝑎−1 ,−𝑎′𝑎−1𝑏+𝑎′𝑏′ multiplicando esto último por 𝑇𝑎 ,𝑏 resulta

𝑉 = 𝑇𝑎 ′ ,−𝑎 ′ 𝑎−1

𝑏+𝑎−1𝑎 ′ 𝑏+𝑎′𝑏′= 𝑇𝑎′ ,𝑎′𝑏′ como 𝑎′ ∈ ℚ,𝑎′𝑏′ ∈ ℝ ,luego 𝑉 ∈ 𝐻.

2.2 Demuéstrese que 𝑻𝒂,𝒃𝝐𝑯, 𝒆𝒏𝒕𝒐𝒏𝒄𝒆𝒔 𝑻𝒂,𝒃 ∗ 𝑽 ∗ 𝑻𝒂,𝒃−𝟏𝝐𝑲 𝒔𝒊 𝑽𝝐𝑲.

Prueba

() Primero probamos que 𝑠𝑖 𝑇𝑎 ,𝑏𝜖𝐻 𝑦 𝑉𝜖𝐾, entonces 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐾.

Si 𝑇𝑎 ,𝑏𝜖𝐻 y 𝑉𝜖𝐾, entonces 𝑉 = 𝑇1,𝑐 𝑐 ∈ ℝ , además 𝑇𝑎 ,𝑏−1 = 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 de ahí

que

𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1 = 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑇1,𝑐 ∗ 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0

= 𝑇𝑎 ,𝑎𝑐+𝑏 ∗ 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0

= 𝑇1,−𝑏+𝑎𝑐+𝑏

= 𝑇1,𝑎𝑐 𝜖𝐾

() Ahora probamos que 𝑠𝑖 𝑇𝑎 ,𝑏𝜖𝐻 𝑦 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐾 , entonces 𝑉𝜖𝐾.

Si 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏−1𝜖𝐾 entonces 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏

−1 = 𝑇1,𝑐 𝑐 ∈ ℝ, multiplicando ambos

lados por 𝑇𝑎 ,𝑏 queda 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 ∗ (𝑇𝑎 ,𝑏−1 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏) = 𝑇1,𝑐 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏 de donde 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 =

𝑇𝑎 ,𝑏+𝑐 multiplicando nuevamente ambos lados por 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 i.e.

𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑉 = 𝑇𝑎−1 ,−𝑎−1𝑏+0 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏+𝑐 resulta

𝑉 = 𝑇1,𝑏+𝑐−𝑏𝑎

= 𝑇1,𝑐 𝑎 𝜖𝐾.

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3. Si G es un grupo abeliano, probar que (𝒂 ∗ 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ∗ 𝒃𝒏 para todos los

enteros 𝒏.

Prueba

Haciendo inducción sobre 𝑛 ≥ 0

Si 𝑛 = 0 se tiene (𝑎 ∗ 𝑏)0 = 𝑎0 ∗ 𝑏0 , lo cual es verdadero. Supongamos que

(𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 es verdadero para todo 𝑛 ≥ 0. Veamos qué sucede tomando

como exponente 𝑛 + 1.

(𝑎 ∗ 𝑏)𝑛+1 =

(𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 𝑎 ∗ 𝑏 definición de potencias

=

𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 𝑎 ∗ 𝑏 Por hipótesis inductiva

=

𝑎𝑛 ∗ 𝑎 𝑏𝑛 ∗ 𝑏 Por asociatividad y conmutatividad

=

𝑎𝑛+1 ∗ 𝑏𝑛+1 Por definición de potencias

Por lo que (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛+1 = 𝑎𝑛+1 ∗ 𝑏𝑛+1.

Para −𝑛 < 0 , podemos escribir (𝑎 ∗ 𝑏)−𝑛 = 𝑎−𝑛 ∗ 𝑏−𝑛 como (𝑎 ∗ 𝑏)−1 𝑛 =

𝑎−1 𝑛 ∗ 𝑏−1 𝑛 , luego por lo probado anteriormente se concluye que (𝑎 ∗ 𝑏)𝑛 =

𝑎𝑛 ∗ 𝑏𝑛 es válido para todo entero 𝑛.

