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Ej e rc icios de Ap l i cación d e la der i vada con r ect as tang
1) Dadas las funciones ⎜⎝
⎛ −−=−=
21)(1)(
xSen x y x x f
π ϕ
0(1)f´
(1)´
c2
π´(1)
2
xπcos
2
π(x)´
2
π
2
xπcos(x)´
1(1)f´1f´(x)
=
−=⇒⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=⇒⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−=⇒−=
ϕ
ϕ ϕ ϕ
2) ¿Qué ángulo forma con el eje ox las tangentes a la cu
punto cuya abscisa es x = 0?
arctθ1θtg0xpara2x.1θtgθtgm
2x1m2x1y´tg
=⇒=⇒=−=⇒=
−=⇒−=
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6) Determine el valor de la primera derivada de la función I(
X=0, Donde0I , B y A son constantes.
( ) ( )Ax Ax Ax e AB Be I x I Be I x I −−−
−
− −+−=′⇒⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ += 2
1
1)(1)( 00
( ) ( ) ( 20
0
2Ax
Ax
1
I(0)I´
Be1
eABI(0)I´
Be1
eABII´(x) 000
+=⇒
+=⇒
+=
−
−
7) Hallar el punto de la curva 21
1
x y += cuya ecuación de
paralela al eje oy.
( ) ( ))1,0(1)0(00
1
2
1
2´
:existe0ysiox,ejealparalelaestagrectaLa
22⇒=⇒=⇒=
+−⇒
+−=
=′
p f x x
x
x
x y
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11) Una recta que pasa por el punto (0, 54) es tangent
Hallar el punto de tangencia.
2754)3(3)()(54)()(),(54)(
)54,0()(Re:
32323
11
=⇒−=⇒+=⇒=′⇒=+′=⇒+′=
⇒∈⇒−=−⇒ tg tg tg
a a a a a a a f a a f a a f a f tg pto es b a p si x x f y
yl p x x m y y Tg cta l sea
12) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es horiz
a) f(x)= x2
-3x+2 b) f(x)= x3
-6x+5
−=+−=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⇒=⇒=−=
=′
4
12
2
9
4
9
2
3
2
3032)´()
0)(
PtoEl f x x x f a
x f si horizontal es tg La
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14) Hallar los puntos en que las tangentes a la curva 43= x y
paralelas al eje de abscisas.
( ) ( )
2 23 2´ 12 12 24 ´ 12 2 12
( ) 0
20 12 2 12 0 0
22 0 2 1 0
2 0 2; 1 0 1
.
(0) 20
y x x x y x x x m x x xtg
tg m Como son paralelas al eje de las abscisas f xtg
x x x x x
x x x x
x x x x
Sust en la función
f pto
θ
⎛ ⎞ ⎛ = + − ⇒ = + − ⇒ = + −⎜ ⎟ ⎜ ⎝ ⎠ ⎝
′= =
⎛ ⎞= + − ⇒ = ⇒ =⎜ ⎟⎝ ⎠
⎛ ⎞+ − = ⇒ + − =⎜ ⎟⎝ ⎠
+ = ⇒ = − − = ⇒ =
= ⇒ (0, 20); ( 2) 12 ( 2,12); (1) 3 ( f pto f pto− = ⇒ − = − ⇒
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[[ +∞−= ,2)() f Domb 22
1)´(
+−=
x x f
Si x =-2 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en x =2 la grtangente vertical.
17) Indicar los puntos del gráfico donde la tangente es vertic
x x f b x x f a =−= )()36)() 2
La gráfica tiene tangente vertical en x =a si f´(a) no existe.
[ ]2 36
)(362
2)´(6,6)()
xx f
x
x x f f Dom a =′⇒
−−=⇒−=
Si 6±= x entonces f´(x) no existe. Por lo tanto, en 6±= x launa tangente vertical.
