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7/23/2019 Diferentes Tipos de Factorizacion
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Diferentes Tipos De FactorizacionFactorar un Monomio:
En este busca los factores en los que se puede descomponer eltrmino
15ab = 3 * 5 a b
2) Factor Comn Monomio:
En este caso busca al!n factor que se repita en ambos trminos
Como puedes "er la literal #a) esta en los 2 trminos$ por lo tanto$ese ser% tu factor comn
a& ' 2a = a #a ' 2)
3) Factor Comn (olinomio:
En este caso en ambos trminos tu factor que se repite es#a ' b)$ entonces lo puedes escribir de como el factor del otrobinomio
#a ' b) ' m #a ' b) = # ' m) # a ' b)
) Factor Comn por +!rupaci,n de -rminos:
a ' b ' a. ' b. =
/a ' b0 ' /a. ' b.0 = #a ' b) ' .#a ' b) =
# ' .)#a ' b)5) -rinomio Cuadrado (erfecto m& ' 2m ' 1
e es trinomio cuadrado perfecto cuando cumple la si!uiente re!la:
El Cuadrado del 1er -ermino ' 2 eces el 1ro por el 2do ' elCuadrado del 2do
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a& ' 2ab ' b& = #a ' b)& -C(
Factorar: m& '2m '1 Ceca la re!la anterior si cumple ser% un -C(
m& '2m '1 = #m ' 1)& -C( si cumple
4) iferencia de Cuadrados: a& 6 b&
e una diferencia de cuadrados obtendr%s 2 binomios con7u!ados
a& 6 b& = #a 6 b) #a ' b)
a& 6 8 = #2a 6 3) #2a ' 3)
9) Caso Especial de iferencia de Cuadrados (erfectos:
Factorar #a ' b)& 6 c&
#a ' b)& 6 c& =
/#a ' b) ' c0 /#a ' b) 6 c0 =
#a ' b ' c) #a ' b c)
;) -rinomio de la Forma< & ' b ' c
Factorar & ' 9 ' 12
a. que buscar 2 nmeros que sumados me den 9 . multiplicadosme den 12
' 3 = 9
3 = 12
Entonces los acomodas como factores de la ecuaci,n cuadr%tica
# ' )# ' 3) que seria los mismo despe7ando a :
= 6
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= 6 3
8) -rinomio de la Forma< a& ' b ' c
Factorar 4& 6 6 2
Mira:
1ro) multiplica los trminos de los etremos de tu trinomio #4&) #62)= 612&
2do) >as%ndote en el coe?ciente del se!undo termino #6) = 61 . enel resultado del 1er paso$ "amos a buscar 2 numero que sumados meden #61) . multiplicados me den #612&)
3ro) esos nmeros son #6) . #3)$ sumados$ me dan #61) .multiplicados me dan #612&)
to) aora acomoda dentro de un parntesis el 1er termino de tutrinomio con el 1er factor encontrado #6)$ #4& 6 )
5to) acomoda el 2do factor encontrado #63) con el 3er termino de tutrinomio #62)< #362)
4to) acomoda los 2 trminos nue"os #4& 6 ) ' #362)$ encuentraal!n termino comn en cada uno
2 #3 6 2) ' 1#362)$ los trminos comunes ponlos en otro parntesis. elimina un termino de los 2 que tienes #362)$
Este ser% tu Factori@aci,n #2'1)#362)$
1A) uma o iferencia de Cubos: aB ' bB
uma de Cubos:aB ' bB = #a ' b) #a& 6 2ab ' b&)
e resuel"e de la si!uiente manera
El binomio de la suma de las races de ambos trminos
El cuadrado del 1er termino$ 6 el doble del producto de los 2 trminos' el cuadrado del 2do termino
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iferencia de Cubos:
aB 6 bB = #a 6 b) #a& ' 2ab ' b&)
e resuel"e de la si!uiente manera
El binomio de la resta de las races de ambos trminos
El cuadrado del 1er termino$ ' el doble del producto de los 2trminos ' el cuadrado del 2do termino
(asos
Escribe la expresin.Da forma est%ndar de una ecuaci,ncuadr%tica es:
ax2+ bx + c = 0
