Download - Diseño completamente aleatorizado
Análisis de varianza y el diseño completamente aleatorizado.
A continuación se muestra el uso del análisis
de varianza para probar la igualdad de k
medias poblacionales en un diseño
completamente aleatorizado.
La forma general de esta prueba de hipótesis
es
donde
Se asume que de cada una de las k
poblaciones o tratamientos se toma una
muestra aleatoria simple de tamaño nj.
Para los datos muestrales resultantes, sean
Las fórmulas para la media y la varianza
muestral del tratamiento j son las siguientes
La media muestral general, es la suma de
todas las observaciones divididas entre la
cantidad total de observaciones, es decir
donde
Si el tamaño de cada muestra es n, la
ecuación anterior se reduce a
En otras palabras, si todas las muestras son
del mismo tamaño, la media muestral general
es el promedio de las k medias muestrales.
En el experimento de Chemitech, como todas
las muestras constaban de n=5
observaciones, la media muestral general
está dada por
Si la hipótesis nula es verdadera, la media
muestral general es la mejor estimación de la
media poblacional.
Estimación de la varianza poblacional entre tratamientos
A la estimación de entre tratamientos
también se le llama cuadrado medio debido a
los tratamientos y se denota como CMTR. La
fórmula general para calcularlo es
Al numerador de la ecuación (1) se le llama
suma de cuadrados debido a los tratamientos
y se denota por SCTR. El denominador, k-1,
representa los grados de libertad asociados
con la SCTR.
Si H0 es verdadera, el CMTR proporciona una
estimación insesgada de . No obstante, si
las medias de las k poblaciones no son
iguales, el CMTR sobreestima a .
Para los datos de Chemitech obtenemos los
siguientes resultados
Estimación de la varianza poblacional
dentro de los tratamientosA la estimación de dentro de los
tratamientos también se le llama cuadrado
medio debido al error y se denota como CME.
La fórmula general para calcularlo es
Al numerador de la ecuación (2) se le llama
suma de cuadrados debido al error y se
denota por SCE. El denominador, nT-k,
representa los grados de libertad asociados
con la SCE.
El que H0 sea o no verdadera no tiene ninguna
influencia, por lo que el CME proporciona
siempre una estimación insesgada de .
Para los datos de Chemitech obtenemos los
siguientes resultados
Comparación de las estimaciones de las
varianzas: la prueba FSi la hipótesis nula es verdadera y se
satisfacen los supuestos del ANOVA, la
distribución muestral del CMTR/CME es una
distribución F con k-1 grados de libertad en el
numerador y nT-k grados de libertad en el
denominador.
PRUEBA DE IGUALDAD DE k MEDIAS
POBLACIONALES
ESTADISTICO DE PRUEBA
REGLA DE RECHAZO
donde pertenece a la distribución F con k-1
grados de libertad en el numerador y nT-k
grados de libertad en el denominador.
Ahora bien, en el experimento de Chemitech
se usará como nivel de significancia
, para realizar la prueba de hipótesis. En este
caso el valor del estadístico de prueba es
Con utilizamos la siguiente tabla
para calcular el valor de , considerando 2
grados de libertad en el numerador y 12 en el
denominador, de modo que
Como , H0 es rechazada y
concluimos que las medias de las tres
poblaciones no son iguales.
Tabla de ANOVA
Los cálculos anteriores se pueden presentar
de manera adecuada en un instrumento
conocido como tabla de análisis de varianza o
tabla de ANOVA. En la siguiente figura se
observa la forma general de una tabla ANOVA
para un diseño completamente aleatorizado.