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DEMOSTRACIÓN GEOMETRICA DE LA DERIVADA
Desarrollado por Esp. Oscar Ardila Chaparro
Calculo Diferencial
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DERIVADA
DEFINICIÓN
Confuso ?
• Definición: Geométricamente la derivada se define como la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto previamente establecido.
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Conceptos incluidos en la definición
En la grafica se muestra como ejemplo la recta tangente a una circunferencia (nótese que solo existe un punto de intersección entre los objetos matemáticos).
CONCEPTOS
• Recta tangente: Es una recta que tiene un único punto común con una curva o función.
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Pendiente de una recta: esta definida como el cambio o diferencia en el eje vertical dividido por el respectivo cambio o diferencia en el eje horizontal (relación de cambio).
Notación:
ym
x
2 1
2 1
y ym
x x
CONCEPTOS
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• Recta secante: Es una recta que interseca dos o más puntos de una curva.
Conceptos
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Si tenemos claros los conceptos en los cuales se fundamenta la
definición su comprensión será muy sencilla
CONCEPTOS
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Demostración geométrica
Tenemos una recta tangente y una secante con un punto común P. Por otra parte la secante pasa por los puntos P y Q y la distancia entre ellos sobre el eje x esta dada por ∆x. cada cuadro en la grafica equivale a la unidad.
(a, f(a)) (a+∆x, f(a+ ∆x))
( ) ( ) ( ) ( )f a x f a f a x f am
a x a x
La pendiente de la recta secante esta dada por la relación:
DEMOSTRACIÓN
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Analiza la secuencia de graficas y observa como cambia el valor de Δx y la aproximación de las rectas.
1
DEMOSTRACIÓN
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2
DEMOSTRACIÓN
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3
Demostración
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4
Demostración
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• Que pasa con el valor de ∆x?• Que pasa entre las rectas tangente y secante?• Para que la recta tangente y la recta secante sean
iguales como debería ser el valor de ∆x?• Un limite podría ayudarnos con el análisis de esta
situación?
Preguntas orientadoras
DEMOSTRACIÓN
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A partir de el análisis de la situación planteada podemos determinar que la derivada esta dada por la siguiente expresión:
Finalmente
0
( ( )) ( ) ( )limx
d f x f a x f a
dx x
Se lee derivada de f(x) evaluada en términos de x.
A medida que ∆x tiende a cero la recta secante se aproxima a la recta tangente. Si esto es correcto podemos afirmar que el calculo del limite y la relación planteada es equivalente al calculo de la pendiente de la recta tangente a la curva f(x) en el punto P establecido (definición geométrica de la derivada).
CONCLUSIÓN
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Esperamos que esta información oriente un poco tu proceso de familiarización con el entorno y el seguimiento de cursos en
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