CLCULOPrimer curso de Ingeniero de TelecomunicacinPrimer Examen Parcial. 26 de Enero de 2009

Ejercicio 1. Dos fbricas se localizan en las coordenadas ( 0) y ( 0) consuministro elctrico ubicado en (0 ) Determinar el punto (0 ) de maneratal que longitud total de la lnea de transmisin elctrica desde el suministroelctrico hasta las fbricas sea un mnimo.

Solucin. La longitud total de la lnea de transmisin elctrica () es() = + 2p2 + 2

Debemos calcular el mnimo de esta funcin cuando [0 ] Los puntoscrticos de esta funcin son la soluciones de 0() = 0 en el intervalo (0 ).Resolvemos la ecuacin

0() = 1 + 2p2 + 2 = 0 2 =p2 + 2 32 = 2siendo = 3 la nica solucin en el intervalo (0 ). Observemos que0() 0 si 3 y que 0() 0 si 3 luego la funcin esdecreciente en el intervalo

0 3 y creciente en el intervalo 3 .

Ahora, distinguiremos dos casos:

1. Si el punto crtico 3 , entonces, por el razonamiento anterior,el mnimo se alcanza en el punto

0 3.

2. Si 3 , la funcin () no tiene puntos crticos en el intervalo(0 ). Como la funcin es decreciente en el intervalo 0 3, enparticular lo ser en el el intervalo [0 ] y el mnimo se alcanza en elpunto (0 )

1

Ejercicio 2. La base de un slido es un crculo de radio y sus seccionestransversales verticales son tringulos equilteros. Sabiendo que el volumendel slido es 10 metros cbicos, encontrar el radio del crculo.

Solucin. Un tringulo equiltero de lado tiene altura

= sen ( /3) = 3

2

Entonces, su rea es

= 12 =

23

4

Como la base del slido es un crculo de radio , suponemos que su centroes el origen del sistema de referencia. En este caso el borde del crculo es lacircunferencia de ecuacin 2 + 2 = 2. Entonces, la seccin transversal esun tringulo equiltero de lado () = 22 2, donde [ ], siendoel rea de la seccin transversal vertical

() =322 2

24

=32 2

Para calcular el volumen, slo tenemos que integrar las secciones transversalesentre y

=Z 32 2 = 3 2 3

3

=433

Dado que el volumen del slido es = 10, resolvemos la ecuacin433= 10

obteniendo

= 3s53

2

2

Ejercicio 3.(i) Calcular la serie de Maclaurin de la funcin () = ln(1 2) as comosu dominio de convergencia.(ii) Dada la serie numrica

P=0 1(+1)3+1 , estudiar su carcter y calcular su

suma.

Solucin. (i) La derivada de la funcin () = ln(1 2) es 0 () = 2

1 2 y sabemos que el desarrollo en serie de Maclaurin de la funcin

1

1 2 =X=0

2 (1 1)

Entonces, el desarrollo en serie de Maclaurin de la derivada

0 () = 21 2 = 2

X=0

2+1 (1 1)

Integrando, obtenemos

() = ln(1 2) = 2X=0

2+22+ 2

cuyo dominio de convergencia es, al menos, el intervalo (1 1). En particular,para = 0, obtenemos = 0 En los puntos terminales = 1 y = 1, seobtiene la serie P=0 1+1 , que es divergente por ser la opuesta de la seriearmnica. Por lo tanto, la serie de Maclaurin pedida es

() = ln(1 2) = X=0

2+2+ 1 (1 1)

(ii) Aplicando el criterio del cociente a la serieP

=0 1(+1)3+1 , obtenemos

= lim|+1||| = lim

1

(+ 2) 3+21

(+ 1) 3+1= lim

+ 13 (+ 2) =

1

3 1

por lo que la serie es convergente. Usando el apartado (i), concluimos que susuma es

X=0

1

(+ 1) 3+1 =X=0

1

(+ 1) 32+2 =X=0

13

2+2(+ 1)

= ln(1 13) = ln(2

3) = ln(

3

2)

3