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investigación educativa

Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería / Año 10 / Nº 19 / Diciembre / 2009

IntroducciónEn la Cátedra de Robótica de la Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional de Entre Ríos (FI-UNER)

desde hace algunos años se viene desarrollando y perfeccionando una estrategia de enseñanza que ha permitidomejorar y ampliar las posibilidades para realizar las actividades teóricas y prácticas de la materia. Estas actividadesestaban limitadas debido a la escasez de equipamiento disponible. Para salvar esta dificultad, se articuló un conve-nio con el «Laboratorio de Manufactura Flexible y Robótica» (CIM) de la Facultad de Ingeniería de la Universidadde Lomas de Zamora (FI-UNLZ), de modo que los alumnos de la FI-UNER puedan realizar allí una práctica final dela materia utilizando manipuladores reales.

De los 3 robots universales con que cuenta el laboratorio CIM, se optó portrabajar con el modelo Scorbot ER-IX de Intelitek, un robot antropomórfico de 5grados de libertad. El ER-IX (Fig. 1) es un brazo robótico universal, industrial, demúltiples aplicaciones, desarrollado e implementado específicamente para tareasde formación áulica.

Durante el cursado, y con miras hacia la práctica final, los estudiantes aprendena calcular e implementar los modelos cinemáticos y dinámicos del Scorbot, a gene-rar trayectorias y finalmente pueden elaborar funciones de Matlab, que simuleninstrucciones del lenguaje básico del robot real (ACL). Utilizando un entorno vir-tual y herramientas complementarias (simulador gráfico 3D «Roboworks»), puedenrealizar programas «en un lenguaje de alto nivel» (ej. Matlab), que luego se puedentranscribir e implementar casi textualmente en el controlador del Scorbot durante lapráctica en el CIM de la FI-UNLZ.

Una de las dificultades encontradas al implementar esta metodología de trabajoradica en el procedimiento empleado en la toolbox de Robótica de Matlab (Corke,1996) para encontrar el Modelo Cinemático Inverso (MCI). Para hallar este modelo,se utiliza un algoritmo de aproximación lineal (solución numérica) que presenta dos

Figura 1. ScorbotER-IX (Intelitek)

Los autores son integrantes de la cátedra de Robóticaperteneciente al Departamento de Electrónica de la Facultadde Ingeniería de la Universidad Nacional de Entre Ríos.Dirección de contacto: [email protected]

por Emilce Noemí Preisz, Rosa María Weisz, Jorge M. Bauer yGerardo Gabriel Gentiletti

Educación en robótica: modeloscinemáticos del scorbot er-ix

52 Revista Argentina de Enseñanza de la Ingeniería / Año 10 / Nº 19 / Diciembre / 2009


inconvenientes: puede no converger a una solución, y de hacerlo, sólo se obtieneuna solución de todas las posibles (este manipulador puede tener hasta 4 diferen-tes soluciones para el MCI) limitando enormemente las posibilidades de realizaralgunas aplicaciones interesantes, tales como generación de trayectorias.

Con el objeto de sortear las limitaciones mencionadas, se propuso encontraruna función que brinde todas las posibles soluciones al modelo, utilizando unmétodo de resolución del tipo cerrado (algebraico) para incorporarla tanto a lasprácticas de la materia como al conjunto de herramientas didácticas disponibles dela FI-UNER y FI-UNLZ.

Se realizó una búsqueda en la bibliografía disponible y una revisión de publica-ciones en internet y no se encontraron soluciones analíticas completas del MCI deeste robot. Citamos como una de las fuentes más importantes consultadas al «Gru-po de Automática, Robótica y Visión Artificial» de la Escuela Politécnica Superiorde la Universidad de Alicante (España), quien ha desarrollado una herramienta desimulación y teleoperación de robots para e-learning que utiliza el Scorbort ER-IX.

