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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008
3. OPTIMIZACIÓN DE PROCESOS CON SUPERFICIES DE RESPUESTA
Los diseños de experimentos factoriales y fraccionales, sirven para hacer
una selección de factores más relevantes que afectan el desempeño del
proceso. El paso siguiente es la optimización del proceso, o la búsqueda de las
condiciones de operación para las variables del proceso que lo optimicen.
3.1 MÉTODOS Y DISEÑOS DE SUPERFICIES DE RESPUESTA (RSM)
Sirven para modelar y analizar aplicaciones donde la respuesta de interés
es influenciada por diversas variables y el objetivo es optimizar esta respuesta.
Supóngase que se desea obtener el máximo rendimiento en un proceso (y) que
tiene como variables relevantes la temperatura de reacción (x1) y el tiempo de
reacción (x2). La función de rendimiento está en función de temperatura y tiempo,
o sea:
La superficie representada por esta ecuación se denomina superficie de
respuesta.
Región óptima
Rendimiento
esperado (%)
Tiempo de reacción (min.)
Temperatura (ºC)
Fig. 3.1 Superficie de respuesta tridimensional, muestra el rendimiento esperado en función de la temperatura y tiempo
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Como apoyo se visualiza la grafica de contornos de igual rendimiento de la
superficie de respuesta como se muestra en la siguiente figura.
Rendimiento (%)
30
25 70 75 80 85 90
Tiempo de
Reacción 20
(min.) Condiciones de operación actuales
15 60 65
100 110 120 130 140
Temperatura (ºC)
Fig. 3.2 Gráfica de contornos del rendimiento de la superficie de respuesta
Si la respuesta es modelada adecuadamente por una función lineal de las
variables independientes, entonces la función de aproximación es el modelo de
primer orden, por ejemplo:
(3.1)
Si hay curvatura en el sistema, entonces se requiere un polinomio de mayor orden
por ejemplo, el modelo de segundo orden,
(3.2)
3.1 .1 EL MÉTODO DE ASCENSO RÁPIDO
Frecuentemente el estimado inicial de las condiciones óptimas de
operación, se encuentran lejos del verdadero óptimo. En tal circunstancia el
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objetivo es moverse rápidamente a la vecindad del óptimo verdadero, en forma
económica. En estas condiciones se utiliza un modelo de primer orden.
El método de ascenso rápido es un procedimiento para moverse
secuencialmente por la trayectoria de ascenso rápido, o sea, en la dirección del
máximo incremento de la respuesta. Por supuesto, si lo que se busca es la
minimización, entonces se utiliza el método de descenso rápido. El modelo
ajustado de primer orden es:
(3.3)
Para este modelo de superficie de respuesta de primer orden, los contornos de
son una serie de líneas rectas paralelas como se muestra en la siguiente figura:
=50
=40 Trayectoria de
ascenso rápido
Región de la =30
superficie de respuesta =20
ajustada de 1º orden
Fig. 3.3 Superficie de respuesta de primer orden y trayectoria de ascenso rápido
La dirección de ascenso rápido es la dirección en la cual se incrementa
más rápido, esta dirección es normal a los contornos de la superficie de respuesta
ajustada y se toma como trayectoria de ascenso rápido, la línea que pasa al
centro de la región de interés y normal a los contornos de la superficie
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ajustada. De esta forma, los pasos a lo largo de la trayectoria son
proporcionales a los coeficientes de regresión { }. El experimentador
determina la cantidad real de movimiento a lo largo de esta trayectoria en base a
su conocimiento del proceso u otras consideraciones prácticas.
Los experimentos se realizan a lo largo de la trayectoria de ascenso
rápido hasta que ya no se observa incremento en la respuesta o hasta que la
región de la respuesta deseada se alcanza. Entonces se usa un nuevo modelo
de primer orden, se determina la dirección de una nueva trayectoria de ascenso
rápido y de ser necesario, se realizan experimentos adicionales en esa dirección
hasta que el experimentador sienta que está cerca del óptimo.
Ejemplo 3.1 Un ingeniero químico está interesado en determinar las condiciones de operación que maximizan el rendimiento de un proceso. Hay dos variables de control que influyen Tiempo de reacción y temperatura de reacción, el punto de operación actual es 35 minutos y 155ºF que da un rendimiento del 40% aproximadamente.
Se hace un diseño experimental variando el tiempo (30 a 40 minutos) y la temperatura (150 a 160ºF).
Por simplicidad se codifican las variables en el intervalo (-1, 1). Si las variables codificadas son X1 y X2 y las variables naturales son 1 y 2 se tiene:
El arreglo y los datos experimentales son:
Variables Variablesdel Proceso codificadas Rendimiento
Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y1 30 150 -1 -1 39.32 30 160 -1 1 40.03 40 150 1 -1 40.9
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4 40 160 1 1 41.55 35 155 0 0 40.36 35 155 0 0 40.57 35 155 0 0 40.78 35 155 0 0 40.29 35 155 0 0 40.6
Los cinco puntos centrales se usan como réplicas para
verificar la adecuación del modelo de primer orden (con Pure
error).
