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1ANALISIS DINAMICO CON UN GRADO DE LIBERTAD POR
NIVEL
Prof. Orlando Ramrez Boscn
Mrida, Mayo de 2003
Universidad de Los Andes
Facultad de Ingeniera
Departamento de Estructuras
Proyectos II
Dinmica Estructural
La principal causa de daos que las estructuras experimentan en un terremoto es debida a su respuesta a los movimientos en la base, transmitidos por las vibraciones ssmicas del terreno.
Esas vibraciones son variables en el tiempo, por lo que las fuerzas inducidas y toda su respuesta tambin son variables en el tiempo.
El anlisis que se hace de las estructuras bajo esas condiciones dependientes del tiempo, es lo que se llama Anlisis Dinmico de Estructuras.
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2Dinmica Estructural
GRADOS DE LIBERTAD DINAMICOSEl nmero de grados de libertad es igual al nmero de desplazamientos independientes requeridos para definir la posicin desplazada de todas las masas con respecto a su posicin original
m m(t)
SISTEMA DE UN GRADO DE LIBERTAD DINAMICO
(t)
-
3m1
m2
m3
m4
m5
m1
m2
m3
m4
m5 u5(t)
u4(t)
u3(t)
u2(t)
u1(t)
MODO 1 MODO 2 MODO 3 MODO 4 MODO 5
SISTEMA DE VARIOS GRADOS DE LIBERTAD
MODO 1 T1
MODO 2 T2
MODO 3 T3
MODO 4 T4
MODO 5 T5
Dinmica Estructural
2T =
51
-
451
2111
31
41
Dinmica Estructural
COORDENADAS MODALES
5242
32
22
12
kj: coordenada modal del nivel k, modo j
Anlisis Dinmico Plano
Efectos TraslacionalesMETODO DE
SUPERPOSICIN MODAL CON UN GRADO DE
LIBERTAD POR NIVEL
Efectos Torsionales METODO DE LA TORSION ESTATICA EQUIVALENTE
NORMA COVENIN 1756-98 (Revisin 2001)
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5METODO DE SUPERPOSICION MODAL CON UN GRADO DE
LIBERTAD POR NIVEL
Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel
MODELO MATEMATICO
SISTEMA DE MASAS CONCENTRADAS EN CADA NIVEL, A CADA UNA DE LAS CUALES SE LES CONSIDERA UN GRADO DE LIBERTAD
MGDL
m1
m2
m3
m4
1
2
3
4
k1
k2
k3
k4
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6Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel
NUMERO MINIMO DE MODOS
Las formas modales y sus correspondientes perodos de vibracin se obtienen resolviendo el problema caracterstico, es decir obteniendo los autovalores y autovectores de la estructura, usando las rigideces elsticas y las masas correspondientes a cada nivel.
El nmero mnimo de modos que se deben incorporar al anlisis, N1, se obtienen de las siguientes expresiones (O. Lpez y M. Cruz):
PARA EDIFICIOS CON MENOS DE 20 PISOS
11 *
T1N 1.5 3 32 T
= +
PARA EDIFICIOS CON MAS DE 20 PISOS
11 *
T2N 1.5 4 43 T
= +
Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel
DETERMINACIN DEL CORTE BASAL MODAL
La contribucin del modo j al corte basal, V0j, en una edificacin de masa M, se determina mediante la siguiente expresin:
0 j j djV MA g= donde:
Adj : ordenada del espectro inelstico, correspondiente al perodo Tj del modo j
2N
k kjk 1
j N2
k kjk 1
m1M m
=
=
=
kj : coordenada modal del piso k, modo jmk : masa del piso k
N : nmero total de pisos
j : Fraccin de la masa total del edificio, o masas participativas, asociadas con la respuesta en el modo j
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7Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel
FUERZAS MODALES DEBIDAS A LOS EFECTOS TRASLACIONALES
El mximo desplazamiento, ukj, en el nivel k, modo j se obtiene2
jkj kj j dj
Tu A g
2 =
La fuerza lateral en el nivel k, debido al modo j es:
kj k kj j djF m A g=
N
k kjk 1
j N2
k kjk 1
m
m
=
=
=
kj : factor de participacin de cada modo de vibracin (j)
Mtodo de Superposicin Modal con un Grado de Libertad por Nivel
COMBINACION MODAL
Los valores de diseo para el corte basal y las fuerzas a nivel de piso se determinan como los valores mximos probables obtenidos usando, para la combinacin modal, el criterio de la raz cuadrada de la suma de los cuadrados o de la combinacin cuadrtica completa de los valores mximos de cada modo.