4. Si G es un grupo en el cual 𝒂𝟐 = 𝒆 ∀𝒂𝝐𝑮, demuéstrese que G es abeliano.

Esto es, debemos probar que Si 𝑎2 = 𝑒 ∀𝑎𝜖𝐺 → 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎; ∀𝑎, 𝑏𝜖𝐺.

Prueba

Si realizamos el producto

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 =

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎

=

𝑎 ∗ 𝑏2 ∗ 𝑎

=

𝑎 ∗ 𝑎

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= =

𝑎2 𝑒

Hemos encontrado que 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒, por otro lado como todo elemento al

cuadrado en G es la identidad, entonces podemos plantear:

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 Porque ambos son 𝑒.

𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 Multiplicando ambos lados por 𝑎 ∗ 𝑏 y

asociando (𝑎 ∗ 𝑏)2 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = (𝑎 ∗ 𝑏)2 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 𝑒 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑒 ∗ 𝑏 ∗ 𝑎 Dado que todo

elemento de G elevado al cuadrado es 𝑒.

𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 Propiedad de identidad.

5. Si G es el grupo definido en 2, encuéntrese todas las 𝑻𝒂,𝒃 ∈ 𝑮 tales que

𝑻𝒂,𝒃 ∗ 𝑻𝟏,𝒙 = 𝑻𝟏,𝒙 ∗ 𝑻𝒂,𝒃

Como 𝑇𝑎 ,𝑏 ∗ 𝑇1,𝑥 = 𝑇𝑎 ,𝑎𝑥+𝑏 y 𝑇1,𝑥 ∗ 𝑇𝑎 ,𝑏 = 𝑇𝑎 ,𝑏+𝑥 , entonces

𝑇𝑎 ,𝑎𝑥+𝑏 = 𝑇𝑎 ,𝑏+𝑥 = 𝑇𝑎 ,𝑥+𝑏 cuando 𝑎 = 1, de ahí que las aplicaciones buscadas

deben ser de la forma 𝑇1,𝑏 .

6. Grupo Diédrico de orden 6

Sea P el plano y f la aplicación como en el punto 1. Sea 𝑛 = 3 y h la rotación del plano

respecto al origen a través de un ángulo de 2𝜋

𝑛= 120 en sentido opuesto a las agujas del

reloj. Se define 𝐺 = 𝑓𝑘𝑕𝑗| 𝑘 = 0, 1; 𝑗 = 0, 1, 2 y el producto * en G vía el producto usual

de aplicaciones. Se verifica que 𝑓2 = 𝑕3 = 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 y que la pareja (G,*) es un

grupo de orden 6 no abeliano, como se ve en la tabla.

* 𝑓0𝑕0 𝑓0𝑕1 𝑓0𝑕2 𝑓1𝑕0 𝑓1𝑕1 𝑓1𝑕2

𝑓0𝑕0 𝑓0𝑕0 𝑓0𝑕1 𝑓0𝑕2 𝑓1𝑕0 𝑓1𝑕1 𝑓1𝑕2

𝑓0𝑕1 𝑓0𝑕1 𝑓0𝑕2 𝑓0𝑕0 𝑓1𝑕2 𝑓1𝑕0 𝑓1𝑕1

𝑓0𝑕2 𝑓0𝑕2 𝑓0𝑕0 𝑓0𝑕1 𝑓1𝑕1 𝑓1𝑕2 𝑓1𝑕0

𝑓1𝑕0 𝑓1𝑕0 𝑓1𝑕1 𝑓1𝑕2 𝑓0𝑕0 𝑓0𝑕1 𝑓0𝑕2

x

yx

y

x

y

h0

h1

h2

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Para elaborar la tabla se debe tomar en cuenta las siguientes igualdades.