2. Objetivos específicos del presente trabajo• Encontrar todas las soluciones al Modelo Cinemático Inverso mediante un

método de resolución algebraico (solución del tipo cerrada).• Poner el desarrollo del modelo de este manipulador a disposición de la comu-

nidad educativa, ya sea para ser implementada en plataformas de softwaresimilares, adaptada a otras plataformas o utilizada como ejemplo en desarro-llos teóricos. Las funciones implementadas en Matlab, están disponiblesbajo pedido a los autores del presente trabajo.

3. MetodologíaLos modelos cinemáticos permiten describir matemáticamente las relaciones

entre la posición y orientación del extremo final de un robot con los valores quetoman sus coordenadas articulares. En particular, el Modelo Cinemático Directo(MCD) permite encontrar las coordenadas (x, y, z) y la orientación (α, β, γ) delextremo del manipulador cuando son conocidos los valores de las coordenadasarticulares (è1, è2,…, èn) y los parámetros geométricos de los elementos del robot(Fig. 2). El MCI resuelve el problema opuesto: permite obtener las coordenadasarticulares, partiendo de laposición y orientación delefector final, pudiendoobtenerse más de una so-lución posible (Fig. 3), ono tener solución si la po-sición está fuera del espa-cio alcanzable.

Figura 2: Variablesarticulares (è1, è2,… è5) yorientación (a, b, g) del

extremo delScorbot ER-IX.

53



Figura 3: Dos solucio-nes diferentes para lamisma posición yorientación del extremodel robot

En este trabajo, se utilizará un método de resolución algebraico para calculartodas las posibles soluciones del MCI para el Scorbot ER-IX. Para ello, es necesa-rio desarrollar primero el MCD. La notación empleada para el desarrollo de losmodelos es la utilizada por CRAIG, John J. (2006).

3.1 Modelo Cinemático Directo:El objetivo de esta sección, es encontrar una matriz de transformación homogé-

nea que describa la posición y orientación cartesiana del efector final (eslabón N)del manipulador a partir del conocimiento de las variables y parámetros de junta. Esdecir, obtener la matriz T0

N .Para resolver el problema es necesario asignar sistemas coordenados a cada

junta del robot, para lo cual emplearemos el método de Denavit-Hartenberg (DH)«Estándar». Este método se puede dividir en tres fases:

1. Definición de los parámetros de D-H.2. Asignación de los sistemas de referencia.3. Obtención de la matriz de Transformación Homogénea.

3.2 Ubicación de los sistemas de referencia según el método de DHEstándar (DHS):

Inicialmente deben numerarse las articulaciones del robot. La primera articula-ción (que corresponde al primer grado de libertad) será 1 y la última N. Se asigna 0a la base fija.

En este método se fija el origen del sistema de referencia {i} en la articulacióni+1, donde i varía de 1 a N. Los parámetros que describen cada eslabón son ai, αi,di y èi (ver Fig. 4 y Tabla 1).

Una vez obtenidos los parámetros de cada junta, se reemplazan en el operadorgenérico (matriz de transformación homogénea) que expresa la relación entre cadapar de sistemas de referencia contiguos, asignados en la cadena cinemática segúnDHS.



Tabla 1Parámetros de junta según DH estándar.

Figura 4: Sistemasde Coordenadassegún el Método deDH estándar

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−

=−

10000

1

iii

iiiiiii

iiiiiii

estandari

i dcssascccscasscsc

Tαα

θαθαθθθαθαθθ

Para el caso de la formulación «estándar» de DH la transformación genéricatiene la forma:

A partir de ésta, premultiplicando en forma sucesiva dichos operadores aplicadossobre cada eje i, (con i=1...N), se obtendrá un operador T1

ii+ que contiene la posición

y orientación del efector final respecto del sistema de referencia 0 (de la base).

TTTT NNN12

312

01

0 .....T −= (2)

Las ecuaciones finales conte-nidas en el operador T0

N es lo quese denomina MCD.

