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Divisibilidade Divisores e Múltiplos
Profº: Keyson Gondim
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Vejamos os exemplos das divisões abaixo: a)
0 16 Como o resto é zero, a divisão é exata.
Dizemos que 80 é divisível por 5 ou que 5 é divisor de 80.
Divisores
80 5
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84 5 4 16
Como o resto é quatro, a divisão não é exata.
Dizemos que 84 não é divisível por 5 ou que 5 não é divisor de 84.
b)
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Dada a relação fundamental da divisão: Dividendo = divisor x quociente + restoPodemos concluir que:
Resto = dividendo – divisor x quociente Exemplo: Na divisão 84 5 4 16 Temos que Resto = 84 – 5 x 16, ou seja, Resto = 4.
Relação fundamental da divisão
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Os critérios de divisibilidade são regras práticas que permitem verificar, sem efetuar a divisão, se um número natural é ou não divisível por outro número natural.
Qualquer número natural, com exceção do zero, tem por divisores o número 1 e ele mesmo.
A seguir apresentaremos alguns desses critérios.
Critérios de divisibilidade
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Um número natural será divisível por 2 quando ele for par, ou seja, terminar em 0, 2, 4, 6, 8.
Exemplos:a) 9734 é divisível por 2 (termina em 4)b) 2867 não é divisível por 2. c) 1420 é divisível por 2 (termina em 0)
Divisibilidade por 2
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Um número natural será divisível por 3 quando a soma dos seus algarismos for um número divisível por 3. Exemplos:
a) 1437 é divisível por 3, temos (1+4+3+7=15) e 15 é divisível por 3.
b) 29 não é divisível por 3, temos (2+9+=11) e 11 não é divisível por 3.
Divisibilidade por 3
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Um número natural será divisível por 4 quando terminar em 00 ou os dois últimos algarismos forem divisíveis por 4. Exemplos:
a) 2008 é divisível por 4 (08 é divisível por 4)b) 600 é divisível por 4 (termina em 00) c) 427 não é divisível por 4, temos (27 não é
divisível por 4)
Divisibilidade por 4
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Um número natural será divisível por 5 quando terminar em 0 ou 5.
Exemplos:a) 7805 é divisível por 5 (termina em 5)b) 6290 é divisível por 5 (termina em 0)c) 1342 não é divisível por 5
Divisibilidade por 5
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Um número natural será divisível por 6 quando for divisível por 2 e 3, ao mesmo tempo. Exemplos:
a) 7314 é divisível por 6 (é divisível por 2 e 3 ao mesmo tempo)
b) 249 não é divisível por 6 (não é divisível por 2 embora seja divisível por 3)
Divisibilidade por 6
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Um número natural será divisível por 7 se o dobro do último algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar em um número divisível por 7.
Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.
Divisibilidade por 7
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Exemplos:a) 2534 é divisível por 7, temos:
Repetir o processo com este últimoNúmero (245).
253 Número sem o último algarismo - 8 Dobro de 4 (último algarismo) 245 Diferença
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A última diferença 14 é divisível por 7, logo o número 2534, também é divisívelpor 7.
24 Número sem o último algarismo - 10 Dobro de 5 (último algarismo) 14 Diferença
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b) 6438 não é divisível por 7, temos:
Repetir o processo com este últimoNúmero (627).
643 Número sem o último algarismo - 16 Dobro de 8 (último algarismo) 627 Diferença
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A última diferença é 48 que não é divisível por7, logo o número 6438 também não é divisívelpor 7.
62 Número sem o último algarismo - 14 Dobro de 7 (último algarismo) 48 Diferença
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Um número natural será divisível por 8quando terminar em 000 ou quando os trêsúltimos algarismos forem divisíveis por 8.
Exemplos:a) 3456 é divisível por 8 (456 é divisível por 8) b) 12000 é divisível por 8 (termina em 000)c) 951 não é divisível por 8
Divisibilidade por 8
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Um número natural será divisível por 9quando a soma dos seus algarismos for umnúmero divisível por 9. Exemplos:a) 6984 é divisível por 9, temos
(6+9+8+4=27) e 27 é divisível por 9 b) 5641 não é divisível por 9, temos
(5+6+4+1=16) e 16 não é divisível por 9
Divisibilidade por 9
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Um número natural será divisível por 10quando terminar em zero ( 0 ).
Exemplos:4580 é divisível por 10 a) 74560 é divisível por 10b) 98704 não é divisível por 10
Divisibilidade por 10
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Um número é divisível por 11 quando a diferença entre as somas dos valores absolutos dos algarismos de ordem ímpar e a dos de ordem par é divisível por 11.
O algarismo das unidades é de 1ª ordem, o das dezenas de 2ª ordem, o das centenas de 3ª ordem, e assim sucessivamente.
Exemplos:1) 57948 Si (soma das ordens ímpares) = 8+9+5 = 22 Sp (soma das ordens pares) = 4+7 = 11 Si-Sp = 22-11 = 11 Como 11 é divisível por 11, então o número 57948 é divisível por 11.
2) 439087 Si (soma das ordens ímpares) = 7+0+3 = 10 Sp (soma das ordens pares) = 8+9+4 = 21 Si-Sp = 10-21 Como a subtração não pode ser realizada, acrescenta-se o menor múltiplo de 11 (diferente de zero) ao minuendo, para que a subtração possa ser realizada: 10+11 = 21. Então temos a subtração 21-21 = 0. Como zero é divisível por 11, o número 439087 é divisível por 11.
Divisibilidade por 11
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Consideremos a e b dois númerosNaturais, sendo b diferente de zero. Podemosdizer que um número natural a é múltiplode um número natural b, quando a fordivisível por b ou b for divisor de a. Exemplo: O número 120 é múltiplo de 30, pois 120 é divisível por 30.
Múltiplo de um número
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Atividade de revisão
Complete a tabela abaixo, usando osconhecimentos adquiridos nesta aula. Dividendo Divisor Quociente Resto 458 12 38 ? 1250 ? 125 0 ? 35 20 15