CONTROL DE CORTANTE BASAL Y VALORES DE DISEO
El corte basal obtenido, V0, no podr ser menor que el obtenido usando el mtodo esttico equivalente, V0*, con un perodo T = 1.6 Ta .Cuando V0 sea menor que V0*, los valores para el diseo debern multiplicarse por V0*/V0.
El cociente V0/W no ser menor que el coeficiente ssmico mnimo
Posteriormente se considerarn los efectos P-D (Art. 8.5), y finalmente se suman los efectos torsionales obtenidos por el mtodo de la Torsin Esttica Equivalente.
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8METODO DE HOLZER
Mtodo de Holzer
Mtodo iterativo que permite calcular las frecuencias y formas modales de sistemas de un grado de libertad por nivel.
1. Suponer la frecuencia j2, para el modo j, y la coordenada modal de la primera masa, a1 (tomar a1 = 1).
2. Determinar el desplazamiento u1 y la fuerza en el resorte Fc1 = k1u1.
3. Calcular la Fuerza de inercia (masa) Fi1=-m1a1j2 (siempre negativa)
4. Determinar por equilibrio Fc2 = Fc1 + Fi15. Conocida Fc2, calcular u2 = Fc2/k2 y a2 = u1 + u26. Calcular Fi2 = -m2a2wj2, y continuar el proceso hasta el ltimo
piso.
7. Chequear en el ltimo piso que se cumpla que Fcn Fin = 0. En caso contrario repetir todo el procedimiento anterior para otro valor de la frecuencia wj2.
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9EJEMPLOEJEMPLO
NN00
NN11
NN22
NN33
NN44
NN55
MM11
MM22
MM33
MM44
MM55
KKPN1PN1
KKPN2PN2
KKPN3PN3
KKPN4PN4
KKPN5PN5
Estructura realEstructura real Estructura equivalenteEstructura equivalente
Niveles Niveles
Masa de pisoMasa de piso
Rigidez de pisoRigidez de piso
Sistema 1GDL por nivelSistema 1GDL por nivel
s.d.o.f. se le aplica el s.d.o.f. se le aplica el Mtodo de Holzer.Mtodo de Holzer.