En la Figura 5 se puede ver laubicación de los sistemas de refe-rencia en el modelo del Scorbot ER-IX de acuerdo a la convenciónDHS y en la Tabla 2 los parámetrospara cada eslabón.

ai

αi

di

èi

distancia desde Zi-1 a Zi medida a lo largo de Xi-1

ángulo entre Zi-1 y Zi medido alrededor de Xi

distancia desde Xi-1 a Xi medida a lo largo de Zi-

1ángulo entre Xi-1 y Xi medido alrededor de Zi-1

Figura 5: Asignación desistemas coordenados

según DHS

(1)

55



A partir de la Tabla 2 se pueden calcular las transformaciones entre cada par deeslabones, reemplazando por los parámetros correspondientes:

Tabla 2Parámetros ER-IX

i

1

2

3

4

5

ai

L2

L4

L5

0

0

αααααi

-π/2

0

0

-π/2

0

di

L1

-L3

0

0

L6

èi

è 1

è 2

è 3

è4

è 5

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅⋅−

=

1000010

00

1

1211

1211

01 L

sLcscLsc

Tθθθθθθ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅⋅−

=

100010000

3

2422

2422

12 L

sLcscLsc

Tθθθθθθ

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⋅−

=

10000100

00

3533

3533

23

θθθθθθ

sLcscLsc

T

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

=

100000100000

44

44

34

θθθθ

cssc

T

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡ −

=

1000100

0000

6

55

55

45 L

cssc

Tθθθθ

(3) (4)

(5)(6)

(7)

Luego, con el objetivo de encontrar las ecuaciones finales del MCD, se multi-plican las transformaciones intermedias, pero aplicando un orden adecuado deproductos y simplificaciones trigonométricas, para tratar de mantener las ecuacionesen la forma más simple y compacta posible:

Se comienza con [4] y [5], dado que los ejes Z2 y Z3, son paralelos (a=0), por loque es previsible que el producto aceptará simplificaciones trigonométricas:

( ) ( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+⋅−⋅⋅⋅+⋅−⋅−⋅

=

100010000

3

243232532323232

243232532323232

13 L

sLsccsLssccsccscLssccLsccssscc

Tθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθθ

TTT 23

12

13 ⋅= (8)

(9)



Entonces, aplicando las siguientes identidades trigonométricas:

Se obtiene:

Luego se continúa con las demás transformaciones, procediendo de la mismamanera.

De (3), (12), (6) y (7)

Y se obtiene el MCD:

(10)( ) 23323232 cssccc =⋅−⋅=+ θθθθθθ

( ) 23323232 ssccss =⋅+⋅=+ θθθθθθ (11)

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−⋅+⋅⋅+⋅−

=

100010000

3

242352323

242352323

13 L

sLsLcscLcLsc

T (12)

TTTTT 45

34

13

01

05 ⋅⋅⋅= (13)

( )( )( )

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⋅+⋅−⋅−−⋅⋅−⋅+⋅−⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅−⋅−⋅⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅+⋅⋅−⋅−⋅+⋅⋅−⋅+⋅⋅

=

1000124235623423452345234

121324235162341234151523415152341

121324235162341234151523415152341

05 LsLsLLccsscs

sLcLcLcLsLssssccscsscccscLsLcLcLcLscsccssccssccc

T

(15)

3.3 Modelo Cinemático Inverso:Abordando justamente la función inversa del MCD, el MCI proporciona los

valores de las variables de junta, dada una determinada posición y orientación delefector final del manipulador, representada en el espacio cartesiano.

Para encontrar el MCI se utiliza un método de resolución algebraico. Partiendode la matriz de transformación homogénea T0

5 genérica del manipulador:

TTTTTpwvupwvupwvu

Tzzzz

yyyy

xxxx

45

34

23

12

01

05 ....

