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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Transformada de Laplace
Gonzalo Palomera
1Instituto de Ciencias BásicasFacultad de Ingeniería
Universidad Diego Portales
15 de mayo de 2014
∫ +∞
0
f(t) e−stdt
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Definición
Definición
Sea f : [0,+∞[−→ R. Entonces la integral∫ +∞
0
f(t) e−stdt (1)
se denomina Transformada de Laplace de f , y se denota
L[f ](s) , F (s) , f(s)
siempre que la integral exista (convergencia).
NotaLa transformada de laplace es una aplicación que lleva a una ecuacióndiferencial a una ecuación algebraica lineal.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Definición
Definición
Sea f : [0,+∞[−→ R. Entonces la integral∫ +∞
0
f(t) e−stdt (1)
se denomina Transformada de Laplace de f , y se denota
L[f ](s) , F (s) , f(s)
siempre que la integral exista (convergencia).
NotaLa transformada de laplace es una aplicación que lleva a una ecuacióndiferencial a una ecuación algebraica lineal.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
Calcular L[f ](s) si:f(t) = 1
f(t) = t
f(t) = sin(at)
f(t) = cos(at)
f(t) = eat
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
L[1](s) =
∫ +∞
0
1 e−stdt
= lımb→∞
∫ b
0
e−stdt
= lımb→∞
−e−st
s
∣∣∣∣b0
= lımb→∞
[−e−sb + 1
s
]
lımb→∞
[−e−sb + 1
s
]=
1
ssi s > 0
+∞ si s < 0
Por lo tanto
L[1](s) =1
s, ∀s > 0
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
L[sin(at)](s) =
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt = −e−st
ssin(at)
∣∣∣∣+∞0
+a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
Nuevamente integramos por partes, u = cos(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
(−e−st
scos(at)
∣∣∣∣+∞0
− a
s
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
L[sin(at)](s) =
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e−stdt,
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt = −e−st
ssin(at)
∣∣∣∣+∞0
+a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
Nuevamente integramos por partes, u = cos(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
(−e−st
scos(at)
∣∣∣∣+∞0
− a
s
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
L[sin(at)](s) =
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt = −e−st
ssin(at)
∣∣∣∣+∞0
+a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
Nuevamente integramos por partes, u = cos(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
(−e−st
scos(at)
∣∣∣∣+∞0
− a
s
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
L[sin(at)](s) =
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
Integrando por partes, u = sin(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt = −e−st
ssin(at)
∣∣∣∣+∞0
+a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
Nuevamente integramos por partes, u = cos(at) y dv = e−stdt,∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s
∫ +∞
0
cos(at) e−stdt
=a
s
(−e−st
scos(at)
∣∣∣∣+∞0
− a
s
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt
)Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Ejemplos
Por lo tanto ∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s2− a2
s2
∫ +∞
0
sin(at) e−stdt(1 +
a2
s2
)∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s2(s2 + a2
s2
)∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s2∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =
(s2
s2 + a2
)a
s2∫ +∞
0
sin(at) e−stdt =a
s2 + a2
AsiL[sin(at)](s) =
a
s2 + a2∀s > 0
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s)
L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s)
3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s)
ks2−k2 ∀|s| > k
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Linealidad
Calcule L[eαt](s) L[eαt](s) = 1s−α ∀s >α
Sea L una transformación
Teorema
L es lineal, es decir, dadas f, g : [0,+∞[−→ R tales que f(s), g(s) existeny sean a, b ∈ R, entonces se cumple
L(af(t) + bg(t))(s) = aL(f(t))(s) + bL(g(t))(s).
Calcule L[sin(3t) + bt](s) 3s2+9 + b
s2 ∀s >?