[[ +∞= ,0)() f Domb x
x f 2
1)´( =
Si x =0 entonces f´(x) no existe. Por lo tanto en x = 0 la grátangente vertical
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20) Escribir las ecuaciones de la tangente y de la normal a la
el punto cuya abscisa es 4= x
4
1
42
1
2
1
2
1´ =⇒=⇒=⇒=
tg tg tg m m
x m
x y
Sustituimos el valor de 4= x en la parábola para saber el pu
( )( ) ( ) 44424
4
1
12:
4448444
1
2:
)2,4(24
+⇒−−=−⇒−−=−
=+−⇒−=−⇒−=−
=⇒=
yx x y x y N
R
y x x y x y tg R
P y y to
21) Determine el punto P de la gráfica de 4x2y −= , p
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24) En que punto la recta tangente a 32 23 +−= x x y en (2,3)
)5,0(50
4)2(434)2(43 2
−⇒−=⇒=
−=⇒−=−⇒=′⇒−=′
c p y x
x y x y y x x y
25) Usando derivada encontrar el vértice de la parábola = y
En el vértice de la parábola, la recta tangente a la gráfica tie
Luego, el vértice de la p12)2(
8)2(4)2()2(
20420´
2
−=−
−−+−=−
−=⇒=+⇒=
y
y
y
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27) Hallar las ecuaciones de la tangente y de la normal a la
el Punto (1,0).
( )
( ) ( )( )
( ) ( ) ( )
tg
tg
x x x y x y
R y x y
mm
x
y x y
1011011
0
010113
1)1(
13
1´1
3
1´
3 23 2
3 / 2
−⇒+−=⇒−−=−∞⇒−∞
−=−
=⇒−∞=−
⇒−
==−
=⇒−=−
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29) En que punto de la curva: 22 x x y x −=+ la recta tan
bisectriz del primer cuadrante.
xdx
dy x
dx
dy x x x y x 4121222 −=⇒−=+⇒−=+
Sea (a, (a)) el punto de la curva, donde la tangente es cuadrante.Sea x y L =: , la recta tangente a la curva (ya que, L div
iguales, el primer cuadrante) entonces 141 =⇒=− a a
Luego, 0020)0( 2 =−=y Por lo tanto, el punto es (0,
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31) Hallar la ecuación de la recta tangente a la curva
perpendicular a la recta .0436 =−− y x
( )
( )
[ ]
( )
1/ 2
2 2
1 13 ´ 3 ´
22 3
6 3 4 0 2 4 /3 2
1
2
1 12 3 2 3 1 3 1
2 2 3
3 4 3 1 (4,1)2
11 4 2 2
2
recta
y x y x y
x x y y x m
Como es perpendicular a la recta tg mtg
x x x x
Sust x en la ec y x y y y Pto m
y x y x
−= − ⇒ = − ⇒ =
−− − = ⇒ = − ⇒ =
−⇒ =
− ⎡ ⎤/ /= ⇒− − = ⇒ − = − ⇒ − = − ⎣ ⎦−
= − ⇒ = − ⇒ = ⇒ = −
− = − − ⇒ − =− + 4 2 6 0 x y Rtg⇒ + − =
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33) Calcular la ecuación de la recta tangente y una ecuació
a la curva x
y1
= , que es paralela a la recta 062 =−+ y x .
t cta mm x
y x
y y x y y2
13
22
6062
1´
1Re
3=−=⇒+
−=⇒
+−=⇒=−+−⇒=
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35) Determine los puntos en la curva3
1)(
+
+=
x
xxf donde
paralela a la recta de la ecuación 529 =+ yx y determine la
tangente en dichos puntos.
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36) Determine el o los puntos donde la gráfic
54622 +−=+ y x y x tiene tangentes paralelas a la recta = y
x y y x
y x y
xmmsi
m x y ycon y
x
dx
dy
x
dx
dy y
dx
dy
dx
dy y x y x y x
tgrecta
recta
−=⇒=−
=−⇒=+
−⇒=
=⇒+=−≠+
−=
−=+⇒−=+⇒+−=+
1222
226142
26rectalaaparalelaesl
14242
26
26)42(4622546
tg
22
5446215)1(46)1(
546x)-1(x,puntoel
2
2222
22
⇒⇒
++−=+−+⇒+−−=−+
+−=+∈
x x x x x x x x x
y x y x
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37) ¿En qué punto de la curva 32 2 x y = la tangente es per
0234 =+− y x ?
( )
( )
124)
1(
311,
1
16
1
256
1
256
1
512
2
8
12.