Empie@a ordenando los trminos de la ecuaci,n desde la potenciam%s !rande asta la m%s pequea$ al i!ual que en el formato
anterior (or e7emplo:
4 ' 42' 13 = A
Geordenemos la epresi,n para traba7ar con ma.or facilidador!ani@ando los trminos:
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42' 13 ' 4 = A
H
Busca la forma factorizada utilizando uno de los mtodosexpuestos a continuacin.+l factori@ar el polinomio se obtienendos epresiones m%s pequeas que se multiplican para producir elpolinomio ori!inal:
42' 13 ' 4 = #2 ' 3)#3 ' 2)
En este e7emplo$ #2 '3) . #3 ' 2) son factoresde la epresi,nori!inal$ 42' 13 ' 4
Revisa tu trabajoMultiplica los factores de la epresi,n Due!osuma los trminos similares . comprueba Empie@a con:
#2 ' 3)#3 ' 2)
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amos a comprobarlo$ multiplicando los trminos en el si!uienteorden$ primero por el primero$ primero por el se!undo$ se!undo porel primero$ . se!undo por el se!undo$ lo cual nos da:
42
' ' 8 ' 4
+ partir de aqu$ podemos sumar . 8$ .a que son trminossimilares abemos que los factores son correctos porque al operarobtenemos la ecuaci,n inicial:
42' 13 ' 4
Mtodo 1 de 4: Ensa.o . error
i tienes un polinomio bastante simple$ tal "e@ puedas descubrir susfactores con solo un "ista@o (or e7emplo$ con un poco de pr%ctica$mucos matem%ticos saben que la epresi,n 4x2+ 4x + 1tienefactores de #2 ' 1) . #2 ' 1) solo porque .a la an "isto mucas"eces #e"identemente no es al!o tan f%cil con polinomios m%scomplicados) (ara este e7emplo$ utilicemos una epresi,n menos
comn:32' 2 ;
Enumera los factores del trmino a! c.Itili@ando el formato ax2
+ bx + c = 0$ identi?ca los trminos a. c. enumera sus factores(ara 32' 2 6 ;$ eso si!ni?ca:
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a = 3 . tiene un solo con7unto de factores: 1 * 3
c = 6; . tiene cuatro con7untos de factores: 62 * $ 6 * 2$ 6; * 1$ . 61 *
; "
Escribe dos conjuntos de parntesis con un espacio en
blanco.En el espacio en blanco pondr%s las constantes de cadaepresi,n
# )# )
#lena los espacios en blanco con un par de posibles factoresdel valor a.(ara el trmino ade nuestro e7emplo #32)$ solo a. una
posibilidad:
#3 )#1 )
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H
$ #lena los espacios en blanco frente a la x con un par defactores para las constantes.upon!amos que esco!imos ; . 1Escribimos:
#3 %)# &)
Decide 'u si(no )m*s o menos+ debe ir en medio de las x !los n,meros.>as%ndose en los si!nos de la epresi,n ori!inal$ esposible descubrir cu%les si!nos deben tener las constantesDlamemos a las dos constantes de nuestros factores k. h:
i a2' b ' c entonces # ' )# ' J)
i a26 b 6 c o a2' b 6 c entonces # 6 )# ' J)
i a26 b ' c entonces # 6 )# 6 J)
(ara nuestro e7emplo$ 32' 2 6 ;$ los si!nos deben ser:# 6 )# ' J)$lo cual nos da los factores:
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#3 ' ;) . # 6 1)
H-
omprueba el ejercicio resolviendo la multiplicacin.Ina
prueba r%pida para comprobar es "er si el trmino medio tiene el"alor correcto i no es as$ tal "e@ esco!iste los factores equi"ocadosde c Comprobemos el e7ercicio:
#3 ' ;)# 6 1)
Multiplicando$ obtenemos que:
326 3 ' ; ;
impli?cando esta epresi,n al sumar los trminos seme7antes #63). #;) obtenemos:
326 3 ' ; 6 ; = 32' 5 ;
+ora sabemos que utili@amos los factores equi"ocados:
32' 5 6 ; K 32' 2 6 ;
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H
ambia tu respuesta si es necesario.i!uiendo con nuestroe7emplo$ "amos a probar 2 . en lu!ar de 1 . ;:
#3 ' 2)# 6 )
+ora nuestro trmino ces 6;$ pero el producto de #3 * 6) . #2 * )es 612 . 2$ lo cual sumando no nos da el trmino correcto de b#'2)
612 ' 2 = 1A
1A K 2
/nvierte el orden si es necesario.(robemos mo"iendo el 2 . el :
#3 ' )# 6 2)
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+ora$ nuestro trmino c# * 2 = ;) si!ue siendo correcto$ pero elresto de la multiplicaci,n nos da como resultado 64 . i lossumamos:
64 ' = 2
2 K 62
Estu"imos mu. cerca al 2 de b$ pero tiene el si!no equi"ocado
is
a nuevamente los si(nos si es necesario.amos a utili@ar losnmeros en el mismo orden$ pero "amos a cambiar el si!no demenos:
#3 6 )# ' 2)
+ora$ nuestro trmino csi!ue siendo correcto$ pero el resto de lamultiplicaci,n nos da como resultado #4) . #6) La que:
4 6 = 22 = 2
+ora encontramos el 2 de la ecuaci,n ori!inal Estos deben ser losfactores correctos
Mtodo 2 de 4: escomposici,n
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Este mtodo identi?ca todos los factores posibles de los trminos a.c. los utili@a para descubrir cu%les deben ser los factores correctosi traba7as con nmeros mu. !randes o si otros mtodos de tipocon7etura te parecen mu. lar!os$ utili@a este mtodo amos autili@ar el si!uiente e7emplo:
42' 13 ' 4
H&
0ultiplica el trmino apor el trmino c.En nuestro e7emplo$ aes4 . ctambin es 4
4 * 4 = 34
H"
1btn el trmino de bfactorizando ! 2aciendo pruebas.>uscamos dos nmeros que sean factores del producto a* c. quesumados nos den el trmino b#13)
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* 8 = 34
' 8 = 13
H
Reemplaza los dos n,meros en la ecuacin como la suma deltrmino b.Itilicemos h. kpara representar los dos nmeros queobtu"imos$ . 8:
a2' J ' ' c
42' ' 8 ' 4
Factoriza el polinomio por a(rupacin.r!ani@a la ecuaci,n deforma que puedas factori@ar el m%imo comn di"isor #MC) de losdos primeros . dos ltimos trminos Dos dos trminos factori@adosdeben ser i!uales uma el MC . encirralos en parntesis al ladodel !rupo de factori@aci,n< el resultado ser% tus dos factores:
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42' ' 8 ' 4
2#3 ' 2) ' 3#3 ' 2)
#2 ' 3)#3 ' 2)
Mtodo 3 de 4: (artida triple
imilar al mtodo de descomposici,n$ el mtodo de partida tripleeamina los posibles factores del producto de los trminos a. cparaa"eri!uar el posible "alor de b Consideremos la si!uiente ecuaci,n
como e7emplo:;2' 1A ' 2
H
0ultiplica el trmino apor el trmino c.+l i!ual que en elmtodo de descomposici,n$ esto nos a.udar% a identi?car losposibles "alores del trmino b En este e7emplo$ aes ; . ces 2
; * 2 = 14
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H
" Busca dos n,meros cu!o producto sea i(ual a este n,mero! cu!a suma sea i(ual al trmino b.Este paso es idntico al del
mtodo de descomposici,n$ probamos . descartamos nmeros paralas constantes El producto de los trminos a. ces 14$ mientras quesu suma es i!ual a 1A:
2 * ; = 14
; ' 2 = 1A
Toma los dos n,meros ! reempl*zalos en la frmula de lapartida triple.-oma los dos nmeros del paso anterior #"amos a