Calcule L[sinh(kt)](s) ks2−k2 ∀|s| > k
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Propiedades de la transformada I
Resumen
L[ 1](s) =1
s, ∀s > 0
L[ tn](s) =n!
sn+1, ∀s > 0, n ∈ N
L[ eαt](s) =1
s− α∀s > α
L[ sin(at)](s) =a
s2 + a2∀s > 0
L[ cos(at)](s) =s
s2 + a2∀s > 0
L[ sinh(kt)](s) =k
s2 − k2∀|s| > k
L[ cosh(kt)](s) =s
s2 − k2∀|s| > k
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Orden exponencial
Definición
Una función f : [0,+∞[−→ R es de orden exponencial α si existenconstantes α,M > 0 tales que
| f(t)| ≤M eαt ∀t ∈ [0,+∞[
Ejemplo:
Figura: (Izquierda) f(t) = t. (Centro) f(t) = e−t. (Derecha) f(t) = cos(2πt).
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Orden exponencial
TareaSean f, g dos funciones tales que f es de orden exponencial α y g es deorden exponencial β. Demostrar que:
f + g es de orden exponencial max{α, β}.f g es de orden exponencial αβ
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Continuidad a trozos
Definición
Sea f una función f : [0,+∞[−→ R. Decimos que f es continua a trozos en[0,+∞[, si en cualquier intervalo [a, b] ⊂ [0,+∞[ hay a lo más un númerofinito de discontinuidades {t1, . . . , tN} de salto finito y f(t) es continuapara cada intervalo (tk, tk+1) cuando k = 1, 2, . . . , N − 1.
Figura: Función continua a tramos y función no continua a tramos.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Continuidad a trozos
Definición
Sea f una función f : [0,+∞[−→ R. Decimos que f es continua a trozos en[0,+∞[, si en cualquier intervalo [a, b] ⊂ [0,+∞[ hay a lo más un númerofinito de discontinuidades {t1, . . . , tN} de salto finito y f(t) es continuapara cada intervalo (tk, tk+1) cuando k = 1, 2, . . . , N − 1.
Figura: Función continua a tramos y función no continua a tramos.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Existencia de L
Teorema
Sea una función continua por partes, y de orden exponencial α en [0,+∞[.Entonces L[f(t)](s) existe para todo s > α
Función continuapor partes =⇒ Trasnformada
existe
La función f(x) = ex2
no es de orden exponencial.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Existencia de L
Teorema
Sea una función continua por partes, y de orden exponencial α en [0,+∞[.Entonces L[f(t)](s) existe para todo s > α
Función continuapor partes =⇒ Trasnformada
existe
La función f(x) = ex2
no es de orden exponencial.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema(Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial αtales que L[ f(t)](s) = L[ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f(t) = g(t)son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
⇓
L es inyectiva
⇓
∃ L−1
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema(Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial αtales que L[ f(t)](s) = L[ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f(t) = g(t)son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
⇓
L es inyectiva
⇓
∃ L−1
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema(Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial αtales que L[ f(t)](s) = L[ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f(t) = g(t)son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
⇓
L es inyectiva
⇓
∃ L−1
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema(Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial αtales que L[ f(t)](s) = L[ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f(t) = g(t)son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
⇓
L es inyectiva
⇓
∃ L−1
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Teorema(Lerch) Sean g, f dos funciones continuas a trozos y de orden exponencial αtales que L[ f(t)](s) = L[ g(t)](s) para todo s > α. Entonces f(t) = g(t)son iguales para todo t salvo en los puntos de discontinuidad de ambas.
⇓
L es inyectiva
⇓
∃ L−1
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Definición
Sea x(t) una función continua a tramos y de orden exponencial contranformada de Laplace F (s). Llamaremos transformada inversa de F (s) ala función x(t) tal que
L[x(t)](s) = F (s).
Denotaremos por L−1 (F (s)) (t) a tal función.
L−1(
1
s
)(t) = 1
L−1(
n!
sn+1
)(t) = tn
L−1(
1
s− a
)(t) = eat
L−1(
k
s2 + k2
)(t) = sin(kt)
L−1(
s
s2 + k2
)(t) = cos(kt)
L−1(
k
s2 − k2
)(t) = sinh(kt)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Proposición
La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas deLaplace. Entonces
L−1 (αF (s) + βG(s)) (t) = αL−1 (F (s)) (t) + βL−1 (G(s)) (t)
donde α y β son constantes.