𝑓0𝑕0 𝑥,𝑦 = 𝑥,𝑦

𝑓0𝑕1 𝑥, 𝑦 = 𝑕1 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃,𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑓0𝑕2 𝑥,𝑦 = 𝑕2 𝑥,𝑦 = 𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃,𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝜃

𝑓1𝑕0 𝑥,𝑦 = 𝑓1 𝑥,𝑦 = −𝑥,𝑦

𝑓1𝑕1 𝑥,𝑦 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃,𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃

𝑓1𝑕2 𝑥,𝑦 = −𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃,𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝜃

Además, se toma en cuenta que 𝑓1𝑕1 𝑥, 𝑦 = −𝑥𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑦𝑠𝑒𝑛2𝜃, 𝑦𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝑥𝑠𝑒𝑛2𝜃 = −𝑥𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑦𝑠𝑒𝑛𝜃, 𝑦𝑐𝑜𝑠𝜃 − 𝑥𝑠𝑒𝑛𝜃

cuando 𝜃 = 120.

Una fórmula conocida para encontrar los resultados de la tabla es la siguiente:

𝑓𝑎𝑕𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝑕𝑑 = 𝑓𝑎+𝑐𝑕 −1 𝑐𝑏+𝑑

7. Refirámonos al punto 6 anterior. Probar que (G,*) es un grupo para 𝐧 = 𝟒.

Prueba La fórmula 𝑓𝑎𝑕𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝑕𝑑 = 𝑓𝑎+𝑐𝑕 −1 𝑐𝑏+𝑑 del párrafo anterior nos da la cerradura.

A continuación probamos la asociatividad

𝑓𝑎𝑕𝑏 ∗ 𝑓𝑐𝑕𝑑 ∗ 𝑓𝑎 ′𝑕𝑏

′ = 𝑓𝑎+𝑐𝑕 −1 𝑐𝑏+𝑑 ∗ 𝑓𝑎 ′

𝑕𝑏 ′ = 𝑓 𝑎+𝑐 +𝑎 ′

𝑕 −1 𝑎′ −1 𝑐𝑏+𝑑 +𝑏 ′

= 𝑓𝑎+ 𝑐+𝑎 ′ 𝑕

−1 𝑎′ −1 𝑐𝑏+ −1 𝑎

′𝑑 +𝑏 ′

= 𝑓𝑎+ 𝑐+𝑎 ′ 𝑕 −1 𝑎

′ −1 𝑐𝑏+ −1 𝑎

′𝑑+𝑏′

= 𝑓𝑎𝑕 −1 𝑎′ −1 𝑐𝑏 ∗ 𝑓 𝑐+𝑎 ′ 𝑕 −1 𝑎

′𝑑+𝑏′

= 𝑓𝑎𝑕𝑏 ∗ (𝑓𝑐𝑕𝑑 ∗ 𝑓𝑎′𝑕𝑏′)

Como en 6, la identidad es siempre 𝑓0𝑕0 . Encontremos la forma que tiene el inverso de cualquier

elemento de G. Para esto tomemos 𝑓𝑎𝑕𝑏 . Si 𝑓 𝑖𝑕𝑗 es el inverso de 𝑓𝑎𝑕𝑏 entonces debe ocurrir

𝑓1𝑕1 𝑓1𝑕1 𝑓1𝑕2 𝑓1𝑕0 𝑓0𝑕2 𝑓0𝑕0 𝑓0𝑕1

𝑓1𝑕2 𝑓1𝑕2 𝑓1𝑕0 𝑓1𝑕1 𝑓0𝑕1 𝑓0𝑕2 𝑓0𝑕0

Imágenes de los ejes coordenados bajo la rotación h.