Por medio de Minitab se crea el diseño factorial:
>Stat >DOE >Factorial >Create factorial design
2 Level designs Options: 5 puntos centrals
Introducir los valores de respuesta Y correspondientes.
Los resultados que arroja Minitab son los siguientes:
>Stat >DOE >Factorial >Analyze factorial design
Estimated Effects and Coefficients for Y (coded units)
Term Effect Coef SE Coef T PConstant 40.4250 0.1037 389.89 0.000A 1.5500 0.7750 0.1037 7.47 0.002 Son signif. A y BB 0.6500 0.3250 0.1037 3.13 0.035A*B -0.0500 -0.0250 0.1037 -0.24 0.821Ct Pt 0.0350 0.1391 0.25 0.814
La ecuación de regresión es: Y 40.44 + 0.775 X1 + 0.325 X2
Analysis of Variance for Y (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 2.82500 2.82500 1.41250 32.85 0.0032-Way Interactions 1 0.00250 0.00250 0.00250 0.06 0.821Curvature 1 0.00272 0.00272 0.00272 0.06 0.814Residual Error 4 0.17200 0.17200 0.04300 Curvatura no
significativa Pure Error 4 0.17200 0.17200 0.04300Total 8 3.00222
Para la trayectoria de ascenso más rápido, se siguen los pasos siguientes:
a) Se elige el tamaño de paso de una de las variables del proceso . La
variable que tiene el coeficiente en valor absoluto más alto. En este caso se
elige X1.
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b) El tamaño del paso para loas otras variables es
En este caso
Para convertir los tamaños de los pasos codificados (Delta
X1=1.0 y Delta X2=0.42) a las unidades naturales de tiempo y
temperatura se tiene:
Tomando el punto correspondiente a (0,0)se realizan
experimentos individuales adicionales, incrementando
las variables en los pasos indicados arriba
resultando en:
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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008
Varia
bles
Codif. Variables naturales Respuest
a
Pasos X1 X2 1 2 y
Origen 0 0 35 155
1 0.42 5 2
Orig.+ 1 0.42 40 157 41.0
Orig.+2 2 0.84 45 159 42.9
Orig.+3 3 1.26 50 161 47.1
Orig.+4 4 1.68 55 163 49.7
Orig.+5 5 2.10 60 165 53.8
Orig.+6 6 2.52 65 169 59.9
Orig.+7 7 2.94 70 171 65.0
Orig.+8 8 3.36 75 173 70.4
Orig.+9 9 3.78 80 175 77.6
Orig.+10 10 4.20 85 177 80.3
Orig.+11 11 4.62 90 179 76.2
Orig.+12 12 5.04 95 181 75.1
Se observa que el punto décimo representa el valor
máximo de la trayectoria de experimentación por lo
que ahora se tomará como nuevo punto central (0,0)el
punto (85, 175) y la región de experimentación para
1 es (80,90) y para 2 es (170,180), con las
variables codificadas X1 y X2 como sigue:
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90
80
70
60
50
40
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Pasos
Fig. 3.4 Gráfica de rendimiento contra pasos en la trayectoria de ascenso más pronunciado
Haciendo nuevos experimentos alrededor del nuevo punto (0,0) se tiene:
Variables Variablesdel Proceso codificadas Rendimiento
Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y11 80 170 -1 -1 76.52 80 180 -1 1 77.03 90 170 1 -1 78.04 90 180 1 1 79.55 85 175 0 0 79.96 85 175 0 0 80.37 85 175 0 0 80.08 85 175 0 0 79.79 85 175 0 0 79.8
Los resultados de Minitab son los siguientes:Estimated Effects and Coefficients for Y1 (coded units)
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Term Effect Coef SE Coef T PConstant 77.7500 0.1151 675.45 0.000A 1.0000 0.5000 0.1151 4.34 0.012 A y B signif.B 2.0000 1.0000 0.1151 8.69 0.001A*B 0.5000 0.2500 0.1151 2.17 0.096Ct Pt 2.1900 0.1544 14.18 0.000
Analysis of Variance for Y1 (coded units)
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PMain Effects 2 5.0000 5.0000 2.5000 47.17 0.0022-Way Interactions 1 0.2500 0.2500 0.2500 4.72 0.096Curvature 1 10.6580 10.6580 10.6580 201.09 0.000Residual Error 4 0.2120 0.2120 0.0530 Pure Error 4 0.2120 0.2120 0.0530 Curvatura signifTotal 8 16.1200
Como la curvatura es significativa ahora aplicamos
el modelo central compuesto que se muestra abajo
para obtener un modelo de segundo orden.