Calcule L−1 (F (s)) (t)donde
F (s) =1
s3+
5
s− 3
t2
2 + 5 e3t
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Proposición
La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas deLaplace. Entonces
L−1 (αF (s) + βG(s)) (t) = αL−1 (F (s)) (t) + βL−1 (G(s)) (t)
donde α y β son constantes.
Calcule L−1 (F (s)) (t)donde
F (s) =1
s3+
5
s− 3
t2
2 + 5 e3t
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Trasformada inversa
Proposición
La transformada inversa es lineal. Sean F (s) y G(s) dos transformadas deLaplace. Entonces
L−1 (αF (s) + βG(s)) (t) = αL−1 (F (s)) (t) + βL−1 (G(s)) (t)
donde α y β son constantes.
Calcule L−1 (F (s)) (t)donde
F (s) =1
s3+
5
s− 3
t2
2 + 5 e3t
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = 3s+4s2+7 .
Notar que3s+ 4
s2 + 7= 3
s
s2 + 7+ 4
1
s2 + 7
luego
L−1(
3s+ 4
s2 + 7
)(t) = 3L−1
(s
s2 + 7
)(t) + 4L−1
(1
s2 + 7
)(t)
por lo tanto
L−1(
3s+ 4
s2 + 7
)(t) = 3 cos(
√7t) + 4 sin(
√7t)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = s+1s2(s+2) .
Notar ques+ 1
s2(s+ 2)=
1
4s+
1
2s2− 1
4(s+ 2).
luego
L−1(
s+ 1
s2(s+ 2)
)(t) =
1
4L−1
(1
s
)(t)+
1
2L−1
(1
s2
)(t)−1
4L−1
(1
s+ 2
)(t)
por lo tanto
L−1(
s+ 1
s2(s+ 2)
)(t) =
1
4+t
2− 1
4e−2t
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Transformada de la derivada
Teorema
Sea f una función continua sobre [0,+∞[ y supongamos que f ′ es continuapor tramos y de orden exponencial en [0,+∞[. Entonces
L[ f ′(t)](s) = sL[f(t)](s)− f(0).
Más generalmente,
L[ f (n)(t)](s) = sn L[ f(t)](s)−sn−1f(0)−sn−2f (1)(0)−· · ·−f (n−1)(0).
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Transformada de la derivada
L[ f ′(t)](s) =
∫ +∞
0
f ′(t) e−stdt
Integramos por partes, haciendo u = e−st y dv = f ′(t)dt∫ +∞
0
f ′(t) e−stdt = e−stf(t)∣∣+∞0
+ s
∫ +∞
0
f(t) e−stdt
= sL[ f(t)](s) + lımt→+∞
e−stf(t)− f(0)
= sL[ f(t)](s)− f(0)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ sin2(at)](s).
Sea f(t) = sin2(at). Observamos que f(0) = 0 y que
f ′(t) = 2a sin(at) cos(at) = a sin(2at)
L[ f ′(t)](s) = L[ a sin(2at)](s) = aL[ sin(2at)](s) = a2a
s2 + 4a2=
2a2
s2 + 4a2
Asi 2a2
s2 + 4a2= sL[f(t)](s)
Por lo tanto L[f(t)](s) =2a2
s(s2 + 4a2)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Aplicar la transformada L a y′′ − 4y = 0, con y(0) = 1, y′(0) = 2.
L[ y′′(t)]− 4L[ y(t)] = 0
s2L[ y(t)]− s y(0)− y′(0)− 4L[ y(t)] = 0
(s2 − 4)L[ y(t)]− s− 2 = 0
(s2 − 4)L[ y(t)] = s+ 2
L[ y(t)] =s+ 2
s2 − 4
Por lo tanto L[ y(t)](s) =1
s− 2
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Transformada de la integral
Teorema
Si f una función continua sobre [0,+∞[ y de orden exponencial en [0,+∞[y a ∈ R ∪ {0}, entonces
L[
∫ t
a
f(x) dx](s) =1
sL[ f(t)](s)− 1
s
∫ a
0
f(x) dx.
Más particularmente, si a = 0,
L[
∫ t
a
· · ·∫ t
a
f(x) dx · · · dx](s) =1
snL[ f(t)](s)
¿ Que pasa cuando a 6= 0?
L
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n veces
f(x) dx
(s) =1
snL[ f(t)](s)−
n∑k=1
1
sk
∫ a
0
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n−k veces
f(x) dx
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Transformada de la integral
Teorema
Si f una función continua sobre [0,+∞[ y de orden exponencial en [0,+∞[y a ∈ R ∪ {0}, entonces
L[
∫ t
a
f(x) dx](s) =1
sL[ f(t)](s)− 1
s
∫ a
0
f(x) dx.
Más particularmente, si a = 0,
L[
∫ t
a
· · ·∫ t
a
f(x) dx · · · dx](s) =1
snL[ f(t)](s)
¿ Que pasa cuando a 6= 0?
L
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n veces
f(x) dx
(s) =1
snL[ f(t)](s)−
n∑k=1
1
sk
∫ a
0
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n−k veces
f(x) dx
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
![Page 42: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/42.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Transformada de la integral
Teorema
Si f una función continua sobre [0,+∞[ y de orden exponencial en [0,+∞[y a ∈ R ∪ {0}, entonces
L[
∫ t
a
f(x) dx](s) =1
sL[ f(t)](s)− 1
s
∫ a
0
f(x) dx.
Más particularmente, si a = 0,
L[
∫ t
a
· · ·∫ t
a
f(x) dx · · · dx](s) =1
snL[ f(t)](s)
¿ Que pasa cuando a 6= 0?
L
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n veces
f(x) dx
(s) =1
snL[ f(t)](s)−
n∑k=1
1
sk
∫ a
0
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n−k veces
f(x) dx
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
![Page 43: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/43.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Aplicar la transformada L a la siguiente ecuación diferencial
dv
dt(t) + 2v(t) +
∫ t
0
v(x) dx = t
con y(0) = 1.
L[ v′(t)] + 2L[ v(t)] + L[
∫ t
0
v(x) dx)] = L[ t]
sL[ v(t)]− v(0) + 2L[ v(t)] +1
sL[ v(t)] =
1
s2
(s+1
s+ 2)L[ v(t)]− 1 =
1
s2
(s+1
s+ 2)L[ v(t)] =
1
s2+ 1
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Asi
L[ v(t)] =1s2 + 1
s+ 1s + 2
Por lo tanto
L[ v(t)](s) =s2 + 1
s(s+ 1)2
Calcule L−1 (F (s)) (t)donde F (s) = 1
s(s2+1)1− cos(t)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Asi
L[ v(t)] =1s2 + 1
s+ 1s + 2
Por lo tanto
L[ v(t)](s) =s2 + 1
s(s+ 1)2
Calcule L−1 (F (s)) (t)donde F (s) = 1
s(s2+1)
1− cos(t)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Ejemplos
Ejemplos
Asi
L[ v(t)] =1s2 + 1
s+ 1s + 2
Por lo tanto
L[ v(t)](s) =s2 + 1
s(s+ 1)2
Calcule L−1 (F (s)) (t)donde F (s) = 1
s(s2+1)1− cos(t)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
TareaDemostrar que
L[ f (n)(t)](s) = sn L[ f(t)](s)−sn−1f(0)−sn−2f (1)(0)−· · ·−f (n−1)(0).
Demostrar que
L
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n veces
f(x) dx
(s) =1
snL[ f(t)](s)−
n∑k=1
1
sk
∫ a
0
∫ t
a
· · ·∫ t
a︸ ︷︷ ︸n−k veces
f(x) dx
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![Page 48: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/48.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Derivada de la transformada
TeoremaSea f una función continua a trozos y de orden exponencial α. Entoncespara s > α
d
dsL[ f(t)](s) = −L[ t f(t)](s)
Más generalmente, se tiene
dn
dsnL[ f(t)](s) = (−1)nL[ tn f(t)](s)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Condiciones suficientes para la existenciaPropiedades de la transformada II
Integral de la transformada
TeoremaSea f una función continua a trozos y de orden exponencial α. Entoncespara s > α∫ s
0
L[ f(t)](u) du = −L[
1
tf(t)
](s) +
∫ +∞
0
1
tf(t)dt
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Modelos Físicos
Queremos representar:Entrada constante de un fluido al sistema físico.Entrada variable de un fluido al sistema físico.Golpe de un martillo a una bolita.Entrada de una señal en un circuito.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función periódica
Definición
Sea f : [0,+∞[−→ R una función. Se dice que f es periódica si existeT > 0 tal que
f(x+ T ) = f(x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f(t) = sin(2πt).f(r) = (−1)[r].f(y) = y − [y].
