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Dinámica de la Dinámica de la partículapartícula
Ivana Devita
Alejandro Brusco
Federico Senattore
2008
Índice
• Introducción
• Letra del problema
• Fundamento teórico
• Desarrollo de ideas
• Resolución del ejercicio
• Otros casos
• Gráficos
Introducción
• Estudiaremos el movimiento de un sistema de 2 masas vinculadas por una cuerda. Por lo tanto, el movimiento de cada una, está relacionado con el movimiento de la otra. Resolveremos el ejercicio y luego procederemos a realizar algunos cambios, asignanado diferentes condiciones iniciales con el fin de ampliar el ejercicio. Estos cambios serán en cuánto a las aceleraciones, y la relación entre las masas.
Bloque de masa M
Plataforma
Cuerda
Hombre parado sobre plataforma
Representación gráfica
Las flechas gruesas indican para dónde se mueve la cuerda en el primer caso
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
a) El bloque llega a la polea que cuelga del techo antes
que la plataforma.b) El bloque llega a la polea que cuelga del techo después
que la plataforma.c) El bloque y la plataforma llegan simultáneamente a la
polea que cuelga del techo.d) Sólo el bloque llega a la polea que cuelga del techo ya
que la plataforma permanece en su posición inicial.e) No es posible que el bloque o la plataforma lleguen
hasta la polea que cuelga del techo.”
Problema
Plataforma
Comenzamos explicando porque tomar el sistema hombre-
plataforma como uno sólo y no por separado, estudiando en él las
fuerzas internas
j
T
HPF
gmH
.
PHF
gmP
.
j) T + FP->H – mH.g = mH.a
- FH->P – mP.g = mP.a
Por acción y reación (3era ley): FP->H = - FH->P
T – g.(mH + mP) = a.(mH + mP)
mH + mP = M Por hipótesis
T – g.M = M.a ---> Sistema hombre - plataforma
Nos tomamos un sistema de referencia inercial, aplicando la primera ley de Newton, luego desarrollamos el diagrama de cuerpo libre para identificar por
separado las fuerzas existentes sobre cada objeto.
1 2gM.
T
T
gM.
k̂
Aplicando la Ley Horaria llegamos a la conclusión que las velocidades son iguales y por partir desde la misma altura, llegarán a
la polea a la vez.
Solución: Opción C
2da Ley de Newton
amF
21
22
11
aM
TMga
M
TMgaMaTMg
M
TMgaMaTMg
¿Cómo reaccionaría el sistema en cada uno de estos casos?
• Caso 1: a1 > a2
• Caso 2: a1 < a2
• Caso 3: a1 = 0
• Caso 4: a2 = 0
• Variando las masas
Aplicando una fuerza
externa
1 2
1111) amgmTM
2222 2) amgmTM
2
0)22(
)(
21
21
1
gaa
aggam
gamT
mmm 21
x1 x2
Para generar estas Para generar estas aceleraciones, es aceleraciones, es necesario ejercer necesario ejercer
una Fuerza (Tensión) una Fuerza (Tensión) externaexterna
k
)1.2().1.2(..2
2. 2222
22
g
agagaaga
a
2
11.21
Aplicando ley horaria vemos que
v1>v2
M1 llega antes a la polea que M2
)..(
...
..
2
2
1
gamT
gmamT
gmamT
¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
Definimos α:21
2
1 .aaa
a
CasoCaso 1: ¿es posible que a1: ¿es posible que a11>a>a2 2 ??
CasoCaso 2: ¿es posible que a2: ¿es posible que a11<a<a2 2 ??
)1.2().1.2(..2
2. 2222
22
g
agagaaga
a
Aplicando ley horaria vemos que
v1<v2
M2 llega antes a la polea que M1
)..(
...
..
2
2
1
gamT
gmamT
gmamT
¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
Definimos β: 12
1 a
a
01 2 a
CasoCaso 3: a3: a11=0 --> a=0 --> a2 2 =g=g
M1 queda quieto porque su velocidad inicial y aceleración, valen 0. En cambio M2 sube por tener velocidad positiva. Sólo cuando M2 llega a la polea, M1 comienza a subir. Conclusión, M2 llega antes a la polea que M1.
mggmmT
gmamT
.0.
.. 1¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
gagaga
a
222
1 02
0
CasoCaso 4: a4: a22=0 --> a=0 --> a11=(-g/2)=(-g/2)
2.
2.
.. 1mg
gmg
mT
gmamT
¿Qué tensión necesitamos para que esto ocurra?
22
00 112
ga
gaa
Aplicando ley horaria vemos que
v1<0
Entonces M1 y M2 nunca llegan a la polea.
¿Qué pasa con el sistema si ¿Qué pasa con el sistema si variamos las masas?variamos las masas?
222111
111222
2222222
1111111
22
222
2)
)
aMgMaMgM
aMgMaMgM
aMgMTaMgMTM
aMgMTaMgMTM
Diagrama de cuerpo libre
2
1
M
M
1
22121 2
)2(
M
MaMMga
2
22221 2
)2(
M
MaMMga
2
)21( 21
aga
2
21222
2
11212
2)2(2)2(
M
MaMMga
M
MaMMga
12 2)12( aga
Gráficosa1 como función de la relación m1/m2
-20
0
20
40
60
80
100
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
a1 para a2=3
a1 para a2=-3
a1 para a2=9,8
a1 como función de la relación m1/m2
-20
0
20
40
60
80
100
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
a1 para a2=3
a1 para a2=-3
a1 para a2=9,8
De ésta gráfica podemos concluir que cuando la a2=g, y gamma=1 (o sea que m1=m2), a1=0. Además, otra curiosidad es que cuánto mayor es gamma (o sea que cuánto mayor es m1 con respecto a m2), la a1 es cada vez menor. Concluimos entonces, que la relación entre m1 y m2, es inversamente proporcional a a1.
Aquí observamos que el menor valor que toman las 3 funciones es -9,8 (-g) para cuando gamma toma un valor tendiendo a ∞.Conclusión:Cuando m1/m2 tiende a 0, a1 tiende a +∞.Cuando m1/m2 tiende a +∞, a1 tiende a –g.Cuando m1/m2=1 y a2=g, a1=0.
a1 como función de la relación m1/m2
-20
0
20
40
60
80
100
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
2,5
2,9
3,3
3,7
4,1
4,5
4,9
a1 para a2=3
a1 para a2=-3
a1 para a2=9,8
a2 como función de la relación m1/m2
-50
0
50
100
150
200
0,1
0,5
0,9
1,3
1,7
2,1
2,5
2,9
3,3
3,7
4,1
4,5
4,9
a2 para a1=9,8
a2 para a1=-3
a2 para a1=3
Según la gráfica, ésta función es uniformemente continua en el intervalo (0,+∞). Cuando gamma tiende a 0, la función (a2) tiende a -g. Y cuando gamma tiende a +∞, la función (a2) tiende a +∞.La función es una recta, esto significa que es a2 es linealmente proporcional a gamma. Entonces se corresponde con una ecuación de 1er grado.
a2 como función de la relación m1/m2
-5E+300
0
5E+300
1E+301
1,5E+301
2E+301
2,5E+301
3E+301
3,5E+301
4E+301
4,5E+301
1,00E-300 1,00E+300
a2 para a1=9,8
a2 para a1=-3
a2 para a1=3
Al observar la segunda gráfica con únicamente puntos extremos (gamma=1,00x10-300 y gamma=1,00x10300), comprobamos que el codominio de la función es el intervalo [g,+∞).