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UNIVERSIDAD NACIONAL AGRARIA DE LA SELVA
FACULTAD DE INGENIERA EN INDUSTRIAS
ALIMENTARIAS
TRABAJO ENCARGADO Profesor: Ing. RIVERA ROJAS, Humberto H. Curso: ANLISIS MATEMTICO PARA INGENIERA Alumno: CALDERON PINO, Joseferik.
TINGO MARIA PERU 2015
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1. ECUACIONES DIFERENCIALES LINEALES DE PRIMER ORDEN.
1. Resolver
Solucin:
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
[( ) ]
( )
Solucin
( ) [ ( ) ( ) ]
( ) ( )
[ ]
[ ]
( )
( )
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3) Integrar la ecuacin diferencial y = 2y + x
Es una ecuacin diferencial lineal: y 2y = x
La resolveremos por el mtodo de variacin de parmetros:
Paso 1.- Resolvemos la ecuacin homognea: y 2y = 0
y = 2y
= 2y
= 2dx ln |y| = 2x + C y =
Luego la solucin general de la homognea es y = K
La solucin particular para K = 1 es up(x) = e2x
Paso 2.- Supongamos que la solucin general de la ecuacin diferencial es
y = K(x) (x) = K(x)e2x
Derivando: y = K(x)e2x + K(x)2e2x resultado que sustituimos en la
ecuacin diferencial para obtener el valor de K(x)
K(x)e2x + K(x)2e2x 2K(x)e2x = x K(x)e2x = x
K(x)=xe-2x K(x)=
(
)
Nos queda que: k(x)
(
)
Por lo que: y = K(x)e2x =*
(
) + luego la
solucin general lineal es :
y(x) =
(
)
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4) Integrar la ecuacin diferencial: y cos x + y sen x = 1
Es una ecuacin diferencial lineal: y + y tan x = sec x
Resolvemos la homognea:
y = y tan x dy y = tan xdx ln |y| = ln | cos | + ln C y = C cos x
La solucin particular para C = 1 es up(x) = cos x
Consideramos que la solucin generales y = K(x)up(x) = K(x) cos x
Derivando y sustituyendo:
y = K(x) cos xK(x) sen x K(x) cos xK(x) sen x+K(x) cos x tan x = sec x
K(x) cos x = sec x K(x) = sec2 x K(x) = tan x + D
Luego la solucin general queda:
y = K(x) cos x y = (tan x + D) cos x y = sen x + D cos x
5) Integrar la ecuacin diferencial: xy= y + x3
Es una ecuacin diferencial lineal: y
Resolvemos la homognea:
y
La solucin particular para C = 1 es up(x) = x Consideramos que la solucin general es y = K(x)up(x) = K(x)x Derivando y sustituyendo:
y = K (x)x+K(x) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
Luego la solucion general queda:
y= ( ) (
)
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Resuelve los siguientes problemas de valores iniciales
mediante la frmula de variacin de las constantes:
(6) x + 3x = e3t , x(1) = 5
(7) x
,x(2) = 0
(8) x = cosh(t)x + ( ) , x(0) = 1
Solucin: (6)
La solucin general de la ecuacin homognea, xt +3x = 0,
es
xh (t) = C e3 tC R .
Variando la constante, x(t) = C(t) e3t, y volviendo a la ecuacin completa obtenemos
(Ct 3C) e3t + 3C e3t = e3t C(t) = t + K , K R .
Por tanto, la solucin general de la ecuacin completa es
x(t) = (t + K) e3t , K R .
Imponiendo la condicin inicial x(1) = 5 concluimos que
(1 + K) e3 = 5 K = 5e3 1 ,
Luego
X(t) = (t + 5e3 1) e3t .
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7) Resolviendo la ecuacin homognea (que tiene sus variables se- paradas) obtenemos (t) = Ct con C R. Sustituyendo entonces la expresin x(t) = C(t)t en la ecuacin completa llegamos a
( )
( )
( ) (
)
Entonces la solucin general de la ecuacin completa es:
[ (
) ] (
)
Por consiguente , la solucin buscada es :
( ) (
)
8) La solucin general de la ecuacin homognea es
xh(t) = C ( ) , C R .