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función periódica
Definición
Sea f : [0,+∞[−→ R una función. Se dice que f es periódica si existeT > 0 tal que
f(x+ T ) = f(x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f(t) = sin(2πt).
f(r) = (−1)[r].f(y) = y − [y].
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función periódica
Definición
Sea f : [0,+∞[−→ R una función. Se dice que f es periódica si existeT > 0 tal que
f(x+ T ) = f(x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f(t) = sin(2πt).
f(r) = (−1)[r].
f(y) = y − [y].
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función periódica
Definición
Sea f : [0,+∞[−→ R una función. Se dice que f es periódica si existeT > 0 tal que
f(x+ T ) = f(x),
donde T es el menor número positivo que verifica tal propiedad.
f(t) = sin(2πt).f(r) = (−1)[r].
f(y) = y − [y].
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Transformada de una función periódica
Teorema
Si f(t) es una función periódica de periodo T que es continua por partes enel intervalo [0, T ], entonces para todo s > 0
L[ f(t)](s) =1
1− e−Ts
∫ T
0
e−st f(t) dt
Calcular L[ f(t)](s) donde
f(t) =
{1 si 0 < t < 1
0 si 1 < t < 2
es de periodo 2.
1s(1+e−s) ∀s > 0
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Transformada de una función periódica
Teorema
Si f(t) es una función periódica de periodo T que es continua por partes enel intervalo [0, T ], entonces para todo s > 0
L[ f(t)](s) =1
1− e−Ts
∫ T
0
e−st f(t) dt
Calcular L[ f(t)](s) donde
f(t) =
{1 si 0 < t < 1
0 si 1 < t < 2
es de periodo 2.
1s(1+e−s) ∀s > 0
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.
Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
Calcular L[ g(t)](s) donde
g(t) =
{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1
2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2
para n ∈ N.
1s2(1−e−2s)
(1− 2e−s + e−2s
)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
Calcular L[ g(t)](s) donde
g(t) =
{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1
2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2
para n ∈ N.
1s2(1−e−2s)
(1− 2e−s + e−2s
)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
Calcular L[ g(t)](s) donde
g(t) =
{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1
2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2
para n ∈ N.
1s2(1−e−2s)
(1− 2e−s + e−2s
)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
Calcular L[ g(t)](s) donde
g(t) =
{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1
2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2
para n ∈ N.
1s2(1−e−2s)
(1− 2e−s + e−2s
)
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
Calcular L[ g(t)](s) donde
g(t) =
{t− 2n ; 2n < t < 2n+ 1
2 + 2n− t ; 2n+ 1 < t < 2n+ 2
para n ∈ N.