llamarlos h. k) . reempl%@alos en la epresi,n:
##a ' )#a ' J))N a
e esta forma$ obtenemos:
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##; ' ;)#; ' 2)) N ;
H
$1bserva cu*l de los dos trminos en el numerador esperfectamente divisible por a.En este e7emplo$ "amos a probar si#; ' ;) o #; ' 2) se pueden di"idir por ; #; ' ;) es di"isible por;$ as que di"idimos ese trmino por a. de7amos el otro intacto
#; ' ;) = ;# ' 1)
El trmino que "amos a utili@ar es el que queda despus de di"idirpor el trmino a:# ' 1)
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34alla el m*ximo com,n divisor )0D+ de uno o ambostrminos.En este e7emplo$ el se!undo trmino tiene un MC de 2$.a que ; ' 2 = 2# ' 1) Ine la respuesta con el trmino queidenti?caste en el paso anterior Estos son los factores de la
ecuaci,n
2# ' 1)# ' 1)
todo de 4: iferencia de dos cuadrados
+l!unos coe?cientes de los polinomios se identi?can comoOcuadradosO o como el producto de dos nmeros Pdenti?car loscuadrados permite factori@ar al!unos polinomios muco m%s r%pidobser"emos la ecuaci,n:
2926 12 = A
H
5i es posible6 factoriza el m*ximo com,n divisor.En este caso$obser"amos que tanto 29 como 12 son di"isibles por 3$ as que lofactori@amos:
2926 12 = 3#826 )
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H
"Determina si los coe7cientes de la ecuacin son n,meroscuadrados.(ara utili@ar este mtodo debes poder aplicar la ra@cuadrada a ambos trminos . obtener un nmero entero #ten encuenta que emos de7ado por fuera los si!nos ne!ati"os$ pues comolos nmeros est%n al cuadrado pueden ser resultado del producto dedos nmeros positi"os o ne!ati"os)
8
2
= 3 * 3 . = 2 * 2
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8on las ra9ces cuadradas 'ue acabas de identi7car6 escribelos factores.-omamos los "alores de a. cdel paso anterior< a= 8 .c= $ lue!o aplicamos ra@ cuadrada$ Qa= 3 . Qc= 2 Estos son loscoe?cientes para las epresiones factori@adas:
2926 12 = 3#826 ) = 3#3 ' 2)#3 6 2)
Mtodo 5 de 4: F,rmula cuadr%tica
i nada funciona . no puedes factori@ar la ecuaci,n$ utili@a la f,rmulacuadr%tica bser"a el si!uiente e7emplo:
2' ' 1 = A
H
& Reemplazando los valores correspondientes en la frmulacuadr*tica:
= 6b R Q#b26 ac)
666666666666666666666 2a
btenemos la epresi,n:
= 6 R Q#26 S1S1) N 2
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H
"Resuelve para 2allar x.+l ?nal obtienes dos "alores de Comopuede obser"arse$ se obtienen dos respuestas:
= 62 ' Q#3) or = 62 6 Q#3)
H
8;tiliza el valor de x para 2allar los factores.Geempla@a los"alores que obtu"iste de como las constantes en dos epresionespolin,micas Estos ser%n los factores i llamamos los dos "alores de como h. k$ escribimos los factores de la si!uiente manera:
# 6 )# 6 J)
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En este caso$ la respuesta ?nal es:
# 6 #62 ' Q#3))# 6 #62 6 Q#3)) = # ' 2 6 Q#3))# ' 2 ' Q#3))
Mtodo 4 de 4: Con una calculadora
i te permiten utili@arla$ una calculadora !r%?ca simpli?ca muco elproceso de factori@aci,n$ especialmente en las pruebas est%ndarEstas instrucciones son para una calculadora !r%?ca -P #fabricada porla empresa -eas Pnstruments) Itili@aremos la si!uiente ecuaci,ncomo e7emplo:
. = 2
T T 2
Di(ita la ecuacin en la calculadora.