Mtodo de Holzer
EJEMPLOEJEMPLO
Mtodo de Holzer
m1 = 0.05 Ton seg2/cm
m2 = 0.025 Ton seg2/cm
m3 = 0.025 Ton seg2/cm
K1 = 22000 Ton/cm
K3 = 5500 Ton/cm
K2 = 16500 Ton/cm
m1 = 2m
m2 = 1m
m3 = 1m
k1 = 4k
k2 = 3k
k3 = 1k
M = 0.025 Ton seg2/cm
K = 5500 Ton/cm
4k4k 3k3k kk
11 22 33
2m2m mm mm
u1
u2
u3
-
10
jj22 = 1 k/M= 1 k/M
4k4k 3k3k kk
11 22 33
2M2M MM MM
aa 11
uu 11
FFcc 4k4k
FFii --2k2k
2k2k
2/32/3
5/35/3
--5/3k5/3k
1/3k1/3k
1/31/3
22
--2k2k
R = R = --5/3k # 05/3k # 0
Suponer la frecuenciaSuponer la frecuencia j2 Suponer la coordenada nodal aSuponer la coordenada nodal a11Desplazamiento uDesplazamiento u11 = a= a11 Calcular FcCalcular Fc11 = u= u11 kk11
Calcular FiCalcular Fi11 = = -- MM11aa11jj22 Por equilibrio FcPor equilibrio Fc22 = Fc= Fc11 + Fi+ Fi11Calcular uCalcular u22 = F= Fc2c2 / k/ k22 Calcular aCalcular a22 = u= u11 + u+ u22Como el residuo (ltimo nivel) es diferente de cero suponer otraComo el residuo (ltimo nivel) es diferente de cero suponer otra frecuencia frecuencia jj22 y y repetir el proceso hasta que R = 0repetir el proceso hasta que R = 0
Mtodo de Holzer
METODO DE HOLZER
M = 0.025 Ton seg^2/cm Normalizando las M's y las K's respecto al ltimo pisoK = 5.500 Ton / cm descripcin rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3g = 981.000 cm / seg^2 datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00
M3 = M 0.025 Ton seg^2/cm
M2 = M 0.025 Ton seg^2/cmM1 = 2*M 0.050 Ton seg^2/cm
K3 = K 5.500 Ton / cm
K2 = 3*K 16.500 Ton / cmK1 = 4*K 22.000 Ton / cm
descripcin rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3 Residuodatos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00
frecuencia j2 1.00 k/Ma1 1.00 1.6667 2.0000u1 1.0000 0.6667 0.3333 -1.67Fc1 4.0000 2.0000 0.3333Fi1 -2.0000 -1.6667 -2.000
datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 3.00 k/M
a1 1.00 0.3333 -2.6667u1 1.0000 -0.6667 -3.0000 5.00Fc1 4.0000 -2.0000 -3.0000Fi1 -6.0000 -1.0000 8.000
datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 2.00 k/M
a1 1.00 1.0000 -1.0000u1 1.0000 0.0000 -2.0000 0.00Fc1 4.0000 0.0000 -2.0000Fi1 -4.0000 -2.0000 2.000
Datos del problema
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11
descripcin rigidez 1 masa 1 rigidez 2 masa 2 rigidez 3 masa 3 Residuodatos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00
frecuencia j2 0.40 k/Ma1 1.00 2.0667 4.4400u1 1.0000 1.0667 2.3733 0.60Fc1 4.0000 3.2000 2.3733Fi1 -0.8000 -0.8267 -1.776
datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 0.50 k/M
a1 1.00 2.0000 4.0000u1 1.0000 1.0000 2.0000 0.00Fc1 4.0000 3.0000 2.0000Fi1 -1.0000 -1.0000 -2.000
datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 4.00 k/M
a1 1.00 -0.3333 -3.0000u1 1.0000 -1.3333 -2.6667 9.33Fc1 4.0000 -4.0000 -2.6667Fi1 -8.0000 1.3333 12.000
datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 5.00 k/M