1s2(1−e−2s)
(1− 2e−s + e−2s
)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función escalón unitario (Función de Heaviside)
DefiniciónSe define la función de Heaviside como
ut0(t) = u(t− t0) =
{0 ; 0 ≤ t < t0
1 ; t > t0
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Usos de la función escalón
Representar la función
g(t) =
{0 ; 0 ≤ t < 2π
sin(t) ; t > 2π
Representar
h(t) =
4 ; 0 ≤ t < 2
−2 ; 2 < t < 4
0 ; t > 4
Representar
k(t) =
t2 ; 0 ≤ t < 7
e−2t ; 7 < t < 91
t2; t > 9
g(t) = u(t− 2π) sin(t)
h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)
k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−
7) + ( 1t2 − e
−2t)u(t− 9)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Usos de la función escalón
Representar la función
g(t) =
{0 ; 0 ≤ t < 2π
sin(t) ; t > 2π
Representar
h(t) =
4 ; 0 ≤ t < 2
−2 ; 2 < t < 4
0 ; t > 4
Representar
k(t) =
t2 ; 0 ≤ t < 7
e−2t ; 7 < t < 91
t2; t > 9
g(t) = u(t− 2π) sin(t)
h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)
k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−
7) + ( 1t2 − e
−2t)u(t− 9)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Usos de la función escalón
Representar la función
g(t) =
{0 ; 0 ≤ t < 2π
sin(t) ; t > 2π
Representar
h(t) =
4 ; 0 ≤ t < 2
−2 ; 2 < t < 4
0 ; t > 4
Representar
k(t) =
t2 ; 0 ≤ t < 7
e−2t ; 7 < t < 91
t2; t > 9
g(t) = u(t− 2π) sin(t)
h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)
k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−
7) + ( 1t2 − e
−2t)u(t− 9)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Usos de la función escalón
Representar la función
g(t) =
{0 ; 0 ≤ t < 2π
sin(t) ; t > 2π
Representar
h(t) =
4 ; 0 ≤ t < 2
−2 ; 2 < t < 4
0 ; t > 4
Representar
k(t) =
t2 ; 0 ≤ t < 7
e−2t ; 7 < t < 91
t2; t > 9
g(t) = u(t− 2π) sin(t)
h(t) =4− 6u(t− 2) + 2u(t− 4)
k(t) =t2 + (e−2t − t2)u(t−
7) + ( 1t2 − e
−2t)u(t− 9)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Trasformada de la función escalón
Proposición
Sea ut0 la función escalón unitario. Entonces
L[ut0(t)](s) =1
se−st0 .
Calculemos
L[ut0(t)](s) =
∫ +∞
0
ut0 e−stdt =
∫ t0
0
0 e−stdt+
∫ +∞
t0
1 e−stdt
=
∫ +∞
t0
e−stdt = −1
se−st
∣∣∣∣+∞t0
= −1
se−s∣∣+∞t
= −1
s(0−)
1
se−st0
=1
se−st0
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
Gonzalo Palomera Transformada de Laplace
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
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![Page 71: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/71.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
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![Page 73: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/73.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
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![Page 74: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/74.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Función impluslo unitario (Función Delta de Dirac)
DefiniciónSea t0 > 0. Se define la función Delta de Dirac como
δ(t− t0) =
{+∞ si t = t0
0 si t 6= t0
Consideremos la siguiente función
δε(t−t0) =
{12ε si t ∈ [t0 − ε, t0 + ε]
0 si e.o.c
lımε→0
δε(t− t0) = δ(t− t0)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Propiedades de la función impulso
∫ +∞
−∞δ(t− t0)dt = 1.
∫ +∞
−∞δ(t− t0)f(t)dt = f(t0).
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Transformada de la función impulso
Proposición
Sea t0 ≥ 0 y δ(t− t0) la función impulso unitario. Entonces
L[ δ(t− t0)](s) = e−st0 .
Consideremos la función anterior δε(t− t0)
L[ δε(t− t0)](s) =
∫ +∞
0
δε(t− t0) e−stdt =
∫ t0−ε
0
δε(t− t0) e−stdt
+
∫ t0+ε
t0−εδε(t− t0) e−stdt+
∫ +∞
t0+ε
δε(t− t0) e−stdt
=
∫ t0−ε
0
0 e−stdt+
∫ t0+ε
t0−ε
1
2εe−stdt+
∫ +∞
t0+ε
0 e−stdt
=
∫ t0+ε
t0−ε
1
2εe−stdt
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Transformada de la función impulso
L[ δε(t− t0)](s) =
∫ t0+ε
t0−ε
1
2εe−stdt
=1
2ε
∫ t0+ε
t0−εe−stdt =
1
2ε
(e−s(t0+ε) − e−s(t0−ε))−s
=1
−se−st0
(e−sε − esε)2ε
Aplicando lımε→0
lımε→0
(e−sε − esε)2ε
= −s
Por lo tanto
L[ δ(t− t0)](s) = L[ lımε→0
δε(t− t0)](s) = lımε→0L[ δε(t− t0)](s) = e−st0
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Teorema de traslación
Teorema
Primer teorema de traslación Sea f : [0,+∞[−→ R continua por tramos yde orden exponencial. Si a ∈ R entonces
L[ eatf(t)](s) = L[ f(t)](s− a).
Teorema
Segundo teorema de traslación Sea f : [0,+∞[−→ R continua por tramos yde orden exponencial. Si a ∈ R+ entonces
L[u(t− a)f(t− a)](s) = e−asL[ f(t)](s).
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.
Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcular L[ f(t)](s) donde f(t) = | sin(at)| con a > 0.Periodo: πa .| sin(at)| = sin(at) cuando t ∈ [0, πa ].
L[ | sin(at)|](s) =a
s2 + a2(1 + e−
πa s)
(1− e−πa s)
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![Page 82: Ecuaciones Diferenciales - Transformada de Laplace](https://reader030.vdocumento.com/reader030/viewer/2022012309/55cf96d8550346d0338e2944/html5/thumbnails/82.jpg)
DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = s+1s4+4s3+4s2 . Notar que
s+ 1
s4 + 4s3 + 4s2=
s+ 1
s2(s+ 2)2.
s+ 1
s4 + 4s3 + 4s2=
1
4s2− 1
4(s+ 2)2.
luego
L−1 (F (s)) (t) =1
4L−1
(1
s2
)(t)− 1
4L−1
(1
(s+ 2)2
)(t)
por lo tanto
L−1(
s+ 1
s4 + 4s3 + 4s2
)(t) =
1
4t− 1
4t e−2t
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calculemos L−1 (F (s)) (t) donde F (s) = 1(s−1)3 + 1
s2+2s−8 .
Notar que1
s2 + 2s− 8=
1
(s+ 1)2 − 9.
luego
L−1 (F (s)) (t) = L−1(
1
(s− 1)3
)(t) + L−1
(1
(s+ 1)2 − 9
)(t)
por lo tanto
L−1(
s+ 1
s4 + 4s3 + 4s2
)(t) =
1
2t2 et +
1
3sin(3t) e−t
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución
Definición
Sean f, g : [0,+∞[−→ R, continuas por tramos y de orden exponencial. Sedefine la convolución entre f y g como
(f ∗ g)(t) =
∫ t
0
f(τ)g(1− τ) dτ
Proposición
Conmutatividadf ∗ g = g ∗ f.
Asociatividadh ∗ (f ∗ g) = (h ∗ g) ∗ f.
Distributivah ∗ (f + g) = h ∗ f + h ∗ g.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución
Definición
Sean f, g : [0,+∞[−→ R, continuas por tramos y de orden exponencial. Sedefine la convolución entre f y g como
(f ∗ g)(t) =
∫ t
0
f(τ)g(1− τ) dτ
Proposición
Conmutatividadf ∗ g = g ∗ f.
Asociatividadh ∗ (f ∗ g) = (h ∗ g) ∗ f.
Distributivah ∗ (f + g) = h ∗ f + h ∗ g.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución
Definición
Sean f, g : [0,+∞[−→ R, continuas por tramos y de orden exponencial. Sedefine la convolución entre f y g como
(f ∗ g)(t) =
∫ t
0
f(τ)g(1− τ) dτ
Proposición
Conmutatividadf ∗ g = g ∗ f.
Asociatividadh ∗ (f ∗ g) = (h ∗ g) ∗ f.
Distributivah ∗ (f + g) = h ∗ f + h ∗ g.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución: interpretación
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Ejemplos
Ejemplos
Calcule (f ∗ g)(t) dondef(t) = t y g(t) = t.f(t) = t y g(t) = sin(t).f(t) = t y g(t) = et.f(t) = sin(t) y g(t) = cos(t).
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución
Teorema
Sean f, g : [0,+∞[−→ R, continuas por tramos y de orden exponencial,entonces
L[ (f ∗ g)(t)](s) = L[ f(t)](s)L[ g(t)](s)
Ejemplos
Aplicar la transformada L a la ecuación integral de Volterra
x(t) = t2 +
∫ t
0
sin(t− u)x(u) du
.
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución
Ejemplos
Observemos que ∫ t
0
sin(t− u)x(u) du = sin(t) ∗ x(t)
Entoncesx(t) = t2 + sin(t) ∗ x(t)
Aplicando transformada
L[x(t)] = L[ t2] + L[ sin(t) ∗ x(t)]
L[x(t)] = L[ t2] + L[ sin(t)]L[ ∗x(t)]
(1− L[ sin(t)](s))L[x(t)] = L[ t2]
(1− 1
s2 + 1)L[x(t)] =
2
s3
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
IntroducciónPropiedades de la transformada III
Convolución
Ejemplos
Luego
L[x(t)](s) =2
s31
1− 1s2+1
un poco de álgebra
L[x(t)](s) =2
s3+
2
s5
Aplicando L−1
L−1 (L[x(t)](s)) = L−1(
2
s3
)+ L−1
(2
s5
)x(t) = L−1
(2
s3
)+
2
4!L−1
(4!
s5
)x(t) = t2 +
t4
12
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 1
Un cohete despega con velocidad inicial v0 desde la Tierra a una altura y0del suelo en forma vertical. Luego de algunos segundos, se activan losmotores de emergencia, por lo que adquiere una aceleración a > 0 duranteun intervalo de tiempo breve. Si la gravedad de la Tierra es g, encuentre laecuación de movimiento del cohete suponiendo que tiene masa m y (t1, t2)es el intervalo en el que funcionan los motores de emergencia, con t2 > t1.
md2y(t)
dt2= F (t)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
Funciones especialesAplicaciones a Ecuaciones Diferenciales
Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 2
Consideremos un resorte en equilibrio con un cuerpo de masa m unida a él.Supongamos que el resorte en el timpo t = 0 el sistema esta sujeta a unafuerza sinusoidal h(t) = A sin(ωt) y que en el instante t = 10 se lesuministra un golte seco desde abajo que imparte a la masa instantáneamente2 unidades de momentum. Hallar el movimiento del sistema desde t = 0 enadelante.
md2y(t)
dt2+K y(t) = F (t)
y(0) = 0 y′(0) = 0
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 3
Consideremos el siguiente sistema en equilibrio. Se tienen dos masas m1 ym2 unidas a 2 resortes de constantes k1 y k2 respectivamente.
Hint: Ley de Hooke F = −Kx.
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 4
Vigas
Tipos de Vigas: Simplemente apoyada, en voladizo.
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 4
Modelo
EId4y(x)
dx4= q(x)
Sujeto a las siguientes condiciones inicialesSoporte simple y(0) = y(L) = y′′(0) = y′′(L) = 0.En voladizo y(0) = y′(0) = y′′(L) = y′′′(L) = 0.
En dondey′(0) significa que la viga esta empotrada en x = 0.y′′(0) significa que la viga no esta sometida a momentos flectores enx = L.y′′′(L) significa que no existen fuerzas costantes en el extremo x = L.(extremo libre)
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 4
Deflexión de vigas
Suponga una viga de largo L simplemente apoyada en sus extremos.Despreciando la masa de la viga, calcular la deflexión de la viga (flecha)sabiendo que se imprime una carga puntual P0 en x = L/2.
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 5
Deflexión de vigas
Suponga una viga de largo 10 u (adimensionalizando unidades) simplementeapoyada en sus extremos. Despreciando la masa de la viga, calcular ladeflexión de la viga (flecha) sabiendo que la distribución de cargas enfunción de x (medida de la viga) es la siguiente:
q(x) =
{5 ; x = 2
2 ; 5 ≤ x ≤ 7
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 6
Tráfico VehicularSunponga que se tiene una calle con un flujo vehicular constante de 2,5autos cada un minuto por medio. Al final de la calle, se tiene un semáforo, elcual mantiene el color verde (verde + amarillo) un tiempo de 0,4 min. Enese tiempo alcanza a pasar un flujo constante de 3 autos por minuto. Elcolor rojo se mantiene tambien por 0,4 minutos.
> Cual es la concentración vehicular del sistema?> Se formará congestión vehicular?> La vía es expedita?
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DefiniciónExistencia de la transformada y su inversa
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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Problemas físicosProblemas de IngeniríaProblemas de fluidos
Ejemplo 5
Tráfico Vehicular: Solución
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