Itili@ar%s la resoluci,n de ecuaciones$ tambin conocida como lapantalla /L = 0
H
"
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H
8 Busca el punto en el 'ue el arco intersecta el eje x.La quelas ecuaciones polin,micas se escriben normalmente de la forma a 2' b ' c = A$ estos son los dos "alores de que causan que laepresi,n sea i!ual a A:
#61$ A)$ #2 $ A)
= 61$ = 2
i no puedes identi?car a simple "ista el punto donde la !r%?ca tocael e7e $ presiona /2nd0 . lue!o /-G+CE0 (resiona /20 o selecciona
OceroO esli@a el cursor a la i@quierda de un intersecto . presiona/EV-EG0 esli@a el cursor a la dereca de un intersecto . presiona/EV-EG0 esli@a el cursor lo m%s cerca posible del intersecto .presiona /EV-EG0 Da calculadora allar% el "alor de a@ lo mismopara allar el otro intersecto
H
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Reemplaza los valores 'ue obtuviste de x en el paso anterioren dos expresiones factoriales.i llamamos los dos "alores de como h. k$ la epresi,n que utili@aremos ser%:
# 6 )# 6 J) = A(or lo tanto$ los dos factores deben ser:
# 6 #61))# 6 2) = # ' 1)# 6 2)
(ara eplicar la di"isi,n de polinomios nos "aldremos de un
e7emplo pr%ctico:
(#) = 5' 23T T ; W#) = 2T 2 ' 1
=)x+ : >)x+
? la iz'uierda situamos el dividendo i el polinomio no
es completo de7amos 2uecosen los lu!ares que
correspondan
? la derec2a situamos el divisor dentro de una caja.
Dividimos el primer monomio del dividendo entre el
primer monomio del divisor.
5: 2= 3
0ultiplicamos cada trmino del polinomio divisor por el
resultado anterior ! lo restamos del polinomio
dividendo:
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ol"emos a dividirel primer monomio del di"idendo entre el
primer monomio del di" isor L el resultado lo mul tiplicamos
por el di"isor . lo restamos al di"idendo
2: 2= 2 2
(rocedemos i!ual que antes
53: 2= 5
ol"emos a acer las mismas operaciones
;2: 2= ;
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1A T 14 es el resto$ porque su (rado es menor 'ue el del
divisor. por tanto no se puede continuar di"idiendo
3' 22' 5 ' ;es el cociente
CVCE(- UEVEG+DE:
@? 'u se le llama AExpresiones ?l(ebraicas RacionalesA
+ esas Ofracciones que tienen polinomios en el numerador .denominadorO En este tema nos ensean a traba7ar con fraccionesentre polinomios: simpli?carlas$ operar con ellas . resol"er ecuacionescon esa forma (or e7emplo:
L los e7ercicios tendr%n esta forma:
impli?car
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uma de epresiones al!ebraicas racionales
umas . restas combinadas
Multiplicaci,n de epresiones al!ebraicas racionales
i"isi,n de epresiones al!ebraicas racionales
peraciones combinadas
Ecuaciones racionales
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(EG+CPVE CV (DPVMP: IM+ N EXEGEIED-
ECE0=#1 &: #uma de polinomios de i!ual !rado)
+ = 6 32' 26 ; 6 3 ' 1N2 > = 656 1A ' 3 ' 93
2 6 3 6 32' 1N2 6 ; #el polinomio +ordenado . completo) 65' 93' A2 ' 3 6 1A #el polinomio >ordenado . completo)
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 63' 436 32' 9N2 6 1;
+ ' > = 8x$ -x8 8x" G" x &%
(ara sumar dos polinomios$ a. que sumar entre s coe?cientes de los trminos del mismo !rado Elresultado de sumar dos trminos del mismo !rado$ otro trmino del mismo !rado i falta al!n trminoal!uno de los !rados$ se puede completar con A$ coen el e7emplo en el se!undo polinomio se complet, A2 L se los suele ordenar de ma.or a menor !radopara que en cada columna queden los trminos dei!ual !rado
-ambin se los puede sumar de otra forma #sinponerlos uno sobre otro)$ . en la EZ(DPC+CP[V de cae7ercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras
EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 &
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol1.htmhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol1.htm -
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ECE0=#1 ": #uma de polinomios de distinto !rado
+ = 632' 5 6 #!rado 2)> = 36 52' 2 ' 1 #!rado 3)
A36 32' 5 6 #el polinomio + ordenado completo) 3 6 52' 2 ' 1 #el polinomio > ordenado completo)
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 3 6 ;2' 9 6 3
+ ' > = $x8 %x" x 8
En el polinomio de menor !rado$ se pueden complelos primeros trminos con ceros +s$ se rellenan lascolumnas que faltan adelante de uno de los polinompara que quede encolumnado trmino a trmino co
otro polinomio
EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 "
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol2.htmhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol2.htm -
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(EG+CPVE CV (DPVMP: IM+ N EXEGCPCPGEIED-
ECE0=#1 &: #uma de polinomios de i!ual !rado)
+ = 6 32' 26 ; 6 3 ' 1N2 > = 656 1A ' 3 ' 93
2 6 3 6 32' 1N2 6 ; #el polinomio +ordenado . completo) 65' 93' A2 ' 3 6 1A #el polinomio >ordenado . completo)
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 63' 436 32' 9N2 6 1;
+ ' > = 8x$ -x8 8x" G" x &%
(ara sumar dos polinomios$ a. que sumar entre s coe?cientes de los trminos del mismo !rado Elresultado de sumar dos trminos del mismo !rado$ otro trmino del mismo !rado i falta al!n trminoal!uno de los !rados$ se puede completar con A$ coen el e7emplo en el se!undo polinomio se complet, A2 L se los suele ordenar de ma.or a menor !radopara que en cada columna queden los trminos dei!ual !rado
-ambin se los puede sumar de otra forma #sinponerlos uno sobre otro)$ . en la EZ(DPC+CP[V de cae7ercicio lo mostrar resuelto de las dos maneras
EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 &
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ECE0=#1 ": #uma de polinomios de distinto !rado
+ = 632' 5 6 #!rado 2)> = 36 52' 2 ' 1 #!rado 3)
A36 32' 5 6 #el polinomio + ordenado completo) 3 6 52' 2 ' 1 #el polinomio > ordenado completo)
YYYYYYYYYYYYYYYYYYYY 3 6 ;2' 9 6 3
+ ' > = $x8 %x" x 8
En el polinomio de menor !rado$ se pueden complelos primeros trminos con ceros +s$ se rellenan lascolumnas que faltan adelante de uno de los polinompara que quede encolumnado trmino a trmino co
otro polinomio
EH=#/?/IJ DE# ECE0=#1 "
http://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol2.htmhttp://matematicaylisto.webcindario.com/polinomios/operacio/sumapol2.htm -
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ECE0=#1:
-
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1 1
3# 6 2)
e cambia la di"isi,n por multiplicaci,n$ . sein"ierte la se!unda fracci,n Due!o se procede comoen una multiplicaci,n de fracciones
L si lo piden$ aclaremos que la simpli?caci,n "alepara todo K 62 . K 5