8 / 100812
24212232
3
4
3:(*)
4
31;
3
4
3
240234:
233
´2
6´6´22
3
3
222
323
3
2
3222
232
+−=⇒−
−=+⇒⎟
⎞⎜⎛ −
±=⇒±=⇒±=⇒±=⇒⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ±=
=∧=⇒=−
⇒=⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −⇒=−⇒=
−
−=⇒−==⇒
+=⇒=+−
⇒±=⇒=⇒=⇒=⇒=⇒=
xyxyPto
y y y y ySust
x x x x
x x x x x x
xeclaenSust
mmmm x
y y x L
m x y y
xm
y
x y
y
x y x y y x y
tgrectatgrecta
tgtg
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38) Determine la ecuación de la tangente a la curva y x y x −=+ c
1698
815
21
83
.8
3,
8
15
2
3
.4
9
2
332
24122412)12(2
2
1
12
12´
2
1
12
12´´1
2
`1
−=⇒⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −=−
==⇒=−⇒−=+
=+⇒=+⇒=+
+−+⇒++=−+⇒++=−+⇒
=++
−+=⇒=⇒
++
−+=⇒−=
+
+
x y x y
y x y x y x y xcurvala De
y x y x y x
x y x y x y x y x y x
y x
y x ym
y x
y x y y
y x
ytg
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41) Calcule la pendiente de la recta Tangente a la curv
( ) 4222222 bxa4ayx =−++ en el punto 22, , cuando a = 2 y b =
( )( )
( )( ) ( )( )
( )
( )
( )
5
2
)2(5
22
2
2
25
2
25
2
210
4
240
16
240
8064
24
64
22224
)2(2)2()2(42)2(8
4
48'
48'22
08'222
222
2222
222
2222
2222222
2222
−=⇒
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −
=⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
=⇒
−
=
−=⇒
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ++
⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ++−
=⇒++
++−=
++−=++
=−+++
TgTg
TgTgTgTg
TgTg
mm
mmmmm
mma y x y
a y x x xa y
a y x x xa yya y x
xa yy xa y x
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( )
( )
( )
1 1
2 1 1
2 2 2 22 2
: ( )
2 2
1: ( )
tg T g
N
T g
b L y y m x x y b x a a y a b b x
a
ba y b x b a b a a y b x b a y x a
a
a L y y x x y b x a b y b a x
m b
a x a b a b ab y a x a b y y x
b b a
− = − ⇒ − = − − ⇒ − = −
= − + + ⇒ = − + ⇒ = − −
− = − − ⇒ − = − ⇒ − =
⎛ ⎞− + −= − + ⇒ = ⇒ = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
43) Determine las ecuaciones de la recta Tangente y de
curva x senx e y x += − en el origen.
cosy'1cos )(0
senxxexesenxey'xsenxey xxxx =→ +−++−=⇒+= −−−−
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44) Determine la ecuación de la recta Tangente a la cur
punto ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
3
2
2
1, .
[ ]
π π π
π
π
π
π π
π
2
1
3
)33(4
3
2
3
)33(4'
4
3
3
33
'
1
'
2
3
2
1
2
3
3
21
'
32
1
33
21
'3
2,
2
1
)(
)(1'
1)(')(1')()(cos
⎡⎤⎡
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −
+−=−⇒=
+−=⇒
−−
=
−=⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=⇒
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −−
=⇒⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛
−−
=
=−−⇒=+−⇒=
x ym y y
y y
sen
sen
yTgPto
y xsen x
y xsen y y
xysen xy y x ysen y x y y xsen x xy
Tg
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45) Hallar la ecuación de la recta normal a la curva lnx y =
la recta 0332 =+− y x .
( ) ( ) 2
5
ln
2
5ln2ln23
)ln(
1
3
2
1)ln(
111)ln(
2 / 52 / 52 / 52 / 5
ln 25
25
−−−− −=⇒=
=⇒=⇒−
=⇒+=−
+−⇒=⇒⇒=
+
−=⇒−=⇒=+=′
−−
e
yeee y
x x x
xmm Llaa paralelaesesta perom
xm
mmm x y
x
recta N N recta
N
tg
N tg
AAA
( )( )
( ) ( ) 2 / 52 / 52 / 52 / 5
2 / 52 / 5
2 / 5
2
5
3
2
2
5
15
1
2
5
1ln
1
−−−−
−−
−
=⇒−−=⇒−−
+−
−=
−−+
−=
yee x yee x y
ee xe
y
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Se iguala con la curva dada
145145145
2
1210
2
5610
2
)11()1(410010
01110148233
1482)3()1()3(
1482
3
1
21
222
2
2
2
−−=⇒+−=⇒±−=
±−=⇒
±−=⇒
−±−=
=++⇒−−−=−−+
−−−=+−⇒+
−−−=
+
−/
x x x
x x x
x x x x x x x
x x x x x
x x
x
x
Ahora calculamos las pendientes y las rectas:
44
2)142(
)1(4)1(
)142(
42
)142(
4
)3145(
4
)3(
4
22
21212
−+−
+=⇒+
−=+
+−=⇒
++−=⇒
+=
x y x y
mm x
m tg
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48) Encuentre los puntos del círculo 122 =+ y x para los qu
recta tangente vale -2.
ymy
x y y y x y x tg −⇒−=′=⇒
−=′⇒=′+⇒=+ 2022122
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49) Calcular la ecuación de la recta tangente a la parábola y
de su gráfica ),( 00 y x P .