1000

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

(14)

Se premultiplica por la matriz inversa TT 10

101 =− para obtener T15 :

57



⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=== −−

1000100000

1000

1000

...11

1

211

101

05

101

05

10

15

zzzz

yyyy

xxxx

zzzz

yyyy

xxxx

pwvupwvupwvu

.cs

LLsc

pwvupwvupwvu

TTTTTT

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−+−−−−

−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=

100011111111

1

211111111

15 cpspcwswcvsvcusu

LpwvuLspcpswcwsvcvsucu

Tyxyxyxyx

zzzz

yxyxyxyx

(16)

(17)

Y por otro lado, se puede calcular:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅−−⋅−⋅

==

10000 355

24235234623452345234

24235234623452345234

45

34

23

12

15 Lcs

sLsLcLcsscscLcLsLssccc

TT.T.T.T (18)

Igualando (17) y (18) se obtiene:

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−⋅+⋅+⋅⋅−⋅⋅+⋅+⋅−−⋅−⋅

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−⋅+⋅−+−−−−

−⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

10000

1000355

24235234623452345234

24235234623452345234

11111111

1

211111111

LcssLsLcLcsscscLcLsLssccc

cpspcwswcvsvcusuLpwvu

Lspcpswcwsvcvsucu

yxyxyxyx

zzzz

yxyxyxyx

(19)

Despeje de variables: Paso 1Si se analiza el 3er elemento de la 4ta columna en cada una de las matrices en [19],

se ve que el valor de è1 se puede despejar de la siguiente ecuación:

311 Lcpsp yx −=⋅+⋅− (20)

Para resolver una ecuación de esta forma, se hacen las siguientes sustitucionestrigonométricas:

ϕρϕρ

sincos⋅=⋅=

y

x

pp

( )xy

yx

ppa

pp

,2tan

22

=

+=

ϕ

ρ(21)

(23)

(22)

(24)

Reemplazado en la ecuación (20) da:

ρϕϕϕρϕρ 3

11311LsccsLcssc −=⋅−⋅⇒−=⋅⋅+⋅⋅− (25)

Pero como:

ρθϕϕϕ 3

111 )( Lsensccs −=−=⋅−⋅ (26)



(27)

(28)

(29)

(30) (31)

(32)

(33)

(34) (35)

(36)

Se tiene que:

Luego:

Por último, la solución para θ1 puede escribirse como:

Esto da dos posibles soluciones para θ1 (según se use el signo +, o el – de laraíz): θ1 y θ1*.

Paso 2:Conociendo θ1, y usando el 3er elemento de la 1ª y 2ª columna de cada una de las

matrices de la ecuación [19], se puede determinar θ5.

Dado que:

Y:

Se concluye que:

Para cada valor de θ1 (θ 1 y θ1*), se obtiene para θ5 una solución diferente (θ5 y θ5*).

Paso 3:Conociendo θ1 y θ5, se pueden sustituir el 1er y 2do elemento en la 1ª columna de

cada una de las matrices de (19) para obtener θ234.

Como:

(35)(35)

59



(37)

(38)

(40)

(42)

(44)

(39)

(41)

(43)

(45)

(46)

(47)

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 23524352432325242352

23524352432325242351

..

csLsLcLsLsccsLsLsLkssLcLcLcLssccLcLcLk⋅⋅+⋅+⋅=⋅++⋅=⋅+⋅=⋅⋅−⋅+⋅=⋅+−⋅=⋅+⋅= (48)

(49)

Entonces:

Paso 4:Consideramos los dos primeros elementos de la última columna de las matrices

en (19), donde θ234 y θ1 son conocidos (ecuaciones (37) y (29)):

Se hace:

Donde:

Si se observan las ecuaciones (40), (41), (42) y (43), se deduce que se puedeobtener θ3 haciendo:

Donde:

Luego:

Y se obtiene è3 haciendo:

Aquí se tienen las 4 soluciones posibles para este manipulador:• Las dos primeras están asociadas a θ1 y θ5 y serán: θ3 y (- θ3).• Las otras dependen de θ1* y θ5* y se llaman θ3* y (- θ3*).

Paso 5:Conociendo θ3 se puede despejar θ2 de las ecuaciones (40) y (41):



Resolviendo estas ecuaciones se obtienen las siguientes expresiones:

Y luego:

Notar que puede tener dos valores posibles: y * (según se calcule con è3 o con è3*).

Paso 6:Conociendo θ234, θ2 y θ3 se puede obtener è4 (que también tendrá dos posibles

valores, θ4 y θ4*):

Configuración de todas las soluciones posibles:Se tienen entonces 4 posibles soluciones, las cuales pueden construirse reco-

rriendo los árboles mostrados en los gráficos de la figura 6:

Figura 6: Diagrama de árbol para obtener las cuatro soluciones

La figura 7 muestra las cuatro soluciones calculadas para una posición particu-lar. Claro está, que si bien todas son matemáticamente correctas, no todas sonfísicamente posibles debido a las limitaciones mecánicas impuestas por la configu-ración del manipulador.

Figura 7: Cuatro soluciones teóricas

61



ResultadosA continuación se presentan las cuatro soluciones del MCI del Scorbot ER-IX,

junto con los ángulos y variables auxiliares necesarios para el cálculo:Solución 1

(54)

(55)

(56)

(57)

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

(58)

Solución 2

(66)

(67)

(68)

(69)

(70)



Solución 3

(71)

(72)

(74)

(75)

(76)

(77)

(78)

(79)

(80)

(73)

Solución 4

(83)

(84)

(85)

63



(86)

(87)

4. Discusión y conclusionesEl principal aporte del presente trabajo, es el desarrollo completo de MCD y en

particular de las ecuaciones del MCI del manipulador Scorbot ER-IX, no disponible,hasta la escritura de este trabajo, en la bibliografía que los autores han revisado.

Actualmente es utilizado en el desarrollo de las actividades prácticas de Robóti-ca en la FI-UNER. El disponer de todas las soluciones posibles al MCI, permiteabordar problemas con lo alumnos, en los que se pueden resolver trayectorias ymanipulaciones más versátiles y complejas con el mencionado robot. En las mismasse introducen conceptos de «trayectoria óptima» para el problema particular que sepresenta, «sortear obstáculos», generar trayectorias que «minimicen el gasto deenergía», etc., mejorando notablemente las prácticas de Robótica. Los modelostambién se utilizan en las clases teóricas a modo de ejemplos de MCD y MCI.

Dado que tener el MCI en su forma cerrada permite obtener soluciones más rápida-mente, el mismo se utiliza para realizar simulaciones y animaciones 3D «en tiempo real»que implican la generación de trayectorias en el espacio cartesiano del manipulador. Lavisualización de estos resultados y sus animaciones, motivan mucho a los alumnos,quienes luego aplican estos módulos a la simulación de tareas más complejas hacia elfinal del curso y los prepara para la utilización del manipulador disponible en la Fi-UNLZ.

Además, dado que el Scorbot ER-IX es un robot utilizado en varios laboratoriosdedicados a la enseñanza de la robótica, ponemos esta herramienta a disposición dela comunidad educativa, esperando que sea de utilidad. Los códigos fuentes enMatlab, para ambos modelos se encuentran disponibles, solicitándolos al mail decontacto de los autores.

Referencias bibliográficasBARRIENTOS A.; PEÑIN, L. F; BALAGUER, C..; ARACIL, R.. (2007). Funda-

mentos de Robótica. Mc Graw Hill. Madrid.CORKE, P. I. (2008). A Robotics Toolbox for MATLAB. Release 8 (December

2008). IEEE Robotics and Automation Magazine 3(1): 24-32.CRAIG, J J. (2006). Robótica. Pearson Educación. MéxicoJARA C. A.; CANDELAS, F. A.; TORRES, F. (2008). Robolab.ejs: a new tool for

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