+2 X4
(0, 1.414)
(-1,1) (1,1) (-, 0) (,0) Exp. Axiales(-1.414,0) (1.414,0)
X1 -2 (0,0) +2
(-1,-1) (1,-1)
(0,-1.414)
-2
Fig. 3.5 Diseño Central Compuesto en las variables codificadas del ejemplo
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La ecuación de segundo grado que nos dará tiene la
forma siguiente:
Los experimentos a realizar por medio del diseño central compuesto tomando el nuevo
punto (0,0) en (85, 175) y agregando puntos axiales en +- 1.414 queda como:
Variables Variablesdel Proceso codificadas Rendimiento
Corrida Tiempo (min.) Temp.(ºF) X1 X2 Y21 80 170 -1 -1 76.52 80 180 -1 1 77.03 90 170 1 -1 78.04 90 180 1 1 79.55 85 175 0 0 79.96 85 175 0 0 80.37 85 175 0 0 80.089
8585
175175
00
00
79.779.8
10111213
92.0777.93
8585
175175
182.07167.93
1.414-1.414
00
00
1.414-1.414
78.475.678.577.0
Se forma este diseño central compuesto por medio de:
>Stat >DOE >Surface response > Create surface response Design >Central
composite design
Designs Center points 5, para 13 corridas; Alfa custom 0.05
Options: Quitar Randomize
Introducir datos de respuestas de rendimiento
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StdOrder RunOrder BlocksA B Y
1 1 1 -1.00000 -1.00000 76.5
2 2 1 1.00000 -1.00000 78.0
3 3 1 -1.00000 1.00000 77.0
4 4 1 1.00000 1.00000 79.5
5 5 1 -1.41421 0.00000 75.6
6 6 1 1.41421 0.00000 78.4
7 7 1 0.00000 -1.41421 77.0
8 8 1 0.00000 1.41421 78.5
9 9 1 0.00000 0.00000 79.9
10 10 1 0.00000 0.00000 80.3
11 11 1 0.00000 0.00000 80.0
12 12 1 0.00000 0.00000 79.7
13 13 1 0.00000 0.00000 79.8
Analizar el diseño con:
>Stat >DOE > Surfase response > Analyze surfase response design
Central Composite Design
Central Composite Design
Factors: 2 Blocks: none Center points: 5Runs: 13 Alpha: 1.414
Response Surface Regression: Y versus A, B
The analysis was done using coded units.
Estimated Regression Coefficients for Y
Term Coef SE Coef T PConstant 79.940 0.11896 671.997 0.000A 0.995 0.09405 10.580 0.000 Si P<0.05 son signif.B 0.515 0.09405 5.478 0.001A*A -1.376 0.10085 -13.646 0.000B*B -1.001 0.10085 -9.928 0.000A*B 0.250 0.13300 1.880 0.102
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EJEMPLO DE SUPERFICIES DE RESPUESTA P. Reyes / febrero 2008
S = 0.2660 R-Sq = 98.3% R-Sq(adj) = 97.0%
Analysis of Variance for Y
Source DF Seq SS Adj SS Adj MS F PRegression 5 28.2478 28.2478 5.64956 79.85 0.000 Linear 2 10.0430 10.0430 5.02148 70.97 0.000 Square 2 17.9548 17.9548 8.97741 126.88 0.000 Interaction 1 0.2500 0.2500 0.25000 3.53 0.102Residual Error 7 0.4953 0.4953 0.07076 Lack-of-Fit 3 0.2833 0.2833 0.09443 1.78 0.290 Pure Error 4 0.2120 0.2120 0.05300 Total 12 28.7431
El modelo cuadrático de regresión es significativo
Estimated Regression Coefficients for Y using data in uncoded units
Term Coef Constant 79.9400A 0.994975B 0.515165A*A -1.37625B*B -1.00125A*B 0.250000
Por tanto la Ecuación de regresión queda como:
Y = 79.94 + 0.995ª + 0.515B –1.376 A*A – 1.001 B*B + 0.25AB
Para las gráficas de contornos y de superficie de
respuesta se obtienen de Minitab con:
>Stat >DOE >Surfase response > Contour / Surfase
plots
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La localización exacta del punto estacionario se
obtiene de la ecuación matricial siguiente:
Las matrices se invierten marcando el área donde quedará el resultado y con la función matemática MINV (rango de la matriz original).
Las matrices se multiplican marcando el área donde quedará el resultado y usando la función MMULT.
En términos de las variables naturales el punto estacionario es:
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También se puede usar el análisis canónico para caracterizar la superficie de respuesta, por medio de la identificación de los eigen valores lamda en la siguiente ecuación de determinantes:
Como los coeficientes lambda son negativos se concluye que se trata de un punto estacionario máximo, si ambos son negativos se trata de un mínimo y si tienen signos diferentes se trata de cordilleras.
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