2
0000
2
00
0000
0
0
0
00
2
)()(
),(
2
2222
y px px yy px px y yy
px px y y y x x y
p y y
y
p M y x puntoelen
y
p y
y
p y p y y px y
tg
+−=⇒−=−
−=−⇒−=−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =⇒=
=′⇒=′⇒=
2000 y px px yy +−=
Pero la parábola en el Pto
22),( 00002000 px px px yy px yes y x +−=⇒=
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2
20
2
20
2
0
2
0
22
20
2
22
220
22
20
22
02
20
2220
200
2220
20
20
20
2
02
002
0
02
20
0 )()()(
b
y
a
x
a
x x
b
y y
ba
ya
ba
b x
ba
b x x
ba
y ya
yab x xb x y yab x xb x ya y ya
x x xab y y ya x x ya
b x y y
+=+⇒/
/+/
/
=/
/
+/
/
+=+⇒+−=−
−−=−⇒−−
=−
/
/
Pero; en el ),( 00 y x P la elipse es 12
20
2
20 =+
b
y
a
x
Entonces: 12
0
2
0 =+a
x x
b
y yEcuación de la recta Tg a la elipse.
52) Determine las ecuaciones de la tangente y normal a la c
el punto .16
9,
16
1 22⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ k k
´01
−=⇒=′
+ psustal y
y y
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54) Demuestre que ninguna recta puede ser tangente a la
puntos diferentes.Suponemos que existe una recta tangente a la curva en d
),(),( 111000 y x P y y x P se debe demostrar que .10 x x =
Para :0P
)1.()(2)(2
;)(22
200000
20
2000000
´0
Ec x x x x y x x x x y
x y pero x x x y y x y
+−=⇒−=−
=−=−⇒=
Para :1
)2.()(2)(2
)(22
211111
21
1111´1
Ec x x x x y x x x x y
x x x y y x y
+−=⇒−=−
−=−⇒=
Las ecuaciones de las tangentes y de la curva son satisfecha
012
01
2010
21
20010
21
0)(
02)(2
x x x x
x x x x x x x x x
=⇒=−
=+−⇒+−=
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56) Determine los valores de las constantes a, b y c en la
cbxax y ++= 2 si ésta pasa por (1,0) y además la recta = y
en ella (-1, -4).
5235,2,3:
E-4b-2a-1en xcurvalaatangenteesdadarectalaComo
4m8--4xyDe2)(
4)1()1()1(
0)1()1()1()(
2
recta
22
22
−+=⇒−===
=+⇒=
−=⇒=⇒+=′−=+−⇒+−+−=−
=++⇒++=⇒++=
x x ycbaecuacionesdeSistema
bax x f
Eccbacba f
Ecbacba f cbxax x f
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12;
)1(2)2,1(
2535
1.3´03´
3
33
223
−=−−
−⇒=−−
=⇒=+⇒=
=+=⇒=−−⇒=−−
x x y Luego
bax x ycurvalaen puntoelSustituir
aam
xSust a x ya x ybax x y
recta
2
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60) Determinar un punto ),( baP en la curva de ecuación 2= y
tangente a la curva en dicho punto forma con los ejes coorden el primer cuadrante de área 25/2 con a>1.
( )
⎟ ⎞
⎜⎛
⇒⇒
⇒−±
=⇒=+−⇒−=++−−
⇒=−
+−−⇒=⇔=
−
−−+=⇒=
+−−=⇒=⇒−
−+−
−−=
−
−=⇒⇒
−
=
−
+−−=
43
;42
)32(;32
4
48497067255122
25)1(
)1()12(252
25
2:
)1(
)1()12(0
)1()12(01
12)(
)1(
1:
),(;
)1(
1)´(),(
)1(
1
)1(
1222´)
22
2
2
2
2
222
PbaSiPbaSi
aaaaaaaa
a
aaa xy xytriángulodelárea
a
aaa y xsi
aaa x ysia
aa x
a y L
eba p
a
a yba p
x x
x x yi
tg
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62) Determine el valor de la constante C
,)1()1(ln 3 c x y x y =−+++ sabiendo que la recta tangent
1+= e x tiene pendiente( )
.3
1
+
+−=
e
em
Derivando la ecuación de la curva se obtiene
sustituyendo de acuerdo a la información suministrada, qued
( ) ( )
( ),
3
1
4
11
+
+−=
+
++−
e
e
ye
yeCuya solución es y = e – 1.
Haciendo ahora las correspondientes sustituciones de
en la ecuación dada .42 += eC
64) Dete mine los alo es de las constantes a
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64) Determine los valores de las constantes a y
,2cos xb xsena y += sabiendo que la recta2
3= y es tangente
Al evaluar en6
π = x , la ecuación dada, queda a +
usando el hecho de que la tangente tiene pendien
.0222cos´ =−⇒−= ba xsenb xa y
Resolvamos ahora el sistema .1,202
3==⇒
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
=−
=+ba
ba
ba
65) Determine los valores de las constantes a y
0933 =−+ xybyax si la recta normal en (2,1) está dada por 4
Sustituyendo las coordenadas del punto de tangencia en la
2 3 2D l i b D l i+ +
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5
2 3 2
6 2 .( 4 3
8 2 2 8 2 2
4 2
De las ecuacio nes y a b c De las ecu acion es
a b c b c
b c Ec b c
b a
= + +
= − + + − = − −
= + = +
= = −
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68) Determine el valor de la constante a en la ecuación de la
sabiendo que la recta 045453 =−−+ y x es tangente a
abscisa x = 3
69) La recta 02+ yx es tangente en el punto (1 1) a la cu
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69) La recta 02 =−+ y x , es tangente en el punto (1,1) a la cu
.0bxyayx 55 =−+ Determine los valores de las constantes a
0)1)(1()1)(1(1:
55)1,1(55
1)('1202
'0'550)'(55
44
4444
⇒=−+
⇒+−=+−⇒⇒+−=+−
=−⇒=−=⇒+−=⇒=−+
=⇒=−−′+⇒=+−′+
bcurvalaenadevalor el y pelsust
abbaPSust by xbxay
x f m x y y xrectala De
ybxyby yay x xy yb yay x
tg
tg
70) Encontrar el valor de “a” en la curva3
3
+
+=
ax
axy . Sa
tangente a la curva en 1=x es paralela a la recta 22 =+− xy
72) D i l l d l C l
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72) Determine el valor de la constante C en la ecuac
sabiendo que la recta tangente a dicha curva en el punto de
pendiente .2
1−=m
( )
3cLn(1)3c1)Ln(23c1Ln2eLn:EclaenSust
Ln2yLn2y
Lne2y
e
2y
2ey
ey
e12y
ey
e
ye1
2
1y'
2
1m
y'ye1y'ye11
ye
y'
y
e1
−=⇒−=−⇒−=⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ −
=→=→=
=+−→⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −=−⇒
−=−⇒=−=
=→−=→−=−
⇒⇒−=−
pero
mlaCalcular xc Ln tg ye
73) Determine el valor de la constante c en la ecuación y =
π
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75) La recta 12
−=π
y , es tangente a la curva senxa x y +=
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −1
2,
2
π π . Determine los valores de las constantes a y b.
12122cos2212
122
cos2
1cos
cos10)(0cos1)('
−=⇒=−−⇒⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+⎟ ⎠
⎞
⎜⎝
⎛
+=−
−=⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⇒=⇒−=−
−+=⇒=⇒−+=
aasena
curvalaenSust
senb xa xsenxb xa
bahorizontalrectamsenxb xa x f
π π π π π π
π π π
76) Hallar las ecuaciones de las tangentes a 52169 22 =+ y x
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77) Hallar los puntos de las tangentes horizontale
27164 22 =++ y xy x
( ) ( )yxyx
yy xy y x yy xy y x
222
0´32´4420´32´)(42
++/
=+++⇒=+++
59) Calcule el valor de K en la ecuación Κ+= xxy 85 2 sa
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59).Calcule el valor de K en la ecuación Κ +−= x x y 85 sa
12 −= x y es tangente a ella.
)1(8)1(5)1,1(11)1(2
181022810'
2 Κ+−⇒⇒=⇒−=⇒
=⇒−=⇒=⇒−=
sust P y yrectalaenSust
x xm x y
tg
recta
www . LI BR OS P DF 1 . b lo s o t . c om w