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Distancia entre un punto y una recta
La distancia de un punto , P, a una recta , r, es la menor de la
distancia desde el punto a los infinitos puntos de la recta.
Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el
punto hasta la recta .
Ejemplos
1. Hallar la distancia desde el punto P(1, 3, −2) a
la recta .
2. Hallar la distancia desde el punto P(1, 2, 3) a
la recta .
Distancia entre rectas paralelas
La distancia de una recta , r, a otra paralela , s, es la distancia desde
un punto cualquiera de r a s.
Distancia entre rectas que se cruzan
La distancia entre dos sectas que se cruzan se mide sobre
la perpendicular común .
Sean y las determinaciones lineales de las rectas r y s.
Los vectores determinan paralelepípedo cuya altura es
la distancia entre las dos rectas .
El volumen de un paralelepípedo es .
Teniendo en cuenta el volumen es el valor absoluto del producto mixto
de los tres vectores y el área de la base es el producto vectorial de los
vectores directores de las rectas, la altura, es decir, la distancia entre los dos
puntos es igual a:
Ejemplo
Hallar la mínima distancia entre las rectas :
Distancia de un punto a un plano
La distancia de un punto, P, a un plano, π, es la menor de la distancia
desde el punto a los infinitos puntos del plano.
Esta distancia corresponde a la perpendicular trazada desde el
punto al plano .
Ejemplo
Hallar la distancia del punto P(3, 1, −2) a los
planos y .
Hallar la distancia del punto Q(5, 5, 3) al
plano .
Distancia entre planos paralelos
Para calcular la distancia entre dos planos paralelos , se halla la
distancia de un punto cualquiera de uno de ellos al otro.
También se puede calcular de esta otra forma:
Ejemplo
Calcular la distancia entre los planos
y .
Los dos planos son paralelos.
Transformamos la ecuación del segundo plano para que los dos planos
tengan el mismo vector normal.
6 Distancia de un punto a una recta
6.1 Distancia de una recta al origen
Sea la recta con ecuación , la distancia del origen a esa recta es
Ejemplo Determinemos la distancia de la recta al origen
Usando la fórmula anterior esta es
Ejemplo Encontremos la distancia del origen a la recta
No podemos usar directamente la fórmula puesto que la ecuación no esta escrita
como
La distancia buscada es
¿Como se determina la fórmula distancia de una recta al origen?
Sea la recta con ecuación , la distancia al origen se determina de la siguiente forma
a.- Encontremos la recta perpendicular a que pasa por el origen, que llamaremos
b.. Encontraremos la intersección de estas rectas, , a este punto lo llamaremos
c.- la distancia de al origen es la distancia mínima de la recta al origen.
a.- La pendiente de es por lo tanto la pendiente de es y la ecuación es
de es
b.- La solución del sistema
nos determina el punto (intersección de las dos rectas).
Reemplazandoel valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación tenemos
Usando la segunda ecuación y este valor de tenemos que
asi
c.- La distancia de al origen es
Note que la recta tienen ecuación y la distancia del origen a esa
recta es
6.2 Distancia de un punto a una recta
La distancia del punto a la recta con ecuación se determina por la siguiente fórmula que explicaremos más abajo.
Ejemplo: Calculemos la distancia entre la recta y el punto
Para ocupar la fórmula necesitamos escribir la ecuación de la recta como se solicita, esto es
Asi, la distancia entre la recta y el punto es:
¿Por qué esa fórmula?
La distancia del punto a la recta con ecuación se determina de la siguiente forma
1.- Encontremos la distancia desde la recta al origen, para eso
a.- Encontremos la recta perpendicular a que pasa por el origen, que llamaremos
b.. Encontraremos la intersección de estas rectas, , a este punto lo llamaremos
c.- es la distancia mínima de la recta al origen.
2.-Encontreremos una recta paralela a la recta que pase por el punto la
llamaremos
3.- Determinaremos la diferencia entre las distancia desde el origen a cada recta, esta será la distancia entre las rectas
1 a.- La pendiente de es por lo tanto la pendiente de es y la ecuación es
de es
1 b.- La solución del sistema
nos determina el punto (intersección de las dos rectas).