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que 𝑓𝑎𝑕𝑏 ∗ 𝑓 𝑖𝑕𝑗 = 𝑓0𝑕0 = 𝑓 𝑖𝑕𝑗 ∗ 𝑓𝑎𝑕𝑏 . Aplicando de 6, resulta 𝑓𝑎+𝑖𝑕 −1 𝑐𝑏+𝑗 = 𝑓0𝑕0 de

ahí que 𝑎 + 𝑖 = 0 y −1 𝑐𝑏 + 𝑗 = 0 por tanto 𝑖 = 𝑎 y 𝑗 = − −1 𝑐𝑏 , luego existe inverso y

tiene la forma 𝑓 𝑖𝑕𝑗 = 𝑓𝑎𝑕− −1 𝑐𝑏 .

Por todo lo anterior, la pareja (G,*) es un grupo.

Aclaración: La suma realizada con los exponentes de 𝑓 coincide con la suma en ℤ2 y análogamente

para 𝑕 en ℤ4.

8. Demuéstrese que cualquier grupo G de orden 4 o menor es abeliano.

Prueba

(1) Si G tiene sólo un elemento, este elemento debe ser la identidad, por tanto es evidente

que es conmutativo.

(2) Si el grupo es de orden 2 entonces tiene dos elementos 𝑎 𝑦 𝑒 𝑡𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑎 ≠ 𝑒. Tomamos

𝑒 como la identidad. Si la operación es ∗ entonces 𝑎 ∗ 𝑒 = 𝑎 = 𝑒 ∗ 𝑎, 𝑒 ∗ 𝑒 = 𝑒 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑒.

En el caso de 𝑎 ∗ 𝑎 el resultado no puede ser 𝑎 dado que 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎 implica que

𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎−1 = 𝑎 ∗ 𝑎−1 de donde 𝑎 = 𝑒. Esta última igualdad contradice la hipótesis de

que el grupo tiene 2 elementos.

(3) Si el grupo es de orden 3, entonces tiene tres elementos diferentes: 𝑒,𝑎, 𝑏. Supongamos

que 𝑒 es la identidad. Tenemos las igualdades siguientes:

𝑒 ∗ 𝑎 = 𝑎 = 𝑎 ∗ 𝑒 , 𝑒 ∗ 𝑏 = 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑒 , 𝑒 ∗ 𝑒 = 𝑒 . Ahora bien, debemos indicar a qué

elementos son iguales las siguientes expresiones 𝑎 ∗ 𝑎, 𝑎 ∗ 𝑏, 𝑏 ∗ 𝑎 𝑦 𝑏 ∗ 𝑏. Dado que

𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎, 𝑏 ∗ 𝑏 = 𝑏, 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑒 𝑦 𝑏 ∗ 𝑏 = 𝑒, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎, 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏, 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑎 𝑦 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑏 nos

conducen a contradicciones debe ocurrir que 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑏, 𝑏 ∗ 𝑏 = 𝑎,𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑏 ∗ 𝑎 = 𝑒 .

Revisando todas las igualdades, vemos que el grupo es conmutativo.

(4) Para un grupo de orden 4, tenemos las tablas del grupo cíclico de orden 4 y del grupo de

Klein en las cuales se puede ver que se cumple la conmutatividad.

Grupo de Klein Grupo cíclico de orden 4

∗ e a b c

e e a b c

a a e c b

b b c e a

c c b a e

∗ e a b c

e e a b c

a a c e b

b b e c a

c c b a e

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9. Si G es cualquier grupo y 𝒂,𝒃, 𝒄 ∈ 𝑮, demostrar que si 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 ∗ 𝒄, entonces

𝒃 = 𝒄, y si 𝒃 ∗ 𝒂 = 𝒄 ∗ 𝒂, entonces 𝒃 = 𝒄.

Prueba

Supongamos que 𝒂 ∗ 𝒃 = 𝒂 ∗ 𝒄, entonces multiplicando ambos lados por el inverso

de 𝒂, nos queda 𝑎−1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑏 = 𝑎−1 ∗ 𝑎 ∗ 𝑐 de donde sale 𝑏 = 𝑐. Análogamente

para la otra parte.