a1 1.00 -1.0000 -2.0000u1 1.0000 -2.0000 -1.0000 9.00Fc1 4.0000 -6.0000 -1.0000Fi1 -10.0000 5.0000 10.000
datos 4.00 2.00 3.00 1.00 1.00 1.00frecuencia j2 6.00 k/M
a1 1.00 -1.6667 0.3333u1 1.0000 -2.6667 2.0000 0.00Fc1 4.0000 -8.0000 2.0000Fi1 -12.0000 10.0000 -2.000
DATOS SISMICOS
RESULTADOS DEL ANALISIS MODAL
M = 0.025 Ton seg^2/cm 1 = 10.4881 rad/segK = 5.500 Ton / cm 2 = 20.9762 rad/segg = 981.000 cm / seg^2 3 = 36.3318 rad/seg
M3 = M 0.025 Ton seg^2/cm T1 = 0.5991 segM2 = M 0.025 Ton seg^2/cm T2 = 0.2995 seg
M1 = 2*M 0.050 Ton seg^2/cm T3 = 0.1729 segK3 = K 5.500 Ton / cm ai 1 modo 2 modo 3 modo
K2 = 3*K 16.500 Ton / cm N3 = 4.0000 -1.0000 0.3330K1 = 4*K 22.000 Ton / cm N2 = 2.0000 1.0000 -1.6670
N1 = 1.0000 1.0000 1.0000
Datos del problema:
frecuencias
perodos
formasmodales
localidad Mrida Zona Ssmica 5.00 Coef. Ao 0.30 Grupo B2 F. Imp 1.00Suelo S1 Tast 0.40 2.40 p 1.00 Tipo Est. I
Nivel Diseo ND3 F.R.R. 4.50 Tmas 0.35 C.Corr 1 Mat Ct 0.07alt. total hn 9.00
Clculo perodo fundamental Ta (aprox) 0.364 seg
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12
FUERZAS SISMICAS MODALES
0 j j djV MA g= 2N
k kjk 1
j N2
k kjk 1
m1M m
=
=
=
kj k kj j dj
F m A g= N
k kjk 1
j N2
k kjk 1
m
m
=
=
=
Fuerzas Ssmicas para T1 = 0.5991 seg.modo/periodo niveles Mk aik Mk x aik Mk x (aik)^2 Adj Vo1 (Ton) factor Vo1 Fi1 (Ton) chequeo
3 0.025 4.0000 0.10000 0.40000 0.50 3.811 3.811
2 0.025 2.0000 0.05000 0.10000 0.25 1.905 5.716
1 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 0.25 1.905 7.622 = 0.100 0.20000 0.55000 1.00
Fuerzas Ssmicas para T2 = 0.2995 seg.modo/periodo niveles Mk aik Mk x aik Mk x (aik)^2 Adj Vo1 (Ton) factor Vo1 Fi1 (Ton) chequeo
3 0.025 -1.0000 -0.02500 0.02500 -0.50 -2.064 -2.064
2 0.025 1.0000 0.02500 0.02500 0.50 2.064 0.000
1 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 1.00 4.129 4.129 = 0.100 0.05000 0.10000 1.00
Fuerzas Ssmicas para T2 = 0.1729 seg.modo/periodo niveles Mk aik Mk x aik Mk x (aik)^2 Adj Vo1 (Ton) factor Vo1 Fi1 (Ton) chequeo
3 0.025 0.3330 0.00833 0.00277 0.50 0.223 0.223
2 0.025 -1.6670 -0.04168 0.06947 -2.50 -1.115 -0.893
1 0.050 1.0000 0.05000 0.05000 3.00 1.338 0.446 = 0.100 0.01665 0.12224 1.00
3T3 = 0,1729
< Tmas0.200 0.446
1T1 = 0,5991
> Tast0.107 7.622
2T2 = 0,2995
< Tmas0.168 4.129
FUERZAS SISMICAS POR TRASLACIONCombinacin SRSS
MODO NIVEL Fi3 3.811 NIVEL Fi2 1.905 3 4.34 Ton1 1.905 2 3.02 Ton3 -2.064 1 4.74 Ton2 2.0641 4.129 NOTA:3 0.223 1.- Analizar la estructura en el sentido ortogonal 2 -1.115 2.- Efecto rotacional aplicar el Mtodo Torsin Esttica Equivalente.1 1.338
1
2
3
Fuerzas Definitivas
Las Fuerzas Laterales equivalentes definitivas en cada piso, se determinarn utilizando la combinacin modal: RAIZ CUADRADA DE LA SUMA DE LOS CUADRADOS
-
13
0
1
2
3
-2 -1 0 1 2 3 4 5
Modo 1
Modo 2
Modo 3
FORMAS MODALES
T1 = 0.5991 seg
T2 = 0.2995 seg
T3 = 0.1729 seg
4.34 Ton
3.02 Ton
4.74 Ton
FUERZAS SISMICAS POR TRASLACION