Reemplazandoel valor de de la segunda ecuación en la primera ecuación tenemos
Usando la segunda ecuación y este valor de tenemos que
asi
1 c.- La distancia de al origen es
Note que la recta tienen ecuación y la distancia del origen a esa
recta es esto nos será útil para encontrar la respuesta a la pregunta 3
2.-La recta buscada es del tipo donde es lo que determinaremos
usando las coordenadas del punto
Recta paralela a y que pasa por es
3.- La distancia de al origen es
La distancia de al origen es
Distancia entre rectas y es el valor positivo de la diferencia de estas distancias, que después de analizar por casos a se llega a
Ejemplo
Determinemos las ecuaciones de la recta que pasa por los puntos:
Un vector director de es, por ejemplo, el vector que va desde el punto hasta el punto
Por lo tanto, la ecuación de la recta en forma vectorial es:
En forma paramétrica es:
En forma continua es:
En forma implícita es:
Distancia de un punto a una rectaEn Geometría euclidiana, la distancia de un punto a una recta es la distancia más corta entre ese
punto y un punto de una línea o recta.
Sean A un punto y D una recta.
Se define la distancia entre A y D como la distancia mínima entre A y un punto M de D.
Para recta definida por su ecuación reducida y siendo A un punto de la
forma
Obsérvese que
Demostración
Es fácil comprobar que este mínimo se realiza en la proyección ortogonal de A sobre D, es
decir el punto A' de la recta (D) tal que (AA') sea perpendicular a ella. En efecto, si se toma otro
punto cualquiera B de (D), entonces en el triángulo rectángulo AA'B, la hipotenusa AB es más
larga que el cateto AA'. Geométricamente se construye el proyectado A' deslizando una
escuadra sobre una regla que sigue la recta D hasta encontrar el punto A; luego se mide la
longitud AA'.
Un objetivo más ambicioso es el de encontrar una manera de calcular esta distancia, es decir
sin pasar por una medición gráfica, forzosamente aproximativa. Para ello, es aconsejable
utilizar un sistema de coordenadas ortogonales - en la figura. La recta y el punto
cuya distancia se quiere medir son definidos por su ecuación cartesiana y sus coordenadas
respectivamente: ; y
Si en la ecuación de la recta D variamos sólo el valor del parámetro "c" obtendremos una
familia de rectas paralelas. De manera que para determinar un vector perpendicular podemos
tomar c = 0. Así, los vectores sobre la recta tendrán la forma ,
que puede simplificarse a
Busquemos un vector normal a (es decir, perpendicular a la recta), que deberá cumplir que
el producto escalar , y resulta ser (de ahí el interés de la ecuación
cartesiana) y al dividirlo por su norma se obtiene el vector normado que
define una medida algebraica sobre la recta (M'M):
La distancia MM' es el valor absoluto de la medida algebraica:
Como M' pertenece a D, sus coordenadas verifican a·x' + b·y' = -c luego lo anterior se simplifica
así:
En conclusión: La distancia entre M y (D) es:
Esta fórmula es muy fácil de recordar: Se divide la expresión de la recta por la norma del vector
y se pone el valor absoluto porque una distancia es siempre positiva.
En el caso que la recta sea dada por el ángulo (θ) que hace con el eje de las abscisas y su
ordenada al origen (b), la fórmula se simplifica:
D: y = (tan θ) ·x + b se pone en forma cartesiana: (sin θ)·x - (cos θ)·y + b·cos θ = 0, luego,
sabiendo que el vector es unitario:
Ejemplo: la primera diagonal del sistema de referencia corresponde a un ángulo y b =
0. Como , se obtiene:
En el caso de una recta definida por su ecuación reducida y = a·x + b; la
ecuación cartesiana es a·x - y + b = 0 y la distancia a ella es:
Ejemplo: Tomando a = 1 y b = 0, se obtiene de nuevo el resultado del ejemplo anterior.
Se calcula de la misma manera la distancia de un punto y un plano en el
espacio tridimensional: Si la ecuación del plano
es ; y el punto
es , entonces:
Lo anterior se generaliza a los espacios de dimensión finita n, y la distancia
entre un punto y un hiperplano (subespacio de dimensión n-1), añadiendo
cuantas variables hagan falta.
Mejor respuesta
Si tenemos una recta cuya ecuación es Ax + By + C = 0 y un punto P(x1,y1), entonces la distancia entre esa recta y el punto será
......|Ax1 + Bx2 + C|d = --------------------------..........._______.........√ A² + B²
En nuestro caso tenemos la recta 4x - 5y - 15 = 0 y el punto P(0,1), usando la ecuación anterior tendriamos
......|4(0) - 5(1) - 15|d = --------------------------........._________.......√ (4)² + (-5)²
........|-20|d = --------------.........___.......√ 41
d = 3.123
RESPUESTA: La distancia más corta entre el punto P(0,1) y la recta 4x - 5y - 15 = 0 es de 3.123