Si variamos la constante y ensayamos en la ecuacin completa con
x(t) = C(t) ( )(t) obtenemos
(Ct + C cosh(t)) ( ) (t) = C cosh(t) ( ) (t) + ( )
Ct 1 C(t) = t + K , K R .
Por tanto
x(t) = (t + K) esenh(t) , K R .
Al imponer finalmente x(0) = 1 obtenemos K = 1 y, en consecuen- cia, la nica solucin de nuestro problema de valores iniciales es
x(t) = (t + 1) ( ) .
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9) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales:
( )
Solucin:
A la ecuacin diferencial dada expresamos en la forma:
( ) ( ) Separando las variables
, integrando se tiene
, donde tenemos
( )( ) |
|
10) ( )
Solucin:
( )
.separando variable.
, integrando
, De donde se tiene:
(
)
Cuando x ; y
( )
( )
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2. Ecuaciones diferenciales de Bernoulli
1.
Solucin
[
]
[
]
[
]
* (
) +
(
)
-
2.
( )
Solucin
( )
(
)
(
)
(
)
( )
[ ( ) ]
[ ( ) ]
[
]
[ (
) ] (
)
-
3.
Solucin:
[ ( ) ]
[ ]
[ ( ) ]
Por lo tanto:
-
4.
( )
( )
( )
( )
( )
* ( )
+
*
( )
+
[
( )
]
-
5. ( )
Solucin
(
)
*
( )
+
* ( )
+
* (
)+
-
6.
Solucin:
Multiplicando por
[
]
[ ]
-
Solucin
+
[
]
( ) [ ( ) ]
[ ]
*
+
-
8. (
)
Solucin
La Ec. se expresa as:
Remplazando se tiene
Ec. Lineal en z la
solucin es
*
( ) +
[ ] simplif
[
]
-
9.
( )
Solucin
( )
( ) [ ( )( ) ]
( ) [ (
)( ) ]
[( ( ) ]
*( )
( )
+
-
10.
Solucin
[ ]
( ) [ ( ) ]
[ ]
-
3. ECUACION DIFRENCIAL DE RICCATI
1 .
( )
Solucin
( )
( )
( )
( )
Remplazando se
tiene
[
(
) ]
[
]
(
)
-
2.
Solucin:
; derivando
; Reemplazamos y e y en la ecuacin original
( ) ( )
; Que es la forma de la E.D. de BERNOULLI, con n=2
() Reemplazando en la E.D Bernoulli, se tiene la siguiente ecuacin:
Encontramos el Factor Integrante
-
3..
Solucin
( ) * ( )
+
*
+
[ ]
( ) ( )
-
4..
( )
SOLUCION
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes
(
)
(
)
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal.
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
( ) ( )
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de
variable
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5. ( )
solucion
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes
(
)
(
)
Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin separable,
Paso 3: Integrar miembro a miembro para obtener:
Revertir el cambio de variable
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6. ( ) Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
(
)
(
)
Paso 2: Resolver las operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal:
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
( ) ( )
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
no es una integral elemental
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NOTA: se acostumbra, cuando la integral ( ) no es
elemental, escribir como ( )
donde x0 es una
constante as:
7. ( )
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
(
)
(
)
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes
Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante
( ) ( )
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Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
8.
( )
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
(
)
(
)
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Paso 3: Identificar ( ) , ( ) y calcular el factor integrante
( )
( )
Resolver la ecuacin lineal en "z" y revertir el cambio de variable
( )
Paso 1: Realizar el cambio de variable
Hacer las sustituciones correspondientes:
(
) (
)
-
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal;
( ) Paso 3: Identificar P(x), Q(x) y calcular el factor integrante ( ) ( )
Resolver la ecuacin lineal "z" y revertir el cambio de variable:
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10. Paso 1: Realizar el cambio de variable.
;
;
Hacemos sustituciones correspondientes
(
)
(
)
Paso 2: Resolver operaciones y reducir trminos semejantes para obtener la ecuacin lineal. Paso 3 integrando mienbro a miembro
z al revirtir el cambio de variable obtenemos: