Download - Disertacion de Estado Solido (2)
![Page 1: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/1.jpg)
Estructura electronica de sistemas extendidos
Parte 1
![Page 2: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/2.jpg)
Bases de funciones
![Page 3: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/3.jpg)
Autofunciones y Operadores
![Page 4: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/4.jpg)
Autofunciones y Operadores
![Page 5: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/5.jpg)
Series de Fourier
Base de ondas planas
Expansion de f (r) como combinacion lineal en una base de ondas planas
f (r) con periodo L
Base ortogonal
L n = m
0 n ≠ m0
L
-
![Page 6: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/6.jpg)
Series de Fourier
1D
![Page 7: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/7.jpg)
Series de Fourier en 3D
a1
a2
a3
3D
¿Que es Gn?
![Page 8: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/8.jpg)
La red reciproca
vectores de la red reciproca
vectores de la red real
a1
a3
a2 b2 b3
b1red real red reciproca
Primera zona de Brillouin
definida por b1 , b2 , b3
![Page 9: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/9.jpg)
Autofunciones del Hamiltoniano electronico
Ecuacion de Schrödinger
1) Particula libre. V = 0
Distribucion de probabilidad y
Energia
Cualquier valor de k es aceptable
![Page 10: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/10.jpg)
Autofunciones del Hamiltoniano electronico
![Page 11: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/11.jpg)
Autofunciones del Hamiltoniano electronico
![Page 12: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/12.jpg)
Autofunciones en un potencial periodico
+ + +
L
V(x) puede representarse como serie de Fourier
¿ ?
![Page 13: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/13.jpg)
Las soluciones de la ecuación de Schrödinger en un potencial periodico tienen la siguiente forma:
Teorema de Bloch
Autofunciones en un potencial periodico
O equivalentemente:
con k un vector de la red reciproca
![Page 14: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/14.jpg)
Autofunciones en un potencial periodico
Operador traslacion TR
En un potencial periodico, TR conmuta con H = ∇2 + V(r)
Por lo tanto ambos operadores tienen una base comun de autofunciones
![Page 15: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/15.jpg)
Notar:
Luego, la forma mas general para los autovalores es
Autofunciones en un potencial periodico
La C.L. de autofunciones con igual autovalor eikR es tambien autofuncion, y por tanto la solucion mas general resulta:
uk funcion periodica en L
En 3D:
![Page 16: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/16.jpg)
La red reciproca
vectores de la red reciproca
vectores de la red de Bravais
Por ejemplo
Red de Bravais Red reciproca
FCC BCC
Primera zona de Brillouin definida por
b1 , b2 , b3
![Page 17: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/17.jpg)
La red reciproca y los puntos k
Bloch
En un solido infinito existe pues un continuo de autofunciones
asociadas a cada vector k del espacio reciproco
Para obtener la estructura electronica de un sistema periodico,
debe hallarse uik para todo k dentro de la primera zona de Brillouin
![Page 18: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/18.jpg)
4) Arreglo periodico de quantum wells (pozos de potencial)V(x)
L b
IV = 0
IIV 0
Autofunciones en un potencial periodico
-w
![Page 19: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/19.jpg)
Para el electron libre todas las energias son accesibles
El confinamiento introduce cuantizacion
Un arreglo periodico produce zonas de energia
accesibles (bandas) y zonas prohibidas (gaps)
Confinamiento y periodicidad
![Page 20: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/20.jpg)
Orbitales moleculares en el limite de un arreglo infinito de atomos
H2 H8
σ
σ*
H24 H84 H168
HOMO
LUMO
![Page 21: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/21.jpg)
H8
Orbitales moleculares en el limite de un arreglo infinito de atomos
Los orbitales de energia
creciente pueden
representarse como
combinacion de
funciones 1s modulada por un
coseno
![Page 22: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/22.jpg)
Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D
![Page 23: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/23.jpg)
orbitales s en 1D
Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D
energia y numero de nodos aumenta con k
Re ( φ (k, x) ) = ∑n cos(nka) . s(x – na)
![Page 24: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/24.jpg)
σ*
σ
σ*
σE
k k
E
k
E
La magnitud de la interaccion determina la dispersion (el ancho de la banda)
Orbitales moleculares, funciones de Bloch, y bandas en 1D
![Page 25: Disertacion de Estado Solido (2)](https://reader034.vdocumento.com/reader034/viewer/2022051318/56d6bd271a28ab30168cd95a/html5/thumbnails/25.jpg)
Recapitulacion
Los electrones libres tienen accesible todo el espectro de energias. El confinamiento impone la cuantizacion. La periodicidad establece una situacion intermedia, con bandas permitidas y regiones prohibidas.
Los estados electronicos del cristal estan descriptos por una onda plana multiplicada por una funcion con la periodicidad del cristal. Dichos estados estan caracterizados por un indice k y conforman una banda continua.
Los orbitales atomicos pueden combinarse para satisfacer el teorema de Bloch (sumas de Bloch). Las interacciones mas intensas dan lugar a bandas con mayor dispersion.
En cada banda, la dependencia de la energia con el indice k depende de la topologia de los orbitales atomicos que le dan origen: aumenta para los estados derivados de funciones s y disminuye para los estados derivados de funciones p.