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Ecuaciones EmpíricasObjetivos:
1.Determinar la ecuación empírica del periodo del péndulo simple
2.Desarrollar métodos gráficos y analíticos para obtener información del fenómeno en estudio
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Problema científico
Solución hipotética
Datos experimentales
Análisis gráfico o estadístico
Ecuación Empírica
?y ~ x
y = kxn
y = 0,51x0.63
nn
yy
xx
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En todo experimento de laboratorio, se obtiene un conjunto de valores correspondientes a dos variables, una dependiente de la otra. Esta dependencia entre variables se puede expresar matemáticamente mediante una función que toma el nombre de ecuación empírica.
Fundamento teórico
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En el estudio de un fenómeno se toman datos experimentales de magnitudes físicas interrelacionadas. La relación que existe entre dos magnitudes puede ser determinada:
A)En forma gráfica (utilizando una gráfica) yB)En forma analítica (método estadístico).
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ECUACIÓN EMPÍRICA
Es una ecuación obtenida a partir de un conjunto de valores experimentales de dos variables. La relación entre las dos variables se expresa mediante la función matemática:
y = f (x)
donde y es la variable dependiente x es la variable independiente.
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Variable independiente (variable x)
Causa del fenómeno en estudio
Presenta menos error
Variable dependiente (variable y)
Se relaciona con el efecto
Presenta mayor error
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MÉTODO GRÁFICO
¿Cómo hacer una representación gráfica?
Se representa en papel milimetrado una variable frente a la otra.
Eje yE
je d
e o
rden
adas
Variable dependiente
Eje x
Eje de abscisa Variable independiente
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Ejemplo
Supongamos que queremos determinar la velocidad de un móvil:
Para ello medimos el espacio recorrido en diferente intervalos de tiempo
t(s) d(cm)
0 0
5 20
7 28
12 48
18 72
24 96
30 144
(v. indepen) (v. depen)
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Hacemos un representación gráfica de las variables
t(s) d(cm)
0 0
5 20
7 28
12 48
18 72
24 96
30 144
0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
100
120
140
d (c
m)
t(s)
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0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
100
120
140
d(cm
)
t(s)
¿Qué aspecto tiene esta gráfica?
ABXY
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Método Gráfico
0 5 10 15 20 25 300
20
40
60
80
100
120
140
d (
cm
)
t(s)
tagB Y
X
X
Ytag
80)40120(Y
18)1028(X XY
tag s/cm4.4
1880
scmv /4.4
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¿Cómo proceder para hacer un buen gráfico?
1. Uso de papel milimetrado2. Buena elección de escalas 3. Buen aprovechamiento del espacio disponible
en el papel milimetrado4. Trazar una línea continua que represente la
tendencia de los puntos experimentales5. Comparar la curva obtenida con las curvas
tipo
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Escalas útiles
1 cm
2 cm
5 cm
Pap
el
mil
imet
rad
o
Unidad física ×10n
0 1 2 3 4 5 0 1 2
0 1
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Escala 1cm = 1 N
- - – – – – – – – –
0 1 2 3 4 5 F(N)1 cm
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0 1 2 3 4 5 F(N)
– – – – – –
0,6
Escala 1 : 1
Ejercicio de lectura de escala
3,95
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Escala 1 : 5
cm Unidades de Magnitud Física – – – – – – – –
0 10 20 F(N)
1×10
2 cm
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Escala 1 : 2
cm Unidades de Magnitud Física – – – – – – – –
0 10 F(N)
1×10
5 cm
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0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
40-
30-
20-
10-
Gráfica L vs FL(m)×10-2
Variable independiente
Var
iab
le d
epen
die
nte
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esca
las 40-
30-
20-
10-
0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
Escala de 1 cm = 1 N
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esca
las
0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
Escala de 2 cm = 10 m
40-
30-
20-
10-
L (m)
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esca
las
0 1 2 3 4 5 6 × 103 F(N)
Escala de 5 cm = 1 Kg
2.0-
1.0 –
0.0
m (kg)
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7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Grafica T vs L
Per
iod
o T
(seg
un
dos
)
0 0,10 0,20 longitud : L (metros)
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8 –
6 –
4 –
2 –
0 –
Grafica T vs L
Per
iod
o T
(seg
un
dos
)
0 0,10 0,20 0,30 : L (metros)
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Papel milimetrado horizontal
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica T vs L
0 0,10 0,20 longitud : L (metros)
Per
iod
o T
(seg
un
dos
)
√
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7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica vs f
0 0,10 0,20 frecuencia: f (Hertz)
Lon
gitu
d d
e on
da
(met
ros)
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7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Gráfica vs f
0 0,10 0,20 frecuencia: f (Hertz)
Lon
gitu
d d
e on
da
(met
ros)
√
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1. Relación lineal y = A + Bx
y
x
y
x
Lineal general Lineal proporcionaly = A + Bx y = Bx
CURVAS TIPO
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2. Relación Potencial: y = k x n
y
x
y
x
y
x
y = k x n
0 < n < 1
y = k x n
n < 0
y = k x n
n > 1
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Linealización de la curva
Relación Potencial: y = kxn Curva Ejem: Parábola
ln y = ln k + n ln x
Relación lineal: Y = A + B X
Cambio de variables
ln k = A
k = eA
n = B
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Linealización de la curva
Relación Potencial: y = kxn Curva Ejem: Parábola
ln y = ln k + n ln x
Relación lineal: Y = A + B X
Cambio de variables
ln k = A
k = eA
n = B
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NN F(N)F(N) L(m)L(m) FLFL FF22
11 2.972.97 0.1250.125 0.3710.371 8.8218.821
22 3.783.78 0.1440.144 0.5440.544 14.28814.288
33 4.594.59 0.1520.152 0.6980.698 21.06821.068
44 5.405.40 0.1660.166 0.8960.896 29.16029.160
55 6.216.21 0.1780.178 1.1051.105 38.56438.564
66 7.037.03 0.1950.195 1.3711.371 49.42149.421
29.9829.98 0.9600.960 4.9864.986 161.322161.322
x y xy x2
Metodo Estadistico
x y xy x2
B =N(xy) – (x)(y)
N(x2) – (x)2
A =(x2)(y) – (x)(xy)
N(x2) – (x)2
A = 0.078 mB = 0.0164 m / N
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¿Qué relación existe entre el periodo de un pendulo y su longitud?
L
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El pendulo simple
T = k L n
ln T = ln k + n ln L
Y = A + B X
n = B
ln k = A k = e A
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Tabla 1: Periodo T vs longitud L
N L(cm) t1(s) t2(s) t3(s) t4(s) t5(s) T(s)
1 20
2 25
3 30
4 40
5 50
6 60
7 70
8 80
9 90
10 100
ti
50
ti: tiempo de 10 oscilaciones
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Tabla 2: ln T vs ln L
N L(cm) T(s) Ln L Ln T
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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Tabla 3: Metodo estadisticoX Y XY X2 Y2
N L(cm) T(s) Ln L Ln T lnL.lnT (lnL)2 (ln T)2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N) L(m)L(m)
2.972.97 0.1250.125
3.783.78 0.1440.144
4.594.59 0.1520.152
5.405.40 0.1660.166
6.216.21 0.1780.178
7.037.03 0.1950.195
Gráfica L vs FL(m)×10-2
x y
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0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N) L(m)L(m)
2.972.97 0.1250.125
3.783.78 0.1440.144
4.594.59 0.1520.152
5.405.40 0.1660.166
6.216.21 0.1780.178
7.037.03 0.1950.195
Gráfica L vs FL(m)×10-2
A = intercepto = 0.08 m
L = 17.5 – 9.5
F = 6 –1 = 5 N
Pendiente B = LF
B = 0.016 m/N
L = 0.08 m
L = 0.08 + 0.016F
x y
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0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N) L(m)L(m)
2.972.97 0.1250.125
3.783.78 0.1440.144
4.594.59 0.1520.152
5.405.40 0.1660.166
6.216.21 0.1780.178
7.037.03 0.1950.195
Gráfica L vs FL(m)×10-2
A = intercepto = 0.08 m
L = 17.5 – 9.5
F = 6 –1 = 5 N
Pendiente B = LF
B = 0.016 m/N
L = 0.08 m
L = 0.08 + 0.016F
x y
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0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N) L(m)L(m)
2.972.97 0.1250.125
3.783.78 0.1440.144
4.594.59 0.1520.152
5.405.40 0.1660.166
6.216.21 0.1780.178
7.037.03 0.1950.195
Gráfica L vs FL(m)×10-2
A = intercepto = 0.08 m
L = 17.5 – 9.5
F = 6 –1 = 5 N
Pendiente B = LF
B = 0.016 m/N
L = 0.08 m
L = 0.08 + 0.016F
x y
![Page 41: ECUACIONES EMPIRICAS](https://reader037.vdocumento.com/reader037/viewer/2022103021/563db98d550346aa9a9e6dac/html5/thumbnails/41.jpg)
0 1 2 3 4 5 6 7 F(N)
20-
15-
10-
5-
0-
F(N)F(N) L(m)L(m)
2.972.97 0.1250.125
3.783.78 0.1440.144
4.594.59 0.1520.152
5.405.40 0.1660.166
6.216.21 0.1780.178
7.037.03 0.1950.195
Gráfica L vs FL(m)×10-2
A = intercepto = 0.08 m
L = 17.5 – 9.5
F = 6 –1 = 5 N
Pendiente B = LF
B = 0.016 m/N
L = 0.08 m
L = (0.08 + 0.016F)m
x y
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Papel milimetrado horizontal
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Grafica F vs L
0 0,10 0,20 elongación: L (metros)
fuer
za:
F(
New
ton
)
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Papel milimetrado horizontal
7 –
6 –
5 –
4 –
3 –
2 –
1 –
0 –
Grafica T vs L
0 0,10 0,20 longitud : L (metros)
Per
iod
o T
(seg
un
dos
)
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MÉTODO ESTADÍSTICO
x1, y1
x2, y2
xn, yn
. .
. .
Existe una relación lineal
La ecuación que mejor ajusta estos puntos es:
ABXY
¿Cómo calculamos “B” y “A”?
)X(-XN
)Y(XX-)X)(Y(=A
i22
i
iii2ii
)X(-XN
XY-)Y(XN=B
i22
i
iiii
FÓRMULAS DEL INTERCEPTO Y LA PENDIENTE
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σ = y2 – Bxy – Ay
N - 2
D = Nx2 – ( x)2
B = σ ND
A = σ x2
D
Cálculo de los errores absolutos de A y B